2021-2022学年鲁教版（五四制）八年级数学下册6.2矩形的判定与性质 同步练习题（word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年鲁教版（五四制）八年级数学下册6.2矩形的判定与性质 同步练习题（word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 186.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-22 08:07:44 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-2矩形的判定与性质》同步练习题（附答案）
1．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于O点．若∠BOC＝120°，AC＝8，则AB的长为（ ）
A．6 B．4 C． D．
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E在边BC上，连接DE，若AE平分∠BED，则EC的长为（ ）
A． B． C． D．
3．矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．邻角互补
C．对边相等 D．对角线相等
4．如图，点E为矩形ABCD的边BC上的点，作DF⊥AE于点F，且满足DF＝AB．下面结论：①DE平分∠AEC；②△ADE为等腰三角形；③AF＝AB；
④AE＝BE+EF．其中正确的结论有多少个（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，AE＝5，且EO＝2BE，则OA的长为（ ）
A． B． C．3 D．
6．如图，在矩形ABCD中，F是BC中点，E是AD上一点，且∠ECD＝30°，∠BEC＝90°，EF＝4cm，则矩形的面积为（ ）
A．16cm2 B．8cm2 C．16cm2 D．32cm2
7．如图，四边形ABCD是矩形，∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，若AD＝4，AE＝10，则AB的长为（ ）
A．4.2 B．4.5 C．5.2 D．5.5
8．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ABO＝60°，若矩形的对角线长为6．则线段AD的长是（ ）
A．3 B．4 C．2 D．3
9．如图矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AO＝4，则AB的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
10．若O是四边形ABCD对角线的交点且OA＝OB＝OC＝OD，则四边形ABCD是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形
11．如图，要使 ABCD成为矩形，需添加的条件是（ ）
A．AB＝BC B．∠ABC＝90° C．AC⊥BD D．∠1＝∠2
12．检查一个门框是否为矩形，下列方法中正确的是（ ）
A．测量两条对角线，是否相等 B．测量两条对角线，是否互相平分
C．测量两条对角线，是否互相垂直 D．测量门框的三个角，是否都是直角
13．如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．AD＝AB D．∠BAD＝∠ADC
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为（ ）
A．24 B．3.6 C．4.8 D．5
15．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（ ）
A．1 B．1.3 C．1.2 D．1.5
16．下列命题错误的是（ ）
A．平行四边形的对边相等 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．对角线相等的四边形是矩形 D．矩形的对角线相等
17．如图，四边形ABDE是长方形，AC⊥DC于点C，交BD于点F，AE＝AC，∠ADE＝62°，则∠BAF的度数为 ．
18．如图，四边形OABC是矩形，A（2，1），B（0，5），点C在第二象限，则点C的坐标是 ．
19．在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，连接EF，则EF的最小值为 cm．
20．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当线段AB与线段AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
21．如图，将平行四边形ABCD的边AB延长至点E，使BE＝AB，连接DE，EC，DE，交BC于点O．
（1）求证：△ABD≌△BEC；
（2）连接BD，若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
22．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，F为DC上一点，且FC＝AB，E为AD上一点，EC交AF于点G．
（1）求证：四边形ABCF是矩形；
（2）若ED＝EC，求证：EA＝EG．
23．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，E是AD边的中点．M是AB边上一点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；
（2）请求出AM为何值时，四边形AMDN是矩形，并说明理由．
24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AD＝10，EC＝4，求AC的长度．
25．如图，在 ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝3，求DC的长度．
26．如图，在 ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连接CQ．
（1）若∠BPC＝∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；
（2）在（1）的条件下，当AP＝2，AD＝6时，求AQ的长．
27．如图，已知平行四边形ABCD中，M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM．
（1）求证：四边形AMCN是矩形；
（2）若∠BAD＝135°，CD＝2，AB⊥AC，求对角线MN的长．
28．如图，在 ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）连接AE交CD于点F，连接BF．若∠ABC＝60°，CE＝2，求BF的长．
参考答案
1．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝AC＝4，OB＝BD，AC＝BD，
∴OA＝OB＝4，
∵∠BOC＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝4；
