2021-2022学年苏科版数学七年级下册7.5多边形的内角和与外角和同步练习（培优）
一、单选题
1．（2019七下·宝应月考）如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，∠A=50°，P是△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC= （ ）
A．115° B．125° C．130° D．140°
2．（2021七下·姑苏期中）小明把一副含 ， 的直角三角板如图摆放，其中 ， ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2021七下·吴中月考）如图，在五边形ABCDE中， ，DP、CP分别平分 、 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020七下·江阴期中）图1是二环三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360 ，图2是二环四边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A =720 ，图3是二环五边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A =1080 …聪明的同学，请你直接写出二环十边形，S＝_____________度（ ）
A．1440 B．1800 C．2880 D．3600
5．（2020七下·江阴期中）如图， ， 为 的角平分线， 、 分别是 和 的角平分线，且 ，则以下 与 的关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020七下·徐州期中）如图所示，在四边形纸片ABCD中，∠A=80°，∠B=70°，将纸片沿着MN折叠，使C，D分别落在直线AB上的 ， 处，则∠ +∠ 等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
7．（2020七下·南京期中）如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE外部时，则∠A与∠1、∠2之间的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2020七下·江阴期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，点E、F在AB上，点G在DF的延长线上，且∠B=∠DFB，∠G=∠DEG，若∠BEG=29°，则∠BDE的度数为（ ）
A．61° B．58° C．65.5° D．59.5°
9．（2019七下·灌云月考）如图，已知△ABC的内角∠A=α，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…以此类推得到∠A2017，则∠A2017的度数是（ ）
A． α B．90+ α C． α D． α
10．（2019七下·江阴期中）如图，把一个三角形纸片ABC的三个顶角向内折叠之后（3个顶点不重合），那么图中 的度数和是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2020七下·南京期中）如图， ， ， ，则图中与 相等的角共有 个.
12．（2021七下·姑苏期中）如图， 的三个顶点 ， 和 分别在平行线 ， 上， 平分 ，交线段 于点 ，若 ， ，则 的大小为 .
13．（2021七下·姑苏月考）已知△ABC中，∠A=60°，∠ACB=40°，D为BC边延长线上一点，BM平分∠ABC，E为射线BM上一点.若直线CE垂直于△ABC的一边，则∠BEC= °.
14．（2020七上·响水期中）如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，点A、D分别落在点A1、D1处.若∠1＋∠2＝130°，则∠B＋∠C＝ °.
15．（2020七下·张家港期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝120°，∠B与∠ADC互为补角，点E在BC上，将△DCE沿DE翻折，得到△DC′E，若AB∥C′E，DC′平分∠ADE，则∠A的度数为 °.
16．（2020七下·扬州期末）如图，直线l1∥l2，∠A＝85°，∠B＝70°，则∠1－∠2＝ .
17．（2020七下·溧阳期末）如图，在直角三角形ABC中，点P、Q分别是AC、BC边上的两个动点，MP、NQ分别平分∠APQ和∠BQP，交AB于点M、N，MR、NR又分别平分∠BMP和∠ANQ，两条角平分线交于点R，则∠R＝ °.
18．（2020七下·无锡期中）如图，已知△ABC中，∠A=60°，BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB，连接DE，则∠BDE= °.
19．（2020七下·无锡月考）如图，在△ABC中，∠C=50°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于 °
20．（2020七下·太仓期中）如图，将长方形纸片 沿着 ，折叠后，点 分别落在点 D'、C' 的位置， 的延长线交 于点 .若 ，则 等于 度.
21．（2021七下·江都期末）如图， 沿 折叠使点A落在点 处， 、 分别是 、 平分线，若 ， ，则 °.
三、解答题
22．（2020七上·响水期中）如图，DE∥BF，∠1与∠2互补.
（1）试说明：FG∥AB；
（2）若∠CFG=60°，∠2=150°，则DE与AC垂直吗？请说明理由.
23．（2020七下·江阴月考）已知：∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点(A、B、C不与点O 重合)，连接AC交射线OE于点D.设∠OAC＝x°.
（1）如图1，若AB∥ON，则
①∠ABO的度数是 °；
②当∠BAD＝∠ABD时，x＝ °；当∠BAD＝∠BDA时，x＝ °.
（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由.
24．（2020七下·无锡期中）如图， AE、 DE、 BF、 CF 分别是四边形 ABCD（四边不相等）的内角角平分线，AE、 BF 交于点 G， DE、 CF 交于点 H.
（1）探索∠FGE
与∠FHE 有怎样的数量关系，并说明理由.
（2）∠FGE
与∠FHE 有没有可能相等？若相等，则四边形 ABCD 的边有何结论？请说明理由.
25．（2021七下·相城月考）如图(1)所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规.我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图(2)，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、图(1)XZ恰好经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX =_▲_°；
②如图(3)DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；（写出解答过程）
③如图（4），∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2 、G9，若∠BDC=140°，∠BG1C=77°，则∠A的度数=_▲_°.
26．（2021七下·苏州月考）直线 与直线 垂直相交于O，点A在直线 上运动，点B在直线 上运动.
（1）如图1，已知 ， 分别是 和 角的平分线，点A、B在运动的过程中， 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出 的大小.
（2）如图2，已知 不平行 ， 、 分别是 和 的角平分线，又 、 分别是 和 的角平分线，点A、B在运动的过程中， 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值.
（3）如图3，延长 至G，已知 ， 的角平分线与 的角平分线及延长线相交于E、F，在 中，如果有一个角是另一个角的3倍，直接写出 的度数 .
27．（2021七下·吴中月考） 中， ，点 分别是 边 上的点，点P是一动点.令 .
（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且 ，则 ；
（2）若点P在AB上运动，如图（2）所示，则 之间有何关系 猜想并说明理由.
（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则 之间有何关系 猜想并说明理由.
（4）若点P运动到 形外，如图（4）所示，则 的关系为： .
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】∵∠A=50°，∴∠ACB+∠ABC=180°﹣50°=130°.
又∵∠ABC=∠ACB，∠1=∠2，∴∠PBA=∠PCB，∴∠1+∠ABP=∠PCB+∠2=130° 65°，∴∠BPC=180°﹣65°=115°.
故答案为：A.
【分析】根据∠A=50°的条件，求出∠ACB+∠ABC的度数，再根据∠ABC=∠ACB，∠1=∠2，求出∠PBA=∠PCB，于是可求出∠1+∠ABP=∠PCB+∠2，然后根据三角形的内角和定理求出∠BPC的度数.
2．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°
∴∠B=∠C-∠A=45°
在四边形DHBG中，∠D+∠α+∠B+∠BGD=360°
又∵∠β=∠DGB
∴∠D+∠α+∠B+ ∠β=360°
∴∠α+∠β=360°-∠D-∠B=285°
故答案为：B.
