人教A版（2019）必修第一册新高考名师导学第四章4．4对数函数（word版含解析）

人教A版（2019）必修第一册新高考名师导学第四章4．4对数函数
一、单选题
1．执行如图所示的程序框图，若输出，则框图中①处可以填入
A． B． C． D．
2．当时，在同一坐标系中，函数与的图象是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
3．函数的三要素：______、______和______.
4．若函数的反函数图像经过点，则的值为___________.
三、解答题
5．已知定义在实数集上的偶函数和奇函数满足.
（1）求与的解析式；
（2）求证：在区间上单调递增；并求在区间的反函数；
（3）设（其中为常数），若对于恒成立，求的取值范围.
6．已知，.
（1）若，求t的值；
（2）当，且有最小值2时，求的值；
（3）当时，有恒成立，求实数的取值范围.
7．已知函数（）．
（1）当时，，且为上的奇函数．求时的表达式；
（2）若为偶函数，求的值；
（3）对（2）中的函数，设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围．
8．已知函数，.
（1）设函数，求的定义域，并判断的奇偶性；
（2）若时，恒成立，求实数的取值范围.
9．（1）已知函数是一次函数，若，求的解析式；
（2）已知是二次函数，且满足，，求的解析式．
10．医学上为研究某种传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表．已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡．但注射某种药物，将可杀死其体内98%的病毒细胞.
天数x 病毒细胞总数y
1 1
2 2
3 4
4 8
5 16
6 32
7 64
… …
(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？(精确到天；参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？(精确到天；参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
11．求函数f(x)＝log2x－x＋2的零点的个数．
12．某市有一特色酒店由一些完全相同的帐篷构成.每座帐篷的体积为立方米，且分上下两层，其中上层是半径为（单位：米）的半球体，下层是半径为米，高为米的圆柱体（如图）.经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元，设每座帐篷的建造费用为千元.
参考公式：球的体积，球的表面积，其中为球的半径.
（1）求关于的函数解析式，并指出该函数的定义域；
（2）当半径为何值时，每座帐篷的建造费用最小，并求出最小值.
13．画出函数与的图象，指出这两个函数图象之间的关系，并指出这两个函数性质的相同点与不同点.
14．设集合为函数的定义域，集合为不等式的解集．
(1) 写出的单调区间；
(2) 若，求的取值范围．
15．设函数
（1）求函数的解析式；
（2）设，是否存在实数a，使得当时，恒有成立，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.
16．.
17．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）.2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为个税税额=应纳税所得额×税率-速算扣除数.应纳税所得额的计算公式为应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除.其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元，税率与速算扣除数见表.
级数 全年应纳税所得额所在区间 税率（%） 速算扣除数
1 3 0
2 10 2520
3 20 16920
4 25 31920
5 30 52920
6 35 85920
7 45 181920
（1）设全年应纳税所得额为t，应缴纳个税税额为y，求，并画出图象；
（2）小王全年综合所得收入额为189600元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？
18．已知,,求的值.
19．已知函数且．
（1）若函数在区间上恒有意义，求实数的取值范围；
（2）是否存在实数，使得函数在区间上为增函数，且最大值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
20．求下列函数的定义域
（1） ；（2） ．
21．某公司为了实现2019年销售利润1000万元的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：从销售利润达到10万元开始，按销售利润进行奖励，且奖金数额y(万元)随销售利润x(万元)的增加而增加，但奖金数额不超过5万元.现有三个奖励模型：y=0.025x，y=1.003x，y=lnx+1，其中是否有模型能完全符合公司的要求？请说明理由.(参考数据：1.003538≈5，e≈2.71828…，e8≈2981)
22．函数，，的图象如图所示.
（1）试说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什么；
（2）以已有图象为基础，在同一直角坐标系中画出，，的图象；
（3）从（2）的图中你发现了什么？
23．已知函数，
(1) 判断的奇偶性并证明；
(2) 令
①判断在的单调性（不必说明理由）；
②是否存在，使得在区间的值域为？若存在，求出此时的取值范围；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．C
【详解】
试题分析：由程序框图，循环体执行时，的值依次为，，，，此时就终止循环体，因此条件可为．故选C．
考点：程序框图．
2．B
【分析】
根据时指数函数与对数函数均为定义域内的增函数即可得答案.
【详解】
解：因为，函数为指数函数，为对数函数，
故指数函数与对数函数均为定义域内的增函数，
故选：B.
3．定义域 对应关系 值域
【分析】
根据函数定义,可知函数的三要素.
【详解】
由函数定义可知,函数的三要素为: 定义域、对应关系、值域
故答案为：(1). 定义域 (2). 对应关系 (3). 值域
【点睛】
本题考查了函数的定义,函数构成的三要素,属于基础题.
4．
【分析】
本题首先可根据过点求出，然后根据两函数互为反函数得出，最后代入即可得出结果.