故选：B．
2．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB＝CD＝3，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BED，
∴∠AED＝∠AEB，
∴∠AED＝∠DAE，
∴AD＝DE＝4，
∴EC＝＝＝，
故选：C．
3．解：A、平行四边形与矩形都具有两条对角线互相平分的性质，故A不符合题意；
B、平行四边形与矩形都不具有邻角互补的性质，故B不符合题意；
C、平行四边形与矩形都具有两组对边分别相等的性质，故C不符合题意；
D、平行四边形的两条对角线不相等，矩形具有两条对角线相等的性质，故D符合题意．
故选：D．
4．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠ABE＝90°，AD∥BC，AB＝CD，
∵DF＝AB，
∴DF＝CD，
∵DF⊥AE，
∴∠DFA＝∠DFE＝90°，
在Rt△DEF和Rt△DEC中，，
∴Rt△DEF≌Rt△DEC（HL），
∴∠FED＝∠CED，
∴DE平分∠AEC；
故①正确；
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAF，
在△ABE和△DFA中，
，
∴△ABE≌△DFA（AAS），
∴AE＝AD，
∴△ADE为等腰三角形；
故②正确；
∵△ABE≌△DFA，
∴不存在AF＝AB，
故③错误；
∵△ABE≌△DFA，
∴BE＝FA，
∴AE＝AF+EF＝BE+EF．
故④正确．
故正确的结论有①②④，三个．
故选：C．
5．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝CO＝BO＝DO，
∵EO＝2BE，
∴BO＝3BE＝OA，
∵AE2+EO2＝AO2，
∴25+4BE2＝9BE2，
∴BE＝，
∴OA＝3BE＝3，
故选：C．
6．解：∵F是BC中点，∠BEC＝90°，
∴EF＝BF＝FC，BC＝2EF＝2×4＝8cm，
∵∠ECD＝30°，
∴∠BCE＝90°﹣∠EBC＝90°﹣30°＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
过点E作EG⊥CF于G，
则EG＝EF＝×4＝2cm，
∴矩形的面积＝8×2＝16cm2．
故选：C．
7．解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴∠1＝∠E．
又∵∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠E．
∴BE＝BD．
∵AE＝10，
∴BD＝BE＝10﹣AB．
在直角△ABD中，AD＝4，BD＝10﹣AB，则由勾股定理知：AB＝＝．
∴AB＝4.2．
故选：A．
8．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝2AO，BD＝2BO，AC＝BD＝6，
∴AO＝OB＝3，
∵∠ABO＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝3＝OA，
∴AD＝＝＝3，
故选：A．
9．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝OC，BO＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝4，
故选：A．
10．解：∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．
故选：B．
11．解：A、AB＝BC，邻边相等，可判定平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；
B、一内角等于90°，可判断平行四边形ABCD成为矩形，符合题意；
C、对角线互相垂直，可判定平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；
D、对角线平分对角，可判断平行四边形ABCD成为菱形，不符合题意；
故选：B．
12．解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，
故A不符合题意；
∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
故B不符合题意，
∵两条对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，
故C不符合题意；
∵三个角都是直角的四边形是矩形，
故D符合题意；
故选：D．
13．解：A．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
B．根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
C．不能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项符合题意；
D．平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
又∵∠BAD＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意．
故选：C．
14．解：连接PC，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°，
∴四边形ECFP是矩形，
∴EF＝PC，
∴当PC最小时，EF也最小，
即当CP⊥AB时，PC最小，
∵AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
∴PC的最小值为：＝4.8．
∴线段EF长的最小值为4.8．
故选：C．
15．解：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴∠EAF＝90°，
∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF，AP互相平分．且EF＝AP，
∴EF，AP的交点就是M点．
∵当AP的值最小时，AM的值就最小，
∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．
∵AP BC＝AB AC，
∴AP BC＝AB AC．
∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴5AP＝3×4，
∴AP＝2.4，
∴AM＝1.2；
故选：C．
16．解：平行四边形的性质有平行四边形的对边相等，故A选项错误；
平行四边形的判定定理有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故B选项错误；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项正确；
D、矩形的性质有矩形的对角线相等，故D选项错误；
故选：C．
17．解：∵四边形ABDE是矩形，
∴∠BAE＝∠E＝90°，
∵∠ADE＝62°，
∴∠EAD＝28°，
∵AC⊥CD，
∴∠C＝∠E＝90°
