编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
进阶8：正、余弦定理重点知识专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．在中，，则角C的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·上海·高一期中）的内角、、的对边分别为、、，已知，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．已知在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·上海·高一期末）南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”，可用公式（其中a，b，c，S为三角形的三边和面积）表示，在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若，且，则面积的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
5．（2021·上海·高一期中）在中，角、、所对应的边分别为，，，若，，则面积的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
6．（2021·上海市复兴高级中学高一期中）在中，角，，的对边分别为，，，若，则角的值为（ ）．A． B．
C．或 D．或
7．在△ABC中，，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形但一定不是直角三角形
B．等腰直角三角形
C．直角三角形但一定不是等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
8．（2021·上海·高一期中）已知的三个内角所对的边分别为，的外接圆的面积为，且，则的最大边长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·上海·高一期中）在锐角中，若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·上海市金山中学高一期末）设锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ）
A．(1，9] B．(3，9]
C．(5，9] D．(7，9]
二、填空题
11．中，，则角的取值范围是_________.
12．（2021·上海奉贤·高一月考）在中，角、、所对的边分别为、、，若为锐角三角形，且满足，则的取值范围是________.
13．（2021·上海·高一期中）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且BC边上的高为，则的最大值是______．
14．（2021·上海·高一期中）已知a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，且满足，，当角B最大时的面积为__________.
15．（2021·上海·高一期中）在中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且，，则面积的最大值为________.
16．（2021·上海·高一期中）在锐角三角形 ABC 中，已知 2sin2 A+ sin2B = 2sin2C，则的最小值为___．
17．（2021·上海·高一期末）在中，，是的角平分线，，且，问_______时，最短.
18．（2021·上海·高一期中）在中,角所对的边分别为且边上的高为,则的最大值是_____________
19．（2021·上海·高一期中）在中，，，，分别为角，，的对边，且.若的内切圆面积为，则面积的最小值_______.
20．（2021·上海市七宝中学高一期中）设的内角A、B、C满足，则的最小值为________．
三、解答题
21．（2021·上海徐汇·高一期末）为了测量金茂大厦最高点与上海中心大厦最高点之间的距离，一架无人机在两座大厦的正上方飞行，无人机的飞行轨迹是一条水平直线，并且在飞行路线上选择、两点进行定点测量（如图），无人机能够测量的数据有：无人机的飞行高度，间的距离和俯角（即无人机前进正方向与无人机、测量目标连线所成的角）
（1）若无人机在处测得，在D处测得，其中，问：
能否测得金茂大厦的高？若能，请求出金茂大厦的高度（用已知数据表示）；若不能，请说明理由．
（2）若要进一步计算金茂大厦最高点与上海中心大厦最高点之间的距离，还需测量些数据？请用文字和公式简要叙述测量与计算的步骤．
22．（2021·上海市曹杨中学高一月考）已知函数．
（1）若函数的最小正周期为，求的值及时函数的值域；
（2）在（1）的条件下，在中，，，分别是角，，所对的边，为时函数的最小值，且，的面积为，，求的值；
（3）若函数在上没有最值，求的取值范围．
23．（2021·上海·高一期中）燕山公园计划改造一块四边形区域铺设草坪，其中百米，百米，，，草坪内需要规划4条人行道以及两条排水沟，其中分别为边的中点．
（1）若，求排水沟的长；
（2）当变化时，求条人行道总长度的最大值．
24．（2021·上海·高一期中）如图，某青年租用了一块边长为2百米的正方形田地来种植水果、蔬菜与花草，他在正方形的边，上分别取点，（不与正方形的顶点重合），用栅栏连接，，，使得，将正方形分成四个部分，现拟将图中阴影部分规划为水果种植区，部分规划为蔬菜种植区，部分规划为花草种植区，若水果种植区的投入约为元/百米2，蔬菜与花草种植区的投入约为103元/百米2.
（1）若使得，那么栅栏的总长度为多少？
（2）若从总投入的角度考虑，则这三个区域的总投入最少需要多少元？
25．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.
（1）求证：；
（2）若是锐角三角形，，求的范围.
26．（2021·上海·高一期中）随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼，“日行一万步，健康一辈子”.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，为某市的一条健康步道，，为线段，是以为直径的半圆，，，.
（1）求的长度；
（2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新增健康步道（，在两侧），，为线段.若，到健康步道的最短距离为，求到直线距离的取值范围.
27．（2021·上海·高一期中）如图，在中，AB＝4 cm，AC＝3 cm，角平分线AD＝2 cm，求此三角形面积.