【分析】首先由已知条件可得∠B=45°，然后在四边形DHBG中，应用四边形内角和为360°可求得∠D+∠α+∠B+ ∠β=360°，据此可得∠α+∠β的度数.
3．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；角平分线的定义
【解析】【解答】∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=α，
∴∠BCD+∠CDE=540°-α，
∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，
∴∠PDC+∠PCD= （∠BCD+∠CDE）=270°- α，
∴∠P=180°-（270°- α）= α-90°.
故答案为：A.
【分析】根据五边形内角和可求出∠BCD+∠CDE的度数，然后结合角平分线的概念可得∠PDC+∠PCD的度数，最后根据三角形内角和定理求解即可.
4．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；探索图形规律
【解析】【解答】解：依题意可知，二环三角形，S＝360度；
二环四边形，S＝720＝360×2＝360×（4﹣2）度；
二环五边形，S＝1080＝360×3＝360×（5﹣2）度；
…
∴二环十边形，S＝360×（10﹣2）＝2880度.
故答案为：C.
【分析】本题只看图觉得很复杂，但从数据入手，就简单了，从图2开始，每个图都比前一个图多360度.抓住这点就很容易解决问题了.
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD.
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，∠ADC+∠C =180°
∴∠ABD=∠ADB
∴∠ABD=∠ADB = .
∵ 是 的角平分线，
∴∠ADF= = .
∵
∴
∴
故答案为：B
【分析】先根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义、平行线的性质得出∠ABD=∠ADB = ，∠ADF= = ，再根据 即可得出结论
6．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵∠A=80°，∠B=70°，
∴∠D+∠C=360° ∠A ∠B=210°，
由折叠性质可得：∠ =∠D，∠ =∠C，
∴∠ +∠ =210°，
∴∠ +∠ =360° (∠ +∠ )=150°，
∴∠ +∠ =360° (∠ +∠ ) (∠A+∠B)=60°，
故答案为：B.
【分析】首先根据四边形内角和定理可得∠D+∠C=210°，再利用折叠性质可得∠ =∠D，∠ =∠C，即∠ +∠ =210°，从而得出∠ +∠ =150°，最后进一步利用三角形内角和定理求解即可.
7．【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图所示：
∵△A′DE是△ADE沿DE折叠得到，
∴∠A′=∠A，
又∵∠ADA′=180°-∠1，∠3=∠A′+∠2，
∠A+∠ADA′+∠3=180°，
即∠A+180°-∠1+∠A′+∠2=180°，
整理得，2∠A=∠1-∠2.
故答案为：A.
【分析】根据折叠的性质可得∠A′=∠A，根据平角等于180°用∠1表示出∠ADA′，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠2与∠A′表示出∠3，然后利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解.
8．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：设 ∠B=∠DFB，
∠B=∠DFB ，
∠G=∠DEG，
故答案为：B.
【分析】设 利用三角形的内角和与外角的性质表示 ，利用两个角的和直接得到答案.
9．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】△ABC中,∵∠A=∠ACD ∠ABC,A1是∠ABC角平分与∠ACD的平分线的交点，∠A=α，
∴∠A1=∠A1CD ∠A1BC= (∠ACD ∠ABC)= ∠A；
同理可得,∠A2= ∠A1= ∠A，
∠A3= ∠A2= ∠A，
…
依此类推,∠An= ∠A.
∴∠A2017= α，
故答案为：D.
【分析】由三角形的外角性质知：∠A=∠ACD-∠ABC，而∠A1= （∠ACD-∠ABC），即∠A1= ∠A，同理可得，∠A2= ∠A1，依此类推即可.
10．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由题意知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠B+∠B'+∠C+∠C'+∠A+∠A'．
∵∠B=∠B'，∠C=∠C'，∠A=∠A'，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2（∠B+∠C+∠A）=360°．
故答案为：C．
【分析】由折叠可知∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6等于六边形的内角和减去（∠B'FG＋∠B'GF）以及（∠C'HI＋∠C'IH）和（∠A'DE＋∠A'ED），再利用三角形的内角和定理即可求解．
11．【答案】4
【知识点】角的运算；垂线；三角形内角和定理
【解析】【解答】∵ ， ，
∴ .
∵ ， ，
∴ .
∵ ， ，
∴ ，
∴ .
∴图中与 相等的角共有4个，
故答案为：4.
【分析】根据直角三角形中两锐角互余及角的和与差分别计算出各个角度，从而可得出答案.
12．【答案】75°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠AEF=36°，∠BEG=57°
∴∠FEH=180°-∠AEF-∠BEG=87°
∵
∴∠EFG=∠AEF=36°
∵FH平分∠EFG
∴∠EFH= ∠EFG=18°
∴∠EHF=180°-∠FEH-∠EFH=75°
故答案为：
【分析】首先由平角的概念结合已知条件可得∠FEH的度数，由平行线的性质可得∠EFG的度数，然后根据角平分线的概念可得∠EFH的度数，最后在△EFH中应用三角形内角和定理进行求解.
13．【答案】10°或50°或130°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：①如图1，当CE⊥BC时，
∵∠A=60°，∠ACB=40°，
∴∠ABC=80°，
∵BM平分∠ABC，
∴∠CBE= ∠ABC=40°，
∴∠BEC=90°-40°=50°；
②如图2，当CE⊥AB时，
∵∠ABE= ∠ABC=40°，
∴∠BEC=90°+40°=130°；
③如图3，当CE⊥AC时，
∵∠CBE=40°，∠ACB=40°，
∴∠BEC=180°-90°-40°-40°=10°；
综上所述：∠BEC的度数为10°，50°，130°，
故答案为：10°，50°，130°.
【分析】当CE⊥BC时，首先由三角形内角和定理求出∠ABC的度数，然后根据角平分线的概念可得∠CBE的度数，据此求解；
当CE⊥AB时，根据角平分线的概念可得∠ABE的度数，然后根据直角三角形两锐角互余就可得到∠BEC的度数；
当CE⊥AC时，根据三角形内角和定理以及外角的性质求解即可.
14．【答案】115
【知识点】多边形内角与外角；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵∠1+∠2=130°，
∴∠AMN+∠DNM= =115°.
∵∠A+∠D+（∠AMN+∠DNM）=360°，∠A+∠D+（∠B+∠C）=360°，
∴∠B+∠C=∠AMN+∠DNM=115°.
故答案为：115.
【分析】先根据∠1+∠2=130°，可求出∠AMN+∠DNM的度数，再利用四边形内角和定理进行求解即可.
