编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
进阶3：同角三角函数的基本关系难点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．若，，则的值为（ ）
A．或 B． C． D．
2．若三角形的两内角、满足，则此三角形为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上三种情况都有可能
3．若，则等于（ ）
A．-3 B． C． D．3
4．已知，，则等于（ ）
A． B． C．或 D．
5．（2021·上海·华东师大附属枫泾中学高一月考）若、、为关于x的方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·上海市嘉定区第一中学高一期中）设，若是角的终边上一点，则下列各式恒为负值的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·上海市延安中学高一期中）已知，，且满足，则有（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021·上海松江·高一期末）设函数和函数的图像公共点的横坐标从小到大依次为，，，…，，若，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021·上海·曹杨二中高三期中）已知、、、为锐角，在，，，四个值中，大于的个数的最大值记为，小于的个数的最大值记为，则等于（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
10．（2021·上海市延安中学高一期中）当函数取得最大值时，的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021·上海·复旦附中高二期末）若，则______．
12．（2021·上海市金山中学高一期中）已知关于的方程在有解，则的取值范围是________．
13．（2021·上海市复兴高级中学高一期中）已知函数的定义域为，对任意实数，总有和同时成立，则函数解析式为________
14．（2021·上海浦东新·高一期中）若，，则__________________．
15．（2021·上海·曹杨二中高一月考）已知，且，则的值是___________.
16．（2021·上海市南洋模范中学高一期中）在中，分别是角的对边，若，则的值为____________.
17．（2021·上海市民办西南高级中学高一月考）已知，，则实数m的值为________________．
18．（2021·上海市建平中学高三月考）设r，满足，则r的取值范围是______．
19．（2021·上海市高桥中学高三期中）已知，，则的值为 _________．
20．（2021·上海·格致中学高一月考）如果锐角满足，则的值是___________．
三、解答题
21．已知锐角三角形ABC中，sin(A+B)=，sin(A- B)=
（1）求证: tanA=2tanB
（2）设AB=3，求AB边上的高CD.
22．（2021·上海市西南位育中学高一期中）已知函数，函数，设.
（1）求证：是函数f（x）的一个周期；
（2）当k=0时，求F（x）在区间上的最大值；
（3）若函数F（x）在区间内恰好有奇数个零点，求实数k的值.
23．（2021·上海市建平中学高三月考）已知，.
（1）求的值；
（2）求的值.
24．（2021·上海市民办西南高级中学高一月考）已知，求
（1）的值；
（2）的值．
25．（2021·上海市民办西南高级中学高一月考）（1）已知，，求的值；
（2）已知，，求．
26．（2021·上海虹口·一模）在平面直角坐标系中，在以原点为圆心半径等1的圆上，将射线绕原点逆时针方向旋转后交该圆于点，设点的横坐标为，纵坐标.
(1)如果，，求的值（用表示）；
(2)如果，求的值.
27．（2021·上海·高一期中）已知函数.
（1）若，恒成立，求的取值范围；
（2）若，是否存在实数，使得，都成立？请说明理由.
28．（2021·上海·高一期中）在①，②③中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题.已知， ，.
（1）求的值；
（2）求.
29．（2021·上海市延安中学高一期中）已知正弦三倍角公式：①
（1）试用公式①推导余弦三倍角公式（仅用表示）；
（2）若角满足，求的值.
30．（2021·上海·高一期末）对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“余弦方差”．
（1）若集合，，求集合A相对的“余弦方差”；
（2）判断集合相对任何常数的“余弦方差”是否为一个与无关的定值，并说明理由；
（3）若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出、．编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
进阶3：同角三角函数的基本关系难点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．若，，则的值为（ ）
A．或 B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
根据同角三角函数的基本关系及诱导公式求解.
【详解详析】
由可得：，
平方得：
所以，
解得或，
又，
所以，
故，
故选：C
2．若三角形的两内角、满足，则此三角形为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上三种情况都有可能
【标准答案】B
【思路指引】
利用诱导公式以及同角三角比的关系化简不等式，然后根据化简结果进行判断.
【详解详析】
因为，所以，
所以，所以，
又因为，所以，
所以为钝角，
故选：B.
3．若，则等于（ ）
A．-3 B． C． D．3
【标准答案】C
【思路指引】
由得，然后利用二倍角公式展开后变为齐次式上下同除以结合同角三角函数的基本关系式求解即可.
【详解详析】
得，
则，
故选：C.
4．已知，，则等于（ ）
A． B． C．或 D．
【标准答案】A
【思路指引】
设，可得出，利用二倍角的余弦公式、诱导公式以及弦化切可得出关于的等式，即可解得的值，即为所求.
【详解详析】
设，可得且，
所以，，
解得.
故选：A.
