2021-2022学年河南省南阳市桐柏县九年级（上）第三次质检数学试卷（Word版含解析）

2021-2022学年河南省南阳市桐柏县九年级第一学期第三次质检数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．不透明的袋子里共装有4个黑球和6个白球，这些球除了颜色不同外，其余都完全相同，随机从袋子中摸出一个球，摸到黑球的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．等式 ＝成立的条件是（　　）
A．x＞1 B．x＜﹣1 C．x≥1 D．x≤﹣1
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列各组线段的比不能表示sin∠BCD的（　　）
A． B． C． D．
5．是下列哪个一元二次方程的根（　　）
A．2x2﹣3x+1＝0 B．2x2+3x+1＝0 C．2x2+3x﹣1＝0 D．2x2﹣3x﹣1＝0
6．如图，在Rt△ABC中，D是AB的中点，AB＝10，则CD等于（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，在△ABC中两条中线BE、CD相交于点O，记△DOE的面积为S1，△COB的面积为S2，则S1：S2＝（　　）
A．1：4 B．2：3 C．1：3 D．1：2
8．已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个根，则（m﹣1）（n﹣1）的值为（　　）
A．2 B．0 C．﹣4 D．﹣5
9．将矩形ABCD纸对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线MN上（如图点B′），若AB＝，则折痕AE的长为（　　）
A． B． C．2 D．2
10．如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，AM的延长线交BC于点N，连接DM，下列结论：①DF＝DN； ②△DMN为等腰三角形；③DM平分∠BMN；④AE＝EC；
⑤AE＝NC，其中正确结论的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．＝　 　．
12．某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，结果都是正面朝上，则他第四次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率为　 　．
13．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则∠ABC的正弦值是 　 　．
14．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC和CD于点P，Q，则BP：PQ：QR＝　 　．
15．如图，在四边形ABCD中，∠ABC+∠DCB＝90°，E、F分别是AD、BC的中点，分别以AB、CD为直径作半圆，这两个半圆面积的和为8π，则EF的长为 　 　．
三、解答题（共75分）
16．先化简，再求值：（﹣x+1）÷，其中x＝﹣2．
17．解下列方程：
（1）2x2﹣4x+1＝0；
（2）（2x﹣1）（x+1）＝（x+1）（3x+1）．
18．为庆祝中国共产党建党90周年，6月中旬我市某展览馆进行党史展览，把免费参观票分到学校．展览馆有2个验票口A、B（可进出），另外还有2个出口C、D（不许进）．小张同学凭票进入展览大厅，参观结束后离开．
（1）小张从进入到离开共有多少种可能的进出方式？（要求用列表或树状图）
（2）小张不从同一个验票口进出的概率是多少？
19．在关于x的一元二次方程x2﹣bx+c＝0中，x1、x2是方程的两个根．
（1）若b＝2方程有实数根，求c的取值范围；
（2）若m是此方程的一个实数根，c＝1，b﹣m＝2，求x12+x22的值．
20．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°．
（1）求证：∠CAP＝∠BCP；
（2）判断PA和PC数量关系，并说明理由．
21．如图，某社会实践活动小组实地测量滹沱河两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45方向，然后向西走50m到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，如图
（1）直接写出∠ACB，∠ABC的度数．
（2）求出这段河的宽（结果保留根号）．
22．某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：
对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，例如M{1，2，9}＝＝4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min（3，1，1}＝1．请结合上述材料，解决下列问题：
（1）①M{（﹣2）2，22，﹣22}＝　 　；
②min{sin30°，cos60°，tan45°}＝　 　；
（2）若min（3﹣2x，1+3x，﹣5}＝﹣5，则x的取值范围为　 　；