15．【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵∠B=120°，∠B与∠ADC互为补角，
∴∠ADC=60°，
由折叠的性质得：∠CDE=∠C'DE，∠CED=∠C'ED，
∵DC'平分∠ADE，
∴∠ADC'=∠C'DE，
∴∠CDE=∠ADC'=∠C'DE=20°，
∵AB∥C'E，
∴∠CEC'=∠B=120°，
∴∠CED=60°，
∴∠C=180°-60°-20°=100°，
∴∠A=360°-∠B-∠C-∠ADC=80°；
故答案为：80.
【分析】由已知得出∠ADC=60°，由折叠的性质得：∠CDE=∠C'DE，∠CED=∠C'ED，证出∠CDE=∠ADC'=∠C'DE=20°，由平行线的性质得出∠CEC'=∠B=120°，得出∠CED=60°，由三角形内角和定理求出∠C=100°，再由四边形内角和定理即可得出结果.
16．【答案】25°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：过点B作BC∥l1，如图所示：
∴∠CBA＝∠ADF，
∵直线l1∥l2，
∴BC∥l2，
∴∠2＝∠EBC，
∵∠B＝∠EBC+∠CBA＝70°，
∴∠2+∠ADF＝70°，即∠ADF＝70°﹣∠2，
∵∠1+∠A+∠ADF＝180°，
∴∠1+85°+70°﹣∠2＝180°，
∴∠1﹣∠2＝25°.
故答案为25°.
【分析】过点B作BC∥l1，则BC∥l2可得∠CBA＝∠ADF，∠2＝∠EBC，然后再说明∠2+∠ADF＝70°，即∠ADF＝70°﹣∠2，最后再应用三角形的内角和解答即可.
17．【答案】67.5°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵ 是直角三角形
∴
∵MP、NQ分别平分∠APQ和∠BQP
∴
∴
∵MR、NR又分别平分∠BMP和∠ANQ
∴
∴
故答案为： .
【分析】直接根据三角形的外角性质、四边形的内角和、三角形的内角和即可求解.
18．【答案】50
【知识点】三角形内角和定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解∵在△ABC中，∠A=60°
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°
设∠EBC=x，∠ECB=y，根据BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB，
∴3x+3y=120°
故x+y=40°，
∴∠DBC+∠DCB= 2x+2y=80°
∴在△DBC中，∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=100°
∵BE、CE是∠DBC、∠DCB的角平分线
∴DE是∠BDC的角平分线，
∴∠BDE= ∠BDC=50°
故答案为：50.
【分析】根据三角形的内角和得出∠ABC+∠ACB的度数，设∠EBC=x，∠ECB=y，根据BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB，列出方程得出x+y=40°，∠DBC+∠DCB= 2x+2y=80°，根据三角形的内角和得出∠BDC的度数，进而根据角平分线的性质即可得出 ∠BDE 的度数.
19．【答案】230°
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠C=50°，
∴∠A+∠B=180°-∠C=130°，
∵∠A+∠B+∠1+∠2=360°，
∴∠1+∠2=360°-130°=230°．
故答案为230°．
【分析】首先根据三角形内角和可以计算出∠A+∠B的度数，再根据四边形内角和为360°可算出∠1+∠2的结果．
20．【答案】128
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：依题意知 ，且 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ .
故答案为 ：128 .
【分析】首先根据平行线以及折叠的性质，求出 和 ，再利用三角形内角和为 以及平角的性质，即可求得 .
21．【答案】140
【知识点】三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图所示，设线段 与线段AB交于H点，
∵ ，
根据三角形外角的性质，
∴ ，
又∵ 、 分别是 、 平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ .
由题意， 沿 折叠使点A落在点 处，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：140°.
【分析】设AF与AB交于点H，利用三角形外交的性质，可证得∠DBP-∠DCP=30°，再利用角平分线的定义可得到∠DBA-∠DCA=60°，由此可求出∠A的度数；再利用折叠的性质可得到∠A＇的度数，由此可求出∠AHF的度数，因此可求出∠A＇FC的度数.
22．【答案】（1）证明：∵DE∥BF，
∴∠2+∠DBF=180°，
∵∠1与∠2互补，
∴∠1+∠2=180°，
∴∠1=∠DBF，
∴FG∥AB；
（2）解：DE与AC垂直
理由：∵FG∥AB，∠CFG=60°，
∴∠A=∠CFG=60°，
∵∠2是△ADE的外角，
∴∠2=∠A+∠AED，
∵∠2=150°，
∴∠AED=150°-60°=90°，
∴DE⊥AC.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质
【解析】【分析】（1） 根据平行线的性质可得∠2+∠DBF=180°，由∠1+∠2=180°，利用补角的性质可得∠1=∠DBF，根据内错角相等两直线平行即证结论；
（2）垂直 ，理由： 根据平行线的性质可得∠A=∠CFG=60°， 由三角形外角的性质可得 ∠2=∠A+∠AED，从而求出∠AED=90°，即得结论.
23．【答案】（1）20；120；60
（2）解：如图2，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角.
∵AB⊥OM,∠MON=36 ，OE平分∠MON，
∴∠AOB=20°,∠ABO=70°，
①当AC在AB左侧时：
若∠BAD=∠ABD=70°,则∠OAC=90° 70°=20°；
若∠BAD=∠BDA==55°,则∠OAC=90° 55°=35°；
若∠ADB=∠ABD=70°,则∠BAD=40°,故∠OAC=90° 40°=50°；
②当AC在AB右侧时：
∵∠ABE=110°,且三角形的内角和为180°，
∴只有∠BAD=∠BDA==35°,则∠OAC=90°+35°=125°.
综上所述，当x=20、35、50、125时，△ADB中有两个相等的角.
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图1,①∵∠MON=40°，OE平分∠MON，
∴∠AOB=∠BON=20°，
∵AB∥ON，
∴∠ABO=20°；
②当∠BAD=∠ABD时，∠BAD,20°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，
∴∠OAC=180° 20°×3=120°；
当∠BAD=∠BDA时，∵∠ABO=20°，
∴∠BAD=80°，∠AOB=18°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，
∴∠OAC=180°-20°-20° 80°=60°，
故答案为①20；②120，60；
【分析】（1）①运用平行线的性质以及角平分线的定义，可得①∠ABO的度数；②根据∠ABO、∠BAD的度数以及△AOB的内角和，可得x的值；（2）分两种情况进行讨论：AC在AB左侧，AC在AB右侧，分别根据三角形内角和定理以及直角的度数，可得x的值.
