人教A版（2019）必修第一册逆袭之路第五章5.7三角函数的应用（word版含解析）

人教A版（2019）必修第一册逆袭之路第五章5.7三角函数的应用
一、单选题
1．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式为（　　）
A．f（x）＝sin（x）﹣1 B．f（x）＝2sin（x）﹣1
C．f（x）＝2sin（x）﹣1 D．f（x）＝2sin（2x）+1
2．已知函数f（x）=sin（2x+），其中为实数，若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，且f（）>0，则f（x）的单调递减区间是
A．[kπ，kπ+]（k∈Z） B．[kπ–，kπ+]（k∈Z）
C．[kπ+，kπ+]（k∈Z） D．[kπ–，kπ]（k∈Z）
3．已知函数f（x）sincos（ω＞0），如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f（x0﹣2020）≤f（x）≤f（x0）成立，则ω的最大值为（ ）
A．2020 B．4040 C．1010 D．
4．海水受日月的引力，在一定的时候发生潮涨潮落，船只一般涨潮时进港卸货，落潮时出港航行，某船吃水深度（船底与水面距离）为米，安全间隙（船底与海底距离）为米，该船在开始卸货，吃水深度以米/小时的速度减少，该港口某季节每天几个时刻的水深如下表所示，若选择（）拟合该港口水深与时间的函数关系，则该船必须停止卸货驶离港口的时间大概控制在（要考虑船只驶出港口需要一定时间）
A．至 B．至 C．至 D．至
5．若点在函数的图象上，且．给出关于的如下命题：的最小正周期是；的对称轴为；。其中真命题的个数是 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2018）+f（2019）的值为_____．
7．已知函数的图象与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和，则函数的解析式___________.
8．设函数，其中，若，，且的最小正周期大于，则的解析式为______
9．函数的最小正周期为________．
10．将函数的图像向左平移个单位后所得函数图像关于原点中心对称，则_________．
三、解答题
11．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象过点P ，图象与P点最近的一个最高点坐标为 .
(1)求函数解析式；
(2)求函数的最大值，并写出相应的x的值；
(3)求使y≤0时，x的取值范围．
12．已知函数的部分图像如图所示，若函数 的图像与函数的图像关于直线对称。
(1)求函数的解析式；
(2)若关于的方程在区间
上有解，求实数的取值范围；
(3)令，，求函数的值域.
13．已知函数(，，)的部分图象如图所示，其中最高点以及与x轴的一个交点的坐标分别为，.
（1）求的解析式；
（2）设M，N为函数的图象与的图象的两个交点(点M在点N左侧)，且，求t的值.
14．如图，单位圆与轴正半轴相交于点，圆上的动点从点出发沿逆时针旋转一周回到点，设()，的面积为(当三点共线时，)，与的函数关系如图所示的程序框图.
(1)写出程序框图中①②处的函数关系式；
(2)若输出的值为，求点的坐标.
15．已知向量，，其中，若函数的最小正周期为.
（1）求的值；
（2）在△ABC中，若，，，求的值.
16．五点法作函数的图象时，所填的部分数据如下：
（1）根据表格提供数据求函数的解析式；
（2）当，求函数的单调减区间.
17．如图，某市一学校位于该市火车站北偏东方向，且，已知是经过火车站的两条互相垂直的笔直公路，CE,DF及圆弧都是学校道路，其中，，以学校为圆心，半径为的四分之一圆弧分别与相切于点.当地政府欲投资开发区域发展经济，其中分别在公路上，且与圆弧相切，设，的面积为.
（1）求关于的函数解析式；
（2）当为何值时，面积为最小，政府投资最低？
18．已知函数.任取，若函数在区间上的最大值为，最小值为，记.
（1）求函数的最小正周期及对称轴方程；
（2）当时，求函数的解析式；
（3）设函数，，其中实数为参数，且满足关于的不等式有解.若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围.
19．已知函数.
（1）若，求；
（2）求的周期，单调递增区间.
20．在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
21．借助计算器或计算机，用二分法求方程的近似解（精确到）．
22．已知函数的图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数设，求函数上的最大值.
23．如图为一个观览车示意图.该观览车圆半径为米，圆上最低点与地面距离为米，秒转动一圈，图中与地面垂直.设从开始转动，逆时针转动角到，设点与地面距离为.
