2021-2022学年河南省南阳市邓州市九年级（上）期末数学试卷（Word版含解析）

2021-2022学年河南省南阳市邓州市九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）.
1．sin45°的相反数是（　　）
A．﹣1 B．﹣ C．﹣ D．﹣
2．方程x（x﹣6）＝x的根是（　　）
A．x＝6 B．x1＝0，x2＝﹣7 C．x1＝0，x2＝7 D．x1＝0，x2＝6
3．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡度i＝1：，坝高BC为5m，则AB的长度为（　　）
A．10m B．5m C．5m D．10m
4．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由56元降为31.5元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（　　）
A．56（1﹣2x）＝31.5 B．56（1﹣x）2＝31.5
C．31.5（1+x）2＝56 D．31.5（1+2x）＝56
5．如图是智慧小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率分布折线图，则符合这一结果的试验可能是（　　）
A．抛掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上
B．投掷一个质地均匀正六面体的骰子，出现2点朝上
C．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是梅花
D．从装有大小和质地都相同的1个红球和2个黑球的袋子中任取一球，取到的是红球
6．如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA＝3OD，OB＝3OC），然后张开两脚，使A、B两个尖端分别在线段l的两个端点上，若CD＝3cm，则AB的长是（　　）
A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm
7．如图，△A'B'C是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若AA'：OA'＝2：3，则下列说法错误的是（　　）
A．△A'OB'∽△AOB
B．A'B'∥AB
C．点O到A'B'与AB的距离之比为3：5
D．△A'B'C'与△ABC的面积之比为3：5
8．将二次函数y＝（x+2）2﹣3的图象先沿x轴向左平移2个单位长度，再沿y轴向上平移5个单位长度得到的函数解析式是（　　）
A．y＝x2+2 B．y＝（x﹣4）2+2 C．y＝（x+4）2+2 D．y＝x2﹣8
9．如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝5，BC＝6，则tan∠BOD的值是（　　）
A． B．2 C． D．
10．如图，AC为矩形ABCD的对角线，已知AD＝3，CD＝4，点P沿折线C﹣A﹣D以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作PE⊥BC于点E，则△CPE的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若使代数式有意义，则x的取值范围是 　 　．
12．一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2﹣7x+12＝0的根，则该三角形的周长为 　 　．
13．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，若M＝a﹣b，N＝4a+2b．则M、N的大小关系为M　 　N．（填“＞”、“＝”或“＜”）
14．从1，2，3，4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0有实数根的概率为　 　．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，E是BC的中点，连接AE，P是边AD上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D'处，当△APD'是直角三角形时，PD＝　 　．
三、解答题（本大题8个小题，共75分）
16．计算或解方程：
（1）（）﹣1﹣（1﹣）0+4cos30°﹣；
（2）（x+2）（1﹣3x）＝1．
17．如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E．
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若AB＝8，CE＝3，求△ABC的周长．
