(共12张PPT)
16章：二次根式
16.3.2二次根式的加减混合运算
主备人：段素丽
一、 要进行二次根式加减运算,它们具备什么特征才能进行合并？
(1)说出 的三个同类二次根式
(2)下列各式中哪些是同类二次根式
同类二次根式
课前提问
下列计算哪些正确，哪些不正确？
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
（不正确）
（不正确）
（不正确）
（正确）
（不正确）
小法官
二 、如何进行单项式与多项式相乘的 运算 ？
你能用字母表示这一结论吗？
思路：
单×多
转 化
分配律
单×单
m(a+b＋c)
=
ma+mb＋mc
多项式除以单项式呢？
课前提问
例3 计算：
知识点1：应用
类比整式运算法则计算
小试牛刀：计算
例4 计算：
（2）
（3）
知识点2：应用
乘法公式计算
1. 计算：
练习
二次根式的加、减运算，需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式的系数相加减，被开方数不变.
二次根式的和相乘，类似于多项式的乘法运算，注意利用乘法公式．
链接中考：
1.求当a= 时,代数式
(a -1)2 -(a+1)(a-1)的值.
4、计算：(每小题4分)
〉〉解题示范——规范步骤，该得的分一分不丢！
[2分]
[4分]
[4分]
作业:习题16.3
选做题: 6题,8题.(共17张PPT)
16.2
二次根式的乘法
a
(a≥0)
(a≤0)
=
=|a|
(a≥ 0)及其逆用
复习回顾
（1） ≥0 (a≥0)
双重非负性
二次根式的性质:
a
-a
算一算.比一比.有何规律；
——
2×3=6
————
————
4×5=20
————
想一想：
=
二次根式乘法:等于被开方数积的算术平方根。
[归纳总结] 二次根式相乘，先把根号前面的系数相乘，
再将被开方数相乘，根指数不变．如果积中有能开得尽
方的因数或因式，一定要开尽方．
(a≥0,b≥0)
一般地,对于二次根式的乘法法则:
拓展:
1.对于多个二次根式进行相乘的运算,则
2.当二次根式前面有因数或因式时,则
注意公式成立的条件
例1 . 计算：
（1）.
——
___
(2)
(3)
(4)
（a≥0，b≥0）
二次根式的乘法法则的逆用（积的算术平方根）
拓展:
1.对于多个非负因数的积的算术平方根 ,则:
2.利用积的算术平方根的性质,可以将二次根式中的开得尽方的因数或因式移到根号的外面.
思考：该公式的作用是什么？
化简二次根式
成立吗？为什么？
明辨是非
积的算术平方根成立的条件
（a≥0，b≥0）
例题３ 计算：
课堂小结
（a≥0，b≥0）
(a≥0,b≥0)
综合提高
二次根式的大小比较
的值是（ ）
的值是（ ）
的值是（ ）
A
B
A
当堂检测
4. 估计
的运算结果应在（ ）
A、1到2之间 B、2到3之间
C、3到4之间 D、4到5之间
C
当堂检测
5. 比较大小
＜
＜
当堂检测
7.将下列式子中根号外的因数（因式）移到根号内.
A
1.必做：1.P10 第1、 4、5题（抄题）2.预习课本P9-10
今日作业(共10张PPT)
a≥0,b≥0
1.二次根式的乘法：
复习提问
把开方开得尽的因数或因式,开方后移到根号外.
2.化简二次根式：
看谁做的最棒：
1.计算（二人板演，全班齐练）
2.化简：口答，你最棒
16.2二次根式的除法
（一）
两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数
计算下列各式,观察计算结果,你发现什么规律
＝
＝
规律:
二次根式的除法公式的应用：
解：
如果根号前有系数，就把系数相除，仍旧作为二次根号前的系数。
例5：化简
1.被开方数不含分母;
2.被开方数不含能开得尽方的因数或因式.
最简二次根式:
1.被开方数不含分母
2.被开方数不含开的尽方的因数或因式
最简二次根式：
例：指出下列各式中的最简二次根式
小结
1.二次根式的除法利用公式:
(1).被开方数不含分母;
(2).被开方数不含能开得尽方的因数或因式.
2.最简二次根式:(共15张PPT)
第十六章 二次根式的加减（1）
一、新课引入
1、化简下列二次根式：
（1） =_____；（2） =____；
（3） =_____；（4） =_____.