（1）当时，求的值；
（2）若经过秒到达，求与的函数解析式.
24．已知椭圆，A是椭圆的右顶点，B是椭圆的上顶点，直线与椭圆交于M、N两点，且M点位于第一象限．
（1）若，证明：直线和的斜率之积为定值；
（2）若，求四边形的面积的最大值．
25．函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调增区间.
26．张军自主创业，在网上经营一家干果店，销售的干果中有松子、开心果、腰果、核桃价格依次为120元/千克、80元/千克、70元/千克、40元千克，为增加销量，张军对这四种干果进行促销：一次购买干果的总价达到150元及以上，顾客就少付元．每笔订单顾客网上支付成功后，张军会得到支付款的80%．
（1）若顾客一次购买松子和腰果各1千克，需要支付180元，试求x的值．
（2）在促销活动中，为保证张军每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，试求x的最大值．
27．如图是函数的一段图像.
（1）求此函数解析式；
（2）分析一下该函数图像可以由函数的图像经过怎样的变换得到.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．D
【分析】
由已知列式求得的值，再由周期求得的值，利用五点作图的第二个点求得的值，即可得到答案.
【详解】
由题意，根据三角函数的图象，可得，解得，
又由，解得，则，
又由五点作图的第二个点可得：，解得，
所以函数的解析式为，故选D.
【点睛】
本题主要考查了由的部分图象求解函数的解析式，其中解答中熟记三角函数的五点作图法，以及三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
2．C
【分析】
由题意可得2φ＝kπ，k∈z，即 φ＝kπ，k∈z①，再由f（）＝sin（φ）＞0 ②，求得φ＝0，可得f（x）＝sin2x．令2kπ2x≤2kπ，k∈z，求得x的范围，可得函数的减区间．
【详解】
由题意可得函数f（x）=sin（2x+φ）的图象关于直线x=对称，故有2×+φ=kπ+，k∈Z，即φ=kπ，k∈Z①．又f（）=sin（+φ）>0②，由①②可得φ=2kπ，k∈Z，
∴f（x）=sin2x．令2kπ+≤2x≤2kπ+，k∈Z，解得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，
故函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，
故选:C．
【点睛】
本题主要考查正弦函数的图象性质，考查对称性及单调性，准确计算是关键，属于中档题．
3．A
【分析】
利用辅助角公式对函数化简可得f(x)sincos2sin()，由对任意的实数x，都有f(x0﹣2020)≤ f(x)≤ f(x0)成立可得，两端点值分别为函数的最小值和最大值，要使得ω 最大，只要周期最大，当2020，周期最大，代入即可求得解.
【详解】
利用辅助角公式对函数化解可得f (x)sincos2sin()，
由对任意的实数x，对任意的实数x，都有f(x0﹣2020)≤ f(x)≤ f(x0)成立；
可得f(x0)，f(x0-2020)，分别为函数的最大值和最小值，
要使得ω最大，只要周期最大，
当2020即T=4040=2ω时，周期最大，此时ω=2020.
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角函数辅助角公式的应用及三角函数的性质的应用，解题的关键是根据条件求得函数的最小值和最大值，属于中档题．
4．C
【解析】
由题意得，函数的周期为，振幅，所以，
又因为达到最大值，
所以由，可得，
所以，所以函数的表达式为，
令，解得，所以在可安全离港，故选C.
5．C
【分析】
因为在函数的图象上，可求得，根据，，可求得，即可求得，逐项判断命题，即可求得答案.
【详解】
在函数的图象上
即 ，
又
，
，
对于命题，
命题为假命题；
对于命题，对称轴为，
命题为真命题；
对于命题，，
命题为真命题.
故正确命题个数为：
故选：C.
【点睛】
本题解题关键是掌握正弦函数的图象特征和三角函数的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
6．2+2
【分析】
先由图像求得余弦型函数的解析式,然后再由函数的周期性化简,进而求解.
【详解】
由图象可得:A＝2,周期T=4(4-2)=8,∴ω,由图象过点(2,2),
即,得,则
由T=8,则
,
∵,
则
2sin2sin2sin2+2.
故答案为:.