（3）若M{﹣2x，x2，3}＝2，求x的值；
（4）如果M{2，1+x，2x}＝min{2，1+x，2x}，求x的值．
23．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作射线CP∥AB，D为射线CP上一点，E在边BC上（不与B、C重合）且∠DAE＝45°，AC与DE交于点O．
（1）求证：△ADC∽△AEB；
（2）求证：△ADE∽△ACB；
（3）如果CD＝CE，求证：CD2＝CO CA．
参考答案
一、选择题（每小题的四个选项中，只有一项正确，每小题3分，共30分）
1．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的化简判断A选项；根据二次根式的加减判断B选项；根据二次根式的乘法判断C选项；根据二次根式的性质判断D选项．
解：A选项，是最简二次根式，3＝，故该选项不符合题意；
B选项，原式＝+2＝3，故该选项不符合题意；
C选项，×＝，故该选项符合题意；
D选项，原式＝|﹣5|＝5，故该选项不符合题意；
故选：C．
2．不透明的袋子里共装有4个黑球和6个白球，这些球除了颜色不同外，其余都完全相同，随机从袋子中摸出一个球，摸到黑球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】从袋子中随机摸出一个球，摸到不是同一个球即认为是不同的情况，则有10种情况，而摸到黑球的情况有4种，根据概率公式即可求解．
解：∵共4+6＝10个球，黑球有4个，
∴从袋子中随机摸出一个球，则摸到黑球的概率是＝．
故选：D．
3．等式 ＝成立的条件是（　　）
A．x＞1 B．x＜﹣1 C．x≥1 D．x≤﹣1
【分析】根据二次根式有意义的条件，即可得出x的取值范围．
解：∵、有意义，
∴，
∴x≥1．
故选：C．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列各组线段的比不能表示sin∠BCD的（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BCD＝∠A，再解直角三角形得出即可．
解：∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠CDB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠A+∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠A，
∴sin∠BCD＝sinA＝＝＝，
即只有选项C错误，选项A、B、D都正确，
故选：C．
5．是下列哪个一元二次方程的根（　　）
A．2x2﹣3x+1＝0 B．2x2+3x+1＝0 C．2x2+3x﹣1＝0 D．2x2﹣3x﹣1＝0
【分析】根据公式法解一元二次方程的方法即可得结论．
解：解一元二次方程的公式为x＝．
所以a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1．
所以方程为2x2﹣3x﹣1＝0
故选：D．
6．如图，在Rt△ABC中，D是AB的中点，AB＝10，则CD等于（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据直角三角形斜边上的中线得出CD＝AB，再代入求出答案即可．
解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝AB，
∵AB＝10，
∴CD＝5，
故选：C．
7．如图，在△ABC中两条中线BE、CD相交于点O，记△DOE的面积为S1，△COB的面积为S2，则S1：S2＝（　　）
A．1：4 B．2：3 C．1：3 D．1：2
【分析】根据三角形的中位线得出DE∥BC，DE＝BC，根据平行线的性质得出相似，根据相似三角形的性质求出即可．
解：∵BE和CD是△ABC的中线，
∴DE＝BC，DE∥BC，
∴＝，△DOE∽△COB，
∴＝（）2＝（）2＝，
故选：A．
8．已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个根，则（m﹣1）（n﹣1）的值为（　　）
A．2 B．0 C．﹣4 D．﹣5
【分析】先利用根与系数的关系表示出m+n与mn，再利用多项式乘多项式法则将所求代数式变形，将m+n与mn的值代入即可．
解：根据题意得：m+n＝3，mn＝﹣2，
则（m﹣1）（n﹣1）
＝mn﹣（m+n）+1
＝﹣2﹣3+1
＝﹣4．
故选：C．
9．将矩形ABCD纸对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线MN上（如图点B′），若AB＝，则折痕AE的长为（　　）
A． B． C．2 D．2
【分析】先作辅助线，然后根据折叠的性质和解直角三角形计算．
解：延长EB′与AD交于点F；
∵∠AB′E＝∠B＝90°，MN是对折折痕，
∴EB′＝FB′，∠AB′E＝∠AB′F，
在△AEB′和△AFB′，
∴△AEB′≌△AFB′，
∴AE＝AF，
∴∠B′AE＝∠B′AD（等腰三角形三线合一），
故根据题意，
易得∠BAE＝∠B′AE＝∠B′AD；
故∠EAB＝30°，
∴EB＝EA，
设EB＝x，AE＝2x，
∴（2x）2＝x2+AB2，x＝1，
∴AE＝2，