【详解】
因为函数图像经过点，
所以，解得，，
因为函数与函数互为反函数，
所以，，
故答案为：.
5．(1) ，. (2)证明见解析；，. (3)
【解析】
【分析】
（1）利用奇偶性可得，，即，联立求解即可；
（2）求出的解析式，根据定义式证明在上单调递增，根据反函数的概念求出的反函数和定义域；
（3）由题目所给的条件，把替换成，并写出的取值范围，通过变量分离把放到不等式的一边解出的取值范围.
【详解】
解：（1），∴，
为偶函数，为奇函数，∴，
，∴，
∴，.
（2）对，且，
，，
∴在上是增函数；
的值域是，
根据反函数的概念
设，则，令，
则，再由解得
，即.
因为，
所以，所以，
因此的反函数，.
（3）在上单调递增，
令，，
∴对于恒成立，
∴，
对于恒成立，令
，
当且仅时等号成立，
∴，∴.
【点睛】
本题考查了函数奇偶性的应用，利用定义域判断函数单调性和反函数的求解，恒成立问题的转化．
6．（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）把1和2代入函数，求出t.（2）t=4，化简F（x）=g（x）﹣f（x）通过最小值2，列出不等式组，即可求a的值；（3）当时，有f（x）≥g（x）恒成立，转化为 在上恒成立，通过构造二次函数，求出实数t的取值范围．
【详解】
（1）
即
（2），
又在单调递增，
当，解得
当，
解得（舍去）
所以
(3），即
，，，，
，依题意有
而函数
因为，，所以.
【点睛】
本题考查了利用函数的单调性求最值的知识，特别是与分类讨论相贯穿使此题更显综合；第三问考查了恒成立问题，要注意学习由已知向对数不等式转化的能力，由对数不等式向二次不等式转化的能力．同时本题体现的分离参数思想亦值得学习．
7．（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）利用时，，为上的奇函数，可求得时，的表达式；（2）利用偶函数的定义即，即可求得的值；（3）函数与的图象有且只有一个公共点 方程有且只有一个实根 有且只有一个实根，令，则方程有且只有一个正根，利用即可求得的值．
【详解】
（1）∵时，，
∴当时，，
∴，又为上的奇函数，
∴，即
（2）∵函数为偶函数，
∴即，
而，
∴恒成立，∴，
∴
（3）∵函数与的图象有且只有一个公共点，
∴方程有且只有一个实根，
化简得：方程有且只有一个实根，
令，则方程有且只有一个正根，
①，
②若一个正根和一个负根，不满足题意，
所以实数的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查了偶函数的性质，以及对数函数图象与性质的综合应用，同时考查了化归与方程的思想的综合运用，属于难题．
8．（1）定义域为；偶函数；（2）.
【分析】
(1)根据对数的真数大于0，列不等式组可解得定义域，根据奇偶性的定义判断可得奇偶性；
(2)将转化为对任意的恒成立，继续转化为在上恒成立，再根据二次函数的单调性求出右边的最小值即可得到.
【详解】
(1)由题意，，
则，解得，
所以的定义域为；
因为,
所以函数为上的偶函数；
(2)因为可化为，
可化为，可化为，
可化为对任意的恒成立,
令，则，
因为，所以，
所以在上恒成立，
令，，
因为对称轴,
所以在上递增，所以，
为使在上恒成立，只需.
【点睛】
思路点睛：
根据不等式恒成立求参数时，一般可将不等式变形，分离出参数，利用构造函数的方法，构造出函数，结合函数的基本性质，求出函数在给定区间的最值，即可求出参数范围；（有时也会用导数的方法求函数的最值）
9．（1）或；（2）．
【分析】
（1）设，根据可得出关于、的方程组，解出、的值，由此可求得函数的解析式；
（2）设，根据求得的值，根据可得出关于、的方程组，解出、的值，由此可得出函数的解析式.
【详解】
（1）设，则，
又，所以，，解得或，
因此，或；
（2），则，
，即，
即，所以，解得.
因此，.
【点睛】
本题考查利用待定系数法求函数解析式，解答关键就是根据系数相等得出方程组求解，考查计算能力，属于中等题.
10．(1)第一次最迟应在第27天注射该种药物．
(2)再经过6天必须注射药物，即第二次应在第33天注射药物
【分析】
（Ⅰ）由题意病毒细胞总数y关于时间x的函数关系式为y=2x﹣1（其中x∈N*），解不等式由2x﹣1≤108，即可求得结果；（Ⅱ）由题意注入药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞为226×2%，则再经过x天后小白鼠体内病毒细胞为226×2%×2x，由题意解不等式226×2%×2x≤108，即可求得结果．
【详解】
(1)由题意病毒细胞总数y关于时间x的函数关系式为y＝2x－1(其中x∈N＋)，
则由2x－1≤108，两边取常用对数得(x－1)lg 2≤8，从而x≤＋1≈27.58.