5．（2021·上海·华东师大附属枫泾中学高一月考）若、、为关于x的方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
先根据韦达定理得到，进而缩小角的范围得到，然后结合同角的平方关系求得，再利用二倍角的余弦公式即可求解.
【详解详析】
因为、为关于x的方程的两个根，
所以，又因为，所以，
，
，
故选：C
6．（2021·上海市嘉定区第一中学高一期中）设，若是角的终边上一点，则下列各式恒为负值的是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
利用三角函数的定义，求出角的三角函数值，再根据确定正负性.
选项A可根据进行判定；选项C可由正切的范围进行判定；选项B，D可由三角函数值的正负性进行判定.
【详解详析】
由题知，，，，.
其中为点到原点的距离.
，
因为，所以的取值可正可负可为0，故的取值可正可负可为0.
故选项A错误；
，
因为，，所以恒成立.
故选项B正确；
因为，当时，有.
又时，，.
故选项C错误；
因为，，所以.
故选项D错误.
故选：B.
7．（2021·上海市延安中学高一期中）已知，，且满足，则有（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
利用三角恒等变换公式化简已知条件得到，结合余弦函数的性质可知，进而得解.
【详解详析】
因为，所以，
即，所以，
所以，所以，，
由，得，则，，
所以，故.
故选：C.
【名师指路】
关键点点睛：本题考查三角函数的化简求值，解题的关键是熟悉同角之间的关系，两角和差化积公式及二倍角公式，考查学生的分析与运算求解能力，属于基础题.
8．（2021·上海松江·高一期末）设函数和函数的图像公共点的横坐标从小到大依次为，，，…，，若，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
由，得或，，，然后由小到大对这此公共点的横坐标排列，从而可求出的值，代入中化简可求得的值，再由可求得结果
【详解详析】
因为，则有或，，，
解得或，，
又函数和函数的图象的公共点的横坐标从小到大依次为，，，…，，所以，，，，，，…，故，．
所以，即，则，解得，
故．
故选：C
9．（2021·上海·曹杨二中高三期中）已知、、、为锐角，在，，，四个值中，大于的个数的最大值记为，小于的个数的最大值记为，则等于（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【标准答案】B
【思路指引】
由题意可得，，从而可求的m、n的值，即可得出答案.
【详解详析】
解：因为、、、为锐角，
则，当且仅当时取等号，
同理，
，
故不可能有4个数都大于，所以最多三个数大于，所以，例如，
故最多有4个数均小于，所以，例如，
所以.
故选：B.
10．（2021·上海市延安中学高一期中）当函数取得最大值时，的值是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
利用辅助角将函数利用两角差的正弦公式进行化简，求得函数取得最大值时的与的关系，从而求得，，可得结果.
【详解详析】
，其中，，
当时，函数取得最大值，此时，
∴，，
∴
故选：C.
【名师指路】
关键点点睛：本题考查了两角差的正弦公式的逆用，解题的关键是辅助角公式的应用与正弦函数的性质，考查学生的运算求解能力，属于中档题.
二、填空题
11．（2021·上海·复旦附中高二期末）若，则______．
【标准答案】
【思路指引】
利用诱导公式化简已知条件，两边平方后利用同角三角函数的基本关系式求得，再利用诱导公式求得所求表达式的值.
【详解详析】
∵，
∴，
∴，
∴
.
故答案为：
12．（2021·上海市金山中学高一期中）已知关于的方程在有解，则的取值范围是________．
【标准答案】
【思路指引】
将原式化为，然后研究函数在上的值域即可
【详解详析】
解：由，得，
令，
令，
因为，所以，所以，即，
因为，
所以函数可化为，
该函数在上单调递增，所以，
所以，所以，
所以的取值范围是，
故答案为：
13．（2021·上海市复兴高级中学高一期中）已知函数的定义域为，对任意实数，总有和同时成立，则函数解析式为________
【标准答案】
【思路指引】
依题意可得，且，由此得可.
【详解详析】
由可得，①
由可得，即，②
由①②可得.
故答案为：.
14．（2021·上海浦东新·高一期中）若，，则__________________．
【标准答案】
【思路指引】
先由已知条件求出的值，而，所以，然后利用两角差的正弦公式展开计算即可
【详解详析】
解：因为，所以，
因为，
所以，
所以
，
故答案为：
15．（2021·上海·曹杨二中高一月考）已知，且，则的值是___________.
【标准答案】
【思路指引】
先由求出的值，由可得，从而由半角公式可得，而，进而可求出答案
【详解详析】
解：因为，且，所以，
因为，所以，
所以，
因为，
所以，
故答案为：
16．（2021·上海市南洋模范中学高一期中）在中，分别是角的对边，若，则的值为____________.