∵AE＝AC，AD＝AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）
∴∠EAD＝∠CAD＝28°，
∴∠BAF＝90°﹣28°﹣28°＝34°，
故答案为：34°．
18．解：作AM⊥x轴于M，CN⊥y轴于N，如图所示：
则∠AMO＝∠BNC＝90°，
∴∠AOM+∠OAM＝90°，
∵A（2，1），B（0，5），
∴OM＝2，AM＝1，OB＝5，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC＝AO，∠AOC＝90°，BC∥OA，
∴∠CBN＝∠AOB，
∵∠AOM+∠AOB＝90°，
∴∠CBN＝∠AOB＝∠OAM，
在△BCN和△AOM中，，
∴△BCN≌△AOM（AAS），
∴BN＝AM＝1，CN＝OM＝2，
∴ON＝OB﹣BN＝4，
∴点C的坐标是（﹣2，4）；
故答案为：（﹣2，4）．
19．解：∵AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°，
∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
∴四边形AEPF为矩形，
连接AP，如图，EF＝AP，当AP的值最小时，EF的值最小，
当AP⊥BC时，AP的值最小，
根据△ABC面积公式，×AB AC＝×AP BC，
∴AP＝＝＝，
∴EF的最小值为．
故答案为．
20．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE＝OB，DF＝OD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：
∵AC＝2OA，AC＝2AB，
∴AB＝OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG＝90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG∥CF，
∴EG∥CF，
∵EG＝AE，OA＝OC，
∴OE是△ACG的中位线，
∴OE∥CG，
∴EF∥CG，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG＝90°，
∴四边形EGCF是矩形．
21．证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，则BE∥CD．
又∵AB＝BE，
∴BE＝DC，
∴四边形BECD为平行四边形，
∴BD＝EC．
∴在△ABD与△BEC中，
，
∴△ABD≌△BEC（SSS）；
（2）由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD＝OE，OC＝OB．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠BCD，即∠A＝∠OCD．
又∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠OCD+∠ODC，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴OC＝OD，
∴OC+OB＝OD+OE，即BC＝ED，
∴平行四边形BECD为矩形．
22．（1）证明：∵AB∥DC，FC＝AB，
∴四边形ABCF是平行四边形．
∵∠B＝90°，
∴四边形ABCF是矩形．
（2）证明：由（1）可得，∠AFC＝90°，
∴∠DAF＝90°﹣∠D，∠CGF＝90°﹣∠ECD．
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD．
∴∠DAF＝∠CGF．
∵∠EGA＝∠CGF，
∴∠EAG＝∠EGA．
∴EA＝EG．
23．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴ND∥AM．
∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME
∵点E是AD中点，∴DE＝AE
∵在△NDE和△MAE中，
∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME，DE＝AE，
∴△NDE≌△MAE（AAS）．
∴ND＝MA
∴四边形AMDN是平行四边形．
（2）当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形．理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝2．
∵AM＝AD＝1，
∴∠ADM＝30°
∵∠DAM＝60°，
∴∠AMD＝90°，
∴平行四边形AMDN是矩形．
24．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，AD＝10，
∴AD＝AB＝BC＝10，
∵EC＝4，
∴BE＝10﹣4＝6，
在Rt△ABE中，AE＝，
在Rt△AEC中，AC＝．
25．证明（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴DC∥AB，DC＝AB
∵CF＝AE
∴DF＝BE且DC∥AB
∴四边形DFBE是平行四边形
又∵DE⊥AB
∴四边形DFBE是矩形；
（2）∵∠DAB＝60°，AD＝3，DE⊥AB
∴AE＝，DE＝AE＝
∵四边形DFBE是矩形
∴BF＝DE＝
∵AF平分∠DAB
∴∠FAB＝∠DAB＝30°，且BF⊥AB
∴AB＝BF＝
∴CD＝
26．（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，
又∠BPC＝∠AQP，
∴∠CPQ＝∠A，
∵PQ⊥CP，
∴∠A＝∠CPQ＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠D＝∠CPQ＝90°，在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，，
∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL）），
∴DQ＝PQ，
设AQ＝x，则DQ＝PQ＝6﹣x
在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2
∴x2+22＝（6﹣x）2，
解得：x＝
∴AQ的长是．
27．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵AC＝2OM，
∴MN＝AC，
∴平行四边形AMCN是矩形；
（2）解：由（1）得：MN＝AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝2，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∴∠ABC＝45°，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝AB＝2，
∴MN＝2．
28．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠CAD＝∠ACB＝90°．
又∵∠ACE＝90°，DE⊥BC，
∴四边形ACED是矩形．
（2）解：∵四边形ACED是矩形，