24．【答案】（1）解：∠FGE＋∠FHE＝180°，
理由：∵AE平分∠BAD，BF平分∠ABC，
∴∠GAB＝ ∠DAB，∠GBA＝ ∠CBA，
∴∠FGE＝∠AGB＝180° ∠GAB ∠GBA＝180° （∠DAB＋∠CBA），
同理，∠FHE＝180° （∠ADC＋∠BCD），
∴∠FGE＋∠FHE＝360° （∠DAB＋∠CBA＋∠ADC＋∠BCD）＝180°；
（2）解：∠FGE与∠FHE可能相等，此时，AD∥BC，
∵∠FGE＝180° （∠DAB＋∠CBA），∠FHE＝180° （∠ADC＋∠BCD），
当∠FGE＝∠FHE时，180° （∠DAB＋∠CBA）＝180° （∠ADC＋∠BCD），
即∠DAB＋∠CBA＝∠ADC＋∠BCD，
∵四边形的内角和＝360°，
∴∠DAB＋∠CBA＝∠ADC＋∠BCD＝180°，
∴AD∥BC.
【知识点】多边形内角与外角；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠GAB＝ ∠DAB，∠GBA＝ ∠CBA，求得∠FGE＝∠AGB＝180° ∠GAB ∠GBA＝180° （∠DAB＋∠CBA），同理，∠FHE＝180° （∠ADC＋∠BCD），两式相加即可得到结论；（2）当∠FGE＝∠FHE时，求得∠DAB＋∠CBA＝∠ADC＋∠BCD，根据四边形的内角和即可得到结论.
25．【答案】（1）解：连接AD并延长至点F，
由外角定理可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD；
∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，
∴∠BDC＝∠BAD+∠B+∠C+∠CAD.
∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD；
∴∠BDC＝∠BAC +∠B+∠C；
（2）解：①40；
②由（1）的结论易得∠DBE＝∠DAE +∠ADB+∠AEB，∠DCE＝∠ADC＋∠AEC＋∠A
∵∠DAE=50°，∠DBE=130°，
∴∠ADB+∠AEB＝80°；
∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，
∴∠ADC= ∠ADB，∠AEC= ∠AEB
∴∠DCE＝ (∠ADB+∠AEB)+∠A=40°+50°=90°；
③70
【知识点】角的运算；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（2）①由（1）的结论易得：∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，
∵∠A＝50°，∠BXC＝90°，
∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣50°＝40°.
故答案是：40；
③由②知，∠BG1C＝ (∠ABD+∠ACD)+ ∠A，
∵∠BG1C＝77°，
∴设∠A为x°，
∵∠ABD+∠ACD＝140°﹣x°，
∴ (140﹣x)＋x＝77，
∴14﹣ x+x＝77，
∴x＝70，
∴∠A为70°.
故答案是：70.
【分析】（1）连接AD并延长至点F，由三角形外角的性质以及角的和差关系可推出∠BDC＝∠BAD+∠B+∠C+∠CAD，然后根据∠BAC＝∠BAD+∠CAD解答即可；
（2）①由（1）的结论易得：∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，然后将已知条件代入计算即可；
②由（1）的结论易得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，∠DCE=∠ADC+∠AEC+∠A，将已知条件代入可求得∠ADB+∠AEB＝80°，然后根据角平分线的概念解答即可；
③由②知，∠BG1C＝(∠ABD+∠ACD)+∠A，设∠A为x°，则∠ABD+∠ACD＝140°-x°，据此求解即可.
26．【答案】（1）解：∠AEB的大小不变
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O
∴∠AOB=90°
∴
∵由AE、BE分别 和 角的平分线
∴ ，
∴
∴∠AEB=45°
（2）解：∠CED的大小不变
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O
∴∠AOB=90°
∴
∴
∵ 、 分别是 和 的角平分线
∴ ，
∴
∵四边形内角和是360°
∴
∵ 、 分别是 和 的角平分线
∴
∴∠E=180°－112.5°=67.5°
（3）60°或45°
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（3）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于
∴ ，
∴
∵AE、AF分别是 和 的角平分线
∴
在△AEF中
∵有一个角是另一个角的3倍，故有：
①∠EAF=3∠E，∠E=30°，∠ABO=60°；
②∠EAF=3∠F，∠E=30°，∠ABO=120°；（舍去）
③∠AFE=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°；
④∠AEF=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°；（舍去）
∴∠ABO为60°或45°
【分析】（1）易知∠AOB=90°，由三角形内角和定理可得∠OAB+∠OBA=90°，然后结合角平分线的概念可得∠BAE+∠ABE=(∠OAB+∠OBA)，据此计算即可；
（2）易知∠AOB=90°，由三角形内角和定理可得∠OAB+∠OBA=90°，进而求出∠PAB+∠MBA的度数，然后结合角平分线的概念可得∠BAD+∠ABC的度数，然后根据四边形内角和是360°可求出∠ACD+∠BCD的度数，最后利用角平分线的概念求解即可；
（3）由角平分线的概念以及三角形外角的性质可得∠E=∠EOQ-∠EAQ=∠ABO，∠EAF=90°，然后分①∠EAF=3∠E，②∠EAF=3∠F，③∠AFE=3∠E，④∠AEF=3∠F进行求解即可.
27．【答案】（1）120
（2） ，理由如下：
∵∠1+∠CDP=180°，
∴∠CDP=180°-∠1，
同理可得：∠CEP=180°-∠2，
根据四边形内角和定理得：∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，
∵∠C=90°，
∴ ，
∴ ；
（3） ，理由如下：
设线段BC与线段PD交于点F，如图，
∵∠1+∠CDF=180°，
∴∠CDF=180°-∠1，
∵ ，
根据三角形内角和定理得：∠C+∠CDF+∠CFD=180°，
∴ ，
∴ ；
（4）
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；三角形的外角性质；邻补角
【解析】【解答】解：（1）∵∠1+∠CDP=180°，
∴∠CDP=180°-∠1，
同理可得：∠CEP=180°-∠2，
根据四边形内角和定理得：∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，
∵∠C=90°，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为120；
（4）设AC与PE交于点G，如图所示：
∵∠PGD=∠EGC，
∴∠2=∠C+∠EGC=90°+∠PGD，
∴∠PGD=∠2-90°，
∵∠PDG=180°-∠1，
根据三角形内角和定理得：∠DPG+∠PDG+∠PGD=180°，
∴ ，
∴ ；
故答案为 .
【分析】（1）根据邻补角的性质可得∠CDP=180°-∠1，∠CEP=180°-∠2，根据四边形内角和定理得：∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，据此求解；
（2）同（1）进行解答即可；
（3）设线段BC与线段PD交于点F，根据邻补角的性质可得∠CDF=180°-∠1，由三角形外角的性质可得∠CFD=∠2+∠α，由三角形内角和定理可得∠C+∠CDF+∠CFD=180°，据此解答；
（4）设AC与PE交于点G，由三角形外角的性质可推出∠PGD=∠2-90°，根据邻补角的性质可得∠PDG=180°-∠1，由三角形内角和定理可得∠DPG+∠PDG+∠PGD=180°，据此解答.
