2021-2022学年北师大版八年级数学下册1.4角的平分线 综合提升训练（word版含解析）

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-4角的平分线》综合提升训练（附答案）
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AD＝3CD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，BC＝5，DC＝2，AC＝3，则AB的值等于（　　）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD＝3，则△ABD的面积为（　　）
A．15 B．30 C．12 D．10
4．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是10、15、20．其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
5．如图，已知AB+AC＝18，点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC于D．若OD＝3，则四边形ABOC的面积是（　　）
A．36 B．27 C．20 D．18
6．点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边距离等于8，点Q是OB边上的任意一点，则下列选项正确的是（　　）
A．PQ＞8 B．PQ≥8 C．PQ＜8 D．PQ≤8
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC＝14，且AD：DC＝4：3，则点D到AB的距离DE是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，E为∠BAC平分线AP上一点，AB＝4，△ABE的面积为12，则点E到直线AC的距离为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AB＝10，∠CAB和∠ABC的平分线交于点O，OM⊥BC于点M，则OM的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点E是射线OB上的一个动点，若PD＝3，则PE的最小值（　　）
A．等于3 B．大于3 C．小于3 D．无法确定
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若AC＝3，BC＝4，则S△ABD：S△ACD为（　　）
A．5：4 B．5：3 C．4：3 D．3：4
12．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC等于（　　）
A．110° B．115° C．125° D．130°
13．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于D和E，再分别以点D、E为圆心，大于二分之一DE为半径作弧，两弧交于点F，连接AF并延长交BC于点G，GH⊥AC于H，GH＝2，则△ABG的面积为（　　）
A．4 B．5 C．9 D．10
14．如图，∠MON＝60°，OA平分∠MON，P是射线OA上的一点，且OP＝4，若点Q是射线OM上的一个动点，则PQ的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．如图，CD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．若△ABC的面积为10cm2，AC＝4cm，BC＝6cm，则DE的为　 　cm．
16．如图，四边形ABCD中，∠BCD＝90°，∠ABD＝∠DBC，AB＝4，DC＝6，则△ABD的面积为　 　．
17．有三条两两相交的公路，要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，那么加油站可建的地点有　 　个．
18．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为30，40，15，点P是△ABC三个内角平分线的交点，则S△PAB：S△PBC：S△PCA＝　 　．
19．如图，在△ABC中∠ABC和∠ACB平分线交于点O，过点O作OD⊥BC于点D，△ABC的周长为21，OD＝4，则△ABC的面积是　 　．
20．如图，在直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，已知点D的坐标是（0，﹣4），AB的长是12，则△ABD的面积为　 　．
21．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，EF经过点O，分别交AB，AC于点E，F，BE＝OE，OF＝3cm，点O到BC的距离为4cm，则△OFC的面积为　 　cm2．
22．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4．AD平分∠BAC交BC于点D，则点D到AB的距离为　 　．
23．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是 　 　．
24．已知，如图，∠C＝∠D＝90°，E是CD的中点，BE平分∠ABC．求证：AE平分∠DAB．
25．在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
（1）若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠BOC的度数；
（2）若∠ABC＝60°，OB＝4，且△ABC的周长为16，求△ABC的面积．
26．已知，如图，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线．
（1）求证：BD＝2CD；
（2）若CD＝2，求△ABD的面积．
27．如图，AP，CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P．求证：BP为∠MBN的平分线．
28．如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由．
29．如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．
30．（1）如图，已知△ABC的周长是20，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，求△ABC的面积．
（2）计算：3a（2a2﹣9a+3）﹣4a（2a﹣1）．
31．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA，BE∥DF．求证：DC⊥BC．
32．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，AD平分∠BAC，交BC边于点D，若CD＝2，求△ABD的面积．
参考答案
1．解：过点D作DE⊥AB于点E，如图所示.