【标准答案】2020．
【思路指引】
由已知结合余弦定理进行化简，然后结合同角三角函数基本关系及正弦定理进行化简可求得答案．
【详解详析】
由，得，
又，所以，
所以，
则
．
故答案为：2020．
17．（2021·上海市民办西南高级中学高一月考）已知，，则实数m的值为________________．
【标准答案】
【思路指引】
将角和分别化成和，利用和差角的正弦公式化简变形，再结合已知及同角公式即可得解.
【详解详析】
因，则有，
于是得，
整理得，即，
而，从而得，
所以实数m的值为.
故答案为：
18．（2021·上海市建平中学高三月考）设r，满足，则r的取值范围是______．
【标准答案】
【思路指引】
原方程可变形为，再设，，进而可得，然后根据三角函数的有界性求出r的范围即可.
【详解详析】
将配方得，
设，，得：
，
又因为，，
所以.
故答案为：.
19．（2021·上海市高桥中学高三期中）已知，，则的值为 _________．
【标准答案】
【思路指引】
把已知等式两边平方求得，再求解，和已知条件联立求得与的值，作比得答案．
【详解详析】
由，两边平方得，
∴，即，
又，∴＝
与联立，可得， ，
∴＝＝．
故答案为：．
20．（2021·上海·格致中学高一月考）如果锐角满足，则的值是___________．
【标准答案】
【思路指引】
利用换底公式 ，转化为，以及 ，得到，那么，其中用到了 .
【详解详析】
解：锐角满足，
锐角满足，
，即，
，
，，
是锐角，，，
，
综上所述，结论是：．
故答案为：
三、解答题
21．已知锐角三角形ABC中，sin(A+B)=，sin(A- B)=
（1）求证: tanA=2tanB
（2）设AB=3，求AB边上的高CD.
【标准答案】（1）证明见解析；（2）.
【思路指引】
（1）利用两角和差的正弦公式求得，再结合同角的商数关系即可得出结论；
（2）结合同角的基本关系求出，利用（1）的结论与两角和的正切公式即可求出的值，然后结合平面图形的几何性质即可求出结果.
【详解详析】
（1）证明：因为sin(A+B)=，sin(A- B)=，
所以,
，
所以，即；
（2）因为三角形ABC为锐角三角形，所以，又因为sin(A+B)=，所以，因此，所以，结合，因为，解得，又因为，又因为AB=3，所以，故AB边上的高CD为.
22．（2021·上海市西南位育中学高一期中）已知函数，函数，设.
（1）求证：是函数f（x）的一个周期；
（2）当k=0时，求F（x）在区间上的最大值；
（3）若函数F（x）在区间内恰好有奇数个零点，求实数k的值.
【标准答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或或.
【思路指引】
（1）根据周期函数的定义进行证明即可；
（2）利用换元法，结合二次函数的性质进行求解即可；
（3）根据绝对值的性质，利用分类讨论思想、换元法，结合正弦型函数的性质进行求解即可.
【详解详析】
（1）因为，
所以是函数f（x）的一个周期；
（2）当k=0时，因为，
所以，
令，因为，所以，
因此，即，因为，
所以，
因此有，对称轴为：，
因为，所以当时，函数，
即F（x）在区间上的最大值为；
（3）当时，
由可得：，
令，因为，所以，
因此，即，因为，
所以，
因此，该二次函数的对称轴为：，
因此当时，该二次函数单调递减，所以
所以当时，即时，有一解，
当时，即时，有一解，
当时，即时，有二解，
当时，
由可得：，
令，因为，所以，
因此，即，因为，
所以，
因此，该二次函数的对称轴为：，
因此当时，该二次函数单调递增，所以
所以当时，即时，有一解，
当时，即时，有一解，
当时，即时，有二解，
综上所述：当函数F（x）在区间内恰好有奇数个零点，或或.
【名师指路】
关键点睛：利用分类讨论思想，结合换元法是解题的关键.
23．（2021·上海市建平中学高三月考）已知，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【标准答案】（1）；（2）.
【思路指引】
（1），结合角的范围解方程即可
（2）利用二倍角公式进行化简，利用弦化切，将（1）的值代入进行求解
【详解详析】
解：（1）∵，
∴，解得，或，
∵，可得，
∴.
（2）
.
24．（2021·上海市民办西南高级中学高一月考）已知，求
（1）的值；
（2）的值．
【标准答案】(1)；(2).
【思路指引】
(1)把所求值的式子化成用正切表示，再代入计算即得.
(2)利用二倍角公式化成关于的二次齐次式，再化成用正切表示即可作答.
【详解详析】
(1)因，于是得；
(2)因，于是得.
25．（2021·上海市民办西南高级中学高一月考）（1）已知，，求的值；
（2）已知，，求．
【标准答案】(1)；(2).
【思路指引】
(1)把表示成，求出，再利用差角的余弦公式计算即得；
(2)由给定条件求出，再把所求值的式子结合二倍角公式、差角的余弦公式变形，并化成用表示即可作答.