【点睛】
本题考查了数形结合求余弦型函数解析式,考查了余弦型函数周期性的应用,属于一般难度的题.
7．
【分析】
由三角函数图像与性质求出，，，，即得的解析式.
【详解】
由图像可知且，故，由知，
又由轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标可知，，
故，故.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了三角函数的图像与解析式，属于基础题.
8．
【分析】
根据最小正周期大于,可得T的取值范围,结合两个定点的特征,即可求得周期.将一个最大值的坐标代入,即可求得的值,进而得函数的解析式.
【详解】
因为的最小正周期大于
所以,即
因为，
所以
则
由周期公式可得
所以
因为,代入可得
即
因为
所以当时,解得
综上可知,函数的解析式为
故答案为:
【点睛】
本题考查了三角函数的周期性及函数解析式的求法,求的值时选择代入最高或者最低点,属于基础题.
9．2
【解析】
故函数的最小正周期
即答案为
10．
【分析】
先根据函数平移变换得平移后的解析式为，再根据其图象关于原点中心对称得，进而计算得.
【详解】
解：根据题意得函数的图像向左平移个单位后得到的函数解析式为：，
由函数图象关于原点中心对称，
故，即
所以.
故答案为：
【点睛】
三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.
函数是奇函数 ；
函数是偶函数；
函数是奇函数；
函数是偶函数.
11．（1） （2） （3）
【解析】
试题分析：（1）由最高点可得A＝5，由图象与P点最近的距离可得四分之一个周期，解得ω，最后根据最大值求φ（2）由正弦函数性质确定最大值取法: ,解方程可得x的值；（3）利用正弦函数性质解三角不等式可得2kπ－π≤2x－ ≤2kπ，即得x的取值范围．
试题解析：解：(1)由题意知＝－＝，∴T＝π.
∴ω＝＝2，由ω·＋φ＝0，得φ＝－，又A＝5，
∴y＝5sin.
(2)函数的最大值为5，此时2x－＝2kπ＋ (k∈Z)．∴x＝kπ＋ (k∈Z)
(3)∵5sin≤0，
∴2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)．
∴kπ－≤x≤kπ＋ (k∈Z)．
点睛：已知函数的图象求解析式
(1).
(2)由函数的周期求
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求
12．（1）；（2）；（3）.
【解析】
试题分析：
(1)利用题意分别求得 可得函数的解析式为；
(2)利用题意结合二次型复合函数的性质可得实数的取值范围是；
(3)整理函数的解析式，结合角的范围可得函数的值域为.
试题解析：
(1)由图可知，，
，，,,
由于，故即.
。
(2)，，即.
又，，
①当时，；
②当时，；
③当时，;
综上，实数的取值范围是
(3) ，
。
又，，，
即，
函数函数的值域为。
点睛：已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
13．（1）；（2）.
【分析】
（1）由周期求出，取点求出，进而得出的解析式；
（2）设，，解方程，得出，再由求出t的值.
【详解】
解：（1）由题意易知，周期，所以，所以.
将最高点代入中可得
得，即.
又因为，所以，所以.
（2）设，，则
所以
所以，所以，即
所以.
【点睛】
方法点睛：由图象求函数的解析式时，有如下步骤：
1、由最值得出的值；
2、由周期结合得出；
3、取点求出.
14．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
(1)通过实际问题得到与的函数关系为分段函数，从而判断出程序框填的结果.
(2)分类讨论时和时两种情形下的点Q坐标，从而得到答案.
【详解】
(1)当时，，
当时，
函数的解析式为，
故程序框图中①②处的函数关系式分别是，
(2)时，令，即，或，点的坐标为或
时，令，即，或，点的坐标为或
故点的坐标为
【点睛】
本题主要考查算法框图，三角函数的运用，意在考查学生的数形结合思想，分析实际问题的能力.
15．（1）1；（2）
【分析】
（1），利用三角函数的周期性可求ω的值．
（2）根据f（B）的值，求得B，由正弦定理求得A，最后求得C，利用向量的数量积公式求得答案．
【详解】
（1）
∵的最小正周期为，∴，∴.
（2）设△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c．
∵，∴，即，解得．
∵，∴，∵，∴，∴，，
∵，∴，，∴，∴.
