人教A版（2019）必修第一册新高考名师导学第四章4．5函数的应用（二）（word版含解析）

人教A版（2019）必修第一册新高考名师导学第四章4．5函数的应用（二）
一、单选题
1．（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
2．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是______.（填写上所有符合条件的图号）
三、解答题
3．已知函数.
（1）完成表一中对应的值，并在坐标系中用描点法作出函数的图象：（表一）
0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5
0.08 1.82 2.58
（2）根据你所作图象判断函数的单调性，并用定义证明；
（3）说明方程的根在区间存在的理由，并从表二中求使方程的根的近似值达到精确度为0.01时运算次数的最小值并求此时方程的根的近似值，且说明理由.
（表二）二分法的结果
运算次数的值 左端点 右端点
-0.537 0.6 0.75 0.08
-0.217 0.675 0.75 0.08
-0.064 0.7125 0.75 0.08
-0.064 0.7125 0.73125 0.011
-0.03 0.721875 0.73125 0.011
-0.01 0.7265625 0.73125 0.011
4．已知为正数，且满足，求证：．
5．计算（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.
6．借助计算工具，求下列方程的近似解（精确到0.01）：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
7．已知抛物线（a，c是常数，且a≠0），过点（0，2）.
（1）求c的值，并通过计算说明点是否也在该抛物线上；
（2）若该抛物线与直线y＝5只有一个交点，求a的值；
（3）若当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，求a的取值范围.
8．设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过点作的平行线交于点.
（1）求的值；
（2）设点的轨迹为曲线，直线与曲线相交于，两点，与直线相交于点，试问在椭圆上是否存在一定点，使得，，成等差数列（其中，，分别指直线，，的斜率）.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
9．设函数，且，求证：函数在内至少有一个零点.
10．设函数.
（1）证明：在区间（-1,0）内有一个零点；
（2）借助计算器，求出在区间（-1,0）内零点的近似解.（精确到0.1）
11．（1）设非空集合，，且，且，若，求实数a的取值范围；
（2）若不等式，当时恒成立，求实数a的取值范围.
12．已知函数．
（1）若关于x的方程在区间上有两个不同的解，．
①求a的取值范围；
②若，求的取值范围；
（2）设函数在区间上的最小值，求的表达式．
13．如图，四棱锥中，，//，，为正三角形.且.
（1）证明：直线平面；
（2）若点到底面的距离为，是线段上一点，且//平面，求四面体的体积.
14．已知二次函数，且，．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数，，求函数的最小值．
15．函数，
(1)求函数的定义域；
(2)求函数的零点；
(3)若函数的最小值为，求的值
16．在中，内角，，所对的边长分别为，，，且满足，.
（1）求角的大小；
（2）求的值.
17．如图，三个校区分别位于扇形OAB的三个顶点上，点Q是弧AB的中点，现欲在线段OQ上找一处开挖工作坑P（不与点O，Q重合），为小区铺设三条地下电缆管线PO，PA，PB，已知OA＝2千米，∠AOB＝，记∠APQ＝θrad，地下电缆管线的总长度为y千米．
（1）将y表示成θ的函数，并写出θ的范围；
（2）请确定工作坑P的位置，使地下电缆管线的总长度最小．
18．某公司在2018年承包了一个工程项目，经统计发现该公司在这项工程项目上的月利润与月份近似的满足某一函数关系.其中2月到5月所获利润统计如下表：
月份（月）
所获利润（亿元）
（1）已知该公司的月利润与月份近似满足下列中的某一个函数模型：①；②；③.请以表中该公司这四个月的利润与月份的数据为依据给出你的选择（需要说明选择该模型的理由），并据此估计该公司2018年8月份在这项工程项目中获得的利润；
（2）对（1）中选择的函数模型，若该公司在2018年承包项目的月成本符合函数模型（单位：亿元），求该公司2018年承包的这项工程项目月成本的最大值及相应的月份.
