编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
进阶7：三角恒等变换的综合应用专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．已知，，且、均为锐角，则等于（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
根据已知条件，结合角的范围，由同角三角函数关系求得，，由，利用两角差的正弦公式展开，代数数值计算即得.
【详解详析】
已知，为锐角，∴,
∵、均为锐角，∴，
又∵，
∴，
∴,
∴
,
故选：D.
2．（2021·上海市金山中学高一月考）如图，在扇形OAB中，，半径OA=2，在上取一点M，连接OM，过M点分别向线段OA，OB作垂线，垂足分别为E，F，得到一个四边形MEOF.设，则四边形MEOF的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
依题意可得，再利用锐角三角函数表示出，，，，
最后根据、 二倍角公式及辅助角公式化简即可；
【详解详析】
解：因为，，，所以，
，
，
所以
，
故选：B
3．（2021·上海·上外浦东附中高一期中）若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
利用角的范围可求，，，利用倍角公式即可化简．
【详解详析】
解：，，，
所以，，，
，
．
故选：A．
4．已知是三角形的一个内角，且，那么这个三角形为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．不等腰的直角三角形 D．等腰直角三角形
【标准答案】B
【思路指引】
由题意可知，，结合正弦函数的图象性质即可求解.
【详解详析】
由，
得，即，
因，且是三角形的一个内角，
所以，即，故三角形为钝角三角形.
故选：B.
5．在中，如果，那么的形状为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
【标准答案】A
【思路指引】
结合以及两角和与差的余弦公式，可将原不等式化简为，即，又，，所以与一正一负，故而得解.
【详解详析】
解：，
，
，即与异号，
又，，
与一正一负，
为钝角三角形．
故选：A.
【名师指路】
本题考查三角形形状的判断，涉及到三角形内角和、两角和与差的余弦公式，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.
6．在中，若，则一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰或直角三角形
【标准答案】A
【思路指引】
根据正弦定理，边化角，结合三角恒等变换即可判断的形状.
【详解详析】
由，得，即，
因、为的内角，所以，故一定是等腰三角形.
故选：A.
7．（2021·上海·曹杨二中高一期末）在中，，若，，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
根据已知条件，运用二倍角公式，可得，再将条件，做恒等变换，可得，，再结合三角函数的性质，即可求解．
【详解详析】
，
，，即，
为三角形内角，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，故选项正确，选项错误，
，故选项错误，
又，
，故选项错误．
故选：．
8．（2021·上海市七宝中学高一期中）在△中，已知，则△的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．正三角形 D．等腰或直角三角形
【标准答案】D
【思路指引】
由、，结合已知及两角和差正弦公式可得，根据三角形内角的性质即可判断△的形状.
【详解详析】
由题意，，
∴或，
∵，，
∴或.
故选：D
9．已知,如果有,则的值为
A． B．0 C．0.5 D．1
【标准答案】B
构造函数，在上为奇函数且单调递增，计算得到，计算得到答案.
【详解详析】
构造函数，在上为奇函数且单调递增
变换
即，即，
故选：
【名师指路】
本题考查了函数的奇偶性，单调性，三角函数计算，构造函数是解题的关键.
10．（2021·上海·高一期中）已知，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
易知，利用角的范围和同角三角函数关系可求得和，分别在和两种情况下，利用两角和差正弦公式求得，结合的范围可确定最终结果.
【详解详析】
且，，.
又，，.
当时，
，
，，不合题意，舍去；
当，同理可求得，符合题意.
综上所述：.
故选：.
【名师指路】
易错点睛：本题中求解时，易忽略的值所确定的的更小的范围，从而误认为的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误.
二、填空题
11．已知钝角满足，则________．
【标准答案】
【思路指引】
根据已知条件先计算出，然后利用角的配凑将变形为，结合两角差的余弦公式求解出结果.
【详解详析】
因为，所以，
所以，
又
，
故答案为：.
12．函数在区间上的最大值为__________．
【标准答案】2
【思路指引】
首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
【详解详析】
解：因为
，即，因为，所以，所以，所以，即
故答案为：
13．在中，，，，则__________.