【点睛】
本题主要考查了三角函数图象与性质，向量的数量积运算，三角函数恒等变换的应用．综合考查了学生分析问题和运算能力．
16．（1）；（2）.
【解析】
分析：（1）由表中的最大值和最小值可得的值，通过，可求，根据对称中心点坐标可知，图象过代入求解，可得函数的解析式；（2）结合函数图象：当时，函数的减区间是.
详解：由表中的最大值为3，最小值为﹣1，可得A=，
由=T，则T=2π．∴，
∵y=2sin（ωx+φ）的最大值是2，故得B=3﹣2=1．
此时函数f（x）=2sin（x+φ）+1．
∵图象过（﹣）带入可得：﹣1=2sin（+φ）+1，
可得：φ=﹣，（k∈Z）．
解得：φ=，∵φ，∴φ=﹣．
故得函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（x﹣）+1 .
（2）结合函数图象：当时，函数的减区间是.
点睛： 已知三角函数的性质求解析式的步骤：利用最值求出 ,利用最值点或零点的间隔先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点.
17．（1）；（2）.
【分析】
（1）以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则，在中，设，又，故，，进而表示直线的方程，由直线与圆相切构建关系化简整理得，即可表示OA,OB，最后由三角形面积公式表示面积即可；
（2）令，则，由辅助角公式和三角函数值域可求得t的取值范围，进而对原面积的函数用含t的表达式换元，再令进行换元，并构建新的函数，由二次函数性质即可求得最小值.
【详解】
解：（1）以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则，在中，设，又，故，.
所以直线的方程为，即.
因为直线与圆相切，
所以.
因为点在直线的上方，
所以，
所以式可化为，解得.
所以，.
所以面积为.
（2）令，则，
且，
所以，.
令，，所以在上单调递减.
所以，当，即时，取得最大值，取最小值.
答：当时，面积为最小，政府投资最低.
【点睛】
本题考查三角函数的实际应用，应优先结合实际建立合适的数学模型，再按模型求最值，属于难题.
18．（1）最小正周期为，对称轴方程为；（2）；（3）.
【分析】
（1）由正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期，解方程，可得出函数的对称轴方程；
（2）对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，求得、，即可求得的表达式；
（3）利用已知条件求得，分析可知函数在的值域是函数在的值域的子集，分、两种情况讨论，将问题转化为，综合可得出实数的取值范围.
【详解】
（1）函数的最小正周期为，
解方程，可得，
故函数的对称轴方程为；
（2）分以下几种情况讨论：
①当时，，，
当时，，
此时函数在区间上单调递减，在上单调递增，
所以，，，
则；
②当时，，，
当时，，
此时函数在区间上单调递减，在上单调递增，
所以，，，
则；
③当时，，，
当时，，
此时函数在上单调递增，则，，
则.
综上所述，；
（3）因为函数的最小正周期为，所以，，，
则，
所以，函数是以为周期的周期函数，研究函数的性质，只需研究函数在时的性质即可.
仿照（2）可得，
当时，；
当时，；
当时，.
所以，当时，，同理可知当时，.
作出函数的图象如下图所示：
所以，函数的值域为，
因为，则，所以，，
对任意的，存在，使得成立，
即函数在的值域是函数在的值域的子集，
因为.
当时，因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
因为函数在上单调递增，
所以，，所以，，解得；
当时，因为函数在上单调递减，所以，，
，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，所以，，即，
因为，则，令，则，
作出函数与函数的图象如下图所示：
有图可知，当时，；当时，.
此时，，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】
结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，，，.
（1）若，，有成立，则；
（2）若，，有成立，则；
（3）若，，有成立，则；
（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集.
19．（1）；（2）见解析
【分析】
（1）分子分母同除1，利用，把分母变形，然后分子分母同除 ，利用齐次式求，（2）利用辅助角公式把f（x）化为的形式，再利用正余弦函数的单调性求单调区间.
【详解】
（1）
，
（2）
周期为
由
可得
所以递增区间.
【点睛】
本题考查三角函数齐次式的应用，三角函数辅助角公式以及求单调区间，解题关键是转化为齐次式，属于基础题.
