人教A版（2019）必修第一册逆袭之路第四章4.5函数的应用（二）4.5.1函数的零点与方程的解（word版含解析）

人教A版（2019）必修第一册逆袭之路第四章4.5函数的应用（二）4.5.1函数的零点与方程的解
一、单选题
1．已知函数f(x)＝|kx-2|-g(x)(k＞0)在(0，+∞)上有3个不同的零点，则k的取值范围是（ ）
A．(0，4) B．(1，+∞) C．(0，1)∪(1，+∞) D．(0，1)∪(1，4)
2．集合，（且）已知有两个子集，那么实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．以下三个命题中，正确的个数是
①命题“若是周期函数，则是三角函数”的否命题是“若是周期函数，则不是三角函数”；②在△中，“”是“”成立的充要条件；③若函数在上有零点，则一定有.
A． B． C． D．
4．若函数有两个零点，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
5．已知、分别是方程和的根,且,则实数（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．2
6．已知，定义运算“”： ，函数，，若方程只有两个不同实数根，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
7．关于函数，下列说法错误的是（ ）
A．是奇函数 B．是周期函数
C．有零点 D．在上单调递增
8．若函数f（x）=|x|+（a＞0）没有零点，则a的取值范围是
A．
B．（2，+∞）
C．
D．（0，1）∪（2，+∞）
9．若函数的三个零点分别是，且，则（　　）
A． B． C． D．
10．已知函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，命题：总存在，有；命题：若函数在区间上有，则是的
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要
11．已知函数的零点，其中常数满足则的值是
A．-2 B．-1 C．0 D．1
12．已知，则在上的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
13．已知函数，若函数在上有3个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
14．已知，，，则的最值是（ ）
A．最大值为，最小值为 B．最大值为，无最小值
C．最大值为3，无最小值 D．既无最大值，又无最小值
15．给出下面四个命题：
①函数在(3，5)内存在零点；
②函数的最小值是2；
③若则；
④命题的“”否定是“”
其中真命题个数是（ ）
A． B． C． D．
16．函数在区间（0,1）内的零点个数是
A．0 B．1
C．2 D．3
17．已知函数若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
18．已知函数，则它的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
19．已知函数，若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
20．若方程在区间(，是整数，且)上存在一个根，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
21．已知x0是函数f（x）=lnx-（x＞0）的一个零点，若x1∈（0，x0），x2∈（x0，+∞）则（　　）
A．, B．,
C．, D．,
22．已知函数若关于的方程恰有3个不同的实根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
23．下列关于命题的说法错误的是（ ）
A．命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝2”的逆否命题为“若x≠2，则x2﹣3x+2≠0”
B．“a＝2”是“函数f（x）＝ax在区间（﹣∞，+∞）上为增函数”的充分不必要条件
C．命题“ x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“ x∈R，均有x2+x+1≥0”
D．“若f ′（）＝0，则为y＝f（x）的极值点”为真命题
24．已知，则
A． B．
C． D．
25．已知函数在区间上的图象是连续的曲线，若在区间上是增函数，则（ ）
A．在上一定有零点 B．在上一定没有零点
C．在上至少有一个零点 D．在上至多有一个零点
26．已知函数，则其零点在的大致区间为
A． B． C． D．
27．已知函数，则“函数在上有零点”是“”的（ ）条件
A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．即不充分也不必要
28．若函数是上的单调函数，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
29．已知函数，则该函数的所有零点的和是________．
30．已知函数，若恰有4个零点，则实数的取值范围为___________.
31．已知分段函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是_____．
32．已知常数，若函数在上恒有，且
，则函数在区间上零点的个数
是________.
33．对于实数a，b，定义运算“*”：a*b＝,设f (x)＝(x－4)*，若关于x的方程|f (x)－m|＝1(m∈R)恰有四个互不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．
34．若函数满足：在定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“阶马格丁香小花花”函数．给出下列四个函数：①；②；③；④．其中是“阶马格丁香小花花”函数的所有函数的序号是___________；
35．若函数在上存在唯一零点，则实数的取值范围是_______.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．D
【分析】
转化为函数的图象与函数的图象在上有3个不同的交点，分类讨论与和的大小关系，利用两个函数图象可得结果.