∴AD＝CE＝2，AF＝EF，AE＝CD．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝2，AB＝CD．
∴AB＝AE．
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形．
∴∠BFE＝90°，．
在Rt△BFE中，．
1．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于O点．若∠BOC＝120°，AC＝8，则AB的长为（ ）
A．6 B．4 C． D．
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E在边BC上，连接DE，若AE平分∠BED，则EC的长为（ ）
A． B． C． D．
3．矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．邻角互补
C．对边相等 D．对角线相等
4．如图，点E为矩形ABCD的边BC上的点，作DF⊥AE于点F，且满足DF＝AB．下面结论：①DE平分∠AEC；②△ADE为等腰三角形；③AF＝AB；
④AE＝BE+EF．其中正确的结论有多少个（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，AE＝5，且EO＝2BE，则OA的长为（ ）
A． B． C．3 D．
6．如图，在矩形ABCD中，F是BC中点，E是AD上一点，且∠ECD＝30°，∠BEC＝90°，EF＝4cm，则矩形的面积为（ ）
A．16cm2 B．8cm2 C．16cm2 D．32cm2
7．如图，四边形ABCD是矩形，∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，若AD＝4，AE＝10，则AB的长为（ ）
A．4.2 B．4.5 C．5.2 D．5.5
8．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ABO＝60°，若矩形的对角线长为6．则线段AD的长是（ ）
A．3 B．4 C．2 D．3
9．如图矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AO＝4，则AB的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
10．若O是四边形ABCD对角线的交点且OA＝OB＝OC＝OD，则四边形ABCD是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形
11．如图，要使 ABCD成为矩形，需添加的条件是（ ）
A．AB＝BC B．∠ABC＝90° C．AC⊥BD D．∠1＝∠2
12．检查一个门框是否为矩形，下列方法中正确的是（ ）
A．测量两条对角线，是否相等 B．测量两条对角线，是否互相平分
C．测量两条对角线，是否互相垂直 D．测量门框的三个角，是否都是直角
13．如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．AD＝AB D．∠BAD＝∠ADC
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为（ ）
A．24 B．3.6 C．4.8 D．5
15．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（ ）
A．1 B．1.3 C．1.2 D．1.5
16．下列命题错误的是（ ）
A．平行四边形的对边相等 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．对角线相等的四边形是矩形 D．矩形的对角线相等
17．如图，四边形ABDE是长方形，AC⊥DC于点C，交BD于点F，AE＝AC，∠ADE＝62°，则∠BAF的度数为 ．
18．如图，四边形OABC是矩形，A（2，1），B（0，5），点C在第二象限，则点C的坐标是 ．
19．在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，连接EF，则EF的最小值为 cm．
20．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当线段AB与线段AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
21．如图，将平行四边形ABCD的边AB延长至点E，使BE＝AB，连接DE，EC，DE，交BC于点O．
（1）求证：△ABD≌△BEC；
（2）连接BD，若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
22．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，F为DC上一点，且FC＝AB，E为AD上一点，EC交AF于点G．
（1）求证：四边形ABCF是矩形；
（2）若ED＝EC，求证：EA＝EG．
23．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，E是AD边的中点．M是AB边上一点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；
（2）请求出AM为何值时，四边形AMDN是矩形，并说明理由．
24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AD＝10，EC＝4，求AC的长度．
25．如图，在 ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝3，求DC的长度．
26．如图，在 ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连接CQ．
（1）若∠BPC＝∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；
（2）在（1）的条件下，当AP＝2，AD＝6时，求AQ的长．
27．如图，已知平行四边形ABCD中，M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM．
（1）求证：四边形AMCN是矩形；
（2）若∠BAD＝135°，CD＝2，AB⊥AC，求对角线MN的长．
28．如图，在 ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）连接AE交CD于点F，连接BF．若∠ABC＝60°，CE＝2，求BF的长．
参考答案
1．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝AC＝4，OB＝BD，AC＝BD，
∴OA＝OB＝4，
∵∠BOC＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝4；
故选：B．
2．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB＝CD＝3，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BED，
∴∠AED＝∠AEB，
∴∠AED＝∠DAE，
