鲁教版（五四制）八年级数学下册6.3正方形的判定与性质同步练习题（word版含答案）

2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-3正方形的判定与性质》同步练习题（附答案）
1．如图，E是正方形ABCD的边DC上一点，过点A作FA＝AE交CB的延长线于点F，若AB＝4，则四边形AFCE的面积是（　　）
A．4 B．8 C．16 D．无法计算
2．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE，则∠AED为（　　）
A．10° B．15° C．30° D．120°
3．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使 ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
4．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O、B的坐标分别是（0，0），（2，0），则顶点C的坐标是（　　）
A．（1，1） B．（﹣1，﹣1） C．（1，﹣1） D．（﹣1，1）
5．正方形面积为36，则对角线的长为（　　）
A．6 B． C．9 D．
6．如图，正方形ABCD中，AE垂直于BE，且AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是（　　）
A．64 B．72 C．76 D．84
7．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（　　）
A．75° B．60° C．55° D．45°
8．如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF＝（　　）
A．35° B．45° C．55° D．60°
9．如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，则∠AEB的度数为（　　）
A．10° B．12.5° C．15° D．20°
10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，M点为CD边上的中点，若M点是A点关于线段EF的对称点，则等于（　　）
A． B． C．2 D．
11．正方形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．四条边都相等 B．对角线相等
C．对角线平分一组对角 D．对角线垂直且互相平分
12．下列性质中，矩形具有、正方形也具有、但是菱形却不具有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线长度相等 D．一组对角线平分一组对角
13．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是（　　）
A．30 B．34 C．36 D．40
14．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，则EF的最小值为（　　）
A． B． C．2 D．1
15．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，则∠AEB的度数为 　 　．
16．如图，已知正方形ABCD的边长为6，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE＝2，则FM的长为　 　．
17．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，点F是CB延长线上一点，且△ADE≌△ABF，四边形AECF的面积为8，DE＝1，则AE的长为　 　．
18．正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF＝CF+AE；
（2）当AE＝2时，求EF的长．
19．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是AB上一点，且BF＝BE．求证：∠DEF＝90°．
20．如图，点P在正方形ABCD的对角线AC上，点E在边BC上，且PE＝PB．
（1）求证：PE＝PD；
（2）试探究BC2，EC2，PE2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
参考答案
1．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠D＝90°，AB＝AD，
即∠ABF＝∠D＝90°，
在Rt△ABF和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△ADE（HL），
∴SRt△ABF＝SRt△ADE，
∴SRt△ABF+S四边形ABCE＝SRt△ADE+S四边形ABCE，
∴S四边形AFCE＝S正方形ABCD＝16．
故选：C．
2．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AD＝DC，
∵△CDE是等边三角形，
∴DE＝DC，∠EDC＝60°，
∴∠ADE＝90°+60°＝150°，AD＝ED，
∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE）＝15°，
故选：B．
3．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当②∠ABC＝90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当AC＝BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当③AC＝BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意．
故选：B．
4．解：连接AC，
∵四边形OABC是正方形，
∴点A、C关于x轴对称，
∴AC所在直线为OB的垂直平分线，即A、C的横坐标均为1，
根据正方形对角线相等的性质，AC＝BO＝2，
又∵A、C关于x轴对称，
∴A点纵坐标为1，C点纵坐标为﹣1，
故C点坐标（1，﹣1），
故选：C．
5．解：设对角线长是x．则有
x2＝36，
解得：x＝6．
故选：B．
6．解：∵AE垂直于BE，且AE＝6，BE＝8，
∴在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2＝100，
∴S阴影部分＝S正方形ABCD﹣S△ABE
＝AB2﹣×AE×BE
＝100﹣×6×8
＝76．
故选：C．
7．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，AD＝AE，
∴∠BAE＝90°+60°＝150°，AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣150°）＝15°，
∴∠BFC＝∠BAF+∠ABE＝45°+15°＝60°；
故选：B．
8．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵AE＝AB，
∴AE＝AB＝AD，
∴∠ABE＝∠AEB，∠AED＝∠ADE，∠ABE+∠AEB+∠BAE＝180°，∠AED+∠ADE+∠DAE＝180°，