18．为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，邓州市某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温（如图1），其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆OP上下调节（如图2），已知探测最大角（∠OBC）为61.0°，探测最小角（∠OAC）为26.6°．若该校要求测温区域的宽度AB为2.60米，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．
（结果精确到0.1米，参考数据：sin61.0°≈0.87，cos61.0°≈0.48，tan61.0°≈1.80，sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）
19．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．
【定理证明】
（1）请根据教材内容结合图1，写出证明过程．
【定理应用】
（2）如图2，在△ABC中，AD垂直于∠ABC的平分线BE于点E，且交BC边于点D，点F为AC的中点．若AB＝4，BC＝7，请直接写出EF的长 　 　．
（3）如图3，△ABC的中线BD、CE相交于点O，F、G分别是BO、CO的中点，连结DE、EF、FG、GD．若△ADE的面积为15，则四边形DEFG的面积为 　 　．
20．如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，点M是BC边上的动点，点M从点B出发，运动到点C停止，N是CD边上一动点，在运动过程中，始终保持AM⊥MN，设BM＝x，CN＝y．
（1）直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围 　 　；
（2）先完善表格，然后在平面直角坐标系中（如图2）利用描点法画出此抛物线，直接写出m＝　 　；
x … 2 3 4 5 6 7 8 …
y … 2 3 m 3 2 …
（3）结合图象，指出M、N在运动过程中，当CN达到最大值时，BM的值是 　 　；并写出在整个运动过程中，点N运动的总路程 　 　．
21．万德隆超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本价．
（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）
（2）若使该商品每月的销售利润为3375元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
（3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？
22．若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝mx+n（m≠0）交y轴于同一点，且抛物线的顶点在直线y＝mx+n上，称该抛物线与直线互为“伙伴函数”，直线的伙伴函数表达式不唯一．
（1）求抛物线y＝x2+2x﹣3的“伙伴函数”表达式；
（2）设互为“伙伴函数”的抛物线顶点坐标为（﹣k，t）且kt＝4，它的一个“伙伴函数”表达式为y＝4x+8，求该抛物线表达式；
（3）若点P（m，y1）和Q（2，y2）在（2）中所求的抛物线上，且y1＞y2时，请直接写出实数m的取值范围是 　 　．
23．在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，点D在斜边BC上，且满足BD＝BC，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，记旋转角为α，连接CE，BE，以CE为斜边在其右侧作直角三角形CEF，且∠CFE＝90°，∠ECF＝60°，连接AF．
（1）如图1，当α＝180°时，请直接写出线段BE与线段AF的数量关系 　 　；
（2）当0°＜α＜180°时，
①如图2，（1）中线段BE与线段AF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②当B，E，F三点共线时，如图3，连接AE，若AE＝3，请直接写出cos∠EFA的值及线段BC的值．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上。
1．sin45°的相反数是（　　）
A．﹣1 B．﹣ C．﹣ D．﹣
【分析】先求出sin45°的值，再根据相反数的意义解答即可．
解：∵sin45°＝，
∴sin45°的相反数是：，
故选：C．
2．方程x（x﹣6）＝x的根是（　　）
A．x＝6 B．x1＝0，x2＝﹣7 C．x1＝0，x2＝7 D．x1＝0，x2＝6
【分析】利用因式分解法解答即可．
解：x（x﹣6）＝x，
x（x﹣6）﹣x＝0，
x（x﹣6﹣1）＝0，
∴x＝0或x﹣7＝0，
∴x1＝0，x2＝7．
故选：C．
3．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡度i＝1：，坝高BC为5m，则AB的长度为（　　）
A．10m B．5m C．5m D．10m
【分析】根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理计算，得到答案．