19．为确定传染病的感染者，医学上可采用“二分检测方案”．
假设待检测的总人数是（为正整数）．将这个人的样本混合在一起做第轮检测（检测次），如果检测结果是阴性，可确定这些人都未感染；如果检测结果是阳性，可确定其中有感染者，则将这些人平均分成两组，每组个人的样本混合在一起做第轮检测，每组检测次．依此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的组，而将每个结果为阳性的组再平均分成两组，做下一轮检测，直至确定所有的感染者．
例如，当待检测的总人数为，且标记为“”的人是唯一感染者时，“二分检测方案”可用下图表示．从图中可以看出，需要经过轮共次检测后，才能确定标记为“”的人是唯一感染者．
（1）写出的值；
（2）若待检测的总人数为，采用“二分检测方案”，经过轮共次检测后确定了所有的感染者，写出感染者人数的所有可能值；
（3）若待检测的总人数为，且其中不超过人感染，写出采用“二分检测方案”所需总检测次数的最大值．
20．利用计算器，求方程的近似解（精确到0.1）.
21．如图所示，在矩形中，已知，（，在、、、上分别截取、、、都等于，当为何值时，四边形的面积最大？求出这个最大面积．
22．已知直角三角形的周长为，试用解析式将该直角三角形的面积S表示成关于其一条直角边长x的函数.
23．若函数自变量的取值区间为时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“罗尔区间”.已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
（1）求的解析式；
（2）求函数在内的“罗尔区间”；
（3）若以函数在定义域所有“罗尔区间”上的图像作为函数的图像，是否存在实数，使集合恰含有2个元素.若存在，求出实数的取值集合；若不存在，说明理由.
试卷第页，共页
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参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
根据根式与指数幂的互化，以及指数幂的运算可得出结果.
【详解】
由题意可得.
故选B.
【点睛】
本题考查指数幂的运算，同时也考查了根式与分数指数幂的互化，考查计算能力，属于基础题.
2．①③
【解析】
根据二分法所求零点的特点，结合图象可确定结果.
【详解】
用二分法只能求“变号零点”，①③中的函数零点不是“变号零点”，故不能用二分法求
故答案为：①③
【点睛】
本题考查二分法的应用问题，关键是明确二分法只能用来求“变号零点”，属于基础题.
3．（1）见解析 （2）增函数，证明见解析 （3），方程的根的近似值为，理由见解析
【解析】
【分析】
(1)分别代入表中的数据进行求解再描点即可.
(2)由图像直观判断即可.再设区间内,判断的正负进行证明即可.
(3)根据零点存在性定理证明即可证明程的根在区间存在.再根据图表判断当根的近似值与的差的绝对值小于时的最小值即可.
【详解】
解：（1）
0.5 0.75 1 1.25 1.5
0.08 1 1.82 2.58
（2）函数在定义域内为增函数,证明：设,则,,因为
即所以函数在定义域内为增函数.
（3）是图象是一条连续不断的曲线,
且,故方程的根在区间存在.
当时,所以当时方程的根的近似值达不到精确度为0.01,
当时,所以当时方程的根的近似值达到精确度为0.01,所以.
方程的根的近似值为.
【点睛】
本题主要考查了函数单调性的定义法证明,同时也考查了二分法求近似根的方法与辨析.需要根据零点存在定理证明函数在区间上存在零点.属于中档题.
4．见解析
【解析】
【分析】
利用柯西不等式，即可，即可作出证明.
【详解】
由柯西不等式，可得
．
【点睛】
本题主要考查了柯西不等式的证明方法，其中解答中熟记柯西不等式，合理证明是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
5．（1）；（2）25；（3）；（4）；（5）.
【解析】
【分析】
根据指数的运算法则计算即可.
【详解】
(1).
(2)0.00=(0.23=0.2-2==52=25.
(3).
(4)(2a+1)0=
(5)==.
【点睛】
本题主要考查了指数幂的运算法则、性质，考查了运算能力，属于中档题.
6．（1），；（2）2.00，；（3）；（4）.
【解析】
【分析】
根据各项方程构造函数，结合零点存在性定理，应用二分法求近似解即可.
【详解】
（1）令，
1、，，
由，而，结合，
由，而，结合，
由，而，结合，
由，而，故近似解约为.