2、猜想：
－ ＝ _ _ ； ＋ ＝ __ .
掌握二次根式的加减法法则；
熟练地进行二次根式的加减法运算.
1
2
二、学习目标
解：因为小正方形木板的边长分别为 ，
所以木板够宽.我们只需考虑木板是否够长.
由 得， ， 即两个正方形的边长的和小于木板的长，能按要求裁出木板.
三、研读课文
同类二次根式
问题 现有一块长为7.5dm、宽为5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8d㎡和18d㎡的正方形木板？
认真阅读课本第12至13页的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程.
三、研读课文
同类二次根式
在这里， 和 化成最简二次根 式 和 后，被开方数_______，像这样的二次根式就叫做同类二次根式.
练一练 下面与 是同类二次根式的是（ ）
A: B: C: D:
C
相同
二次根式的加减法法则
上面的问题中，利用 律将 和 进行合并.由此得，二次根式的加减法法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成 ，再将 的二次根式进行 .
分配
最简二次根式
被开方数相同
合并
三、研读课文
二次根式的加减法法则
例1 计算：
(1) (2)
解：(1)原式＝ （化成 二次根式）
＝( - ) （ 律）
＝ （合并）
(2)原式＝ + （化成 二次根式）
＝（ + ) （ 律）
＝ （合并）
最简
4
3
分配
最简
分配
3
5
三、研读课文
练一练 计算
(1) (2)
二次根式的加减法法则
解：（1）
三、研读课文
知识点二
例2 计算
计算 (1)
(2)
解：(1)原式＝
＝ （化简二次根式）
＝ （合并）
(2)原式＝ （去括号并化简）
＝ （合并）
温馨提示：化简后被开方数 的二次根式（同类二次根式）才能合并，因此 合并（填能或不能）
相同
不能
三、研读课文
知识点二
练一练
1.下列计算是否正确？为什么？
(1)
(2)
(3)
(4)
错误
错误
正确
错误
三、研读课文
2.计算
(1).
解：原式
解：原式
（2）
三、研读课文
(3).如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是12.56和25.12.求圆环的宽度d（取3.14，结果保留小数点后两位）
解：
答：圆环的宽度d约是0.83
四、归纳小结
1、二次根式加减时，可以先将二次根式化成 ， 再将 的二次根式进行 .
2、化简后被开方数 的二次根式（同类二
次根式）才能合并，否则不能合并.
3、学习反思
最简二次根式
被开方数相同
合并
相同
五、强化训练
计算
（1）
解：原式=
解：原式=
（2）
五、强化训练
计算
解：原式=
解：原式=
（3）
（4）(共18张PPT)
八年级 下册
16.3 二次根式的加减（1）
本课在学习二次根式乘除运算及化简的基础上，从
算术平方根的运算出发，研究二次根式的加减运算．
二次根式的运算方法与数的运算方法本质上是一致
的．实数的运算律对二次根式的运算仍然适用．
课件说明
课件说明
学习目标：
1．探索二次根式加减运算的方法和步骤；
2．会进行二次根式的加减运算．
学习重点：
在化简二次根式的基础上，应用分配律进行二次根
式的加减运算．
问题1 现有一块长7.5 dm、宽5 dm的木板，能否
采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分
别是8 dm2和18 dm2的正方形木板？
创设情境 提出问题
能截出两块正方形木
板的条件是什么？能用数
学式子表示吗？
5 dm
7.5 dm
创设情境 提出问题
能否进一步计算？这是一种什么运算？
能进一步计算，这
种计算是两个二次根式
的加法运算．
5 dm
7.5 dm
合作探究 形成知识
问题2 怎样计算 ？
如果看不出 能否化简，我们不妨把问题简
化，先看算式 能否化简．
这里的两个二次根式有什么特征？
被开方数相同，即为同类二次根式．
用分配
律合并
整式
加减
合作探究 形成知识
问题2 怎样计算 ？
如果看不出 能否化简，我们不妨把问题简
化，先看算式 能否化简．
用分配
律合并
整式
加减
你能得到这样的两个二次根式加减的方法吗？
将同类二次根式用分配律合并．
合作探究 形成知识
算式 与算式 有什么相同点与不同
点？
请化简算式 ，并说出每一步化简的理由.