1 / 12021-2022学年苏科版数学七年级下册7.5多边形的内角和与外角和同步练习（培优）
一、单选题
1．（2019七下·宝应月考）如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，∠A=50°，P是△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC= （ ）
A．115° B．125° C．130° D．140°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】∵∠A=50°，∴∠ACB+∠ABC=180°﹣50°=130°.
又∵∠ABC=∠ACB，∠1=∠2，∴∠PBA=∠PCB，∴∠1+∠ABP=∠PCB+∠2=130° 65°，∴∠BPC=180°﹣65°=115°.
故答案为：A.
【分析】根据∠A=50°的条件，求出∠ACB+∠ABC的度数，再根据∠ABC=∠ACB，∠1=∠2，求出∠PBA=∠PCB，于是可求出∠1+∠ABP=∠PCB+∠2，然后根据三角形的内角和定理求出∠BPC的度数.
2．（2021七下·姑苏期中）小明把一副含 ， 的直角三角板如图摆放，其中 ， ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°
∴∠B=∠C-∠A=45°
在四边形DHBG中，∠D+∠α+∠B+∠BGD=360°
又∵∠β=∠DGB
∴∠D+∠α+∠B+ ∠β=360°
∴∠α+∠β=360°-∠D-∠B=285°
故答案为：B.
【分析】首先由已知条件可得∠B=45°，然后在四边形DHBG中，应用四边形内角和为360°可求得∠D+∠α+∠B+ ∠β=360°，据此可得∠α+∠β的度数.
3．（2021七下·吴中月考）如图，在五边形ABCDE中， ，DP、CP分别平分 、 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；角平分线的定义
【解析】【解答】∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=α，
∴∠BCD+∠CDE=540°-α，
∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，
∴∠PDC+∠PCD= （∠BCD+∠CDE）=270°- α，
∴∠P=180°-（270°- α）= α-90°.
故答案为：A.
【分析】根据五边形内角和可求出∠BCD+∠CDE的度数，然后结合角平分线的概念可得∠PDC+∠PCD的度数，最后根据三角形内角和定理求解即可.
4．（2020七下·江阴期中）图1是二环三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360 ，图2是二环四边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A =720 ，图3是二环五边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A =1080 …聪明的同学，请你直接写出二环十边形，S＝_____________度（ ）
A．1440 B．1800 C．2880 D．3600
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；探索图形规律
【解析】【解答】解：依题意可知，二环三角形，S＝360度；
二环四边形，S＝720＝360×2＝360×（4﹣2）度；
二环五边形，S＝1080＝360×3＝360×（5﹣2）度；
…
∴二环十边形，S＝360×（10﹣2）＝2880度.
故答案为：C.
【分析】本题只看图觉得很复杂，但从数据入手，就简单了，从图2开始，每个图都比前一个图多360度.抓住这点就很容易解决问题了.
5．（2020七下·江阴期中）如图， ， 为 的角平分线， 、 分别是 和 的角平分线，且 ，则以下 与 的关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD.
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，∠ADC+∠C =180°
∴∠ABD=∠ADB
∴∠ABD=∠ADB = .
∵ 是 的角平分线，
∴∠ADF= = .
∵
∴
∴
故答案为：B
【分析】先根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义、平行线的性质得出∠ABD=∠ADB = ，∠ADF= = ，再根据 即可得出结论
6．（2020七下·徐州期中）如图所示，在四边形纸片ABCD中，∠A=80°，∠B=70°，将纸片沿着MN折叠，使C，D分别落在直线AB上的 ， 处，则∠ +∠ 等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵∠A=80°，∠B=70°，
∴∠D+∠C=360° ∠A ∠B=210°，
由折叠性质可得：∠ =∠D，∠ =∠C，
∴∠ +∠ =210°，
∴∠ +∠ =360° (∠ +∠ )=150°，
∴∠ +∠ =360° (∠ +∠ ) (∠A+∠B)=60°，
故答案为：B.
【分析】首先根据四边形内角和定理可得∠D+∠C=210°，再利用折叠性质可得∠ =∠D，∠ =∠C，即∠ +∠ =210°，从而得出∠ +∠ =150°，最后进一步利用三角形内角和定理求解即可.
7．（2020七下·南京期中）如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE外部时，则∠A与∠1、∠2之间的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图所示：
∵△A′DE是△ADE沿DE折叠得到，
∴∠A′=∠A，
又∵∠ADA′=180°-∠1，∠3=∠A′+∠2，
∠A+∠ADA′+∠3=180°，
即∠A+180°-∠1+∠A′+∠2=180°，
整理得，2∠A=∠1-∠2.
故答案为：A.
【分析】根据折叠的性质可得∠A′=∠A，根据平角等于180°用∠1表示出∠ADA′，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠2与∠A′表示出∠3，然后利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解.
8．（2020七下·江阴期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，点E、F在AB上，点G在DF的延长线上，且∠B=∠DFB，∠G=∠DEG，若∠BEG=29°，则∠BDE的度数为（ ）
A．61° B．58° C．65.5° D．59.5°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：设 ∠B=∠DFB，
∠B=∠DFB ，
∠G=∠DEG，
故答案为：B.
【分析】设 利用三角形的内角和与外角的性质表示 ，利用两个角的和直接得到答案.
9．（2019七下·灌云月考）如图，已知△ABC的内角∠A=α，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…以此类推得到∠A2017，则∠A2017的度数是（ ）
A． α B．90+ α C． α D． α
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】△ABC中,∵∠A=∠ACD ∠ABC,A1是∠ABC角平分与∠ACD的平分线的交点，∠A=α，
∴∠A1=∠A1CD ∠A1BC= (∠ACD ∠ABC)= ∠A；
同理可得,∠A2= ∠A1= ∠A，
∠A3= ∠A2= ∠A，
…
依此类推,∠An= ∠A.
∴∠A2017= α，
故答案为：D.
【分析】由三角形的外角性质知：∠A=∠ACD-∠ABC，而∠A1= （∠ACD-∠ABC），即∠A1= ∠A，同理可得，∠A2= ∠A1，依此类推即可.
10．（2019七下·江阴期中）如图，把一个三角形纸片ABC的三个顶角向内折叠之后（3个顶点不重合），那么图中 的度数和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由题意知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠B+∠B'+∠C+∠C'+∠A+∠A'．
∵∠B=∠B'，∠C=∠C'，∠A=∠A'，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2（∠B+∠C+∠A）=360°．
故答案为：C．
【分析】由折叠可知∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6等于六边形的内角和减去（∠B'FG＋∠B'GF）以及（∠C'HI＋∠C'IH）和（∠A'DE＋∠A'ED），再利用三角形的内角和定理即可求解．
二、填空题
11．（2020七下·南京期中）如图， ， ， ，则图中与 相等的角共有 个.