即第一次最迟应在第27天注射该种药物．
(2)由题意注入药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞为226×2%，
再经过x天后小白鼠体内病毒细胞为226×2%·2x，
由题意226×2%·2x≤108，
两边取常用对数得26lg 2＋lg 2－2＋xlg 2≤8，解得x≤6.2.
故再经过6天必须注射药物，即第二次应在第33天注射药物
【点睛】
此题是个中档题．函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一，同时考查学生的阅读能力和计算能力．
11．两个
【分析】
令f(x)＝0，即log2x－x＋2＝0，即log2x＝x－2.令y1＝log2x，y2＝x－2.画出两个函数的大致图象，根据图象可求得答案.
【详解】
解：令f(x)＝0，即log2x－x＋2＝0，即log2x＝x－2.令y1＝log2x，y2＝x－2.
画出两个函数的大致图象，如图所示．
有两个不同的交点．
所以函数f(x)＝log2x－x＋2有两个零点.
12．（1），定义域为；（2）当半径为时，建造费用最小，最小为千元．
【分析】
（1）由图可知帐篷体积半球体积圆柱体积，即，表示出，则，化简得；再由，即可求出函数的定义域
（2），，根据导函数求出其最小值即可．
【详解】
解：（1）由题意可得，所以，
所以，即；
因为，，所以，则，所以定义域为，
故，定义域为；
（2）设，，则，令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，取极小值也是最小值，且．
当半径为时，建造费用最小，
答：当半径为时，建造费用最小，最小为千元．
【点睛】
本题考查函数模型的实际应用，利用导数求最值等知识点，属于中档题．
13．见解析
【分析】
根据对数函数的图象与性质可得答案.
【详解】
解：两函数的图象如下图所示：
因为，所以两个函数的图象关于x轴对称，
相同点：两函数的图象都位于y轴右侧，都经过点，两函数的定义域都为，都不具有奇偶性，值域都是R，
不同点：在单调递增，其图象呈上升趋势，
在单调递减，其图象呈下降趋势.
14．（1）增区间为，减区间为；（2）.
【解析】
分析：（1）先求出，二次函数在单调递增，单调递减，根据复合函数的单调性，即可写出的单调区间；（2）求出，讨论写出集合，根据，即可写出限制的不等式，解不等式即得的取值范围.
详解：(1)由－x2－2x＋8>0，解得A＝(－4,2)，
单调递增区间为(－4，－1)，单调递减区间(－1，2).
(2)因为 RA＝(－∞，－4]∪[2，＋∞)．
由(x＋4)≤0，知a≠0.
①当a>0时，由(x＋4)≤0，得B＝，不满足B RA；
②当a<0时，由(x＋4)≥0，得B＝(－∞，－4)∪，
欲使B RA，则≥2，解得－≤a<0或0又a<0，所以－≤a<0，
综上所述，所求a的取值范围是.
点睛：本题主要考查对数函数的定义域、二次函数的单调性，求集合的补集与交集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.
15．（1）；（2）存在，.
【分析】
（1）将y＝ax+3a作为方程利用指数式和对数式的互化解出x，然后确定原函数的值域即为反函数的定义域；
（2）设h（x）＝f﹣1（x）+g（x），然后求出h（x）在闭区间[a+2，a+3]上的最小值与最大值，使最大值与最小值都小于等于1，建立不等式组进行求解即可．
【详解】
（1）设y＝ax+3a，则且ax＝y﹣3a，
两边取对数得：x＝loga（y﹣3a），
所以f﹣1（x）＝loga（x﹣3a）（）
（2）因为x∈[a+2，a+3]时，函数有意义，所以（a+2）﹣3a＝2﹣2a＞0，所以0＜a＜1，设h（x）＝f﹣1（x）+g（x），则，二次函数u＝x2﹣4ax+3a2的对称轴为x＝2a＜2，
所以u＝x2﹣4ax+3a2在x∈[a+2，a+3]上为增函数，
当x＝a+2时，取得最小值4（1﹣a），当x＝a+3时取得最大值3（3﹣2a）
从而可得在闭区间[a+2，a+3]上的最小值与最大值分别为loga3（3﹣2a），loga4（1﹣a）
当x∈[a+2，a+3]时，恒有|f﹣1（x）+g（x）|≤1成立的充要条件为
解得．
【点睛】
本题主要考查了函数解析式求解，以及反函数和函数恒成立问题的求解，同时考查了分析问题的能力和运算求解的能力，属于中档题．
16．
【分析】
运用对数运算法则,化简方程．
【详解】
由题意，真数大于零，，解得x取值范围
得
，解得或（舍）
故方程的根是x=0
【点睛】
解对数方程时一定先列出对数式成立条件，即真数大于零．一如解分式方程是要注意分母不为零是一样的，解出来的根必须满足方程的成立条件．
17．（1），图像见解析；（2）1029.6元.