化为最简
二次根式
用分配
律合并
整式
加减
合作探究 形成知识
能否把这种计算方法推广到一般？
请计算 ，并说出计算依据．
现在能解决本课开始时提出的问题了吗？
合作探究 形成知识
化为最简
二次根式
用分配
律合并
整式
加减
二次根
式性质
分配律
整式加
减法则
合作探究 形成知识
步骤：
“一化简、二判断、三合并”；
依据：
二次根式的性质、分配律和整式加减法则；
基本思想：
把二次根式加减问题转化为整式加减问题．
请总结二次根式加减的步骤、依据和基本思想．
√
√
×
×
初步应用 巩固知识
练习1 判断下列计算是否正确？为什么？
（1）
（3）
（2）
（4）
初步应用 巩固知识
例1 计算：
（1）
（2）
初步应用 巩固知识
例2 计算（并说出运算步骤和每一步的算理）：
（1）
（2） ．
答案：（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ．
初步应用 巩固知识
练习2 计算：
（1）
（3）
（2）
（4）
．
综合应用 深化提高
练习3 化简： ．
解：原式
练习4
课堂小结
（1）二次根式的加减运算分哪几步进行？每一个步骤
的依据是什么？
（2）在二次根式的加减中，主要的想法是怎样的？
（3）在二次根式加减中，有哪些地方容易出现错误？
作业：教科书第13页练习2，3；
习题16.3第1，2，3题．
课后作业 (共12张PPT)
16章：二次根式
16.3二次根式的加减混合运算
一 要进行二次根式加减运算,它们具备什么特征才能进行合并？
(1)说出 的三个同类二次根式
(2)下列各式中哪些是同类二次根式
同类二次根式
课前提问
下列计算哪些正确，哪些不正确？
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
（不正确）
（不正确）
（不正确）
（正确）
（不正确）
小法官
二 如何进行单项式与多项式相乘的 运算？
你能用字母表示这一结论吗？
思路：
单×多
转 化
分配律
单×单
m(a+b＋c)
=
ma+mb＋mc
多项式除以单项式呢？
课前提问
例4 计算：
知识点1：应用
类比整式运算法则计算
小试牛刀：计算
例5 计算：
（2）
（3）
知识点2：应用
乘法公式计算
（4）
（3）
试一试：计算
知识点3：拓展应用
链接中考：
1.求当a= 时,代数式
(a -1)2 -(a+1)(a-1)的值.
求下列各式的值
作业:习题16.3
必做题 4题.
选做题: 6题,8题.(共19张PPT)
1.下列各式中，是二次根式的有____________________.
144
-
2
20
m
+
3
a
b2
+
a2
15
2
1
b
-
、
、
、
、
、
.
15
b2
+
a2
、
2
20
m
+
、
2.a取什么实数时，下列各式有意义？
;
2
)
1
(
+
a
;
)
2
(
2
a
.
1
)
3
(
a
a≥－2
a为任意实数
a＞0
知识回顾
3.已知a.b为实数，且满足 求a 的值.
4.已知
求x、y的值
（二）
(a≥0)
0
4
0.01
观测上述等式的两边,你能得到什么启示
4
0.01
0
(a≥0)
-a (a＜0)
a (a>0)
=
0 (a=0)
2.从取值范围来看,
a≥0
a取任何实数
1:从运算顺序来看,
先开方,后平方
先平方,后开方
3.从运算结果来看:
=a
a (a≥ 0)
-a (a≤0)
=
=∣a∣
5
7
18
(x﹤y)
例题1.
把式子
)
0
(
)
(
2
≥
=
a
a
a
反过来，就得到
).
0
(
)
(
2
≥
=
a
a
a
把下列非负数写成一个数的平方的形式:
（1）5 （2）3.4
（3） （4）x（x≥0）
1
6
2
)
5
(
2
)
4
.
3
(
2
)
6
1
(
2
)
(
x
在实数范围内分解因式:4 - 3
∵
∴
解:
例题2
化简 例题3
实数p在数轴上的位置如图所示，化简
（3）
1.若 ,则x的取值范围为 ( )
(A) x≤1 (B) x≥1 (C) 0≤x≤1 (D)一切有理数
A
3.实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简
a
b
c
A． B． C． D．
2.下列式子一定是二次根式的是（ ）
C
课堂练习
4.若3，m,5为三角形的边长，化简
5.
解:
6.已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：
+
-
二次根式的定义:
二次根式的性质:
a (a≥ 0)
-a (a≤0)
=
=∣a∣(共19张PPT)
第十六章 二次根式
第1课时
16.1 二次根式
一、回顾与思考
1．4的平方根是_____；0的平方根是______.