2、，，
由，而，结合，
由，而，结合，
由，而，故近似解约为.
（2）令，显然，又，，
由，而，结合，
由，而，故近似解约为.
（3）令，，，
由，而，结合，
由，而，结合，
由，而，故近似解约为.
（4）令，
，，
由，而，结合，
由，而，故近似解约为.
由为偶函数，
∴另一个零点近似解为.
7．（1），在；（2）或；（3）.
【解析】
（1）根据抛物线（a，c是常数，且a≠0），过点（0，2），可以得到c的值，然后将x＝2代入抛物线解析式，即可得到y的值，从而可以判断点（2，4）是否也在该抛物线上；
（2）根据该抛物线与直线y＝5只有一个交点，可知该抛物线顶点的纵坐标是5，从而可以求得a的值；
（3）根据当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，对抛物线的开口方向分类讨论，确定对称轴与区间的端点关系，建立关于可知的不等式，求解即可得出结论.
【详解】
（1）∵抛物线（a，c是常数，且a≠0），过点（0，2），
∴c＝2，∴抛物线，
当x＝2时，，
即点在该抛物线上；
（2）∵抛物线，该抛物线与直线y＝5只有一个交点，
∴＝5，整理得
解得，a＝，
即a的值是或；
（3）∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，
抛物线对称轴方程为，
∴当a＜0，，解得；
当a＞0时，，解得，
即a的取值范围是或.
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.
8．(1) (2)见证明
【解析】
【分析】
（1）由且，可得，进而得到
，再由半径，即可求解；
（2）由（1）知得的方程，设直线的方程为，代入椭圆的方程，利用根与系数的关系和，，成等差数列，求得
，由对任意的该等式恒成立，求得，即可得到答案.
【详解】
（1）因为圆的圆心为，所以且，
所以，所以，
所以，
又因为圆的半径为8，即，
所以.
（2）由（1）知，曲线是以，为焦点的椭圆，且长轴长为8，
所以曲线的方程为，
设直线的方程为，
代入椭圆化简得，
设，，，则，，
所以
，
因为，，成等差数列，所以，
因为，所以，
化简得，
对任意的该等式恒成立，所以，
所以存在点，使得，，成等差数列.
【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义与标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力.
9．见解析
【解析】
由可得到，由此化简得到，确定，可知与中至少有一个为正；利用零点存在定理可证得结论.
【详解】
又
与中至少有一个为正
又 或
∴函数在内至少有一个零点
【点睛】
本题考查零点存在定理的应用，关键是能够通过确定区间端点处的函数值的正负，从而利用零点存在定理确定是否存在零点.
10．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）令，转化为函数的交点问题，利用数形结合法证明；
（2）利用函数零点存在定理，根据（1）的建立求解.
【详解】
（1）令，
则，
令，
在同一坐标系中作出函数的图象，如图所示：
因为，即，
所以在区间（-1,0）内有零点，
再由图象知在区间（-1,0）内有一个零点.
（2）由；
由；
由；
由，
所以.
11．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由于a为参变数，所以定义域范围是变动的，的图像在上，根据有三种不同的位置情况，故讨论时必须分类求解；
（2）分别作出函数及的图像，利用图像的形象性 直观性来分析解决问题.
【详解】
解：（1）∵函数在上是单调递增函数，∴，即.
作出的图像，该函数定义域右端点有三种不同的位置情况，如图所示：
①当时，，即，
要使，需，得，与矛盾.
②当时，，即，
要使，必须且只需，解得.
③当时，，即.
要使，必须且只需，解得.
综上所述，a的取值范围是.
（2）要使不等式在时恒成立，即函数的图像在内恒在函数图像的上方，而的图像过点.由图可知，，
显然这里，
∴函数在上是减函数，
又，∴，即，故所求的a的取值范围为.
12．（1）①；②；（2）
【解析】
（1）①求得的分段函数作出函数的图象，求出最值，即可得到所求的范围；②由①消去，可得；（2）求得，对讨论，当时，当时，当时，当时，当时，讨论单调性，可得，即可得到所求的解析式.