【标准答案】
【思路指引】
由与的值，利用同角三角函数间的基本关系求出和的值，进而求出的值，再由的长，利用正弦定理求出的长即可．
【详解详析】
解：在中，，，
，，
，
又，
由正弦定理得：．
故答案为：.
14．（2021·上海市嘉定区第一中学高一月考）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，，，则的面积S=__________．
【标准答案】
【思路指引】
利用二倍角公式求出，结合同角的平方关系求出，进而根据两角和的正弦公式求出，然后结合正弦定理求出，再利用三角形的面积公式即可求出结果.
【详解详析】
因为，所以，
所以，
又因为，
结合正弦定理，得，则，
所以
故答案为：
15．若函数能使得不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是______________．
【标准答案】
【思路指引】
利用诱导公式及二倍角、辅助角公式对函数化简可得，由 可求的范围，进而可求得范围，而 即在区间上恒成立可得，可求
【详解详析】
解：
所以
即
即在区间上恒成立
解得
故答案为：
【名师指路】
本题主要考查了函数的恒成立问题的求解，解题的关键是灵活利用三角函数的诱导公式、二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的性质求解．
16．（2021·上海·高一期末）如图，已知直线，A是，之间的一个定点，并且点A到，的距离都为2，B是直线上的一个动点，作，且使与直线交于点C，设，则面积的最小值是_________，周长的最小值是_________．
【标准答案】 4
【思路指引】
由题意得， ，则，分析得到面积的最小值;
又在中，，所以周长，
令，则，所以，分析得到周长的最小值.
【详解详析】
由题意得：,
所以，又因为且,则，
所以，
则，
当即当时，能取得最小值，最小值为4;
又因为，所以
所以在中，
周长
，令，则，
所以，
当时，上式取得最小值，最小值为.
故答案为：4，
【名师指路】
在应用公式时注意方程思想的应用，对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α可以知一求二．
17．（2021·上海市金山中学高一期末）中，内角，，对的边长分别为，，，且满足，则的最小值是___________.
【标准答案】
【思路指引】
根据等式，左边，
右边，所以，由正弦定理得，带入余弦定理利用基本不等式即可得解.
【详解详析】
，
，
，
所以，
由正弦定理得，，
由余弦定理得，，
当且仅当时取等号，此时.
故答案为：.
【名师指路】
本题考查了解三角形，考查了恒等变换化简求值，同时考查了基本不等式求最值，有一定的计算量，属于中档题.本题的关键有：
（1）熟练掌握利用正余弦定理进行角化边或边化角；
（2）利用余弦定理结合基本不等式求最值.
18．（2021·上海中学高一期中）已知，则________．
【标准答案】1
【思路指引】
将已知条件进行切化弦，再运用积化和差公式可得答案.
【详解详析】
由切化弦得，
∴，
由积化和差，得，
∴.
故答案为：1.
19．（2021·上海市第二中学高一期中）如图所示，有一块正方形的钢板，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角________来截.
【标准答案】或
【思路指引】
设正方形的边长为，可得出正方形的边长为，根据已知条件可求得的，结合可求得的值.
【详解详析】
设正方形的边长为，则正方形的边长为，
由题意可得，即，可得，
因为，则，所以，或，解得或.
故答案为：或.
20．（2021·上海市第二中学高一月考）已知点，点是以原点为圆心，1为半径的圆上的任意一点，将点绕点逆时针旋转90°得点，线段的中点为，则的最大值是______
【标准答案】
【思路指引】
设，则，则，从而得，利用降幂公式、辅助角公式及平方关系化简，再根据正弦型函数得值域即可得解.
【详解详析】
解：由题可知，设，则，
因为，所以线段的中点得坐标为，
所以
，其中，
因为，
所以当时，取最大值为.
故答案为：.
三、解答题
21．（2021·上海·曹杨二中高一月考）（1）求证：
（2）在中，求证：
【标准答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【思路指引】
（1）利用二倍角正弦、余弦公式化简即可得证；
（2）根据内角和定理得，代入两角和的正切公式，化简即可得证.
【详解详析】
解：（1）证明：因为，
所以
.
（2）在中，因为，
所以，即.