∵AC＝4，AD＝3CD，
∴CD＝AC＝1．
又∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DC＝1．
故选：A．
2．解：过D点作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如图，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DF，
∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC，
∵S△ABD：S△ACD＝BD：CD，
∴AB：AC＝BD：CD，即AB：3＝3：2，
∴AB＝4.5．
故选：C．
3．解：过D点作DE⊥AB于E，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC＝3，
∴S△ABD＝×10×3＝15．
故选：A．
4．解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵点O是内心，
∴OE＝OF＝OD，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝ AB OE： BC OF： AC OD＝AB：BC：AC＝2：3：4，
故选：C．
5．解：
过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，OD⊥BC于D，OD＝3，
∴OE＝OD＝3，OF＝OD＝3，
∵AB+AC＝18，
∴四边形ABOC的面积S＝S△ABO+S△ACO＝
＝
＝×（AB+AC）
＝×18
＝27，
故选：B．
6．解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于8，
∴点P到OB的距离为8，
∵点Q是OB边上的任意一点，
∴PQ≥8．
故选：B．
7．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，
∴DE＝CD，
∵AC＝14，且AD：DC＝4：3，
∴DC＝14×＝6，
∴DE＝CD＝6，
即点D到AB的距离DE等于6，
故选：D．
8．解：∵AB＝4，△ABE的面积为12，
∴点E到直线AB的距离＝，
∵E为∠BAC平分线AP上一点，
∴点E到直线AC的距离＝6，
故选：D．
9．解：过O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，
∵AO平分∠CAB，OB平分∠ABC，
∴OD＝OE＝OM，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AB＝10，
∴S△ABC＝AC BC＝×AB OE+AC OD+BC OM，
∴＝+ OM+，
∴OM＝2，
故选：B．
10．解：过P点作PH⊥OB于H，如图，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PH⊥OB于H，
∴PH＝PD＝3，
∵点E是射线OB上的一个动点，
∴点E与H点重合时，PE有最小值，最小值为3．
故选：A．
11．解：过D作DF⊥AB于F，
∵AD平分∠CAB，∠C＝90°（即AC⊥BC），
∴DF＝CD，
设DF＝CD＝R，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB＝＝5，
∴S△ABD＝＝＝R，S△ACD＝＝＝R，
∴S△ABD：S△ACD＝（R）：（R）＝5：3，
故选：B．
12．解：∵O到三角形三边距离相等，
∴O是△ABC的内心，即三条角平分线交点，
∴AO，BO，CO都是角平分线，
∴∠CBO＝∠ABO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠OBC+∠OCB＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣70°＝110°，
故选：A．
13．解：作GM⊥AB于M，如图，
由作法得AG平分∠BAC，
而GH⊥AC，GM⊥AB，
∴GM＝GH＝2，
∴S△ABG＝×5×2＝5．
故选：B．
14．解：作PQ′⊥OM于Q′，
∵∠MON＝60°，OP平分∠MON，
∴∠POQ′＝30°，
∴PQ′＝OP＝2，
由垂线段最短可知，PQ的最小值是2，
故选：B．
15．解：∵CD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，
∴DF＝DE，
设DE＝x，则DF＝x，
∵S△DBC+S△DAC＝S△ABC，
∴×6 x+×4 x＝10，解得x＝2，
即DE的长为2cm．
故答案为2．
16．解：过D作DE⊥BA，交BA的延长线于E，
∵∠BCD＝90°，∠ABD＝∠DBC，
∴DE＝DC，
∵DC＝6，
∴DE＝6，
∵AB＝4，
∴△ABD的面积是＝＝12，
故答案为：12．
17．解：如图，加油站可建的地点有4个．
故答案为4．
18．解：∵点P是△ABC三个内角平分线的交点，
∴P点到三边的距离相等，
设这个距离为m，
∴S△PAB：S△PBC：S△PCA＝×AB×m：×BC×m：×AC×m
＝AB：BC：AC
＝30：40：15
＝6：8：3．
故答案为6：8：3．
19．解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵OB是∠ABC的平分线，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE＝OD＝4，
同理OF＝OD＝4，
△ABC的面积＝×AB×4+×AC×4+×BC×4＝42．
故答案为：42．
20．解：作DE⊥AB于E，如图，
∵点D的坐标是（0，﹣4），
∴OD＝4，
∵AD是Rt△OAB的角平分线，
∴DE＝OD＝4，
∴S△ABD＝×12×4＝24．
故答案为24．