20．12小时后该城市开始受到台风的侵袭
【详解】
设在t时刻台风中心位于点Q，此时|OP|=300，|PQ|=20t，
台风侵袭范围的圆形区域半径为10t+60，
由，可知，
cos∠OPQ=cos(θ-45o)= cosθcos45o+sinθsin45o=
在 △OPQ中，由余弦定理，得
=
=
若城市O受到台风的侵袭，则有|OQ|≤r(t)，即
，
整理，得，解得12≤t≤24,
答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.
21．0.5.
【分析】
先构造函数，求函数的定义域，根据函数的单调性可以确定函数零点的个数，取特殊值确定作为计算的初始区间，然后列表运用二分法求方程的近似解的方法，结合要求精确到，求出方程的近似解.
【详解】
令，函数的定义域为．
因为函数在上是增函数，所以至多有一个零点．
又因为，，所以方程在内有唯一一个实数解．
用二分法逐次计算，列表如下：
区间 中点的值 中点函数值（或近似值）
由于区间内的所有值，若精确到0.1，都是0.5，所以0.5是方程精确到0.1的近似解．
【点睛】
本题考查了二分法的应用. 本题中利用函数的单调性确定了初始区间，也可以在平面直角坐标系中画出函数与函数的图象，根据图象确定初始区间．.
22．（1）；（2）.
【分析】
（1）根据图像可得振幅，最小正周期，则.
由，又，则易求得，即可得解.
（2）利用辅助角公式可得：
，再根据定义域即可得解.
【详解】
（1）由图象可得，
最小正周期，则.
由，
又，则易求得，
所以；
（2）由题意知，
所以
，
因为，所以，
所以.
【点睛】
本题考查了利用三角函数图像求解析式，考查了辅助角公式，在解题过程中注意各个量的对应关系，以及相关量的取值范围，整体难度不大，属于中档题.
23．
（1）；
（2）.
【分析】
（1）以圆心为原点，建立平面直角坐标系，利用三角函数的定义写出点的坐标，再代入进行求值；
（2）根据点在圆上运动的周期求出角速度，再写出与的函数解析式即可.
（1）
解：以圆心为原点，建立平面直角坐标系（如图所示），
则以为始边、为终边的角为，
故点的坐标为，
所以，
当时，
（米）.
（2）
解：点在圆上转动的周期为60秒，
所以角速度为，
故秒转过的弧度数为，
所以与的函数解析式为：
（）.
24．（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）设，则，利用两点的斜率公式以及点在椭圆上可得定值；
（2）联立直线与椭圆方程，求出到的距离和到的距离，利用根与系数的关系可得面积的最大值．
【详解】
（1）证明：设，则，
∵，，∴，，
∵在椭圆上，∴
∴为定值．
（2）设，依题意：，点在第一象限，∴．
联立：得：，
∴，，
设到的距离为，到的距离为，
∴，，
∴．
又∵
（当时取等号），
∴．
∴四边形的面积的最大值为
25．（1）；（2）
【分析】
（1）根据三角函数的图像可得以及周期，根据周期公式求出，再由求出即可求解.
（2）根据正弦函数的单调递增区间，整体代入解不等式即可.
【详解】
（1）由三角函数的图像可得，，
由，解得，
又，即，
所以，所以，
解得，
因为，所以，
所以.
（2）由（1），
则，
解得，
所以函数的单调增区间为.
【点睛】
本题考查了由三角函数的图像求解析式、求三角函数的单调区间，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
26．（1）10；（2）18．
【分析】
（1）根据题意求出总价后可得优惠价；
（2）设是总价，据题意，在时，列出不等式，解之可得，注意分类讨论．
【详解】
（1）顾客一次购买松子和腰果各1千克，总价为元，支付元（元）；
（2）设订单总价为，若，没有优惠，符合题意，
若，则，，而，所以，又，所以，最大值为．
27．（1）；（2）变换情况见解析.
【分析】
（1）由求，由求，再代入点求，即可求得解析式；
（2）利用三角函数的图像变换可得解.
【详解】
（1）由图像知，解得，
由，，.
当时，，，又，，
所以所求函数解析式为.
（2）把函数图像上的所有点，向左平移个单位，得到图像，
然后把函数图像上的所有点，纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，得到的图像，
再把函数图像上的所有点，横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到的图像，
最后把函数图像上的所有点，向下平移1个单位，得到的图像.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页