人教A版（2019）必修第一册逆袭之路第三章3.3幂函数（word版含解析）

人教A版（2019）必修第一册逆袭之路第三章3.3幂函数
一、单选题
1．已知幂函数在上是增函数，则n的值为（ ）
A． B．1 C． D．1和
2．已知函数是幂函数，直线过点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若四个幂函数，，，在同一坐标系中的图象如图，则、、、的大小关系是　　
A． B． C． D．
4．已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若，，且，则的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
5．已知幂函数的图象过点，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知幂函数的图象经过点，则的值等于（ ）
A． B．2 C．4 D．
7．利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥，其中底面四边形是边长为1的正方形，，且平面，则球体毛坯体积的最小值应为
A． B． C． D．
8．已知幂函数的图象过，则下列求解正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．设，则使函数的定义域为，且该函数为奇函数的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．、或
10．下列命题中，正确的是（ ）
A．函数的最小值为
B．函数的最大值为
C．函数的最大值为
D．函数的最大值为
二、填空题
11．已知幂函数是R上的增函数，则m的值为______．
12．设是上的偶函数, 且在上递增, 若， ，那么的取值集合是 ____________.
13．设，如果是正比例函数，则________，如果是反比例函数，则________，如果是幂函数，则________.
14．已知函数若的最小值是，则 ．
15．若幂函数的图象经过点（2，），则f（）=______．
16．函数的定义域是______．
17．已知函数，那么不等式的解集为__________．
18．幂函数的图象过点，则___________.
三、解答题
19．已知函数，g（x）＝f（x）﹣3．
（1）判断并证明函数g（x）的奇偶性；
（2）判断并证明函数g（x）在（1，+∞）上的单调性；
（3）若f（m2﹣2m+7）≥f（2m2﹣4m+4）成立，求实数m的取值范围．
20．已知函数为幂函数，且在区间上单调递减.
（1）求实数的值；
（2）请画出函数的草图.
21．已知幂函数是偶函数，且在上为增函数，求函数的解析式.
22．写出下列函数的定义域，并分别指出它们的奇偶性：
（1）；
（2）；
（3）.
23．已知定义在上的函数．
求函数的单调减区间；
Ⅱ若关于的方程有两个不同的解，求实数的取值范围．
24．设，，试比较a、b的大小关系．
25．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率v，（单位：）与管道半径r（单位：cm）的四次方成正比.
（1）写出气体流量速率v，关于管道半径r的函数解析式；
（2）若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率v的表达式；
（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率（精确到）.
26．已知函数，.设.
（1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；
（2）求的值域.
27．已知函数，且.
（1）判定的奇偶性；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明.
28．是定义在R上的函数，且对任意的都有成立，当时，.
（1）证明：在R上是增函数；
（2）若，解不等式.
29．设定义域为R的函数．
（1）在平面直角坐标系中作出函数f（x）的图象，并指出f（x）的单调区间（不需证明）；
（2）若方程f（x）+5a＝0有两个解，求出a的取值范围（不需严格证明，简单说明即可）；
（3）设定义域为R的函数g（x）为偶函数，且当x≥0时，g（x）＝f（x），求g（x）的解析式．
30．已知幂函数的图象过点
（1）求出函数的解析式
（2）判断在上的单调性并用定义法证明．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．C
【分析】
利用幂函数的定义与单调性即可得解.
【详解】
因为函数是幂函数，所以
解得：或
当时，在上是增函数，符合题意.
当时，在上是减函数，不符合题意.
故选：C
【点睛】
易错点睛：本题主要考查了幂函数的定义及性质，利用幂函数的定义知其系数为1，解方程即可，一定要验证是否符合在上是增函数的条件，考查了学生的运算求解的能力，属于基础题.
2．D
【分析】
由幂函数的性质求参数a、b，根据点在直线上得，有且，进而可求的取值范围.
【详解】
由是幂函数，知：，又在上，
∴，即，则且，
∴.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：根据幂函数的性质求参数，再由点在线上确定m、n的数量关系，进而结合目标式，应用分式型函数的性质求范围.