21．解：∵BE＝OE，
∴∠EBO＝∠EOB，
∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO＝∠CBO，
∴∠EOB＝∠CBO，
∴EF∥BC，
∵点O到BC的距离为4cm，
∴△COF中OF边上的高为4cm，
又∵OF＝3cm，
∴△OFC的面积为×3×4＝6cm2．
故答案为：6．
22．解：作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DF，
∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4．
∴＝+，
即＝，
解得，DE＝DF＝，
∴点D到AB的距离为，
故答案为：．
23．解：过点D作DE⊥BA的延长线于点E，如图所示．
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DC＝4，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD，
＝AB DE+BC CD，
＝×6×4+×9×4，
＝30．
故答案为：30．
24．证明：过E点作EF⊥AB于F，如图，
∵BE平分∠ABC，EC⊥BC，EF⊥AB，
∴EC＝EF，
∵E是CD的中点，
∴ED＝EC，
∴EF＝ED，
而EF⊥AB，ED⊥AD，
∴AE平分∠DAB．
25．解：（1）∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∵∠ABC＝60°，∠ACB＝40°
∴∠OBC＝30°，∠OCB＝20°，
∴∠COB＝180°﹣（30°+20°）＝130°；
（2）过O作OD⊥AB于D点，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接AO，如图，
∵∠ABC＝60°，OB＝4
∴∠OBD＝30°，
∴OD＝OB＝2，
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴OE＝OF＝OD＝2，
∵S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△BOC
＝×2×AB+×2×AC+×2×BC
＝AB+BC+AC，
又∵△ABC的周长为16，
∴S△ABC＝16．
26．解：（1）如图，过D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，
∴DE＝CD，
又∵∠B＝30°，
∴Rt△BDE中，DE＝BD，
∴BD＝2DE＝2CD；
（2）∵∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∴AD＝BD＝2CD＝4，
∴Rt△ACD中，AC＝＝2，
∴△ABD的面积为×BD×AC＝×4×2＝4．
27．证明：过P作三边AB、AC、BC的垂线段PD、PE、PF，
∵AP是△ABC的外角平分线，PD⊥AD，PF⊥AC，
∴PD＝PF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵CP是△ABC的外角平分线，PE⊥AC，PF⊥BC，
∴PE＝PF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
又∵PD＝PE，PD⊥AD，PE⊥AC，
∴BP为∠MBN的平分线（在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上）．
28．解：过点D分别作AE，AF的垂线，交AE于M，交AF于N
则∠CMD＝∠BND＝90°，
∵AD是∠EAF的平分线，
∴DM＝DN，
∵∠ACD+∠ABD＝180°，
∠ACD+∠MCD＝180°，
∴∠MCD＝∠NBD，
在△CDM和△BDN中，
∠CMD＝∠BND＝90°，
∠MCD＝∠NBD，
DM＝DN，
∴△CDM≌△BDN，
∴CD＝DB．
29．解：PC与PD相等．理由如下：
过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．
∵OM平分∠AOB，点P在OM上，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE＝PF（角平分线上的点到角两边的距离相等）
又∵∠AOB＝90°，∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴四边形OEPF为矩形，
∴∠EPF＝90°，
∴∠EPC+∠CPF＝90°，
又∵∠CPD＝90°，
∴∠CPF+∠FPD＝90°，
∴∠EPC＝∠FPD＝90°﹣∠CPF．
在△PCE与△PDF中，
∵，
∴△PCE≌△PDF（ASA），
∴PC＝PD．
30．解：（1）如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OE＝OF＝OD＝3，
∵△ABC的周长是20，OD⊥BC于D，且OD＝3，
∴S△ABC＝×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF＝×（AB+BC+AC）×3
＝×20×3＝30，
（2）3a（2a2﹣9a+3）﹣4a（2a﹣1）＝6a3﹣27a2+9a﹣8a2+4a＝6a3﹣35a2+13a．
31．证明：∵在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠CDA，
∴∠EBC＝∠ABC，∠FDC＝∠ADC，
∴∠EBC+∠FDC＝90°，
∵DF∥BE，
∴∠DFC＝∠EBC，
∴∠DFC+∠FDC＝90°，
∴∠C＝90°，
∴DC⊥BC．
32．解：作DE⊥AB于E，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC＝2，
∴S△ABD＝×AB×DE＝×8×2＝8．