【详解详析】
(1)因，，则，，
所以；
(2)因，则，由得，解得，(舍去)，
所以，.
26．（2021·上海虹口·一模）在平面直角坐标系中，在以原点为圆心半径等1的圆上，将射线绕原点逆时针方向旋转后交该圆于点，设点的横坐标为，纵坐标.
(1)如果，，求的值（用表示）；
(2)如果，求的值.
【标准答案】(1)答案见解析；
(2).
【思路指引】
（1）由题设知，根据三角函数与单位圆的关系及和角正余弦公式、同角三角函数的平方关系求，，进而可得.
（2）由题设可得求，再由倍角余弦公式、万能公式可得，即可求值.
(1)
由题设知：，则，
∴，，
∴，而，，则，
∴，时，；
，时，.
(2)
由题设，，可得，
又，
∴.
27．（2021·上海·高一期中）已知函数.
（1）若，恒成立，求的取值范围；
（2）若，是否存在实数，使得，都成立？请说明理由.
【标准答案】（1）；（2）不存在，理由见解析.
【思路指引】
（1）根据的奇偶性和单调性，将函数值的比较变为自变量的比较，得到恒成立，利用参变分离，得到的取值范围；（2）假设存在，整理和，设，，
得到，按照和进行分类讨论，从而证明不存在所需的.
【详解详析】
（1），为上的奇函数，单调递减，
所以恒成立，
可得
所以恒成立
即恒成立，
当时，该不等式恒成立，
当时，，
设，则
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以.
（2）
所以，
假设存在实数，使得和都成立，
设，，
则，
，
若，则，解得，或，，均不是有理数，
若，则，其中，而，所以不成立，
综上所述，故不存在实数，使得，都成立.
【名师指路】
本题考查利用函数的单调性和奇偶性解决不等式恒成立问题，诱导公式，同角三角函数关系，研究是否为有理数的问题，涉及分类讨论的思想，属于难题.
28．（2021·上海·高一期中）在①，②③中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题.已知， ，.
（1）求的值；
（2）求.
【标准答案】（1）（2）
选条件①由，根据同角基本关系可求sinα，cosα，由两角和的正弦公式求解，计算，求出；
选条件②由，求出sinα，cosα，同①即可求解；
选条件③由，结合余弦二倍角公式、同角基本关系可求sinα，cosα，以下同①．
【详解详析】
选条件①：
因为，所以．
由平方关系sin2α+cos2α＝1，解得或
因为，所以．
(1)
.
(2)因为，
所以由sin2（α-β）+cos2（α-β）＝1，解得．
因为，所以，所以，
所以
,
由，
.
选条件②：
因为，所以14sinαcosα＝，
因为，所以cosα≠0，所以．
由平方关系sin2α+cos2α＝1，解得．
因为，所以．
以下同①的解法．
选条件③：
因为，
所以．
由平方关系sin2α+cos2α＝1，得．
因为，所以．
以下同①的解法．
【名师指路】
关键点点睛：本题主要选择不同的条件，利用三角恒等变换及同角三角函数的基本关系，求出，然后利用角的变换，求出，结合求解，属于难题.
29．（2021·上海市延安中学高一期中）已知正弦三倍角公式：①
（1）试用公式①推导余弦三倍角公式（仅用表示）；
（2）若角满足，求的值.
【标准答案】（1）；（2）
【思路指引】
（1）利用诱导公式将转化为，然后由已知等式化简，即可得到答案；
（2）先利用正弦三倍角公式结合已知的等式，求出，然后利用余弦三倍角公式以及同角之间的关系式即可求解.
【详解详析】
（1）
（2），，
解得：，即
【名师指路】
关键点点睛：本题考查了三角函数的化简与求值问题，主要考查了诱导公式的应用，同角三角函数关系的应用，利用诱导公式将转化为是解题的关键，考查了逻辑推理能力与运算求解能力，属于较难题.
30．（2021·上海·高一期末）对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“余弦方差”．
（1）若集合，，求集合A相对的“余弦方差”；
（2）判断集合相对任何常数的“余弦方差”是否为一个与无关的定值，并说明理由；
（3）若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出、．
【标准答案】（1）；（2）证明见解析；定值；（3）或.
【思路指引】
由“余弦方差”的定义，对（1）（2）（3）逐个求解或证明即可.
【详解详析】
（1）因为集合，，
所以；
（2）由“余弦方差”的定义得：，
，
，
.
所以是与无关的定值.
（3）由“余弦方差”的定义得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
,
，
要使是一个与无关的定值，则，
因为，所以与的终边关于y轴对称或关于原点对称，
又，
所以与的终边只能关于y轴对称，
所以，
因为，，
当时，，
当时，，
所以或时，
相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值
【名师指路】
关键点点睛：本题解决的关键是对“余弦方差”的定义应用和较强的运算能力.