【详解】
因为函数f(x)＝|kx-2|-g(x)在(0，+∞)上有3个不同的零点，
所以关于x的方程|kx-2|＝g(x)在(0，+∞)上有3个不同的实数根．
所以函数的图象与函数的图象在上有3个不同的交点，
画出函数g(x)的图象，如图：
y＝|kx-2|的图象恒过点(0，2)，且与x轴的交点为．
当，即k≥4时，y＝|kx-2|与g(x)的图象在(0，+∞)上仅有2个不同的交点，如图：
当，即1＜k＜4时，y＝|kx-2|与g(x)的图象在上有1个交点，在上有2个交点，如图．
当，即0＜k＜1时，y＝|kx-2|与g(x)的图象在上有3个交点，在上有0个交点，如图：
当，即k＝1时，y＝|kx-2|与g(x)的图象在(0，+∞)上有2个交点，如图：
综上所述： k的取值范围为(0，1)∪(1，4)．
故选：D
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
2．B
【分析】
由题意，已知有两个子集，则中只有1个元素，即与交于一点，转化为方程仅有一根，即，即可求解.
【详解】
由题意，已知有两个子集，则中只有1个元素，
即与交于一点，令，化简得到
方程有且只有一个根，，
解得，即
故选：B
【点睛】
由集合交集中的元素个数转化成求解函数交于一点问题，再转化成方程有解问题，本题考查转化与化归思想解题，考查逻辑推理能力，属于中等题型.
3．B
【详解】
对于①，命题“若是周期函数，则是三角函数”的否命题是“若不是周期函数，则不是三角函数”，①错；对于②，在△中，当时，由正弦定理有，由大边对大角有；当时，，由正弦定理有，所以“”是“”成立的充要条件，②正确；对于③，举反例：函数在上有零点，但不符合.只有个正确，故选B.
考点：四种命题的形式，充分条件与必要条件的判断，函数零点存在定理.
4．D
【详解】
试题分析：由题意得，所以在上单调递减；在上单调递增，所以当时，；当时，，所以若使函数有两个零点，则且，解得，故选D.
考点：利用导数研究函数的单调性及零点问题.
5．B
【分析】
由题意可得，直线y＝a﹣x和函数y＝2x交点的横坐标为x1，直线y＝a﹣x和函数y＝的交点的横坐标为x2，结合图象x1,x2关于对称即可求解
【详解】
已知、分别是方程和的根,
故直线y＝a﹣x和函数y＝2x交点的横坐标为x1，直线y＝a﹣x和函数y＝的交点的横坐标为x2，又y＝2x与y＝关于对称，则即在y＝a﹣x上，故a=﹣1
故选：B
【点睛】
本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，解答关键是运用数形结合的思想，属于中档题．
6．B
【详解】
由于，解得，故，画出函数图像如下图所示，有图可知有两个的区间为.
点睛：本题主要考查新定义函数的理解，考查函数图像的画法，包括二次函数和一次函数，考查函数与方程的思想方法.对于新定义函数的理解，是新定义题目解题的关键，本题主要是两个数的差与进行比较，比较后可得出分段函数的解析式，由此画出函数的图像，即可得到何处有两个不同的实数根.
7．B
【分析】
根据奇偶性定义可判断选项A正确；依据周期性定义，选项B错误；，选项C正确；求，判断选项D正确.
【详解】
对于A，函数定义域为，且，
则为奇函数，故A正确；
对于B，若是周期函数，设其最小正周期为，则，
即，变形得，，对任意恒成立，令，可得，，设，而，
，所以只有唯一的解，故由
，由此可知它不是周期函数，故B错误；
对于C，因为，在上有零点，故C正确；
对于D，由于，故在上单调递增，故D正确.
故选B.
【点睛】
本题考查函数的性质，涉及到奇偶性、单调性、周期性、零点，属于基础题.
8．D
【详解】
试题分析：根据函数f（x）没有零点，等价为函数y=与y=﹣|x|的图象没有交点，在同一坐标系中画出它们的图象，即可求出a的取值范围．
解：令|x|+=0得=﹣|x|，
令y=，则x2+y2=a，表示半径为，圆心在原点的圆的上半部分，
y=﹣|x|，表示以（0，）端点的折线，在同一坐标系中画出它们的图象：如图，
根据图象知，由于两曲线没有公共点，故圆到折线的距离小于1，或者圆心到折线的距离大于半径，
∴a的取值范围为（0，1）∪（2，+∞）
故选D．
考点：函数的零点与方程根的关系．
9．D
【分析】
利用函数的零点列出方程，再结合，得出关于的不等式，解之可得选项．
【详解】
因为函数的三个零点分别是，且，
所以，，解得，
所以函数，
所以，又，所以，
故选：D．
【点睛】
关键点睛：本题考查函数的零点与方程的根的关系，关键在于准确地运用零点存在定理．
10．C
【分析】
利用充分、必要条件的定义及零点存在性定理即可作出判断.
【详解】
命题推不出命题q，所以充分性不具备；
比如：，区间为，满足命题p，但，
根据零点存在性定理可知，命题能推出命题p，所以必要性具备；
故选C
【点睛】
本题考查充分必要条件，考查零点存在性定理，属于基础题.