22．（2021·上海·高一期中）的三个内角的对边分别是，已知.
（1）求C；
（2）若，求的取值范围.
【标准答案】（1）（2）
【思路指引】
（1）由正弦定理及三角恒等变换化简可得，即可求解；
（2）根据正弦定理可得，利用三角函数的值域求解即可.
【详解详析】
（1）由正弦定理可得：，
，又因，，
所以，
又因，
所以，即，
.
（2）由（1）知，，，
,
,
,
【名师指路】
关键点点睛：求三角形中范围，可利用正弦定理转化为三角函数问题，化简，利用三角函数值域求解，属于中档题.
23．要在一个半径为的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形，问应如何截取，并求出此矩形的面积．
【标准答案】矩形面积的最大值为， 截取方法见解析.
【思路指引】
作出图形，设，可得出矩形的面积关于的表达式，化简函数解析式，利用正弦型函数的有界性求出矩形的面积的最大值及其对应的值，由此可得出结论.
【详解详析】
设半圆的圆心为点，连接，设，则，
则，，
所以，矩形的面积为，
，则，所以，当时，
即当时，.
因此，矩形面积的最大值为，此时，，.
【名师指路】
方法点睛：应用三角函数解决实际问题的方法及注意事项：
（1）方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解；
（2）注意：在求解过程中，要注意以下三点：
①充分借助平面几何性质，寻找数量关系；
②注意实际问题中变量的范围；
③重视三角函数有界性的影响.
24．随着二胎开放，儿童数量渐增，某市决定充分利用城市空间修建口袋儿童乐园，如图所示：在直径为的半圆空地上，设置扇形区域作为大人体息区，规划两个三角形区域做成小喷泉区（区域）和沙坑滑梯区（区域），其中为直径延长线上一点，且，为半圆周上一动点，以为边作等边．
（1）若等边的边长为，，试写出关于的函数关系式；
（2）问为多少时，儿童游玩区的面积最大？这个最大面积为多少？
【标准答案】（1），其中；（2）当，儿童游玩区的面积最大，最大值为.
【思路指引】
（1）分析可得，利用余弦定理可得出关于的函数关系式；
（2）求得四边形的面积关于的关系式，利用正弦型函数的有界性结合可求出四边形的最大值.
【详解详析】
（1），，
在中，，，，，
由余弦定理可得，
所以，，其中；
（2），，
所以，
，
，则，
当时，即当时，四边形的面积取最大值.
【名师指路】
方法点睛：应用三角函数解决实际问题的方法及注意事项：
（1）方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解；
（2）注意：在求解过程中，要注意以下三点：
①充分借助平面几何性质，寻找数量关系；
②注意实际问题中变量的范围；
③重视三角函数有界性的影响.
25．（2021·上海中学高一期中）在中，角，，的对边分别为，，且．
（1）求；
（2）若，求的周长的取值范围．
【标准答案】（1）；（2）．
【思路指引】
（1）根据余弦的二倍角公式和诱导公式可求得，再由角的范围可求得角A；
（2）根据余弦定理和基本不等式可求得周长的取值范围.
【详解详析】
解：（1）
，
所以，又，所以；
（2）由已知得，，，
，，∴，
，
∴，∴，∴.
26．（2021·上海·华师大二附中高一期中）如图，，，，四个小朋友在草坪上游戏，根据游戏规则，，，三人围成一个三角形，如，，三人共线，在，两人之间，，两人相距10米，，两人相距米，与垂直.
（1）当米时，此时看，视角(即)是看，视角(即)的2倍，求的值；
（2）当米时，求看，两人视角(即)的最大值.
【标准答案】（1）；（2）最大值为.
【思路指引】
（1）利用锐角三角函数定义表示出与，根据，利用二倍角的正切函数公式列出关系式，即可求出，
（2）设，设，表示出两个角的正切，再结合二次函数的性质即可求得结论．
【详解详析】
（1）因为，，所以
因为看，视角(即)是看，视角(即)的2倍，
所以
所以，解得，
所以的值为；
（2）设，设，则，
因为，所以，，
所以，
所以
所以当时，看，两人视角(即)最大，最大值为
27．（2021·上海市复兴高级中学高一期末）进博会期间，有一个边长的正方形展厅，由于疫情，展厅被分割成如图所示的相互封闭的几个部分，已划出以为圆心，为半径的扇形作为展厅，现要在余下的地块中划出一块矩形的产品说明会场地，矩形有两条边分别落在边和上，设.