则折痕AE＝2，
故选：C．
10．如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，AM的延长线交BC于点N，连接DM，下列结论：①DF＝DN； ②△DMN为等腰三角形；③DM平分∠BMN；④AE＝EC；
⑤AE＝NC，其中正确结论的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】求出BD＝AD，∠DBF＝∠DAN，∠BDF＝∠ADN，证△DFB≌△DAN，即可判断①，证△ABF≌△CAN，推出CN＝AF＝AE，即可判断⑤；根据A、B、D、M四点共圆求出∠ADM＝22.5°，即可判断③，根据三角形外角性质求出∠DNM，求出∠MDN＝∠DNM，即可判断②，根据BE是∠ABC的平分线，，所以AE＝，故④错误．
解：∵∠BAC＝90°，AC＝AB，AD⊥BC，
∴∠ABC＝∠C＝45°，AD＝BD＝CD，∠ADN＝∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝45°＝∠CAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝22.5°，
∴∠BFD＝∠AEB＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠AFE＝∠BFD＝∠AEB＝67.5°，
∴AF＝AE，AM⊥BE，
∴∠AMF＝∠AME＝90°，
∴∠DAN＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠MBN，
在△FBD和△NAD中
∴△FBD≌△NAD，
∴DF＝DN，
∴①正确；
在△AFB和△CNA中
∴△AFB≌△CAN，
∴AF＝CN，
∵AF＝AE，
∴AE＝CN，
∴⑤正确；
∵∠ADB＝∠AMB＝90°，
∴A、B、D、M四点共圆，
∴∠ABM＝∠ADM＝22.5°，
∴∠DMN＝∠DAN+∠ADM＝22.5°+22.5°＝45°，
∴DM平分∠BMN
∴③正确；
∵∠DNA＝∠C+∠CAN＝45°+22.5°＝67.5°，
∴∠MDN＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°＝∠DNM，
∴DM＝MN，
∴△DMN是等腰三角形，
∴②正确；
∵等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
∴BC＝AB，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴，
∴AE＝，
∴④错误，
即正确的有4个，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．＝　1　．
【分析】先计算特殊角的三角函数值，再计算二次根式，然后算乘法，最后计算加减．
解：
＝×+2×﹣2×1
＝+3﹣2
＝1，
故答案为：1．
12．某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，结果都是正面朝上，则他第四次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率为　　．
【分析】利用概率的意义直接得出答案．
解：某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，结果都是正面朝上，则他第四次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率为：．
故答案为：．
13．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则∠ABC的正弦值是 　　．
【分析】过点B作BD⊥AC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，则BD＝AD＝3，CD＝1，利用勾股定理可求出AB，BC的长，利用面积法可求出CE的长，再利用正弦的定义可求出∠ABC的正弦值．
解：过点B作BD⊥AC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，则BD＝AD＝3，CD＝1，如图所示．
AB＝＝3，BC＝＝．
∵AC BD＝AB CE，即×2×3＝×3 CE，
∴CE＝，
∴sin∠ABC＝＝＝．
故答案为：．
14．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC和CD于点P，Q，则BP：PQ：QR＝　3：1：2　．
【分析】利用平行四边形的性质得到平行，可得到PB＝PR，＝，且DR＝RE，代入可得到QR和PQ之间的关系，结合BP＝PR＝3PQ，可得到答案．
解：∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，
∴BC＝AD＝CE，AC∥DE，
∴PB＝PR，＝，
又∵PC∥DR，
∴△PCQ∽△RDQ，
又∵点R是DE中点，
∴DR＝RE，
∴＝＝＝，
∴QR＝2PQ，
又∵BP＝PR＝PQ+QR＝3PQ，
∴BP：PQ：QR＝3：1：2，
故答案为：3：1：2．