【答案】4
【知识点】角的运算；垂线；三角形内角和定理
【解析】【解答】∵ ， ，
∴ .
∵ ， ，
∴ .
∵ ， ，
∴ ，
∴ .
∴图中与 相等的角共有4个，
故答案为：4.
【分析】根据直角三角形中两锐角互余及角的和与差分别计算出各个角度，从而可得出答案.
12．（2021七下·姑苏期中）如图， 的三个顶点 ， 和 分别在平行线 ， 上， 平分 ，交线段 于点 ，若 ， ，则 的大小为 .
【答案】75°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠AEF=36°，∠BEG=57°
∴∠FEH=180°-∠AEF-∠BEG=87°
∵
∴∠EFG=∠AEF=36°
∵FH平分∠EFG
∴∠EFH= ∠EFG=18°
∴∠EHF=180°-∠FEH-∠EFH=75°
故答案为：
【分析】首先由平角的概念结合已知条件可得∠FEH的度数，由平行线的性质可得∠EFG的度数，然后根据角平分线的概念可得∠EFH的度数，最后在△EFH中应用三角形内角和定理进行求解.
13．（2021七下·姑苏月考）已知△ABC中，∠A=60°，∠ACB=40°，D为BC边延长线上一点，BM平分∠ABC，E为射线BM上一点.若直线CE垂直于△ABC的一边，则∠BEC= °.
【答案】10°或50°或130°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：①如图1，当CE⊥BC时，
∵∠A=60°，∠ACB=40°，
∴∠ABC=80°，
∵BM平分∠ABC，
∴∠CBE= ∠ABC=40°，
∴∠BEC=90°-40°=50°；
②如图2，当CE⊥AB时，
∵∠ABE= ∠ABC=40°，
∴∠BEC=90°+40°=130°；
③如图3，当CE⊥AC时，
∵∠CBE=40°，∠ACB=40°，
∴∠BEC=180°-90°-40°-40°=10°；
综上所述：∠BEC的度数为10°，50°，130°，
故答案为：10°，50°，130°.
【分析】当CE⊥BC时，首先由三角形内角和定理求出∠ABC的度数，然后根据角平分线的概念可得∠CBE的度数，据此求解；
当CE⊥AB时，根据角平分线的概念可得∠ABE的度数，然后根据直角三角形两锐角互余就可得到∠BEC的度数；
当CE⊥AC时，根据三角形内角和定理以及外角的性质求解即可.
14．（2020七上·响水期中）如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，点A、D分别落在点A1、D1处.若∠1＋∠2＝130°，则∠B＋∠C＝ °.
【答案】115
【知识点】多边形内角与外角；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵∠1+∠2=130°，
∴∠AMN+∠DNM= =115°.
∵∠A+∠D+（∠AMN+∠DNM）=360°，∠A+∠D+（∠B+∠C）=360°，
∴∠B+∠C=∠AMN+∠DNM=115°.
故答案为：115.
【分析】先根据∠1+∠2=130°，可求出∠AMN+∠DNM的度数，再利用四边形内角和定理进行求解即可.
15．（2020七下·张家港期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝120°，∠B与∠ADC互为补角，点E在BC上，将△DCE沿DE翻折，得到△DC′E，若AB∥C′E，DC′平分∠ADE，则∠A的度数为 °.
【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵∠B=120°，∠B与∠ADC互为补角，
∴∠ADC=60°，
由折叠的性质得：∠CDE=∠C'DE，∠CED=∠C'ED，
∵DC'平分∠ADE，
∴∠ADC'=∠C'DE，
∴∠CDE=∠ADC'=∠C'DE=20°，
∵AB∥C'E，
∴∠CEC'=∠B=120°，
∴∠CED=60°，
∴∠C=180°-60°-20°=100°，
∴∠A=360°-∠B-∠C-∠ADC=80°；
故答案为：80.
【分析】由已知得出∠ADC=60°，由折叠的性质得：∠CDE=∠C'DE，∠CED=∠C'ED，证出∠CDE=∠ADC'=∠C'DE=20°，由平行线的性质得出∠CEC'=∠B=120°，得出∠CED=60°，由三角形内角和定理求出∠C=100°，再由四边形内角和定理即可得出结果.
16．（2020七下·扬州期末）如图，直线l1∥l2，∠A＝85°，∠B＝70°，则∠1－∠2＝ .
【答案】25°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：过点B作BC∥l1，如图所示：
∴∠CBA＝∠ADF，
∵直线l1∥l2，
∴BC∥l2，
∴∠2＝∠EBC，
∵∠B＝∠EBC+∠CBA＝70°，
∴∠2+∠ADF＝70°，即∠ADF＝70°﹣∠2，
∵∠1+∠A+∠ADF＝180°，
∴∠1+85°+70°﹣∠2＝180°，
∴∠1﹣∠2＝25°.
故答案为25°.
【分析】过点B作BC∥l1，则BC∥l2可得∠CBA＝∠ADF，∠2＝∠EBC，然后再说明∠2+∠ADF＝70°，即∠ADF＝70°﹣∠2，最后再应用三角形的内角和解答即可.
17．（2020七下·溧阳期末）如图，在直角三角形ABC中，点P、Q分别是AC、BC边上的两个动点，MP、NQ分别平分∠APQ和∠BQP，交AB于点M、N，MR、NR又分别平分∠BMP和∠ANQ，两条角平分线交于点R，则∠R＝ °.
【答案】67.5°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵ 是直角三角形
∴
∵MP、NQ分别平分∠APQ和∠BQP
∴
∴
∵MR、NR又分别平分∠BMP和∠ANQ
∴
∴
故答案为： .
【分析】直接根据三角形的外角性质、四边形的内角和、三角形的内角和即可求解.
18．（2020七下·无锡期中）如图，已知△ABC中，∠A=60°，BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB，连接DE，则∠BDE= °.
【答案】50
【知识点】三角形内角和定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解∵在△ABC中，∠A=60°
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°
设∠EBC=x，∠ECB=y，根据BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB，
∴3x+3y=120°
故x+y=40°，
∴∠DBC+∠DCB= 2x+2y=80°
∴在△DBC中，∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=100°
∵BE、CE是∠DBC、∠DCB的角平分线
∴DE是∠BDC的角平分线，
∴∠BDE= ∠BDC=50°
故答案为：50.
【分析】根据三角形的内角和得出∠ABC+∠ACB的度数，设∠EBC=x，∠ECB=y，根据BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB，列出方程得出x+y=40°，∠DBC+∠DCB= 2x+2y=80°，根据三角形的内角和得出∠BDC的度数，进而根据角平分线的性质即可得出 ∠BDE 的度数.