2．5的平方根是_______；5的算术平方根是____.
3. 什么叫平方根？ 什么叫算术平方根？
0
请同学们议一议：
（1）-1有算术平方根吗？
（2）0的算术平方根是多少？
（3）当 ＜0时， 有平方根吗？
归纳总结:
一个正数有两个平方根；
0的平方根为0；
在实数范围内，负数没有平方根；
因此，开方时被开方数只能为正数或0.
（没有）
（0）
（没有）
二、创设情境，引入新知
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
（1）面积为3的正方形的边长为 ，面积为S的正方形的边长为 .
（2）一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2,则它的宽为 m.
(3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t, 那么t为_________.
像 这样的式子有什么共同特点呢
形如 (a≥0)的式子叫做二次根式
(1)表示a的算术平方根;
(2)a可以是数,也可以是代数式;
(3)从形式上看,含有二次根号;
(4)a≥0, ≥0.
三、探索新知，解决问题
例：下列各式中,哪些是二次根式 并指出二次根式中的被开方数.
解: ＞0)
是二次根式.其中被开方数依次是7,x-3,(x+1)2，
[解题策略]
①当被开方数形式是含有字母的代数式时,可以把这个代数式看成一个整体.如 的被开方数是
②当被开方数形式比较复杂时,可以将这个被开方数适当化简.如, 因为(-3)2-7=9-7=2,所以它的被开方数其实就是2.
【变式训练】下列各式中,一定是二次根式的是 ( )
A. B. C. D. (a<0)
〔解析〕 的被开方数-9<0, 的被开方数m-1可能是负数, 的根指数是3,所以选项A,B,C中的式子都不是二次根式. 含有二次根号,并且无论a取什么负数,被开方数a2+8都是正数,所以 一定是二次根式.故选D.
D
例：(教材例1)当x是怎样的实数时,
在实数范围内有意义
解:由x-2≥0,得x≥2.
当x≥2时, 在实数范围内有意义.
四、例题讲解，应用新知
当x为何值时,下列各式在实数范围内有意义
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
1、 x取何值时,下列二次根式有意义
(7)
(8)
总结:Z````xxk
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于0；
②分母中有字母时，要保证分母不为0.
(1)二次根式的定义是从代数式的结果和形式上界定的,必须含有二次根号“ ”,如 , 都是二次根式,而
就不是二次根式了.
(2)在二次根式中,被开方数可以是具体的数,也可以是含有字母的单项式、多项式、分式等代数式.
(3)形如b (a≥0)的式子也是二次根式,其表示的是b与的乘积,如3 表示3× .
(4)当a≥0时, 表示a的算术平方根.也就是说, 有意义的条件是a≥0.
(5)当a是非负数时, (其中a≥0)本身也是一个非负数.
2.根据非负数的性质，就可以确定字母的值.
1.如果几个非负数的和为零，那么每一个非负数都为零.
到现在为止，我们已学过哪些数非负数形式？
思考：
双重非负性的应用
2.
注：
1.
3.
A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数
4.
注：
思考
5.已知
注:
五、归纳总结
(1)本节课你学习了哪些知识？
(2)利用本节课知识，你能解决什么问题？
作业
思考题：
1.
2.(共14张PPT)
二次根式复习课
了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算。
能用有理数估计一个无理数的大致范围。
中考要求
首页
上页
下页
知识结构
首页
上页
下页
二次根式
相关概念
二次根式的性质
二次根式的运算
二次根式概念
最简二次根式
同类二次根式
二次根式乘除法则
二次根式加减运算
知识巩固
首页
上页
下页
最简二次根式
①被开方数的因数是整数，因式是整式。
②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
③分母中不含有二次根式。
知识巩固
同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式
①化成最简二次根式后 ②被开方数相同
第一组：
第二组：
第三组：
知识巩固
二次根式的运算
首页
上页
下页
知识巩固
3：比较 和0.5的大小。
2： 在两个连续整数a和b之间，a< 1：写出一个3到4之间的无理数 。
二次根式估算
基础演练
基础演练
基础演练
基础演练
基础演练
课本：19页3，5，6
视野拓展
首页
上页
下页
1、
京腾囡文教电子发展有限表任公司
Beijing Fengtu Culture Education Electronics Developing Co, Ltd(共29张PPT)
本章知识
（一）、二次根式概念及意义.
