编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
进阶4：三角函数的诱导公式必考点综合专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·上海·华师大二附中高一月考）已知，求的值（用表示），王老师得到的结果是，张老师得到的结果是，对此你的判断是（ ）
A．王老师对，张老师错 B．两人都对
C．张老师对，王老师错 D．两人都错
2．,且，则必有（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数（其中、、均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·上海·高一期中）已知，则=（ ）
A． B． C． D．
5．下列等式中，成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．在中，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·上海虹口·二模）在平面上，已知定点，动点.当在区间上变化时，动线段所形成图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·上海松江·一模）已知角的终边经过点，将角的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·上海市南洋模范中学高一期中）若，满足，，则的值是（ ）
A．0 B． C． D．1
10．（2021·上海市晋元高级中学高三期中）已知，若存在使得集合中恰有3个元素，则的取值不可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021·上海·曹杨二中高一月考）若令，则__________（用含m的式子表示）
12．（2021·上海市行知中学高一月考）已知，则______
13．（2021·上海普陀·模拟预测）已知，，则cos(π﹣x)=___________.
14．（2021·上海市复兴高级中学高一期中）已知，其中，若函数是奇函数，则________
15．（2021·上海静安·高一期末）在中，A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则角A的余弦值是_____.
16．（2021·上海普陀·模拟预测）已知函数在区间上有两个零点、，若，则实数的取值范围为__．
17．（2021·上海杨浦·一模）在中，三边a b c所对的三个内角分别为A B C，若，，，则边长___________.
18．（2021·上海·高一期末）已知，那么________
19．（2021·上海市延安中学高一期中）在平面直角坐标系中，角与角的终边关于y轴对称，若，则_________
20．设函数，其中、为已知实常数，.
下列所有正确命题的序号是____________．
①若，则对任意实数恒成立；
②若，则函数为奇函数；
③若，则函数为偶函数；
④当时，若，则.
三、解答题
21．（2021·上海市实验学校高一期末）若函数，如果存在给定的实数对，使得恒成立，则称为“函数”，已知函数是一个“函数”，求出所有的有序实数对．
22．（2021·上海市第二中学高一期中）已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
23．（2021·上海徐汇·高一期末）主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周国的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）．已知某噪声的声波曲线，其中的振幅为2，且经过点（1，－2）
（1）求该噪声声波曲线的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式；
（2）证明：为定值．
24．（2021·上海·南洋中学高一月考）已知是第三象限角，且．
（1）化简；
（2）若，求的值．
25．（2021·上海市长征中学高一期中）在中，内角、、所对的边分别为，，，已知，求证：．
26．（2021·上海市洋泾中学高二期中）已知向量，，函数.
(1)若函数是偶函数，求的最小值；
(2)若，，求的值.
27．已知函数.
（1）化简；
（2）若，且，求的值；
（3）若，求的值.
28．（2021·上海·高一期末）如图是一个“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中是过抛物线的两条互相垂直的弦（点在第二象限），且交于点，点为轴上一点，，其中为锐角
（1）设线段的长为，将表示为关于的函数
（2）求“蝴蝶形图案”面积的最小值，并指出取最小值时的大小
29．已知函数，满足关系.
（1）设，求的解析式；
（2）当时，存在、，对任意，恒成立，求的最小值.
30．（2021·上海杨浦·高三期中）若实数，，且满足，则称x y是“余弦相关”的.
(1)若，求出所有与之“余弦相关”的实数；
(2)若实数x y是“余弦相关”的，求x的取值范围；
(3)若不相等的两个实数x y是“余弦相关”的，求证：存在实数z，使得x z为“余弦相关”的，y z也为“余弦相关”的.编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
进阶4：三角函数的诱导公式必考点综合专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·上海·华师大二附中高一月考）已知，求的值（用表示），王老师得到的结果是，张老师得到的结果是，对此你的判断是（ ）
A．王老师对，张老师错 B．两人都对
C．张老师对，王老师错 D．两人都错
【标准答案】A
【思路指引】
展开即可验证王老师是否正确，，求出，用二倍角公式即可求出，可验证张老师是否正确，从而得出结论.
