2021-2022学年北师大版八年级数学下册1.1等腰三角形 同步练习（word版含解析）

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-1等腰三角形》同步练习（附答案）
1．等腰三角形底边上的高与底边的比是1：2，则它的顶角等于（　　）
A．60° B．90° C．120° D．150°
2．下列说法中，正确的有（　　）
①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；④等腰三角形是轴对称图形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点，已知图中A、B为两格点，请在图中再寻找另一格点C，使△ABC成为等腰三角形．则满足条件的C点的个数为（　　）
A．10个 B．8个 C．6个 D．4个
4．等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为（　　）
A．17 B．22 C．13 D．17或22
5．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（　　）
A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20°
6．如图，△ABC中，AB＝AC＝BD，AD＝DC，则∠BAC的度数为（　　）
A．120° B．108° C．100° D．135°
7．O为锐角△ABC的∠C平分线上一点，O关于AC，BC的对称点分别为P，Q，则△PCQ一定是（　　）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
8．如图，在等腰△ABC中，∠A＝36°，BD平分∠B交AC于点D，则∠BDC等于（　　）
A．36° B．60° C．72° D．90°
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝100°，AC＝AE，BC＝BD，则∠DCE的度数为（　　）
A．20° B．25° C．30° D．40°
10．下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是（　　）
A．两边之和大于第三边
B．有一个角的平分线垂直于这个角的对边
C．有两个锐角的和等于90°
D．内角和等于180°
11．等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为（　　）
A．65° B．65°或80° C．50°或65° D．40°
12．如图，在△ABC中，AC＝BC，D、E分别是AB、AC上一点，且AD＝AE，连接DE并延长交BC的延长线于点F，若DF＝BD，则∠A的度数为（　　）
A．30 B．36 C．45 D．72
13．已知等腰三角形周长为40，则腰长y关于底边长x的函数图象是（　　）
A．B．C．D．
14．如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，点D在AC上，BC＝BD，DE∥BC交AB于点E，则图中等腰三角形共有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
15．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠A＝36°，P是△ABC内一点，且∠1＝∠2，则∠BPC的度数为（　　）
A．72° B．108° C．126° D．144°
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB，∠A＝36°，则∠BDC的度数为 　 　．
17．已知等腰三角形一边等于3，一边等于6，则其周长等于　 　．
18．已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为　 　．
19．如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是　 　cm．
20．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC 边上，AB＝AC，BE＝BC，AE＝DE＝DB，那么∠A＝　 　度．
21．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为　 　．
22．如图，在△ABC中，AD＝BD，AE＝EC，∠ADE＝84°，∠CAE＝25°，求∠BAD、∠AED和∠BAC的度数．
23．如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE．求证：△ABC是等腰三角形．（过D作DG∥AC交BC于G）
24．已知△ABC中，AC＝BC，∠C＝120°，点D为AB边的中点，∠EDF＝60°，DE、DF分别交AC、BC于E、F点．
（1）如图1，若EF∥AB．求证：DE＝DF．
（2）如图2，若EF与AB不平行．则问题（1）的结论是否成立？说明理由．
参考答案
1．解：∵AB＝AC，AD是底边BC上的高