解：∵坡AB的坡度i＝1：，
∴BC：AC＝1：，
∵BC＝5m，
∴AC＝5m，
∴AB＝＝＝10（m），
故选：A．
4．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由56元降为31.5元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（　　）
A．56（1﹣2x）＝31.5 B．56（1﹣x）2＝31.5
C．31.5（1+x）2＝56 D．31.5（1+2x）＝56
【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格×（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是56（1﹣x），第二次后的价格是56（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
解：根据题意得：56（1﹣x）2＝31.5，
故选：C．
5．如图是智慧小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率分布折线图，则符合这一结果的试验可能是（　　）
A．抛掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上
B．投掷一个质地均匀正六面体的骰子，出现2点朝上
C．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是梅花
D．从装有大小和质地都相同的1个红球和2个黑球的袋子中任取一球，取到的是红球
【分析】利用折线统计图可得出试验的频率在0.33左右，进而得出答案．
解：A、抛一枚硬币，出现反面朝上的概率为0.5，不符合这一结果，不符合题意；
B、掷一个正六面体的骰子，出现2点朝上为，不符合这一结果，不符合题意；
C、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是梅花的概率为，不符合这一结果，不符合题意；
D、从一个装有1个红球2个黑球的袋子中任取一球，取到的是红球的概率为，符合这一结果，符合题意．
故选：D．
6．如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA＝3OD，OB＝3OC），然后张开两脚，使A、B两个尖端分别在线段l的两个端点上，若CD＝3cm，则AB的长是（　　）
A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm
【分析】首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解．
解：∵OA＝3OD，OB＝3CO，
∴OA：OD＝BO：CO＝3：1，∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB∽△DOC，
∴，
∴AB＝3CD，
∵CD＝3cm，
∴AB＝9cm，
故选：A．
7．如图，△A'B'C是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若AA'：OA'＝2：3，则下列说法错误的是（　　）
A．△A'OB'∽△AOB
B．A'B'∥AB
C．点O到A'B'与AB的距离之比为3：5
D．△A'B'C'与△ABC的面积之比为3：5
【分析】根据位似变换的性质得到△A'B'C'∽△ABC，A'B'∥AB，进而得到△OA'B'∽△OAB，根据相似三角形的性质得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
解：∵△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，
∴△A'B'C'∽△ABC，A'B'∥AB，
∴△OA'B'∽△OAB，
∴＝＝，则点O到A'B'与AB的距离之比为3：5，
∴＝（）2＝，选项D错误，符合题意．
故选：D．
8．将二次函数y＝（x+2）2﹣3的图象先沿x轴向左平移2个单位长度，再沿y轴向上平移5个单位长度得到的函数解析式是（　　）
A．y＝x2+2 B．y＝（x﹣4）2+2 C．y＝（x+4）2+2 D．y＝x2﹣8
【分析】根据抛物线平移规律：左加右减，上加下减即可得到答案．
解：二次函数y＝（x+2）2﹣3的图象先沿x轴向左平移2个单位长度，再沿y轴向上平移5个单位长度得到的函数解析式是y＝（x+2+2）2﹣3+5＝（x+4）2+2，
故选：C．
9．如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝5，BC＝6，则tan∠BOD的值是（　　）
A． B．2 C． D．
【分析】作OF⊥AB于F，根据等腰三角形三线合一的性质得出∠ODB＝90°，BD＝CD＝BC＝3．根据勾股定理求出AD＝＝4．利用角平分线的性质得出OF＝OD．设OD＝OF＝x，则AO＝4﹣x，在Rt△AOF中，根据勾股定理列出方程（4﹣x）2＝x2+22，求出x，然后在Rt△OBD中，利用三角函数定义即可求出tan∠BOD的值．