【详解详析】
，王老师正确；
，
，张老师不正确.
故选:A
【名师指路】
本题考查诱导公式，两角和的正切公式，二倍角公式，考查计算能力，属于中档题.
2．,且，则必有（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
根据诱导公式以及正切函数单调性确定选项.
【详解详析】
因为在上单调递增，所以
故选：C
【名师指路】
本题考查诱导公式以及正切函数单调性，考查基本分析化简能力，属基础题.
3．已知函数（其中、、均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
根据周期公式可得，根据当时，函数取得最小值，可得，，所以，再利用诱导公式以及三角函数的性质比较大小可得答案.
【详解详析】
依题意得，解得，所以，
因为当时，函数取得最小值，
所以，，即，，
所以，
因为且，所以，
因为，
又，所以，
因为，所以，
综上所述：.
故选：A
【名师指路】
本题考查了根据三角函数的性质求解析式，考查了诱导公式，考查了利用正弦函数的单调性比较大小，属于中档题.
4．（2021·上海·高一期中）已知，则=（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
用诱导公式化简已知式和求值式，求值式变形有后用二倍角公式计算．
【详解详析】
由题意，
所以，
所以
．
故选：B．
【名师指路】
本题考查诱导公式与二倍角公式求值．解题关键是对“单角”和“复角”的相对性的理解与应用．本题中用诱导公式化简和用二倍角公式求值，都是把作为一个“单角”进行变形参与运算，而不是作为两个角的和．
5．下列等式中，成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
根据题意，结合诱导公式一一判断即可.
【详解详析】
对于选项A，根据诱导公式知，，故A错；
对于选项B，根据诱导公式知，，故B错；
对于选项C，根据诱导公式知，，故C正确；
对于选项D，根据诱导公式知，，故D错.
故选：C.
6．在中，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
利用以及余弦定理即可求解.
【详解详析】
，
不妨设，,
则 ，
故选：A.
7．（2021·上海虹口·二模）在平面上，已知定点，动点.当在区间上变化时，动线段所形成图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
作出图形，确定点的轨迹图形，结合图象可求得线段所形成图形的面积.
【详解详析】
因为，所以点在单位圆上，
由于，，
所以，是其与轴正方向的有向角为，
，则，
记点，，所以，点的轨迹是劣弧，
所以，动线段所形成图形为阴影部分区域，
因为，因此，阴影部分区域的面积为.
故选：D.
【名师指路】
关键点点睛：本题考查动线段运动轨迹图形的面积，解题的关键在于确定动点的轨迹图形，数形结合求出图形的面积.
8．（2021·上海松江·一模）已知角的终边经过点，将角的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则等于（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
先由条件求出，再根据角的旋转及诱导公式即可求解.
【详解详析】
因为角的终边经过点，
所以，
所以
故选：B
9．（2021·上海市南洋模范中学高一期中）若，满足，，则的值是（ ）
A．0 B． C． D．1
【标准答案】B
【思路指引】
由题意可得和是方程 的两个实数解．再由 和的范围都是，，方程在，上只有一个解，可得，所以，由此求得的值．
【详解详析】
解：，
，即．
再由，可得．
故和是方程 的两个实数解．
再由，，，，所以和的范围都是，，
因为函数在，上单调递增，
所以函数在，上单调递增，
故方程在，上只有一个解，
所以，，所以，所以．
故选：B．
10．（2021·上海市晋元高级中学高三期中）已知，若存在使得集合中恰有3个元素，则的取值不可能是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
利用赋值法逐项写出一个周期中的元素，再结合三角函数诱导公式判断是否存在符合题意即可.
【详解详析】
解：对A，当，，函数的周期为
在一个周期内，对赋值
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
令时，
所以存在使得时的值等于时的值，时的值等于时的值，时的值等于时的值.
但是当等于、、、时，不存在使得这个值中的任何两个相等
所以当时，集合中至少有四个元素，不符合题意，故A错误；
对B，当，，函数的周期为
在一个周期内，对赋值
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；
令，
所以当时，符合题意，故B正确；
对C，当，，函数的周期为
在一个周期内，对赋值
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
令，则，，
所以当时，符合题意，故C正确；
对D，当，，函数的周期为
在一个周期内，对赋值
当时，；当时，；
当时，；
令，，，
所以当时，符合题意，故D正确.