∴BD＝DC
又∵底边上的高与底边的比是1：2
∴AD＝BD＝DC
∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝∠C
∵∠B+∠BAD+∠CAD+∠C＝180°
∴∠BAC＝90°
故选：B．
2．解：①等腰三角形的两腰相等，正确；
②等腰三角形的两底角相等，正确；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等，正确；
④等腰三角形是轴对称图形，对称轴就是底边上的高所在的直线，正确．
故选：D．
3．解：如图，AB是腰长时，红色的4个点可以作为点C，
AB是底边时，黑色的4个点都可以作为点C，
所以，满足条件的点C的个数是4+4＝8．
故选：B．
4．解：当腰长为4时，则三角形的三边长为：4、4、9；
∵4+4＜9，∴不能构成三角形；
因此这个等腰三角形的腰长为9，则其周长＝9+9+4＝22．
故选：B．
5．解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，
②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2＝20°，
综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．
故选：B．
6．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD＝DC，
∴∠DAC＝∠C，
∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝2∠C，
∵AB＝DB，
∴∠BAD＝∠ADB＝2∠C，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝3∠C，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴5∠C＝180°，
∴∠C＝36°，
∴∠BAC＝108°．
故选：B．
7．解：由题意可得，OC平分∠ACB，OP＝OQ，则△OPC≌△OQC，
∴PC＝QC，即△PCQ一定是等腰三角形．
故选：B．
8．解：∵在等腰△ABC中，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180﹣36）＝72°，
∵BD平分∠B交AC于点D，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠B＝×72＝36°
∴∠BDC＝180﹣36﹣72＝72°．
故选：C．
9．解：∵AC＝AE，BC＝BD
∴设∠AEC＝∠ACE＝x°，∠BDC＝∠BCD＝y°，
∴∠A＝180°﹣2x°，
∠B＝180°﹣2y°，
∵∠ACB+∠A+∠B＝180°，
∴100+（180°﹣2x°）+（180°﹣2y°）＝180，得x°+y°＝140°，
∴∠DCE＝180°﹣（∠AEC+∠BDC）＝180°﹣（x°+y°）＝40°．
故选：D．
10．解：A、对于任意一个三角形都有两边之和大于第三边，不符合题意；
B、等腰三角形顶角的平分线垂直于顶角的对边，而直角三角形（等腰直角三角形除外）没有任何一个角的平分线垂直于这个角的对边，符合题意；
C、只有直角三角形才有两个锐角的和等于90°，不符合题意；
D、对于任意一个三角形都有内角和等于180°，不符合题意．
故选：B．
11．解：当50°是等腰三角形的顶角时，则底角为（180°﹣50°）×＝65°；
当50°是底角时亦可．
故选：C．
12．解：∵CA＝CB，
∴∠A＝∠B，设∠A＝∠B＝x．
∵DF＝DB，
∴∠B＝∠F＝x，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝∠B+∠F＝2x，
∴x+2x+2x＝180°，
∴x＝36°，
故选：B．
13．解：∵等腰三角形的周长为40，其中腰长为y，底边长为x，
∴x+2y＝40，
∴y＝20﹣x，
∵20＜2y＜40，
∴自变量x的取值范围是0＜x＜20，y的取值范围是10＜y＜20．
故选：D．
14．解：在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，
∴∠ABC＝∠C＝＝72°，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠DBC＝36°，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∴BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC＝36°，
∴∠ABD＝∠EDB＝∠A，
∴AD＝BD，EB＝ED，
即△ABD和△EBD是等腰三角形，
∵∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
即△BCD是等腰三角形，
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ABC，∠ADE＝∠C，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AE＝AD，