11．B
【详解】
试题分析：，故是
上的增函数，且，则
考点：函数的零点，指数和对数的互化
12．C
【分析】
结合正弦函数性质求出的零点，确定在的零点即得．
【详解】
由得，
又，∴或，共2个．
故选：C．
13．A
【分析】
根据上，求解的范围，，是函数的根，由正弦函数的性质可得的取值范围.
【详解】
由题意函数，
∵上，∴，
设，是函数，
可得，，
函数在上有3个零点，
当时，对于的值只有一个解；
则对于的值有两个解；
∴，即，
故选：A．
【点睛】
本题考查了正弦函数的范围和二次函数零点问题，属于中档题.
14．B
【分析】
根据函数表达式画出各自图象，其实表示的是较小的值.
【详解】
如图，在同一坐标系中画出图象，又表示两者较小值，所以很清楚发现在A处取得最大值，无最小值.
故选：B.
15．A
【分析】
对选项进行判断得解
【详解】
①函数在(3，5)内存在零点；
，所以①正确
②函数的最小值是2；
当且仅当时等号成立，此时无解
所以②不正确
③若则；
由不等式性质知③不正确
④命题的“”否定是“”故④不正确
故选：A
16．B
【详解】
试题分析：,在范围内，函数为单调递增函数．又，，，故在区间存在零点，又函数为单调函数，故零点只有一个．
考点：导函数，函数的零点．
17．D
【详解】
分段函数和过定点的直线在如图位置时恰好相切，此时有两个交点，若直线斜率变大，则只存在一个交点，若直线斜率减小，则会出现三个交点，如下图所示：
计算切线斜率，假设直线与的切点为 ，对函数求导可得，那么可以得到如下三个方程： ，讲后两个方程代入到第一个方程中，得到 ，即 ，解得 ，从而斜率，根据分析可知，若要有三个交点，则斜率，故选D.
考点：1函数图像;2数形结合思想.
18．C
【分析】
由函数，求得，结合零点的存在定理，即可求解.
【详解】
由题意，函数，
可得，即，
由零点的存在定理，可得函数的零点所在的区间为.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了函数的零点存在定理得应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，结合零点的存在定理求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
19．B
【分析】
将函数整理成分段函数形式，再根据性质法判断单调性与最值，函数有且仅有两个零点，则最小值小于0，解不等式即可.
【详解】
由，
由函数和的图象可知函数的增区间为，减区间为，
又由，
若函数有且仅有两个零点，必有，
则实数的取值范围为;
故选：B.
【点睛】
函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
20．A
【分析】
设，由零点存在性定理确定出零点所在的区间即可.
【详解】
令，利用增函数+增函数=增函数，可知在上单调递增，
又，，由零点存在性定理，知存在
唯一一个，使得，此时，满足，
所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查零点存在性定理的应用，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
21．A
【分析】
先确定f（x）的单调性，从而求解．
【详解】
∵f（x）＝lnx（x＞0），y= lnx与y=在x＞0上都是增函数，
∴f（x）单调递增．
∵已知x0是函数f（x）＝lnx（x＞0）的一个零点，若x1∈（0，x0），x2∈（x0，+∞），
∴f（x1）＜0，f（x2）＞0．
故选A．
【点睛】
本题考查了单调性的应用，属于基础题．
22．B
【分析】
求解二次方程，即可求得的结果，根据的图像，数形结合，即可容易求得参数的范围，属中档题.
【详解】
由，
得或，作出的图象，如图所示，
由图可知，方程有1个实根，
故方程有2个实根，故的取值范围为.
故选：B.
【点睛】
本题考查方程和函数之间的相互转化，涉及指数函数的图像，属综合中档题.
23．D
【分析】
A，利用四种命题的逆否关系判断；B，根据指数函数的单调性即可判断；C，根据特称命题的否定判断；D，根据极值点的定义判断.
【详解】
对于A，根据逆否命题的定义，命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，故正确；
对于B，，可得函数在区间上为增函数，若函数在区间上为增函数，则，“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件，故正确；
对于C，根据特称命题的否定是全称命题，命题“，使得x2+x+1<0”的否定是：“均有”，故正确；
对于D， “若f ′（）＝0，则为y＝f（x）的极值点”为假命题，比如：中，，但不是的极值点，错误，
故选:D.
【点睛】
本题通过对多个命题真假的判断，综合考查指数函数的单调性、逆否命题的定义、特称命题的否定、极值点的定义，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
24．B
【分析】
根据对数的运算性质，求得，得到，进而结合选项求解的范围，得到答案.
【详解】
由对数的运算性质，可得,
所以，所以，
所以，又由，所以，
结合选项，可得，
故选B
【点睛】
本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用指数函数与对数函数的运算性质，求得的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
25．D
【分析】
由函数的单调性和零点存在定理，即可得出结果.