15．如图，在四边形ABCD中，∠ABC+∠DCB＝90°，E、F分别是AD、BC的中点，分别以AB、CD为直径作半圆，这两个半圆面积的和为8π，则EF的长为 　4　．
【分析】连接BD，取BD的中点M，连接EM、FM，EM交BC于N，根据三角形的中位线定理推出EM＝AB，FM＝CD，EM∥AB，FM∥CD，得到∠ABC＝∠ENC，∠MFN＝∠C，求出∠EMF＝90°，根据勾股定理求出ME2+FM2＝EF2，根据圆的面积公式求出阴影部分的面积即可．
解：连接BD，取BD的中点M，连接EM、FM，延长EM交BC于N，
∵E、F、M分别是AD、BC、BD的中点，
∴EM＝AB，FM＝CD，EM∥AB，FM∥CD，
∴∠ABC＝∠ENC，∠MFN＝∠DCB，
∵∠ABC+∠DCB＝90°，
∴∠MNF+∠MFN＝90°，
∴∠EMF＝90°，
由勾股定理得：ME2+FM2＝EF2，
∴阴影部分的面积＝π（ME2+FM2）＝πEF2，
由题意得：πEF2＝8π，
解得：EF＝4，
故答案为：4．
三、解答题（共75分）
16．先化简，再求值：（﹣x+1）÷，其中x＝﹣2．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再代入进行计算即可．
【解答】解；原式＝[]
＝
＝，
当x＝时，
原式＝＝＝2
17．解下列方程：
（1）2x2﹣4x+1＝0；
（2）（2x﹣1）（x+1）＝（x+1）（3x+1）．
【分析】（1）将常数项移到方程的右边，再将二次项系数化为1，继而两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
（2）先移项，再将左边利用十字相乘法、提公因式法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案．
解：（1）∵2x2﹣4x+1＝0，
∴2x2﹣4x＝﹣1，
则x2﹣2x＝﹣，
∴x2﹣2x+1＝1﹣，即（x﹣1）2＝，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）∵（2x﹣1）（x+1）＝（x+1）（3x+1），
∴（2x﹣1）（x+1）﹣（x+1）（3x+1）＝0，
∴（x+1）（﹣x﹣2）＝0，
则x+1＝0或﹣x﹣2＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝﹣2．
18．为庆祝中国共产党建党90周年，6月中旬我市某展览馆进行党史展览，把免费参观票分到学校．展览馆有2个验票口A、B（可进出），另外还有2个出口C、D（不许进）．小张同学凭票进入展览大厅，参观结束后离开．
（1）小张从进入到离开共有多少种可能的进出方式？（要求用列表或树状图）
（2）小张不从同一个验票口进出的概率是多少？
【分析】（1）开始以后有两种选择，即入口A或B，进入每个入口后，又各自有四种选择，即可用树形图法表示；
（2）根据树形图求出所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可解答．
解：（1）用树状图分析如下
（2）小张从进入到离开共有8种可能的进出方式，不从同一个验票口进出的情况有6种，
∴P（小张不从同一个验票口进出）＝．
19．在关于x的一元二次方程x2﹣bx+c＝0中，x1、x2是方程的两个根．
（1）若b＝2方程有实数根，求c的取值范围；
（2）若m是此方程的一个实数根，c＝1，b﹣m＝2，求x12+x22的值．
【分析】（1）利用根的判别式得到Δ＝（﹣2）2﹣4×1×c≥0，然后解不等式即可；
（2）先用m表示b得到x2﹣（m+2）x+1＝0，再把x＝m代入得m2﹣m（m+2）+1＝0得m＝，则方程化为x2﹣x+1＝0，根据根与系数的关系得到x1+x2＝，x1x2＝1，利用完全平方公式得到x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
解：（1）把b＝2代入方程x2﹣bx+c＝0得：x2﹣2x+c＝0，
∵方程有实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×c≥0，
解得：c≤1，
即c的取值范围是c≤1；
（2）∵c＝1，b＝m+2，
∴x2﹣（m+2）x+1＝0，
把x＝m代入得m2﹣m（m+2）+1＝0，解得m＝，
∴b＝，
∴方程化为x2﹣x+1＝0，
∴x1+x2＝，x1x2＝1，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（）2﹣2×1＝．
20．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°．
（1）求证：∠CAP＝∠BCP；
（2）判断PA和PC数量关系，并说明理由．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠CAB＝∠CBA＝45°，延长BP交AC于D，证出∠CAP＝∠PBA，则可得出结论；
（2）作PF⊥PB交AC的延长线于F，在PF上截取点E，使CE＝CP．证明△CEF≌△CPB（ASA），CF＝CB，证出CE∥AP，则可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
延长BP交AC于D，
∵∠APB＝∠BPC＝135°，
∴∠CPD＝∠APD＝180°﹣135°＝45°．