∵∠BAE+∠DAE＝∠BAD＝90°，
∴∠ABE+∠AEB+∠AED+∠ADE＝270°，
∴∠AEB+∠AED＝135°，
即∠BED＝135°，
∴∠BEF＝180°﹣135°＝45°．
故选：B．
9．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
又∵△ADE是正三角形，
∴AE＝AD，∠DAE＝60°，
∴△ABE是等腰三角形，∠BAE＝90°+60°＝150°，
∴∠ABE＝∠AEB＝15°．
故选：C．
10．解：
连接EM，
∵M、A关于EB对称，
∴EA＝EM，设AE＝x，
则ED＝4﹣x，EM＝x
而DM＝2，
在直角△DEM中，
由勾股定理得：（4﹣x）2+22＝x2
解得：x＝
∴4﹣x＝
∴＝，
故选：A．
11．解：正方形和菱形都满足：四条边都相等，对角线平分一组对角，对角线垂直且互相平分；
菱形的对角线不一定相等，而正方形的对角线一定相等．
故选：B．
12．解：∵菱形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线互相垂直；
矩形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线相等；
正方形具有菱形和矩形的性质，
∴菱形不具有的性质为：对角线相等，
故选：C．
13．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AH＝BE＝CF＝DG．
在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，
，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH＝FE＝GF＝GH，∠AEH＝∠BFE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠BEF+∠BFE＝90°，
∴∠BEF+∠AEH＝90°，
∴∠HEF＝90°，
∴四边形EFGH是正方形，
∵AB＝BC＝CD＝DA＝8，AE＝BF＝CG＝DH＝5，
∴EH＝FE＝GF＝GH＝＝，
∴四边形EFGH的面积是：×＝34，
故选：B．
14．解：连接MC，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，∠DBC＝45°，
∵ME⊥BC于E，MF⊥CD于F
∴四边形MECF为矩形，
∴EF＝MC，
当MC⊥BD时，MC取得最小值，
此时△BCM是等腰直角三角形，
∴MC＝BC＝2，
∴EF的最小值为2；
故选：B．
15．解：根据等边三角形和正方形的性质可知AB＝AE，
∴∠BAE＝90°+60°＝150°，
∴∠AEB＝（180°﹣150°）÷2＝15°．
故答案为：15°
16．解：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，
∴F、C、M三点共线，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，
∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
在△DEF和△DMF中，
，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF，
设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝2，且BC＝6，
∴BM＝BC+CM＝8，
∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x，
∵EB＝AB﹣AE＝4，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴FM＝5．
故答案为：5．
17．解：∵△ADE≌△ABF，
∴正方形ABCD的面积等于四边形AECF的面积，
∵四边形AECF的面积为8，
∴正方形ABCD的面积为8．
∴AD2＝8，
在Rt△ADE中，AE＝＝＝3，
故答案为：3．
18．（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，AE＝CM，
∴F、C、M三点共线，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，
∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
在△DEF和△DMF中，
∵，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF，
∴EF＝CF+AE；
（2）解：设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝2，且BC＝6，
∴BM＝BC+CM＝6+2＝8，
∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x，
∵EB＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
则EF＝5．
19．证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠C＝∠D＝90°．
∵E是BC的中点，且BF＝BE，
∴设BF＝x，则BE＝2x，AB＝CD＝DA＝BC＝4x，AF＝3x，
在Rt△BFE中，由勾股定理可得EF2＝BF2+BE2＝5x2，
同理可得：DF2＝25x2，DE＝20x2，
∴EF2+DE2＝DF2，
∴△DEF为直角三角形，
∴∠DEF＝90°．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠ACB＝∠ACD，
在△PBC和△PDC中，
，
∴△PBC≌△PDC（SAS），
∴PB＝PD，
∵PE＝PB，
∴PE＝PD；
（2）解：BC2+EC2＝2PE2，证明如下：
连接DE，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，BC＝CD，
由（1）得：△PBC≌△PDC，
∴∠PBC＝∠PDC，
∵PE＝PB，
∴∠PBC＝∠PEB，
∴∠PDC＝∠PEB，
∵∠PEB+∠PEC＝180°，
∴∠PDC+∠PEC＝180°，
∴∠EPD＝360°﹣（∠PDC+∠PEC）﹣∠BCD＝360°﹣180°﹣90°＝90°，
又∵PE＝PD，
∴△PDE是等腰直角三角形，
∴DE2＝PE2+PD2＝2PE2，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+EC2＝DE2，
∴BC2+EC2＝2PE2．
21．（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴四边形BECD是菱形；
（3）当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由是：
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，
∴∠ABC＝∠A＝45°，
∴AC＝BC，
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴菱形BECD是正方形，
即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．