3．B
【分析】
根据幂函数的性质，在第一象限内，的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，即可判断；
【详解】
解：幂函数，，，的图象，正好和题目所给的形式相符合，
在第一象限内，的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以．
故选：．
【点睛】
本题考查幂函数的基本知识，在第一象限内，时，图象由下至上，幂指数增大，属于基础题．
4．A
【分析】
利用幂函数的定义求出m，利用函数的单调性和奇偶性即可求解．
【详解】
∵函数是幂函数，
∴，解得：m= -2或m=3．
∵对任意，，且，满足，
∴函数为增函数，
∴，
∴m=3（m= -2舍去）
∴为增函数．
对任意，，且，
则，∴
∴．
故选：A
【点睛】
(1)由幂函数的定义求参数的值要严格按照解析式，x前的系数为1；
(2)函数的单调性和奇偶性是函数常用性质，通常一起应用．
5．A
【分析】
根据幂函数的定义，结合代入法进行求解即可.
【详解】
因为是幂函数，所以，又因为函数的图象过点，
所以，因此，
故选：A
6．D
【分析】
设幂函数，再将代入，求出函数的解析式，即可得答案；
【详解】
设幂函数，幂函数的图象经过点
所以，解得
所以，则
故选：D
7．D
【详解】
试题分析：当四棱锥为球的内接四棱锥时，球体毛坯体积最小，而四棱锥是棱长为1的正方体的一部分，即该四棱锥的外接球即为正方体的外接球，则，，则该球体毛坯体积为；故选D．
考点：多面体与球的组合．
8．A
【分析】
利用幂函数过的点求出幂函数的解析式即可逐项判断正误
【详解】
∵幂函数y＝xα的图象过点（2，），
∴2α，解得α，
故f（x），即，
故选A
【点睛】
本题考查了幂函数的定义，是一道基础题．
9．A
【分析】
由幂函数的相关性质依次验证得解.
【详解】
因为定义域为，所以，，
又函数为奇函数，所以，则满足条件的或.
故选:A
10．B
【分析】
利用基本不等式求最值可以判定ACD,利用三角换元和函数的单调性求最值可以判定B.
【详解】
对于A，当时，函数最小值为，
当时，函数最大值为，故A错误；
对于B，函数，
设，为增函数，
当且仅当,即时取等号，最大值为，故B正确；
对于函数,
当且仅当时取等号,故最大值为，故C错误；
对于函数，当且仅当时成立，故D错误.
故选B.
11．3
【分析】
根据幂函数的定义与性质，即可求出的值．
【详解】
由题意是幂函数，
，解得或，
又是R上的增函数,则 .
故答案为：3.
【点睛】
本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，解题的关键是得出关于的方程和不等式，是基础题．
12．
【解析】
分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论.
详解：函数是上的偶函数,
，
，
，
不等式的等价于.
又函数在上递增，
，得：，
解得，
即的取值集合是.
故答案为：.
点睛：掌握以下两个结论，会给解题带来方便：(1)f(x)为偶函数 f(x)＝f(|x|)．(2)若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0.
13．
【分析】
分别利用正比例函数、反比例函数、幂函数的解析式，得到必需满足的条件.
【详解】
因为，
若是正比例函数，解得：；
若是反比例函数，解得：；
若是幂函数，，解得：.
【点睛】
本题考查几种基本初等函数的定义及解析式.
14．－4
【解析】
试题分析：
若，函数的值域为（0，+，不符合题意；
若则函数的最小值为或所以或
解得：
考点：分段函数，抽象函数与复合函数
15．
【解析】
【分析】
利用待定系数法求出函数的解析式，再计算的值．
【详解】
设幂函数f（x）＝xα，α∈R；
其函数图象过点（2，），
∴2α，
解得α；
∴f（x），
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了利用待定系数法求出函数的解析式与计算函数值的应用问题，是基础题目．
16．##
【分析】
根据对数的真数大于零，开偶数次方，根号里的数大于等于零，列出不等式组，即可的解.
【详解】
解：由函数，
可知，解得，
即函数的定义域是.
故答案为：
17．
【解析】
已知函数，可知函数是增函数，且是偶函数，不等式等价于
故答案为：。
18．
【分析】
将点的坐标代入解析式可解得结果.
【详解】
因为幂函数的图象过点，
所以，解得.
故答案为：
19．(1) 奇函数，见解析 (2) 单调递增，证明见解析(3) [﹣1，3]．
【分析】
（1）函数g（x）为奇函数，计算得到得到证明.
（2）函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，设1＜x1＜x2，计算g（x1）﹣g（x2）＜0得到证明.