19．（2020七下·无锡月考）如图，在△ABC中，∠C=50°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于 °
【答案】230°
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠C=50°，
∴∠A+∠B=180°-∠C=130°，
∵∠A+∠B+∠1+∠2=360°，
∴∠1+∠2=360°-130°=230°．
故答案为230°．
【分析】首先根据三角形内角和可以计算出∠A+∠B的度数，再根据四边形内角和为360°可算出∠1+∠2的结果．
20．（2020七下·太仓期中）如图，将长方形纸片 沿着 ，折叠后，点 分别落在点 D'、C' 的位置， 的延长线交 于点 .若 ，则 等于 度.
【答案】128
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：依题意知 ，且 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ .
故答案为 ：128 .
【分析】首先根据平行线以及折叠的性质，求出 和 ，再利用三角形内角和为 以及平角的性质，即可求得 .
21．（2021七下·江都期末）如图， 沿 折叠使点A落在点 处， 、 分别是 、 平分线，若 ， ，则 °.
【答案】140
【知识点】三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图所示，设线段 与线段AB交于H点，
∵ ，
根据三角形外角的性质，
∴ ，
又∵ 、 分别是 、 平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ .
由题意， 沿 折叠使点A落在点 处，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：140°.
【分析】设AF与AB交于点H，利用三角形外交的性质，可证得∠DBP-∠DCP=30°，再利用角平分线的定义可得到∠DBA-∠DCA=60°，由此可求出∠A的度数；再利用折叠的性质可得到∠A＇的度数，由此可求出∠AHF的度数，因此可求出∠A＇FC的度数.
三、解答题
22．（2020七上·响水期中）如图，DE∥BF，∠1与∠2互补.
（1）试说明：FG∥AB；
（2）若∠CFG=60°，∠2=150°，则DE与AC垂直吗？请说明理由.
【答案】（1）证明：∵DE∥BF，
∴∠2+∠DBF=180°，
∵∠1与∠2互补，
∴∠1+∠2=180°，
∴∠1=∠DBF，
∴FG∥AB；
（2）解：DE与AC垂直
理由：∵FG∥AB，∠CFG=60°，
∴∠A=∠CFG=60°，
∵∠2是△ADE的外角，
∴∠2=∠A+∠AED，
∵∠2=150°，
∴∠AED=150°-60°=90°，
∴DE⊥AC.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质
【解析】【分析】（1） 根据平行线的性质可得∠2+∠DBF=180°，由∠1+∠2=180°，利用补角的性质可得∠1=∠DBF，根据内错角相等两直线平行即证结论；
（2）垂直 ，理由： 根据平行线的性质可得∠A=∠CFG=60°， 由三角形外角的性质可得 ∠2=∠A+∠AED，从而求出∠AED=90°，即得结论.
23．（2020七下·江阴月考）已知：∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点(A、B、C不与点O 重合)，连接AC交射线OE于点D.设∠OAC＝x°.
（1）如图1，若AB∥ON，则
①∠ABO的度数是 °；
②当∠BAD＝∠ABD时，x＝ °；当∠BAD＝∠BDA时，x＝ °.
（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）20；120；60
（2）解：如图2，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角.
∵AB⊥OM,∠MON=36 ，OE平分∠MON，
∴∠AOB=20°,∠ABO=70°，
①当AC在AB左侧时：
若∠BAD=∠ABD=70°,则∠OAC=90° 70°=20°；
若∠BAD=∠BDA==55°,则∠OAC=90° 55°=35°；
若∠ADB=∠ABD=70°,则∠BAD=40°,故∠OAC=90° 40°=50°；
②当AC在AB右侧时：
∵∠ABE=110°,且三角形的内角和为180°，
∴只有∠BAD=∠BDA==35°,则∠OAC=90°+35°=125°.
综上所述，当x=20、35、50、125时，△ADB中有两个相等的角.
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图1,①∵∠MON=40°，OE平分∠MON，
∴∠AOB=∠BON=20°，
∵AB∥ON，
∴∠ABO=20°；
②当∠BAD=∠ABD时，∠BAD,20°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，
∴∠OAC=180° 20°×3=120°；
当∠BAD=∠BDA时，∵∠ABO=20°，
∴∠BAD=80°，∠AOB=18°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，
∴∠OAC=180°-20°-20° 80°=60°，
故答案为①20；②120，60；
【分析】（1）①运用平行线的性质以及角平分线的定义，可得①∠ABO的度数；②根据∠ABO、∠BAD的度数以及△AOB的内角和，可得x的值；（2）分两种情况进行讨论：AC在AB左侧，AC在AB右侧，分别根据三角形内角和定理以及直角的度数，可得x的值.
24．（2020七下·无锡期中）如图， AE、 DE、 BF、 CF 分别是四边形 ABCD（四边不相等）的内角角平分线，AE、 BF 交于点 G， DE、 CF 交于点 H.
（1）探索∠FGE
与∠FHE 有怎样的数量关系，并说明理由.
（2）∠FGE
与∠FHE 有没有可能相等？若相等，则四边形 ABCD 的边有何结论？请说明理由.
【答案】（1）解：∠FGE＋∠FHE＝180°，
理由：∵AE平分∠BAD，BF平分∠ABC，
∴∠GAB＝ ∠DAB，∠GBA＝ ∠CBA，
∴∠FGE＝∠AGB＝180° ∠GAB ∠GBA＝180° （∠DAB＋∠CBA），
同理，∠FHE＝180° （∠ADC＋∠BCD），
∴∠FGE＋∠FHE＝360° （∠DAB＋∠CBA＋∠ADC＋∠BCD）＝180°；
（2）解：∠FGE与∠FHE可能相等，此时，AD∥BC，
∵∠FGE＝180° （∠DAB＋∠CBA），∠FHE＝180° （∠ADC＋∠BCD），
当∠FGE＝∠FHE时，180° （∠DAB＋∠CBA）＝180° （∠ADC＋∠BCD），
即∠DAB＋∠CBA＝∠ADC＋∠BCD，
∵四边形的内角和＝360°，
∴∠DAB＋∠CBA＝∠ADC＋∠BCD＝180°，
∴AD∥BC.
【知识点】多边形内角与外角；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠GAB＝ ∠DAB，∠GBA＝ ∠CBA，求得∠FGE＝∠AGB＝180° ∠GAB ∠GBA＝180° （∠DAB＋∠CBA），同理，∠FHE＝180° （∠ADC＋∠BCD），两式相加即可得到结论；（2）当∠FGE＝∠FHE时，求得∠DAB＋∠CBA＝∠ADC＋∠BCD，根据四边形的内角和即可得到结论.