故选：A.
【名师指路】
方法点睛：本题一共有三个变量：，，.属于多变量题目，对于该题，要先确定一个变量，再对第二个变量赋值，然后再对第三个变量赋值，以此分类讨论即可.
二、填空题
11．（2021·上海·曹杨二中高一月考）若令，则__________（用含m的式子表示）
【标准答案】
【思路指引】
由诱导公式可得，由通角三角函数可得，再由诱导公式可得从而得出答案.
【详解详析】
由，则，
由，所以
故答案为：
12．（2021·上海市行知中学高一月考）已知，则______
【标准答案】
【思路指引】
由反三角函数得，，进而得，再根据诱导公式化简求值即可得答案.
【详解详析】
解：因为，所以，,
又因为，
所以
所以
故答案为：
13．（2021·上海普陀·模拟预测）已知，，则cos(π﹣x)=___________.
【标准答案】
【思路指引】
根据 ，，求出 ，再用“奇变偶不变，符号看象限”求出cos(π﹣x).
【详解详析】
解：因为，，
可得cosx=﹣=﹣，
所以cos(π﹣x)=﹣cosx=.
故答案为：.
【名师指路】
注意角的范围决定三角函数值的正负，以及“奇变偶不变，符号看象限”的准确运用.
14．（2021·上海市复兴高级中学高一期中）已知，其中，若函数是奇函数，则________
【标准答案】
【思路指引】
由是奇函数得，结合可得结果.
【详解详析】
若是奇函数，则.
不妨设，则，则，
即，又，则.
故答案为：.
15．（2021·上海静安·高一期末）在中，A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则角A的余弦值是_____.
【标准答案】
【思路指引】
先切化弦，正弦定理边化角，再利用和角差角的正弦公式化简即得解.
【详解详析】
由题得,
所以,
所以，
因为,
所以.
故答案为：
16．（2021·上海普陀·模拟预测）已知函数在区间上有两个零点、，若，则实数的取值范围为__．
【标准答案】
【思路指引】
令，分析函数与函数在上的两个交点的横坐标、满足，数形结合可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解详析】
设，，
绘制函数在区间上的图象，如图.
当时，直线与函数在区间 上的图象有三个交点，不合乎题意.
由题意得函数的图象与函数的图象有两个不同的交点，
且交点的横坐标、满足，则和为临界条件，
由图可得，解得，故实数的取值范围为.
故答案为：.
17．（2021·上海杨浦·一模）在中，三边a b c所对的三个内角分别为A B C，若，，，则边长___________.
【标准答案】5
【思路指引】
由正弦定理求得，从而得，，由诱导公式和两角和的余弦公式求得，再得，最后由正弦定理求得．
【详解详析】
由正弦定理得，
所以，则，
又，所以，，
，
，
又由正弦定理得．
故答案为：5．
18．（2021·上海·高一期末）已知，那么________
【标准答案】
【思路指引】
将利用诱导公式转变为的形式，然后根据函数解析式直接计算的值即为的值.
【详解详析】
因为且，
所以.
故答案为：.
【名师指路】
本题考查三角函数的诱导公式的应用，着重考查了分析与转化的能力，难度较难.
19．（2021·上海市延安中学高一期中）在平面直角坐标系中，角与角的终边关于y轴对称，若，则_________
【标准答案】
【思路指引】
根据题意得到，求得，结合诱导公式和余弦的倍角公式，即可求解.
【详解详析】
由题意，在平面直角坐标系中，角与角的终边关于y轴对称，
，则，
.
故答案为：
【名师指路】
结论点睛：本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：
（1）若与的终边关于轴对称，则；
（2）若与的终边关于轴对称，则；
（3）若与的终边关于原点对称，则.
20．设函数，其中、为已知实常数，.
下列所有正确命题的序号是____________．
①若，则对任意实数恒成立；
②若，则函数为奇函数；
③若，则函数为偶函数；
④当时，若，则.
【标准答案】①②③④.