【分析】
（1）利用税率与速算扣除数表，根据表格中的范围，写出函数的解析式，进而可画出函数图像；
（2）根据条件求出应纳税所得额，再由的值，根据（1）计算出个税税额的值.
【详解】
解：（1）根据表，可得函数的解析式为
函数图象如图所示.
（2）根据②，小王全年应纳税所得额为
，
将的值代入③，得，
所以，小王应缴纳的综合所得个税税额为1029.6元.
【点睛】
本题考查函数解析式的求法及应用，考查函数性质在生产生活中的实际运用等基础知识，考查运用求解能力和应用意识，是中档题.
18．-3
【分析】
将指数式化为对数式，然后利用对数运算，化简求得所求表达式的值.
【详解】
由,得,.
.
【点睛】
本小题主要考查对数运算，考查运算求解能力，属于基础题.
19．
（1）
（2）存在；（或）
【分析】
（1）由题意，得在上恒成立，参变分离得恒成立，再令新函数，判断函数的单调性，求解最大值，从而求出的取值范围；（2）在（1）的条件下，讨论与两种情况，利用复合函数同增异减的性质求解对应的取值范围，再利用最大值求解参数，并判断是否能取到.
（1）
由题意，在上恒成立，即在恒成立，令，则在上恒成立，令所以函数在在上单调递减，故
则，即的取值范围为.
（2）
要使函数在区间上为增函数，首先在区间上恒有意义，于是由（1）可得，①当时，要使函数在区间上为增函数，
则函数在上恒正且为增函数，
故且，即，此时的最大值为即，满足题意．
②当时，要使函数在区间上为增函数，
则函数在上恒正且为减函数，
故且，即，
此时的最大值为即，满足题意．
综上，存在（或）
【点睛】
一般关于不等式在给定区间上恒成立的问题都可转化为最值问题，参变分离后得恒成立，等价于；恒成立，等价于成立.
20．（1）且；（2）．
【分析】
根据式子有意义，得到不等式组，解得即可；
【详解】
解：(1)
且
(2) ，
．
21．奖励模型能完全符合公司的要求，答案见解析.
【分析】
由题意得模型需满足①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x·25%，依次判断三个模型是否满足上述条件即可.
【详解】
解：由题意，符合公司要求的模型需同时满足：
当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x·25%.
（1）对于y=0.025x，易知满足①，但当x>200时，y>5，不满足公司的要求；
（2）对于y=1.003x，易知满足①，但当x>538时，不满足公司的要求；
（3）对于，易知满足①.
当x∈[10，1000]时，y≤ln1000+1.
下面证明ln1000+1<5.
因为ln1000+1-5=ln1000-4= (ln1000-8)=(ln1000-ln2981)<0，满足②.
再证明lnx+1≤x·25%，即2lnx+4-x≤0.
设F(x)=2lnx+4-x，则F′(x)= -1=<0，x∈[10，1000]，
所以F(x)在[10，1000]上为减函数，
F(x)max=F(10)=2ln10+4-10=2ln10-6=2(ln10-3)<0，满足③.
综上，奖励模型能完全符合公司的要求.
【点睛】
本题主要考查函数的模型应用，属于简单题.
22．（1）答案见详解；（2）答案见详解；（3）答案见详解．
【分析】
（1）根据当底数大于1时,在直线的右侧,底数越大,函数图象越靠近x轴判断即可；
（2）根据可知与关于x轴对称，同理画出的图象即可；
（3）根据（2）中图象直接判断即可．
【详解】
解: （1）当底数大于1时，在直线的右侧，底数越大，函数图象越靠近x轴，所以①对应函数,②对应函数,③对应函数.
（2）
（3）从（2）的图中发现的图象分别与的图象关于x轴对称．
23．（1）奇函数，证明见解析；（2）①单调递减，②
【分析】
(1)根据函数奇偶性的定义，即可证出．
(2) ①求出，由复合函数的单调性法则可知，在上单调递减；②根据在上单调递减，可以得到，然后转化得出：和是方程的两根，再将其转化为直线与函数的图象在
上有两个交点，观察图象，可求出的取值范围．
【详解】
是奇函数；证明如下：
由解得或,
所以的定义域为，关于原点对称．
,
故为奇函数．
，①在上单调递减．
②假设存在，使在的值域为．
由知，在上单调递减．
则有,．
所以,是方程在上的两根，
整理得在有2个不等根和．
即 ，令，则，，
即直线与函数的图象在上有两个交点，
所以， ．
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性的判断、复合函数的单调性的判断以及函数、方程与图象之间的关系应用，意在考查学生的转化能力与推理能力．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页