25．（2021七下·相城月考）如图(1)所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规.我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图(2)，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、图(1)XZ恰好经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX =_▲_°；
②如图(3)DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；（写出解答过程）
③如图（4），∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2 、G9，若∠BDC=140°，∠BG1C=77°，则∠A的度数=_▲_°.
【答案】（1）解：连接AD并延长至点F，
由外角定理可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD；
∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，
∴∠BDC＝∠BAD+∠B+∠C+∠CAD.
∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD；
∴∠BDC＝∠BAC +∠B+∠C；
（2）解：①40；
②由（1）的结论易得∠DBE＝∠DAE +∠ADB+∠AEB，∠DCE＝∠ADC＋∠AEC＋∠A
∵∠DAE=50°，∠DBE=130°，
∴∠ADB+∠AEB＝80°；
∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，
∴∠ADC= ∠ADB，∠AEC= ∠AEB
∴∠DCE＝ (∠ADB+∠AEB)+∠A=40°+50°=90°；
③70
【知识点】角的运算；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（2）①由（1）的结论易得：∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，
∵∠A＝50°，∠BXC＝90°，
∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣50°＝40°.
故答案是：40；
③由②知，∠BG1C＝ (∠ABD+∠ACD)+ ∠A，
∵∠BG1C＝77°，
∴设∠A为x°，
∵∠ABD+∠ACD＝140°﹣x°，
∴ (140﹣x)＋x＝77，
∴14﹣ x+x＝77，
∴x＝70，
∴∠A为70°.
故答案是：70.
【分析】（1）连接AD并延长至点F，由三角形外角的性质以及角的和差关系可推出∠BDC＝∠BAD+∠B+∠C+∠CAD，然后根据∠BAC＝∠BAD+∠CAD解答即可；
（2）①由（1）的结论易得：∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，然后将已知条件代入计算即可；
②由（1）的结论易得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，∠DCE=∠ADC+∠AEC+∠A，将已知条件代入可求得∠ADB+∠AEB＝80°，然后根据角平分线的概念解答即可；
③由②知，∠BG1C＝(∠ABD+∠ACD)+∠A，设∠A为x°，则∠ABD+∠ACD＝140°-x°，据此求解即可.
26．（2021七下·苏州月考）直线 与直线 垂直相交于O，点A在直线 上运动，点B在直线 上运动.
（1）如图1，已知 ， 分别是 和 角的平分线，点A、B在运动的过程中， 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出 的大小.
（2）如图2，已知 不平行 ， 、 分别是 和 的角平分线，又 、 分别是 和 的角平分线，点A、B在运动的过程中， 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值.
（3）如图3，延长 至G，已知 ， 的角平分线与 的角平分线及延长线相交于E、F，在 中，如果有一个角是另一个角的3倍，直接写出 的度数 .
【答案】（1）解：∠AEB的大小不变
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O
∴∠AOB=90°
∴
∵由AE、BE分别 和 角的平分线
∴ ，
∴
∴∠AEB=45°
（2）解：∠CED的大小不变
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O
∴∠AOB=90°
∴
∴
∵ 、 分别是 和 的角平分线
∴ ，
∴
∵四边形内角和是360°
∴
∵ 、 分别是 和 的角平分线
∴
∴∠E=180°－112.5°=67.5°
（3）60°或45°
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（3）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于
∴ ，
∴
∵AE、AF分别是 和 的角平分线
∴
在△AEF中
∵有一个角是另一个角的3倍，故有：
①∠EAF=3∠E，∠E=30°，∠ABO=60°；
②∠EAF=3∠F，∠E=30°，∠ABO=120°；（舍去）
③∠AFE=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°；
④∠AEF=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°；（舍去）
∴∠ABO为60°或45°
【分析】（1）易知∠AOB=90°，由三角形内角和定理可得∠OAB+∠OBA=90°，然后结合角平分线的概念可得∠BAE+∠ABE=(∠OAB+∠OBA)，据此计算即可；
（2）易知∠AOB=90°，由三角形内角和定理可得∠OAB+∠OBA=90°，进而求出∠PAB+∠MBA的度数，然后结合角平分线的概念可得∠BAD+∠ABC的度数，然后根据四边形内角和是360°可求出∠ACD+∠BCD的度数，最后利用角平分线的概念求解即可；
（3）由角平分线的概念以及三角形外角的性质可得∠E=∠EOQ-∠EAQ=∠ABO，∠EAF=90°，然后分①∠EAF=3∠E，②∠EAF=3∠F，③∠AFE=3∠E，④∠AEF=3∠F进行求解即可.
27．（2021七下·吴中月考） 中， ，点 分别是 边 上的点，点P是一动点.令 .
（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且 ，则 ；
（2）若点P在AB上运动，如图（2）所示，则 之间有何关系 猜想并说明理由.
（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则 之间有何关系 猜想并说明理由.
（4）若点P运动到 形外，如图（4）所示，则 的关系为： .
【答案】（1）120
（2） ，理由如下：
∵∠1+∠CDP=180°，
∴∠CDP=180°-∠1，
同理可得：∠CEP=180°-∠2，
根据四边形内角和定理得：∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，
∵∠C=90°，
∴ ，
∴ ；
（3） ，理由如下：
设线段BC与线段PD交于点F，如图，
∵∠1+∠CDF=180°，
∴∠CDF=180°-∠1，
∵ ，
根据三角形内角和定理得：∠C+∠CDF+∠CFD=180°，
∴ ，
∴ ；
（4）
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；三角形的外角性质；邻补角
【解析】【解答】解：（1）∵∠1+∠CDP=180°，
∴∠CDP=180°-∠1，
同理可得：∠CEP=180°-∠2，
根据四边形内角和定理得：∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，
∵∠C=90°，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为120；
（4）设AC与PE交于点G，如图所示：
∵∠PGD=∠EGC，
∴∠2=∠C+∠EGC=90°+∠PGD，
∴∠PGD=∠2-90°，
∵∠PDG=180°-∠1，
根据三角形内角和定理得：∠DPG+∠PDG+∠PGD=180°，
∴ ，
∴ ；
故答案为 .
【分析】（1）根据邻补角的性质可得∠CDP=180°-∠1，∠CEP=180°-∠2，根据四边形内角和定理得：∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，据此求解；
（2）同（1）进行解答即可；
（3）设线段BC与线段PD交于点F，根据邻补角的性质可得∠CDF=180°-∠1，由三角形外角的性质可得∠CFD=∠2+∠α，由三角形内角和定理可得∠C+∠CDF+∠CFD=180°，据此解答；
（4）设AC与PE交于点G，由三角形外角的性质可推出∠PGD=∠2-90°，根据邻补角的性质可得∠PDG=180°-∠1，由三角形内角和定理可得∠DPG+∠PDG+∠PGD=180°，据此解答.
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