【思路指引】
对于①，由，证明函数既是奇函数又是偶函数即可得出；
对于②，根据奇函数的定义可得出结论；
对于③，根据偶函数的定义进行判断即可得出结论；
对于④，根据得
，于此得出结论.
【详解详析】
对于命题①，若，则，
则
，
函数为奇函数，
若，则
，
，
函数为偶函数，
若，则函数既是奇函数，又是偶函数，即，命题①正确；
对于命题②，由①的证明过程可知，当时，函数为奇函数，命题①正确；
对于命题③，由①的证明过程可知，当时，函数为偶函数，命题②正确；
对于命题④，当时，
，
令，
，则，
由辅助角公式得，
其中，，
，则、是函数的两个对称中心点，
函数的最小正周期为，该函数的两个相邻对称中心之间的距离为周期的一半，
因此，，命题④正确.
故答案为①②③④.
【名师指路】
本题的考点是三角形与数列的综合，主要考查三角函数的化简，考查新定义与三角函数性质的判断，解题的关键就是利用三角函数基本性质的定义来进行计算，从而判断结论的正误，运算量较大，综合性较强，属于难题.
三、解答题
21．（2021·上海市实验学校高一期末）若函数，如果存在给定的实数对，使得恒成立，则称为“函数”，已知函数是一个“函数”，求出所有的有序实数对．
【标准答案】
【思路指引】
本题首先可根据题意得出恒成立，然后通过计算得出，，再然后通过转化得出，最后通过且即可得出结果.
【详解详析】
因为函数是一个“函数”，，
所以恒成立，
当时，，不是常数，不满足题意，
则，，
因为恒成立，
所以恒成立，即，
则且，
故，，，经检验满足题意，
故所有的有序实数对为.
22．（2021·上海市第二中学高一期中）已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【标准答案】（1）；（2）．
【思路指引】
（1）首先利用诱导公式得到原式，再利用同角三角函数的商数关系求解即可.
（2）首先利用正弦二倍角公式得到原式，再利用同角三角函数的商数关系求解即可.
【详解详析】
（1）原式；
（2）原式
.
23．（2021·上海徐汇·高一期末）主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周国的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）．已知某噪声的声波曲线，其中的振幅为2，且经过点（1，－2）
（1）求该噪声声波曲线的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式；
（2）证明：为定值．
【标准答案】（1）；（2）证明见解析.
【思路指引】
（1）首先根据振幅为2求出A，将点（1，-2）代入解析式即可解得；
（2）由（1），结合诱导公式和两角和差的余弦公式化简即可证明.
【详解详析】
（1）∵振幅为2，A>0，∴A=2，，将点（1，-2）代入得：，∵，∴，
∴，∴，
易知与关于x轴对称，所以.
（2）由（1）
.
即定值为0.
24．（2021·上海·南洋中学高一月考）已知是第三象限角，且．
（1）化简；
（2）若，求的值．
【标准答案】（1）；（2）．
【思路指引】
（1）由诱导公式化简；
（2）由诱导公式化简已知式得，再由平方关系求得即可得．
【详解详析】
（1）；
（2），，是第三象限角，所以，
所以．
25．（2021·上海市长征中学高一期中）在中，内角、、所对的边分别为，，，已知，求证：．
【标准答案】证明见解析.
【思路指引】
先切化弦，由正弦定理边化角，再利用和角差角的正弦公式化简即可求证.
【详解详析】
因为，
所以，
即，
因为，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，可得，
因为，所以，即得证.
26．（2021·上海市洋泾中学高二期中）已知向量，，函数.
（1）若函数是偶函数，求的最小值；
（2）若，，求的值.
【标准答案】
（1）
（2）
【思路指引】
（1）先求出，根据偶函数利用诱导公式求出的最小值；
（2）利用和差角公式求出的值.
（1）
∵，，函数，
∴.
函数是偶函数
∴
得，，
∴时，.
（2）
若，则
∵，∴
若，则，舍去；
若，.
∴.
27．已知函数.
（1）化简；
（2）若，且，求的值；
（3）若，求的值.
【标准答案】（1）（2）（3）
【详解详析】
试题分析：
（1）利用诱导公式可化简；
（2）代入已知，从而得，结合平方关系可求得值；
（3）同样由诱导公式化已知为，代入平方关系可求得，也即得的值．
试题解析：
（1）.