【详解】
解：（1）①因为，即，
则，
作出函数的图象如图，
的最小值为1，当时，有最大值，
又因为关于的方程在区间有两个不同的解，，
故的取值范围是；
②因为，所以，，且有，
即有；
（2）由题得，
当时，有，则在[0，2]上为减函数，
则；
当时，有，在上为减函数，在上为增函数，
此时；
当时，有，在上为减函数，在上为增函数，
此时，
当时，有，在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，
此时，
当时，有，则在上为增函数，
则，
综上.
【点睛】
本题考查分段函数的运用：求取值范围和最值，注意运用绝对值的意义和分类讨论数形结合的思想方法，同时考查函数的单调性的运用，考查化简整理的运算能力，属于难题.
13．（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）要证直线平面，转证，即可；
（2）由//平面可知，//，从而可得点到平面的距离，结合可得结果.
【详解】
（1）证明：，且，，又为正三角形，
所以，又，，所以，
又，//，，，
所以平面.
（2）如图，连接，交于点，因为//，
且，所以，连接，
因为//平面，所以//，则，
又因为点到平面的距离为，
所以点到平面的距离为，
所以，
即四面体的体积为.
【点睛】
本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及等积法求体积．
14．(1)；
(2).
【解析】
【分析】
(1)由给定条件列式求出b，c即可得解；
(2)求出二次函数，再分类讨论求出在上的最小值即可.
(1)
由，则，又，解得，
∴函数的解析式为.
(2)
由(1)知，， 其对称轴，而，
当，即时，在上单调递增，，
当，即时，在上单调递减，，
当时，，
∴.
15．(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用对数型复合函数的定义域求解即可；
（2）根据零点的定义结合对数的基本运算即可求解；
（3）利用对数函数的单调性即可求解.
(1)
解：
要使函数有意义，则，解得：
所以函数的定义域为：
(2)
解：
令，得：
即
解得：
因为
所以函数的零点为.
(3)
解：
且函数的最小值为
即，得
即.
16．（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据正弦定理和余弦定理求出角的大小；
（2）根据正弦定理求出的值，再通过判断，利用同角的三角函数之间的关系求出，最后求出的值，最后利用二角差的正弦公式求出的值.
【详解】
解析：（1）由正弦定理得，∴，
又由余弦定理有，
又，∴.
（2）由正弦定理有，
∴，由知，从而，
∴，∴，
∴，
，
∴.
【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，考查了二角差的正弦公式，考查了同角的三角函数关系式，考查了数学运算能力.
17．（1）（2）P与O的距离为时，地下电缆管线的总长度最小
【解析】
【分析】
（1）首先根据Q为弧AB的中点，得到知PA＝PB，∠AOP＝∠BOP＝，利用正弦定理得到，根据OA＝2，得到PA＝，OP＝，从而得到y＝PA+PB+OP＝2PA+OP＝＝，根据题意确定出；
（2）对函数求导，令导数等于零，求得，确定出函数的单调区间，从而求得函数的最值.
【详解】
（1）因为Q为弧AB的中点，由对称性，知PA＝PB，∠AOP＝∠BOP＝，
又∠APO＝，∠OAP＝，
由正弦定理，得：，又OA＝2，
所以，PA＝，OP＝，
所以，y＝PA+PB+OP＝2PA+OP＝＝，
∠APQ＞∠AOP，所以，，∠OAQ＝∠OQA＝，
所以，；
（2）令，
，得：，
在上递减，在上递增
所以，当，即OP＝时，有唯一的极小值，
即是最小值：＝2，
答：当工作坑P与O的距离为时，地下电缆管线的总长度最小．
【点睛】
该题考查的是应用题，涉及到的知识点有圆的相关性质，正弦定理，应用导数研究函数的最值问题，属于较难题目.
18．（1）8月份所获利润约为亿元；（2）月成本的最大值约为亿元，相应的月份为2月
【解析】
【分析】
（1）由表中的数据知利润有增有减不单调可知模型①适合，然后将表中数据代入可得函数解析式，再将x=8代入可得结果；（2）由二次函数图像的性质可得最值.