（1）当时，求出矩形的面积（精确到）；
（2）用表示矩形的面积，并求出矩形的面积的最大值（精确到）.
【标准答案】（1）；（2），的最大值为.
【思路指引】
（1）过作于，作于，求出、的长，即可求得矩形的面积；
（2）求出、关于的表达式，可得出关于的表达式，换元，利用二次函数的基本性质可求得的最大值.
【详解详析】
（1）如图所示，过作于，作于，如下图所示：
当时，，，
，，
所以，；
（2）因为，，
，，
所以，，
所以，
，，
因为，则，令，
则，
因为二次函数的对称轴为直线，
因为，故当时，即当或时，
取得最大值，即.
28．（2021·上海市奉贤中学高一期中），其中、是常数，且；
（1）若，，恒成立，求的取值范围；
（2）若，，求关于的方程，所有解的和；
（3）是否可能为常值函数？如果可能，求出为常值函数时，、的值；如果不可能，请说明理由．
【标准答案】（1）；（2）答案见解析；（3），.
【思路指引】
（1）根据题意可得，求出函数得最小值即可求解；
（2）根据题意得，求出对称轴，作出函数图象，分情况讨论即可；（3）根据题意得，由于为常值函数，所以，结合三角恒等变换求解即可.
【详解详析】
（1）因为，，所以
因为，所以，即，又因为恒成立，所以，故的取值范围为；
（2）若，，所以
，
令，即，所以在上的对称轴有，，，，
当时，关于的方程，所有解的和；
当时，关于的方程，所有解的和；
当时，关于的方程，所有解的和；
当时，关于的方程，所有解的和；
当或时，关于的方程，无解，即所有解的和；
（3）
若为常值函数，则，
由得或，即或，
当时，不成立，
当时，所以，所以或，则或，此时或，又因为，所以，.
29．（2021·上海·位育中学高一期中）在中，设角、、所对的边分别为、、.
（1）若，，的面积，求、的值；
（2）若，试判断的形状．
【标准答案】（1）；（2）直角三角形或等腰三角形.
【思路指引】
（1）利用余弦定理和三角形的面积公式可得出关于、的方程组，即可解得、的值；
（2）利用三角恒等变换思想化简得出，分和两种情况讨论，即可得出结论.
【详解详析】
（1）由三角形的面积公式可得，可得，
由余弦定理可得，可得，
所以，，解得；
（2）因为，即，
即，
即.
①当时，因为，则，此时，为直角三角形；
②当时，可得，即，此时，为等腰三角形.
综上所述，为直角三角形或等腰三角形.
30．（2021·上海·复旦附中高一期中）在非直角三角形中，角的对边分别为.
（1）若，且，判断三角形的形状；
（2）若，
（i）证明：；（可能运用的公式有）
（ii）是否存在函数，使得对于一切满足条件的m，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出一个理由.
【标准答案】（1）等边三角形；（2）（i）证明见解析；（ii）存在，，证明见解析.
【思路指引】
（1）利用余弦定理即可求解；
（2）（i）由正弦定理及三角形的性质、诱导公式可得，再由三角恒等变换即可求证；（ii）根据三角恒等变换代数式可化为，比较可知存在.
【详解详析】
（1）由余弦定理得，将代入得到，
所以为等边三角形.
（2）（i）由及正弦定理得，
所以，
因为，
所以，
有，由两角和 差的余弦公式可得
，
整理得，
故.