解：如图，作OF⊥AB于F，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝6，
∴∠ODB＝90°，BD＝CD＝BC＝3．
∴AD＝＝＝4．
∵BE平分∠ABC，
∴OF＝OD，BF＝BD＝3，AF＝5﹣3＝2．
设OD＝OF＝x，则AO＝4﹣x，
在Rt△AOF中，根据勾股定理得：
（4﹣x）2＝x2+22．
∴x＝1.5．
∴OD＝1.5．
在Rt△OBD中，tan∠BOD＝＝＝2．
故选：B．
10．如图，AC为矩形ABCD的对角线，已知AD＝3，CD＝4，点P沿折线C﹣A﹣D以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作PE⊥BC于点E，则△CPE的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据点P运动路径分段写出△CPE的面积y与点P运动的路程x间的函数关系式即可．
解：∵BC∥AD，
∴∠ACB＝∠DAC，
∵∠PEC＝∠D＝90°，
∴△PCE∽△CAD，
∴＝＝，
∵AD＝3，CD＝4，
∴AC＝＝5，
∴当P在CA上时，即当0＜x≤5时，
PE＝＝x，
CE＝＝x，
∴y＝PE CE＝＝x2，
当P在AD上运动时，即当5＜x≤8时，
PE＝CD＝4，
CE＝8﹣x，
∴y＝PE CE＝×4×（8﹣x）＝16﹣2x，
综上，当0＜x≤5时，函数图象为二次函数图象，且y随x增大而增大，当5＜x≤8时，函数图象为一次函数图象，且y随x增大而减小，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若使代数式有意义，则x的取值范围是 　x≤3且x≠0　．
【分析】根据二次根式的非负性及分式有意义的条件求解．
解：∵代数式有意义，
∴3﹣x≥0且x≠0，
∴x≤3且x≠0，
故答案为：x≤3且x≠0．
12．一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2﹣7x+12＝0的根，则该三角形的周长为 　11　．
【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝3，x2＝4，再根据三角形三边的关系得到三角形第三边长为4，然后计算三角形的周长．
解：x2﹣7x+12＝0，
（x﹣3）（x﹣4）＝0，
x﹣3＝0或x﹣4＝0，
所以x1＝3，x2＝4，
而2+3＝5，
所以三角形第三边长为4，
此时三角形的周长为2+5+4＝11．
故答案为11．
13．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，若M＝a﹣b，N＝4a+2b．则M、N的大小关系为M　＞　N．（填“＞”、“＝”或“＜”）
【分析】由图象可知当x＝﹣1时y＞0，当x＝2时，y＜0，所以a﹣b+c＞0，4a+2b+c＜0，则M﹣N＝a﹣b﹣（4a+2b）＝a﹣b+c﹣（4a+2b+c）＞0．
解：由图象可得当x＝﹣1时y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
当x＝2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
∴M﹣N＝a﹣b﹣（4a+2b）＝a﹣b+c﹣（4a+2b+c）＞0，
∴M＞N，
故答案为：＞．
14．从1，2，3，4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0有实数根的概率为　　．
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的结果数，再找出满足Δ＝16﹣4ac≥0的结果数，然后根据概率公式求解即可．
解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中满足Δ＝16﹣4ac≥0，即ac≤4的结果有（1，2）、（1，3）、（1，4）、（2，1）、（3，1）、（4，1）这6种结果，
则关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0有实数根的概率为＝，
故答案为：．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，E是BC的中点，连接AE，P是边AD上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D'处，当△APD'是直角三角形时，PD＝　或　．
【分析】根据矩形的性质得到AD＝BC＝12，∠BAD＝∠D＝∠B＝90°，根据勾股定理得到AE＝＝＝10，设PD′＝PD＝x，则AP＝12﹣x，当△APD′是直角三角形时，①当∠AD′P＝90°时，②当∠APD′＝90°时，根据相似三角形的性质列出方程，解之即可得到结论．
解：在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，
∴AD＝BC＝12，∠BAD＝∠D＝∠B＝90°，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE＝6，