【详解】
（1）易知.
因为，为单调函数，由所给数据知，满足条件的函数不单调，所以选取进行描述.
将表中三组数据代入，得到.
解方程组，得.
所以该公司月利润与月份近似满足的函数为，
，.
当时，得（亿元）.
所以估计8月份所获利润约为亿元.
（2） .
所以月成本的最大值约为亿元，相应的月份为2月.
【点睛】
本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数模型的建立，考查求函数最值问题.
19．（1）；（2）感染者人数可能的取值为，，；（3）．
【解析】
【分析】
（1）由图可计算得到的取值；
（2）当经过轮共次检测后确定所有感染者，只需第轮对两组都进行检查，由此所有可能的结果；
（3）当所需检测次数最大时，需有名感染者，并在第轮检测时分居两组当中，从而将问题转化为待检测人数为的组，每组个感染者，共需的检测次数，由此可计算求得结果.
【详解】
（1）由题意知：第轮需检测次；第轮需检测次；第轮需检测次；第轮需检测次；；
（2）由（1）可知：若只有个感染者，则只需次检测即可；
经过轮共次检测查出所有感染者，比只有个感染者多次检测，则只需第轮时，对两组都都进行检查，即对最后个人进行检查，可能结果如下图所示：
感染者人数可能的取值为，，.
（3）若没有感染者，则只需次检测即可；
若只有个感染者，则只需次检测即可；
若有个感染者，若要检测次数最多，则第轮检测时，个感染者不位于同一组中；
此时相当于两个待检测人数均为的组，每组个感染者，此时每组需要次检测；此时两组共需次检测；
若有个感染者，且检测次数最多，共需次检测.
综上所述：所需总检测次数的最大值为.
20．0.7
【解析】
【分析】
作出函数的函数图象，确认只有一个交点，且交点横坐标，即方程有唯一解，进而利用二分法即可求出近似解.
【详解】
作出函数的函数图象，如图：
由图可知：函数存在唯一的交点，且交点横坐标，
令，
因为，，因此，
因为，，因此，
因为，，因此，
因为，，因此，
因为，，因此，
因为，且，
故方程的近似解为.
21．.
【解析】
【分析】
由题意得到关于x的面积函数，写出其定义域，根据二次函数对称轴与定义域的关系分类讨论，求出函数的最大值.
【详解】
【点睛】
解决此类问题，关键是利用已知条件，建立函数模型，然后化简整理函数解析式．
22．
【解析】
【分析】
设一条直角边长x，设另一条直角边的边长为，则，再利用勾股定理进行化简，即可得到答案；
【详解】
一条直角边长x，设另一条直角边的边长为，则，
由勾股定理得：，
，两边平方得：，
，将代入并化简得：，
故答案为： .
【点睛】
本题考查勾股定理、函数关系，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
23．（1）；（2）；（3）存在，.
【解析】
（1）根据为上的奇函数，得到，再由时，，设时，则代入求解.
（2）设，易知在上单调递减，则，则，是方程的两个不等正根求解
（3）设为的一个“罗尔区间”，且 ，同号，若，由（2）可得，若，同理可求，得到，再根据集合恰含有2个元素，转化为与的图象有两个交点，即方程在内恰有一个实数根，方程，在内恰有一个实数根求解..
【详解】
（1）因为为上的奇函数，∴，
又当时，，
所以当时，，
所以,
所以.
（2）设，∵在上单调递减，
∴，即，是方程的两个不等正根，
∵，
∴，
∴在内的“罗尔区间”为.
（3）设为的一个“罗尔区间”，则，∴，同号.
当时，同理可求在内的“罗尔区间”为，
∴，
依题意，抛物线与函数的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限，
所以应当使方程在内恰有一个实数根，
且使方程，在内恰有一个实数根，
由方程，即在内恰有一根，
令，则，解得；
由方程，即在内恰有一根，
令，则，解得.
综上可知，实数的取值集合为.
【点睛】
关键点点睛：本题关键是对“罗尔区间”的理解，特别是根据在上单调递减，得到，转化为，是方程的两个不等正根求解
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