（3）根据函数的单调性得到不等式m2﹣2m+7≥2m2﹣4m+4，计算得到答案.
【详解】
（1）根据题意，g（x）为奇函数，
g（x）＝f（x）﹣33＝﹣（），
其定义域为{x|x≠﹣1且x≠0且x≠1}，关于原点对称，
则有g（﹣x）＝﹣（）＝﹣g（x），则函数g（x）为奇函数；
（2）根据题意，函数g（x）在（1，+∞）上的单调递增，设1＜x1＜x2，
g（x1）﹣g（x2）＝﹣[]+[]
＝（x1﹣x2）[]，
又由1＜x1＜x2，则g（x1）﹣g（x2）＜0，则函数g（x）在（1，+∞）上的单调递增，
（3）根据题意，g（x）在（1，+∞）上的单调递增，
f（x）＝g（x）+3在（1，+∞）上的单调递增；
又由m2﹣2m+7＝（m﹣1）2+6＞1，2m2﹣4m+4＝2（m﹣1）2+2＞1
f（m2﹣2m+7）≥f（2m2﹣4m+4）m2﹣2m+7≥2m2﹣4m+4，解可得：﹣1≤m≤3；
即m的取值范围为[﹣1，3]．
【点睛】
本题考查了函数的单调性，奇偶性，根据函数的单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的综合应用.
20．（1）（2）图见解析
【分析】
(1)将系数化为1，求出的值，再根据单调性排除，即可得到；
(2)求出函数的定义域以及奇偶性，再结合单调性，即可画出函数的草图.
【详解】
解：（1）由，得或，
①当时，，此时函数在区间为增函数，不符合题意；
②当时，，此时函数在区间为减函数，符合题意.
故实数的值为.
（2）由（1）知，由函数的定义域为
由可知函数为偶函数，可画出函数草图为：
【点睛】
本题主要考查了幂函数的解析式及单调性、奇偶性，属于基础题.
21．或
【分析】
由函数是幂函数，得，求出的值，然后代入函数的解析式，验证函数的奇偶性以及在上的单调性，可得出函数的解析式.
【详解】
函数是幂函数，，解得、或.
当时，是奇函数，不合题意；
当时，是偶函数，在上为增函数；
当时，是偶函数，在上为增函数，所以或.
【点睛】
本题考查幂函数解析式的求解，在求解幂函数的解析式时，要利用系数为列方程或利用函数在上的单调性列不等式求解，而奇偶性只作为检验的依据，考查运算求解能力，属于基础题.
22．（1）定义域是，奇函数；（2），函数既不是奇函数，也不是偶函数；（3），是偶函数.
【分析】
确定函数式有意义的自变量的集合，根据奇偶性定义判断奇偶性.
【详解】
解（1）函数的定义域是.
因为对任意的，，且都有，
所以由奇函数的定义知，函数是奇函数.
（2）函数即，其定义域是.
因为当时，，
所以由奇函数、偶函数的定义可知，函数既不是奇函数，也不是偶函数.
（3）由函数即可知，所以此函数的定义域是.
因为对任意的，，都有，，且，
所以由偶函数的定义知，函数是偶函数.
23．时， 的单调减区间为；当时，函数的单调减区间为 ；当时，的单调减区间为；Ⅱ.
【分析】
分三种情况讨论，根据一次函数的单调性、二次函数图象的开口方向，可得不同情况下函数的单调减区间；Ⅱ若关于的方程有两个不同的解，等价于有两个不同的解，令利用导数研究函数的单调性，结合极限思想，分析函数的单调性与最值，根据数形结合思想，可得实数的取值范围．
【详解】
当时，，
函数的单调减区间为；
当时，的图象开口朝上，且以直线为对称轴，
函数的单调减区间为.
当时，的图象开口朝下，且以直线为对称轴，
函数的单调减区间为；
Ⅱ若关于x的方程有两个不同的解，
即有两个不同的解，
令
则
令，则，解得，
当时，，函数为增函数，
当时，，函数为减函数，
故当时，函数取最大值1，
又由，
故时，的图象有两个交点，
有两个不同的解，
即时，关于x的方程有两个不同的解.
【点睛】
本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，利用导数研究函数的单调性、极值以及函数的零点，属于难题．函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.
24．．
【分析】
构造函数，判断出函数的单调性，利用单调性可得答案.