即△AED是等腰三角形．
∴图中共有5个等腰三角形．
故选：C．
15．解：∵∠ABC＝∠ACB，∠A＝36°，
∴∠ACB＝（180°﹣36°）＝72°，即∠1+∠3＝72°．
∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠3＝72°，
在△BPC中，∠BPC＝180°﹣（∠2+∠3）＝180°﹣72°＝108°．
故选：B．
16．解：∵AB＝AC，CD平分∠ACB，∠A＝36°，
∴∠B＝（180°﹣36°）÷2＝72°，∠DCB＝36°．
∴∠BDC＝72°．
故答案为：72°．
17．解：当3为腰，6为底时，3+3＝6，不能构成等腰三角形；
当6为腰，3为底时，3+6＞6，能构成等腰三角形，周长为3+6+6＝15．
故填15．
18．解：①当4为底时，其它两边都为8，
4、8、8可以构成三角形，
周长为20；
②当4为腰时，
其它两边为4和8，
∵4+4＝8，
∴不能构成三角形，故舍去．
∴这个等腰三角形的周长为20．
故答案为：20．
19．解：当腰为3cm时，3+3＝6，不能构成三角形，因此这种情况不成立．
当腰为6cm时，6﹣3＜6＜6+3，能构成三角形；
此时等腰三角形的周长为6+6+3＝15cm．
故填15．
20．解：∵AE＝ED＝BD，
∴∠A＝∠ADE，∠DBE＝∠DEB，设∠A＝x，则∠DBE＝∠DEB＝x，
∵∠BEC＝∠A+∠ABE，BE＝BC，
∴∠C＝∠BEC＝x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝x，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴x+x+x＝180°，
∴x＝45°
故答案为45．
21．解：设两个角分别是x，4x
①当x是底角时，根据三角形的内角和定理，得x+x+4x＝180°，解得，x＝30°，4x＝120°，即底角为30°，顶角为120°；
②当x是顶角时，则x+4x+4x＝180°，解得，x＝20°，从而得到顶角为20°，底角为80°；
所以该三角形的顶角为120°或20°．
故答案为：120°或20°．
22．解：∵AD＝BD，∠ADE＝84°，
∴∠B＝∠BAD＝84°÷2＝42°，
∵AE＝EC，∠CAE＝25°，
∴∠C＝∠CAE＝25°，
∴∠AED＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣42°﹣25°＝113°．
23．证明：过点D作DG∥AC交BC于点G，如图所示．
∵DG∥AC，
∴∠GDF＝∠E，∠DGB＝∠ACB．
在△GDF和△CEF中，，
∴△GDF≌△CEF（ASA），
∴GD＝CE．
∵BD＝CE，
∴BD＝GD，
∴∠B＝∠DGB＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
24．解：（1）∵EF∥AB．
∴∠FEC＝∠A＝30°．
∠EFC＝∠B＝30°
∴EC＝CF．
又∵AC＝BC
∴AE＝BF
D是AB中点．
∴DB＝AD
∴△ADE≌△BDF．
∴DE＝DF
（2）方法1：过D作DM⊥AC交AC于M，再作DN⊥BC交BC于N．
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
又∵∠ACB＝120°，
∴∠A＝∠B＝（180°﹣∠ACB）÷2＝30°，
∴∠ADM＝∠BDN＝60°，
∴∠MDN＝180°﹣∠ADM﹣∠BDN＝60°．
∵AC＝BC、AD＝BD，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴DM＝DN．
由∠MDN＝60°、∠EDF＝60°，可知：
一、当M与E重合时，N就一定与F重合．此时：
DM＝DE、DN＝DF，结合证得的DM＝DN，得：DE＝DF，但EF∥AB，不合题意．
二、当M落在C、E之间时，N就一定落在B、F之间．此时：
∠EDM＝∠EDF﹣∠MDF＝60°﹣∠MDF，
∠FDN＝∠MDN﹣∠MDF＝60°﹣∠MDF，
∴∠EDM＝∠FDN，
又∵∠DME＝∠DNF＝90°、DM＝DN，
∴△DEM≌△DFN（ASA），
∴DE＝DF．
三、当M落在A、E之间时，N就一定落在C、F之间．此时：
∠EDM＝∠MDN﹣∠EDN＝60°﹣∠EDN，
∠FDN＝∠EDF﹣∠EDN＝60°﹣∠EDN，
∴∠EDM＝∠FDN，
又∵∠DME＝∠DNF＝90°、DM＝DN，
∴△DEM≌△DFN（ASA），
∴DE＝DF．
综上一、二、三所述，得：DE＝DF．
方法2：连接CD，
∵△ABC是等腰三角形，点D为AB边的中点，
∴∠ACD＝∠BCD，
在线段AC上取点F′，使CF′＝CF，连接F′D，
在△CDF与△CDF′中，
，
∴△CDF≌△CDF′（SAS），
∴∠CFD＝∠CF′D，
在四边形CEDF中，∠ACB＝120°，∠EDF＝60°，
∴∠CED+∠CFD＝180°，
∴∠CED+∠CF′D＝180°，
∵∠CED+∠F′ED＝180°，
∴∠EF′D＝∠F′ED，
∴DE＝DF′，
∵DF′＝DF，
∴DE＝DF．