∴AD＝DE＝4，
∴EC＝＝＝，
故选：C．
3．解：A、平行四边形与矩形都具有两条对角线互相平分的性质，故A不符合题意；
B、平行四边形与矩形都不具有邻角互补的性质，故B不符合题意；
C、平行四边形与矩形都具有两组对边分别相等的性质，故C不符合题意；
D、平行四边形的两条对角线不相等，矩形具有两条对角线相等的性质，故D符合题意．
故选：D．
4．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠ABE＝90°，AD∥BC，AB＝CD，
∵DF＝AB，
∴DF＝CD，
∵DF⊥AE，
∴∠DFA＝∠DFE＝90°，
在Rt△DEF和Rt△DEC中，，
∴Rt△DEF≌Rt△DEC（HL），
∴∠FED＝∠CED，
∴DE平分∠AEC；
故①正确；
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAF，
在△ABE和△DFA中，
，
∴△ABE≌△DFA（AAS），
∴AE＝AD，
∴△ADE为等腰三角形；
故②正确；
∵△ABE≌△DFA，
∴不存在AF＝AB，
故③错误；
∵△ABE≌△DFA，
∴BE＝FA，
∴AE＝AF+EF＝BE+EF．
故④正确．
故正确的结论有①②④，三个．
故选：C．
5．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝CO＝BO＝DO，
∵EO＝2BE，
∴BO＝3BE＝OA，
∵AE2+EO2＝AO2，
∴25+4BE2＝9BE2，
∴BE＝，
∴OA＝3BE＝3，
故选：C．
6．解：∵F是BC中点，∠BEC＝90°，
∴EF＝BF＝FC，BC＝2EF＝2×4＝8cm，
∵∠ECD＝30°，
∴∠BCE＝90°﹣∠EBC＝90°﹣30°＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
过点E作EG⊥CF于G，
则EG＝EF＝×4＝2cm，
∴矩形的面积＝8×2＝16cm2．
故选：C．
7．解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴∠1＝∠E．
又∵∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠E．
∴BE＝BD．
∵AE＝10，
∴BD＝BE＝10﹣AB．
在直角△ABD中，AD＝4，BD＝10﹣AB，则由勾股定理知：AB＝＝．
∴AB＝4.2．
故选：A．
8．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝2AO，BD＝2BO，AC＝BD＝6，
∴AO＝OB＝3，
∵∠ABO＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝3＝OA，
∴AD＝＝＝3，
故选：A．
9．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝OC，BO＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝4，
故选：A．
10．解：∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．
故选：B．
11．解：A、AB＝BC，邻边相等，可判定平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；
B、一内角等于90°，可判断平行四边形ABCD成为矩形，符合题意；
C、对角线互相垂直，可判定平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；
D、对角线平分对角，可判断平行四边形ABCD成为菱形，不符合题意；
故选：B．
12．解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，
故A不符合题意；
∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
故B不符合题意，
∵两条对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，
故C不符合题意；
∵三个角都是直角的四边形是矩形，
故D符合题意；
故选：D．
13．解：A．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
B．根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
C．不能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项符合题意；
D．平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
又∵∠BAD＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意．
故选：C．
14．解：连接PC，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°，
∴四边形ECFP是矩形，
∴EF＝PC，
∴当PC最小时，EF也最小，
即当CP⊥AB时，PC最小，
∵AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
∴PC的最小值为：＝4.8．
∴线段EF长的最小值为4.8．
故选：C．
15．解：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴∠EAF＝90°，
∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF，AP互相平分．且EF＝AP，
∴EF，AP的交点就是M点．
∵当AP的值最小时，AM的值就最小，
∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．
∵AP BC＝AB AC，
∴AP BC＝AB AC．
∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴5AP＝3×4，
∴AP＝2.4，
∴AM＝1.2；
故选：C．
16．解：平行四边形的性质有平行四边形的对边相等，故A选项错误；
平行四边形的判定定理有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故B选项错误；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项正确；
D、矩形的性质有矩形的对角线相等，故D选项错误；
故选：C．
17．解：∵四边形ABDE是矩形，
∴∠BAE＝∠E＝90°，
∵∠ADE＝62°，
∴∠EAD＝28°，
∵AC⊥CD，
∴∠C＝∠E＝90°
∵AE＝AC，AD＝AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）
∴∠EAD＝∠CAD＝28°，
∴∠BAF＝90°﹣28°﹣28°＝34°，
故答案为：34°．
18．解：作AM⊥x轴于M，CN⊥y轴于N，如图所示：
则∠AMO＝∠BNC＝90°，
∴∠AOM+∠OAM＝90°，
∵A（2，1），B（0，5），