∵∠ABC＝∠PBA+∠PBC＝45°，∠CPD＝∠PBC+∠PCB＝45°，
∴∠PCB＝∠PBA，
∵∠APD＝∠PBA+∠PAB＝45°，
∵∠CAB＝∠CAP+∠PAB＝45°，
∴∠CAP＝∠PBA，
∴∠CAP＝∠BCP；
（2）解：PA＝2PC．
理由如下：
作PF⊥PB交AC的延长线于F，在PF上截取点E，使CE＝CP．
∵PF⊥PB，
∴∠BPF＝90°，
∵∠BPC＝135°，
∴∠CPF＝45°，
∵CE＝CP，
∴∠CEP＝∠CPE＝45°，
∴∠PCE＝90°∠CEF＝135°＝∠CPB
∴∠FCE+∠PCA＝90°，
由（1）知∠CPA＝∠CPD+∠APD＝90°，
∴∠PCA+∠PAC＝90°，
∴∠FCE＝∠PAC＝∠BCP，
在△CEF与△CPB中，
，
∴△CEF≌△CPB（ASA），
∴CF＝CB，
∵CA＝CB，
∴CF＝CA，
∵∠FCE＝∠PAC，
∴CE∥AP，
∴CE是△FAP的中位线，
∴AP＝2CE，
∴PA＝2PC．
21．如图，某社会实践活动小组实地测量滹沱河两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45方向，然后向西走50m到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，如图
（1）直接写出∠ACB，∠ABC的度数．
（2）求出这段河的宽（结果保留根号）．
【分析】（1）根据三角形的外角的性质、结合题意计算即可；
（2）作BD⊥CA交CA的延长线于D，设BD＝xm，根据正切的定义用x表示出CD、AD，根据题意列出方程，解方程即可．
解：（1）∠ACB＝60°，∠ABC＝15°；
（2）过点B作BD⊥AC于点D，设BD＝x，
在Rt△CBD中，∵∠ACB＝30°，
∴tan30°＝，CD＝x
在Rt△ABD中，
∵∠BAD＝45°，
∴AD＝BD＝x
∵AC＝50，
∴CD﹣AD＝50，即x﹣x＝50
x＝
∴河宽为（）m．
22．某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：
对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，例如M{1，2，9}＝＝4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min（3，1，1}＝1．请结合上述材料，解决下列问题：
（1）①M{（﹣2）2，22，﹣22}＝　　；
②min{sin30°，cos60°，tan45°}＝　　；
（2）若min（3﹣2x，1+3x，﹣5}＝﹣5，则x的取值范围为　﹣2≤x≤4　；
（3）若M{﹣2x，x2，3}＝2，求x的值；
（4）如果M{2，1+x，2x}＝min{2，1+x，2x}，求x的值．
【分析】（1）①根据平均数的定义计算即可．②求出三个数中的最小的数即可．
（2）根据不等式解决问题即可．
（3）构建方程即可解决问题．
（4）把问题转化为不等式组解决即可．
解：（1）①M{（﹣2）2，22，﹣22}＝，
②min{sin30°，cos60°，tan45°}＝；
故答案为：，．
（2）∵min（3﹣2x，1+3x，﹣5}＝﹣5，
∴，
解得﹣2≤x≤4，
故答案为﹣2≤x≤4．
（3）∵M{﹣2x，x2，3}＝2，
∴＝2，
解得x＝﹣1或3．
（4）∵M{2，1+x，2x}＝min{2，1+x，2x}，
又∵＝x+1，
∴，
解得1≤x≤1，
∴x＝1．
23．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作射线CP∥AB，D为射线CP上一点，E在边BC上（不与B、C重合）且∠DAE＝45°，AC与DE交于点O．
（1）求证：△ADC∽△AEB；
（2）求证：△ADE∽△ACB；
（3）如果CD＝CE，求证：CD2＝CO CA．
【分析】（1）利用“两角法”证得结论；
（2）由相似三角形△ADC∽△AEB的性质得到AD：AE＝AC：AB，转化为AD：AC＝AE：AB，结合∠DAE＝∠CAB＝45°得证结果；
（3）结合∠ACD＝45°和∠ACB＝90°，由CD＝CE得到∠CDE＝∠CED＝22.5°，从而得到∠DAC＝22.5°，然后得到△OCD∽△DCA，最后得证结果．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角形，
∴∠BAC＝∠B＝45°．
∵∠DAE＝45°，CP∥AB，
∴∠DAC＝∠EAB，∠ACD＝∠BAC＝∠B＝45°，
∴△ADC∽△AEB；
（2）∴△ADC∽△AEB，
∴＝，即＝，
∵∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴△ADE∽△ACB；
（2）由（1）知，△ADE∽△ACB．则∠ACD＝45°，∠ACB＝90°，
∴∠CDE+∠CED＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED＝22.5°，
∵△ADE∽△ACB，
∴∠ADE＝∠ACB＝90°，
∴∠CAD＝180°﹣∠ADE﹣∠CDE﹣∠ACD＝180°﹣90°﹣22.5°﹣45°＝22.5°，
∴∠CAD＝∠CDE，
又∵∠OCD＝∠DCA，
∴△OCD∽△DCA，
∴＝，
∴CD2＝CO CA．