（ii）由及半角正切公式可得
，
展开整理得，
即，
即，
即，与原三角式比较可知存在且.编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
进阶7：三角恒等变换的综合应用专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．已知，，且、均为锐角，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·上海市金山中学高一月考）如图，在扇形OAB中，，半径OA=2，在上取一点M，连接OM，过M点分别向线段OA，OB作垂线，垂足分别为E，F，得到一个四边形MEOF.设，则四边形MEOF的面积为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·上海·上外浦东附中高一期中）若，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知是三角形的一个内角，且，那么这个三角形为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．不等腰的直角三角形 D．等腰直角三角形
5．在中，如果，那么的形状为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
6．在中，若，则一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰或直角三角形
7．（2021·上海·曹杨二中高一期末）在中，，若，，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·上海市七宝中学高一期中）在△中，已知，则△的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．正三角形 D．等腰或直角三角形
9．已知,如果有,则的值为
A． B．0 C．0.5 D．1
10．（2021·上海·高一期中）已知，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知钝角满足，则________．
12．函数在区间上的最大值为__________．
13．在中，，，，则__________.
14．（2021·上海市嘉定区第一中学高一月考）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，，，则的面积S=__________．
15．若函数能使得不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是______________．
16．（2021·上海·高一期末）如图，已知直线，A是，之间的一个定点，并且点A到，的距离都为2，B是直线上的一个动点，作，且使与直线交于点C，设，则面积的最小值是_________，周长的最小值是_________．
17．（2021·上海市金山中学高一期末）中，内角，，对的边长分别为，，，且满足，则的最小值是___________.
18．（2021·上海中学高一期中）已知，则________．
19．（2021·上海市第二中学高一期中）如图所示，有一块正方形的钢板，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角________来截.
20．（2021·上海市第二中学高一月考）已知点，点是以原点为圆心，1为半径的圆上的任意一点，将点绕点逆时针旋转90°得点，线段的中点为，则的最大值是______
三、解答题
21．（2021·上海·曹杨二中高一月考）（1）求证：
（2）在中，求证：
22．（2021·上海·高一期中）的三个内角的对边分别是，已知.
（1）求C；
（2）若，求的取值范围.
23．要在一个半径为的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形，问应如何截取，并求出此矩形的面积．
24．随着二胎开放，儿童数量渐增，某市决定充分利用城市空间修建口袋儿童乐园，如图所示：在直径为的半圆空地上，设置扇形区域作为大人体息区，规划两个三角形区域做成小喷泉区（区域）和沙坑滑梯区（区域），其中为直径延长线上一点，且，为半圆周上一动点，以为边作等边．
（1）若等边的边长为，，试写出关于的函数关系式；
（2）问为多少时，儿童游玩区的面积最大？这个最大面积为多少？
25．（2021·上海中学高一期中）在中，角，，的对边分别为，，且．
（1）求；
（2）若，求的周长的取值范围．
26．（2021·上海·华师大二附中高一期中）如图，，，，四个小朋友在草坪上游戏，根据游戏规则，，，三人围成一个三角形，如，，三人共线，在，两人之间，，两人相距10米，，两人相距米，与垂直.
（1）当米时，此时看，视角(即)是看，视角(即)的2倍，求的值；
（2）当米时，求看，两人视角(即)的最大值.
27．（2021·上海市复兴高级中学高一期末）进博会期间，有一个边长的正方形展厅，由于疫情，展厅被分割成如图所示的相互封闭的几个部分，已划出以为圆心，为半径的扇形作为展厅，现要在余下的地块中划出一块矩形的产品说明会场地，矩形有两条边分别落在边和上，设.
（1）当时，求出矩形的面积（精确到）；
（2）用表示矩形的面积，并求出矩形的面积的最大值（精确到）.
28．（2021·上海市奉贤中学高一期中），其中、是常数，且；
（1）若，，恒成立，求的取值范围；
（2）若，，求关于的方程，所有解的和；
（3）是否可能为常值函数？如果可能，求出为常值函数时，、的值；如果不可能，请说明理由．
29．（2021·上海·位育中学高一期中）在中，设角、、所对的边分别为、、.
（1）若，，的面积，求、的值；
（2）若，试判断的形状．
30．（2021·上海·复旦附中高一期中）在非直角三角形中，角的对边分别为.
（1）若，且，判断三角形的形状；
（2）若，
（i）证明：；（可能运用的公式有）
（ii）是否存在函数，使得对于一切满足条件的m，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出一个理由.