【详解】
构造函数：令，则，，
因为，又在R上是严格增函数，
所以在R上是严格减函数，在R上也是严格减函数，
因此，即．
25．（1）；（2）；（3）
【分析】
（1））设比例系数为，由题意可得：．
（2）代入可得．
（3）利用（2）的表达式即可得出．
【详解】
解：（1）设比例系数为，气体的流量速率关于管道半径的函数解析式为.
（2）将与代入中，有.解得，
所以，气体通过半径为r的管道时，其流量速率v的表达式为.
（3）当时，.所以，当气体81通过的管道半径为5cm时，该气体的流量速率约为.
【点睛】
本题考查了正比例函数的解析式及幂函数其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
26．
（1）奇函数，证明见解析
（2），，
【分析】
（1）由奇偶性的定义即可证明；
（2）分类 讨论，利用基本不等式即可求解最值，从而可得值域．
（1）
是奇函数，
证明：，定义域为，，，
，
所以是奇函数．
（2）
，
当时，，当且仅当，即时取等号；
当时，，当且仅当，即时取等号，
所以的值域为，，．
27．（1）奇函数；（2）单调递增.证明见解析.
【分析】
（1）由，算出，根据函数奇偶性的定义，求出定义域关于原点对称，判断与的关系即可判断.
（2）根据单调性的定义，设，判别的符号，即可判断函数的单调性.
【详解】
（1）由，得，解得，所以
的定义域为，且，
所以为奇函数.
（2）在上单调递增.
证明：任取，，且，
因为，所以，所以，
所以在上单调递增.
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性和单调性，考查了学生的运算求解能力和逻辑推理能力，属于基础题.
28．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）设，则，得到，进而求得，即可证得函数在上是增函数；
（2）由，求得，根据由（1）转化为，即可求解.
【详解】
（1）设，则，
因为时，，可得，
又由对任意的都有，
所以，即，
所以在上是增函数.
（2）因为，可得，解得，
由（1）知在R上是增函数，可得，解得：，
即不等式的解集为.
【点睛】
本题主要考查了函数的单调性的判定与证明，以及函数的单调性的应用，其中解答中熟记函数的单调性的定义，以及合理利用函数的单调性进行转化不等关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
29．（1）函数f（x）的增区间为（﹣1，0），（1，+∞）；减区间为（﹣∞，﹣1），（0，1）,图象见解析
（2）
（3）
【分析】
（1）作出函数f（x）的图象，由图象即可观察得出；
（2）方程f（x）+5a＝0有两个解，等价于函数f（x）的图象与直线有两个交点，由图即可求出；
（3）先求出x≥0时，g（x）的解析式，再根据偶函数的性质，求出x＜0时，g（x）
的解析式，即可求出定义在上的g（x）的解析式．
【详解】
（1）作出函数f（x）的图象，如图所示：
函数f（x）的增区间为（﹣1，0），（1，+∞），减区间为（﹣∞，﹣1），（0，1）．
（2）要使方程f（x）+5a＝0有两个解，等价于函数f（x）的图象与直线有两个交点，由图可知，﹣5a≥1，解得．故实数a的取值范围为；
（3）由题意，当x＝0时，g（x）＝0，当x＞0时，g（x）＝x2﹣2x+1，
设x＜0，则﹣x＞0，故g（﹣x）＝（﹣x）2﹣2（﹣x）+1＝x2+2x+1，
又函数g（x）为偶函数，故g（x）＝g（﹣x）＝x2+2x+1（x＜0），
综上，函数g（x）的解析式为．
【点睛】
本题主要考查分段函数的图象的画法，根据图象求函数的单调区间，方程的解的个数与两函数的图象的交点个数的关系应用，以及利用偶函数的性质求分段函数的解析式，意在考查学生的数形结合能力和转化能力，属于中档题．
30．（1）；（2）单调递增，证明见解析.
【分析】
（1）设，代入点即可求出；
（2）任取，计算化简并判断正负，即可判断.
【详解】
（1）设，过点，
，解得，
；
（2）单调递增，证明如下：
任取，
，
，，
，
在上单调递增.
【点睛】
思路点睛：利用定义判断函数单调性的步骤：
（1）在定义域内任取；
（2）计算并化简整理；
（3）判断的正负；
（4）得出结论，若，则单调递增；若，则单调递减.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页