(2) ，因为，所以，可得，结合，，所以.
（3）由（2）得即为，联立，解得，所以.
点睛：诱导公式：公式一：，公式二：，公式三：，公式四：，公式五：，公式六：，这六公式可统一写成：，，可归纳为：奇变偶不变，符号看象限．
28．（2021·上海·高一期末）如图是一个“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中是过抛物线的两条互相垂直的弦（点在第二象限），且交于点，点为轴上一点，，其中为锐角
（1）设线段的长为，将表示为关于的函数
（2）求“蝴蝶形图案”面积的最小值，并指出取最小值时的大小
【标准答案】（1）（2）“蝴蝶形图案”面积的最小值为,取最小值时.
【思路指引】
（1）过点作轴于点,,在中利用三角函数的定义可得,,即点的坐标为,代入抛物线的方程,可得关于的函数.
（2）由题意结合图形,可由逆时针旋转得到,即可得到关于的函数,进而可得“蝴蝶形图案”面积关于的函数,换元后利用配方法求其面积的最小值.
【详解详析】
（1）过点作轴于点,
在中,
即:，
由此可得点的坐标为
点是抛物线上的点,将其代入可得:
,即:
解得:
故:
表示为关于的函数为:
（2）根据（1）得: 表示为关于的函数为:
由题意可知:
可由逆时针旋转得到,其与正半轴夹角为.
可由逆时针旋转得到,其与正半轴夹角为.
可由逆时针旋转得到,其与正半轴夹角为.
, ,
设“蝴蝶形图案”面积为:
令:
为锐角
则 可得:
则,
故时, 即:
化简为: (为锐角)解得:
综上所述:“蝴蝶形图案”面积的最小值为,取最小值时.
【名师指路】
本题考查了抛物线与直线交点问题,三角函数诱导公式和换元法.能够根据题意求出“蝴蝶形图案”面积为关于的函数是本题的关键.利用换元法时要保证换元前后范围相等.
29．已知函数，满足关系.
（1）设，求的解析式；
（2）当时，存在、，对任意，恒成立，求的最小值.
【标准答案】（1）；（2）.
【思路指引】
（1）利用诱导公式以及二倍角余弦公式可得出函数的解析式；
（2）根据，当时，代入并分象限化简函数的解析式，求出函数的最大值和最小值，即可得出的最小值.
【详解详析】
由.
（1）当，可得
.
因此，函数的解析式为；
（2）时，可得
，.
存在、，对任意，恒成立，
当或时，可得；
当时，可得.
那么：，
或者：，
因此，的最小值为.
【名师指路】
本题考查三角函数解析式的化简，同时也考查了三角函数的基本性质以及分段函数最值的讨论，考查分类讨论思想的应用，属于难题.
30．（2021·上海杨浦·高三期中）若实数，，且满足，则称x y是“余弦相关”的.
（1）若，求出所有与之“余弦相关”的实数；
（2）若实数x y是“余弦相关”的，求x的取值范围；
（3）若不相等的两个实数x y是“余弦相关”的，求证：存在实数z，使得x z为“余弦相关”的，y z也为“余弦相关”的.
【标准答案】
（1）或
（2）
（3）见详解.
【思路指引】
（1）代入，解三角方程即可.
（2）左边打开，整理成的方程，用辅助角公式后，再由三角函数的最值建立不等式关系求解.
（3）探求的范围，构造z，再运用“余弦相关”的性质证明.
（1）
代入得，，，
，又，或
（2）
由得
，
，
，
故，
，，
（3）
证明：先证明，
反证法，假设，
则由余弦函数的单调性可知，
，，
同理，相加得，与假设矛盾，故.
，且
故也是余弦相关的，
，即.
记则.
,
，故x z为“余弦相关”的；
同理y z也为“余弦相关”的
【名师指路】
新定义题解题思路：
（1）紧扣新定义，运用已有相关知识，寻找新概念的性质，一般完成好1、2问就会有新的认识理解；
（2）充分理解的基础上，构造对象“”是解题的关键.