∴AE＝＝＝10，
∵沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处，
∴PD′＝PD，
设PD′＝PD＝x，则AP＝12﹣x，
当△APD′是直角三角形时，
①当∠AD′P＝90°时，
∴∠AD′P＝∠B＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠PAD′＝∠AEB，
∴△ABE∽△PD′A，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，
∴PD＝；
②当∠APD′＝90°时，
∴∠APD′＝∠B＝90°，
∵∠PAE＝∠AEB，
∴△APD′∽△EBA，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，
∴PD＝，
综上所述，当△APD′是直角三角形时，PD为或，
故答案为：或．
三、解答题（本大题8个小题，共75分）
16．计算或解方程：
（1）（）﹣1﹣（1﹣）0+4cos30°﹣；
（2）（x+2）（1﹣3x）＝1．
【分析】（1）根据特殊锐角三角函数的值以及负整数指数幂、零指数幂的意义即可求出答案；
（2）根据公式法即可求出答案．
解：（1）原式＝2﹣1+4×﹣5
＝2﹣1+2﹣5
＝1﹣3；
（2）原方程整理得3x2+5x﹣1＝0
∵a＝3，b＝5，c＝﹣1，
∴Δ＝52﹣4×3×（﹣1）＝37＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
17．如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E．
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若AB＝8，CE＝3，求△ABC的周长．
【分析】（1）先根据平行线的性质得到∠A＝∠CDE，加上∠ACB＝∠DCE＝90°，则根据相似三角形的判定方法可判断△ABC∽△DEC；
（2）先利用斜边上的中线性质得到CD＝AB＝4，再利用勾股定理计算出DE＝5，接着根据相似三角形的性质得到＝＝，然后求出AC、BC，从而得到△ABC的周长．
【解答】（1）证明：∵DC⊥CE，
∴∠DCE＝90°，
∵AC∥DE，
∴∠A＝∠CDE，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴△ABC∽△DEC；
（2）解：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD＝AB＝4，
在Rt△DCE中，DE＝＝＝5，
∵△ABC∽△DEC，
∴＝＝，即＝＝，
∴AC＝，BC＝，
∴△ABC的周长＝++8＝．
18．为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，邓州市某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温（如图1），其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆OP上下调节（如图2），已知探测最大角（∠OBC）为61.0°，探测最小角（∠OAC）为26.6°．若该校要求测温区域的宽度AB为2.60米，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．
（结果精确到0.1米，参考数据：sin61.0°≈0.87，cos61.0°≈0.48，tan61.0°≈1.80，sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）
【分析】由锐角三角函数定义得OC≈1.80BC，OC≈（2.60+BC）×0.50，则1.80BC＝（2.60+BC）×0.50，求出BC的长，即可解决问题．
解：根据题意可知：AC＝AB+BC＝2.60+BC，
在Rt△OBC中，tan∠OBC＝，，
∴OC＝BC×tan∠OBC≈BC×1.80＝1.80BC，
在Rt△OAC中，tan∠OAC＝，
∴OC＝AC tan∠OAC≈（2.60+BC）×0.50，
∴1.80BC＝（2.60+BC）×0.50，
解得：BC＝1（米），
∴OC＝1.80BC＝1.80（米）．
答：该设备的安装高度OC约为1.80米．
19．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．
【定理证明】
（1）请根据教材内容结合图1，写出证明过程．
【定理应用】
（2）如图2，在△ABC中，AD垂直于∠ABC的平分线BE于点E，且交BC边于点D，点F为AC的中点．若AB＝4，BC＝7，请直接写出EF的长 　　．
（3）如图3，△ABC的中线BD、CE相交于点O，F、G分别是BO、CO的中点，连结DE、EF、FG、GD．若△ADE的面积为15，则四边形DEFG的面积为 　20　．
【分析】（1）根据角和线段比例关系证△ADE∽△ABC即可得证结论；