【详解】
函数在区间单调递增，可能没有零点，也可能由零点，由零点存在定理可知，如果由零点，只能有一个零点，所以至多一个零点.
故选：D
26．C
【分析】
先判断函数是定义域上的增函数，然后由，，，可判断出零点所在区间．
【详解】
由题意可知，函数为单调递增函数，，
，，
故函数的零点的大致区间为.
【点睛】
本题考查了函数的零点，考查了函数的单调性，属于基础题．
27．C
【分析】
结合充分、必要条件的判断方法来确定正确选项.
【详解】
依题意，
若函数在上有零点，不等式组无解，所以，即.
若，根据零点存在性定理可知：函数在上有零点.
所以“函数在上有零点”是“”的充要条件.
故选：C
28．B
【分析】
根据的开口方向，确定分段函数在在上的单调递增，再根据分段函数在上的单调所要满足的条件列出不等关系，求出的取值范围.
【详解】
因为分段函数在上的单调函数，由于开口向上，故在上单调递增，故分段函数在在上的单调递增，所以要满足：，解得：
故选：B
29．0．
【分析】
函数的零点转化为方程的根，求出方程的根，然后推出所有零点的和.
【详解】
函数的零点，就是方程的根，解得：
所以该函数的所有零点的和为：
故答案为：0
30．
【分析】
令，转化为与有个交点，结合图象求得的取值范围.
【详解】
令，转化为与有个交点，
画出与的草图，如下图所示，
当时，与不可能有4个交点，
故由图可知，
且与在区间上各有一个交点，
故在区间上，与有两个交点.
当时，，
，设是曲线上一点，
过该点的切线的斜率为，
切线方程为，
代入得，
化简得，此时切线的斜率为，
所以.
故答案为：
31．
【分析】
可画出与的图像，再根据函数有三个零点进一步判断实数的取值范围即可
【详解】
由题，先画出与的图像，如图：
由图可知，要使分段函数存在三个零点，则图中三个点必须存在，则只有在时才满足；
故答案为：
【点睛】
本题考查函数图像零点个数判断问题，数形结合思想，属于中档题
32．15
【解析】
【分析】
根据可得函数周期，作出函数一个周期上的图象，利用数形结合即可求解.
【详解】
函数在上恒有,
,
函数周期为4.
常数,
,
函数在区间上零点,即函数与直线及直线之间的直线的交点个数.
由，可得函数 一个周期内的图象，做草图如下：
由图可知，在一个周期内，函数有3个零点，
故函数在区间上有15个零点.
故填15.
【点睛】
本题主要考查了函数零点的个数判断，涉及数形结合思想在解题中的运用，属于难题.
33．（﹣1，1）∪（2，4）
【解析】
【分析】
根据新定义得出f（x）的解析式，作出f（x）的函数图象，则f（x）与y=m±1共有4个交点，根据图象列出不等式组解出．
【详解】
解不等式x﹣4≤﹣4得x≥0，f（x）=，
画出函数f（x）的大致图象如图所示．
因为关于x的方程|f（x）﹣m|=1（m∈R），即f（x）=m±1（m∈R）恰有四个互不相等的实数根，
所以两直线y=m±1（m∈R）与曲线y=f（x）共有四个不同的交点，
∴或或，
解得2＜m＜4或﹣1＜m＜1．
故答案为（﹣1，1）∪（2，4）．
【点睛】
本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．
34．②④
【分析】
判断函数是否为 “阶马格丁香小花花”，只需判断方程是否有实数解，逐个函数代入验证，即可求解.
【详解】
①，方程为，
整理得，无实根，①不是“阶马格丁香小花花”函数；
②，方程为，
整理得解得，②是“阶马格丁香小花花”函数；
③，方程为
，整理得，
方程无实根，③不是“阶马格丁香小花花”函数；
④，方程为
，整理得
，
④是“阶马格丁香小花花”函数.
故答案为:②④
【点睛】
本题考查新定义问题，要认真审题，转化为判断方程是否有实数解，属于中档题.
35．
【分析】
由题意知，函数在区间内有一个零点，利用对称轴与区间的关系，得出不等式组，解出即可．
【详解】
解：当时，函数的零点为，满足题意；
当时，时，，
当函数的对称轴不在区间内时，
函数在，上存在唯一零点，
，可得，且，
函数它的对称轴为，
函数的对称轴在区间，内，可得：即：
，
解得．
函数在，上存在唯一零点，
则实数的取值范围是：，．
故答案为：，．
【点睛】
此题主要考查函数的零点以及二次函数的性质问题，容易得出答案，属于中档题．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页