∴OM＝2，AM＝1，OB＝5，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC＝AO，∠AOC＝90°，BC∥OA，
∴∠CBN＝∠AOB，
∵∠AOM+∠AOB＝90°，
∴∠CBN＝∠AOB＝∠OAM，
在△BCN和△AOM中，，
∴△BCN≌△AOM（AAS），
∴BN＝AM＝1，CN＝OM＝2，
∴ON＝OB﹣BN＝4，
∴点C的坐标是（﹣2，4）；
故答案为：（﹣2，4）．
19．解：∵AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°，
∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
∴四边形AEPF为矩形，
连接AP，如图，EF＝AP，当AP的值最小时，EF的值最小，
当AP⊥BC时，AP的值最小，
根据△ABC面积公式，×AB AC＝×AP BC，
∴AP＝＝＝，
∴EF的最小值为．
故答案为．
20．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE＝OB，DF＝OD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：
∵AC＝2OA，AC＝2AB，
∴AB＝OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG＝90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG∥CF，
∴EG∥CF，
∵EG＝AE，OA＝OC，
∴OE是△ACG的中位线，
∴OE∥CG，
∴EF∥CG，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG＝90°，
∴四边形EGCF是矩形．
21．证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，则BE∥CD．
又∵AB＝BE，
∴BE＝DC，
∴四边形BECD为平行四边形，
∴BD＝EC．
∴在△ABD与△BEC中，
，
∴△ABD≌△BEC（SSS）；
（2）由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD＝OE，OC＝OB．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠BCD，即∠A＝∠OCD．
又∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠OCD+∠ODC，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴OC＝OD，
∴OC+OB＝OD+OE，即BC＝ED，
∴平行四边形BECD为矩形．
22．（1）证明：∵AB∥DC，FC＝AB，
∴四边形ABCF是平行四边形．
∵∠B＝90°，
∴四边形ABCF是矩形．
（2）证明：由（1）可得，∠AFC＝90°，
∴∠DAF＝90°﹣∠D，∠CGF＝90°﹣∠ECD．
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD．
∴∠DAF＝∠CGF．
∵∠EGA＝∠CGF，
∴∠EAG＝∠EGA．
∴EA＝EG．
23．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴ND∥AM．
∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME
∵点E是AD中点，∴DE＝AE
∵在△NDE和△MAE中，
∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME，DE＝AE，
∴△NDE≌△MAE（AAS）．
∴ND＝MA
∴四边形AMDN是平行四边形．
（2）当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形．理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝2．
∵AM＝AD＝1，
∴∠ADM＝30°
∵∠DAM＝60°，
∴∠AMD＝90°，
∴平行四边形AMDN是矩形．
24．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，AD＝10，
∴AD＝AB＝BC＝10，
∵EC＝4，
∴BE＝10﹣4＝6，
在Rt△ABE中，AE＝，
在Rt△AEC中，AC＝．
25．证明（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴DC∥AB，DC＝AB
∵CF＝AE
∴DF＝BE且DC∥AB
∴四边形DFBE是平行四边形
又∵DE⊥AB
∴四边形DFBE是矩形；
（2）∵∠DAB＝60°，AD＝3，DE⊥AB
∴AE＝，DE＝AE＝
∵四边形DFBE是矩形
∴BF＝DE＝
∵AF平分∠DAB
∴∠FAB＝∠DAB＝30°，且BF⊥AB
∴AB＝BF＝
∴CD＝
26．（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，
又∠BPC＝∠AQP，
∴∠CPQ＝∠A，
∵PQ⊥CP，
∴∠A＝∠CPQ＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠D＝∠CPQ＝90°，在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，，
∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL）），
∴DQ＝PQ，
设AQ＝x，则DQ＝PQ＝6﹣x
在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2
∴x2+22＝（6﹣x）2，
解得：x＝
∴AQ的长是．
27．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵AC＝2OM，
∴MN＝AC，
∴平行四边形AMCN是矩形；
（2）解：由（1）得：MN＝AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝2，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∴∠ABC＝45°，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝AB＝2，
∴MN＝2．
28．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠CAD＝∠ACB＝90°．
又∵∠ACE＝90°，DE⊥BC，
∴四边形ACED是矩形．
（2）解：∵四边形ACED是矩形，
∴AD＝CE＝2，AF＝EF，AE＝CD．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝2，AB＝CD．
∴AB＝AE．
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形．
∴∠BFE＝90°，．
在Rt△BFE中，．