（2）根据ASA证△AEB≌△DEB，得出AE＝BE，BD＝AB＝4，求出CD＝BC﹣BD＝3，根据F是AC的中点得出EF＝CD即可；
（3）先证四边形DEFG是平行四边形，得出S△BEF＝S△EFO＝S△EOD＝S△AED，则四边形DEFG的面积＝S△AED×4，即可求出四边形的面积．
解：（1）∵点D、E分别是AB与AC的中点，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE＝∠ABC，＝，
∴DE∥BC，DE＝BC；
（2）∵BE平分∠BAC，BE⊥AD于点E，
∴∠ABE＝∠DBE，∠BEA＝∠DEB＝90°，
又∵BE＝BE，
∴△AEB≌△DEB（ASA），
∴AE＝DE，BD＝AB＝4，
∴CD＝BC﹣BD＝7﹣4＝3，
又∵点F是AC的中点，
∴EF＝CD＝，
故答案为：；
（3）∵点F、G分别是BO和CO的中点，
∴FG∥BC，且FG＝BC，
由（1）知，ED∥BC，且ED＝BC，
∴ED∥FG，ED＝FG，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∵DE是△ADB的边AB上的中位线，
∴△DAE与△DBE等底等高，即△DBE的面积为15，
∵四边形DEFG是平行四边形，
∴OD＝OF，
∵F点是OB的中点，
∴OF＝BF，
∴BF＝OF＝OD，
∴△EBF、△EFO、△EOD等底等高，
即这三个三角形的面积相等都是15÷3＝5，
∴S△EFD＝2S△EFB＝10，
∴四边形DEFG的面积是：2S△EFD＝20，
故答案为：20．
20．如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，点M是BC边上的动点，点M从点B出发，运动到点C停止，N是CD边上一动点，在运动过程中，始终保持AM⊥MN，设BM＝x，CN＝y．
（1）直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围 　0≤x≤10　；
（2）先完善表格，然后在平面直角坐标系中（如图2）利用描点法画出此抛物线，直接写出m＝　　；
x … 2 3 4 5 6 7 8 …
y … 2 3 m 3 2 …
（3）结合图象，指出M、N在运动过程中，当CN达到最大值时，BM的值是 　5　；并写出在整个运动过程中，点N运动的总路程 　　．
【分析】（1）根据一线三等角模型证明△ABM∽△MCN，根据相似三角形对应边成比例即可解答；
（2）把x＝5代入（1）所求的函数表达式即可，然后利用描点法画出图形即可；
（3）把（1）中求的函数表达式配方成顶点式即可解答．
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°AB＝CD＝8，
∴∠BAM+∠AMB＝90°，
∵AM⊥MN，
∴∠AMN＝90°，
∴∠AMB+∠CMN＝90°，
∴∠BAM＝∠CMN，
∴△ABM∽△MCN，
∴，
∴，
∴y＝x2+x，
∵BC＝10，点M是BC边上的动点，点M从点B出发，运动到点C停止，
∴0≤x≤10，
故答案为：0≤x≤10；
（2）当x＝5时，代入y＝x2+x中得：
y＝×52+＝，
故答案为：，
画出的抛物线如图所示：
（3）∵y＝x2+x，
∴y＝x2+x＝（x﹣5）2+，
∵a＝＜0，
∴当x＝5时，y最大＝，
∴当CN达到最大值时，BM的值是5；
∵，
∴在整个运动过程中，点N运动的总路程为，
故答案为：5，．
21．万德隆超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本价．
（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）
（2）若使该商品每月的销售利润为3375元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
（3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？
【分析】（1）明确题意，找到等量关系求出函数关系式即可；
（2）根据题意，按照等量关系“销售量×（售价﹣成本）＝3375”列出方程，求解即可得到该商品此时的销售单价；
（3）设每月所获利润为w，按照等量关系列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可．
解：（1）依题意得：y＝50+（100﹣x）××10＝﹣5x+550，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+550；
（2）依题意得：y（x﹣50）＝3375，
即（﹣5x+550）（x﹣50）＝3375，
解得：x1＝65，x2＝95，
∵使顾客获得更多的实惠，
∴x＝65，
∴当该商品每月销售利润为3375，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为65元；
（3）设每月总利润为w元，
依题意得w＝（﹣5x+550）（x﹣50）＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500，