像 、 这样表示 的 ____________，且
根号内含有字母的代数式叫做二次根式。
一个数的____________也叫做二次根式。
算术平方根
算术平方根
注意：
被开方数大于或等于零
判断下列各式哪些是二次根式？
题型1:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
1. 当 _____时， 有意义。
2. 若 +
3.求下列二次根式中字母的取值范围
解得 - 5≤x＜3
解：
①
②
说明：二次根式被开方数不小于0，所以求二次根式中字母的取值范围常转化为不等式（组）
≤3
a=4
有意义的条件是 .
题型2:二次根式的非负性的应用.
4.已知： + =0,求 x-y 的值.
5.已知x,y为实数,且
+ 3(y-2)2 =0,则x-y的值为( )
A.3 B.-3 C.1 D.-1
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0
解得 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
D
知识2
首页
上页
下页
最简二次根式
①被开方数的因数是整数，因式是整式。
②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
③分母中不含有二次根式。
知识2
同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式
①化成最简二次根式后 ②被开方数相同
第一组：
第二组：
第三组：
基础演练
(二）二次根式的简单性质
练习：计算
(二）二次根式的简单性质
练习：计算
积的算术平方根
积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积（a、b都是非负数）。
(二）二次根式的简单性质
商的算术平方根
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．
(二）二次根式的简单性质
B
A
（1）下列各式不是二次根式的是（ ）
（3）选择：下列计算正确的是（ ）
（ ）
（ ）
C
C
把被开方数的积作为积的被开方数．
（三）二次根式的乘除法
把被开方数的商作为商的被开方数．
练习：计算
①
②
③
④
⑤
(四）二次根式的运算
①
②
③
④
首页
上页
下页
3：比较 和0.5的大小。
2： 在两个连续整数a和b之间，a< 1：写出一个3到4之间的无理数 。
(五)二次根式估算
3、实数在数轴上的位置如图示，
化简|a-1|+
。
4、请计算a= ， b= ，
求 a2b-ab2 的值
6.若方程 ，则 x_______
5. 若数轴上表示数x的点在原点的左边，则化简|3x+ x2| 的结果是（ ）
A.-4x B.4x C.-2x D.2x
C
7.一个台阶如图，阶梯每一层高15cm，宽25cm，长60cm.一只蚂蚁从A点爬到B点最短路程是多少？
25
15
15
25
60
60
A
B
解：
B
15
15
25
25
60
60
A
A
B
P
D
C
若点P为线段CD上动点。
已知△ABP的一边AB=
（2）如图所示，AD⊥DC于D，BC⊥CD于C，
①则AD=____ BC=____
1
2
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使 三角形的三边为
拓展1
A
B
P
D
C
若点P为线段CD上动点。
已知△ABP的一边AB=
（2）如图所示，AD⊥DC于D，BC⊥CD于C，
①则AD=____ BC=____
1
2
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使 三角形的三边为
拓展1
A
B
P
D
C
若点P为线段CD上动点。
已知△ABP的一边AB=
（2）如图所示，AD⊥DC于D，BC⊥CD于C，
①则AD=____ BC=____
1
2
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使 三角形的三边为
拓展1
A
B
P
D
C
若点P为线段CD上动点。
已知△ABP的一边AB=
（2）如图所示，AD⊥DC于D，BC⊥CD于C，
①则AD=____ BC=____
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2
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使 三角形的三边为
拓展1
A
B
P
D
C
若点P为线段CD上动点。
已知△ABP的一边AB=
（2）如图所示，AD⊥DC于D，BC⊥CD于C，
①则AD=____ BC=____
1
2
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使 三角形的三边为
拓展1
A
B
P
D
C
若点P为线段CD上动点。
已知△ABP的一边AB=
（2）如图所示，AD⊥DC于D，BC⊥CD于C，
①则AD=____ BC=____
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2
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使 三角形的三边为
拓展1
A
B
P
D
C
若点P为线段CD上动点。
已知△ABP的一边AB=
（2）如图所示，AD⊥DC于D，BC⊥CD于C，
①则AD=____ BC=____
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2
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使 三角形的三边为
拓展2
② 设DP=a,请用含a的代数式表示AP，BP。则AP=__________，BP=__________。
③ 当a=1 时，则PA+PB=______,
当a=3,则PA+PB=______
④ PA+PB是否存在一个最小值？
祝你成功！
通过这节课的学习，谈谈你的收获？