∵﹣5＜0，此图象开口向下，
∴当x＝80时，w有最大值，最大值为4500元，
∴为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元．
22．若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝mx+n（m≠0）交y轴于同一点，且抛物线的顶点在直线y＝mx+n上，称该抛物线与直线互为“伙伴函数”，直线的伙伴函数表达式不唯一．
（1）求抛物线y＝x2+2x﹣3的“伙伴函数”表达式；
（2）设互为“伙伴函数”的抛物线顶点坐标为（﹣k，t）且kt＝4，它的一个“伙伴函数”表达式为y＝4x+8，求该抛物线表达式；
（3）若点P（m，y1）和Q（2，y2）在（2）中所求的抛物线上，且y1＞y2时，请直接写出实数m的取值范围是 　m＜﹣4或m＞2　．
【分析】（1）求得抛物线的顶点坐标与与y轴的交点坐标，代入“伙伴函数”，根据待定系数法即可求得；
（2）根据定义得出，解得，从而得出抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+4，求得直线与y轴的交点，代入y＝a（x+1）2+4即可求得a的值，即可求得抛物线的解析式；
（3）根据二次函数的对称性以及二次函数的增减性即可求得．
解：（1）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴顶点为（﹣1，﹣4），
∵抛物线y＝x2+2x﹣3与y轴的交点为（0，﹣3），
代入“伙伴函数”y＝mx+n得，
∴，
∴抛物线y＝x2+2x﹣3的“伙伴函数”表达式为y＝x﹣3；
（2）由互为“伙伴函数”的概念可知，t＝﹣4k+8，
∴，解得，
设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+4，
∵直线y＝4x+8与y轴的交点坐标为（0，8），
∴抛物线y＝a（x+1）2+4与y轴的交点坐标也为（0，8），
∴a+4＝8，
∴a＝4，
∴抛物线表达式为y＝4（x+1）2+4；
（3）∵抛物线y＝4（x+1）2+4，
∴抛物线开口向上，对称轴x＝﹣1，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∴Q（2，y2）关于对称轴的对称点为（﹣4，y2），
∴当m＜﹣4或m＞2时，y1＞y2，
∴y1＞y2时，实数m的取值范围是m＜﹣4或m＞2，
故答案为：m＜﹣4或m＞2．
23．在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，点D在斜边BC上，且满足BD＝BC，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，记旋转角为α，连接CE，BE，以CE为斜边在其右侧作直角三角形CEF，且∠CFE＝90°，∠ECF＝60°，连接AF．
（1）如图1，当α＝180°时，请直接写出线段BE与线段AF的数量关系 　BE＝2AF　；
（2）当0°＜α＜180°时，
①如图2，（1）中线段BE与线段AF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②当B，E，F三点共线时，如图3，连接AE，若AE＝3，请直接写出cos∠EFA的值及线段BC的值．
【分析】（1）由直角三角形的性质可得AC＝BC，由旋转的的性质可得BD＝DE＝BC，BE＝BC，由直角三角形的性质可求CF＝CE＝CB，即可求解；
（2）①通过证明△CBE∽△CAF，由相似三角形的性质可得，则可得出结论；
②过点D作DH⊥BE于H，由等腰三角形的性质可得BH＝HE＝AF，由相似三角形的性质可求∠EFA＝60°，由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案．
解：（1）∵∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，
∴AC＝BC，
∵BD＝BC，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，
∴BD＝DE＝BC，BE＝CB，
∴CE＝CB，
∵∠CFE＝90°，∠ECF＝60°，
∴∠CEF＝30°，
∴CF＝CE＝CB，
∴AF＝AC﹣CF＝CB，
∴BE＝2AF；
故答案为：BE＝2AF；
（2）①结论仍然成立，理由如下：
∵∠BCA＝∠ECF＝60°，
∴∠BCE＝∠ACF，
又∵，
∴△CBE∽△CAF，
∴，
∴BE＝2AF；
②∵B，E，F三点共线，
∴∠CEB+∠CEF＝180°，
∴∠CEB＝150°，
∵△CBE∽△CAF，
∴∠CEB＝∠AFC＝150°，
∴∠EFA＝150°﹣90°＝60°，
∴cos∠EFA＝cos60°＝；
如图3，过点D作DH⊥BE于H，
∵BD＝DE，DH⊥BE，
∴BH＝HE，
∵BE＝2AF，
∴BH＝HE＝AF，
∵DH⊥BE，CF⊥BE，
∴DH∥CF，
∴，
∴HF＝2BH，
∴EF＝HE＝BH，
∴EF＝AF，
∴△EFA是等边三角形，
∴EF＝AE＝AF＝3，
∴BE＝6，CF＝，
∴BF＝＝2．