28．已知函数
（1）求函数的单调递增区间
（2）若锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且，求面积S的取值范围
29．如图，某市拟在长为的道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段为函数的图像，且图像的最高点为；赛道的后一部分为折线段，为保证参赛运动员的安全，限定.
（1）求的值和两点间的直线距离；
（2）折线段赛道最长为多少？求此时点的坐标.
30．（2021·上海市延安中学高一期中）如图，为一个等腰三角形的空地，腰的长为3（百米），底的长为4（百米）现决定在空地内筑一条笔直的小路（宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等，面积分别为和；
（1）若小路一端E为的中点，求此时小路的长度；
（2）求的最小值.编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
进阶8：正、余弦定理重点知识专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．在中，，则角C的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
根据正弦定理求解出的取值范围，同时判断出为锐角，由此可求解出的取值范围.
【详解详析】
因为，所以，所以，
又，所以，且，
所以，结合可知，
故选：A.
2．（2021·上海·高一期中）的内角、、的对边分别为、、，已知，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
先由正弦定理边角互化，计算求得，再根据余弦定理求，最后计算面积.
【详解详析】
根据正弦定理有，
、、，则，，可得，
由余弦定理可得，则为锐角，所以，，
所以，，解得.
因此，.
故选：B.
【名师指路】
方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
3．已知在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
由利用余弦定理，可得，正弦定理边化角，在消去，可得，利用三角形是锐角三角形，结合三角函数的有界限，可得的取值范围．
【详解详析】
由
及余弦定理，可得
正弦定理边化角，得
是锐角三角形，
，即．
，，
那么：
则，
故选：
【名师指路】
方法点睛：解三角形的基本策略
一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
4．（2021·上海·高一期末）南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”，可用公式（其中a，b，c，S为三角形的三边和面积）表示，在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若，且，则面积的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
由已知条件等式，结合余弦定理可得，进而有，将其代入公式，应用二次函数的性质求最值即可.
【详解详析】
由题设，结合余弦定理知：，即，而，
∴，，
∴当时，.
故选：B.
【名师指路】
关键点点睛：应用余弦定理的边角关系，代入已知等式整理得，再由面积公式求最值.
5．（2021·上海·高一期中）在中，角、、所对应的边分别为，，，若，，则面积的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【标准答案】A
【思路指引】
方法一：由正弦定理对统一成角化简可得，而，结合基本不等式可得，则，从而可求出三角形面积的最大值；方法二：由结合余弦定理化简可得，再利用余弦定理可得，进而可得，从而可求出三角形面积的最大值
【详解详析】
解：法一：对于，
由正弦定理可得，则，
可得，一个为锐角一个为钝角，则为锐角，
所以
，
由可得，则，
所以，则，
当且仅当时取到最值，
所以面积的最大值为1，故答案选A．
法二：对于，
由余弦定理可得，
则，则，
所以，则，
当且仅当时取到最值；
所以面积的最大值为1，
故选：A．
6．（2021·上海市复兴高级中学高一期中）在中，角，，的对边分别为，，，若，则角的值为（ ）．
A． B．
C．或 D．或
【标准答案】D
【思路指引】
利用余弦定理先计算出的值，然后即可求解出的值.
【详解详析】
解：，
，即，
且有意义即，
，
在中，为或，
故选：．
7．在△ABC中，，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形但一定不是直角三角形
B．等腰直角三角形
C．直角三角形但一定不是等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【标准答案】C
【思路指引】
原式可化为，然后利用正弦定理、余弦定理进行边角互化，得出，，的关系.
【详解详析】
解：由得：，且，
∴，且，
∴，
∴，
化简整理得：，即，
∴或，又，
∴△ABC是直角三角形但一定不是等腰三角形.
故选：C.
【名师指路】
本题考查三角形形状的判定，难度稍大.解答时，利用正、余弦定理进行边角互化是难点.
8．（2021·上海·高一期中）已知的三个内角所对的边分别为，的外接圆的面积为，且，则的最大边长为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
化简得到，根据正弦定理得到
，根据余弦定理得到，再计算得到答案.
【详解详析】
的外接圆的面积为
则
，根据正弦定理：
根据余弦定理：
故为最长边：
故选
【名师指路】
本题考查了正弦定理，余弦定理，外接圆面积，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.
9．（2021·上海·高一期中）在锐角中，若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
由，可得；再结合正弦定理余弦定理，将中的角化边，化简整理后可求得；根据锐角和，可推出，，再根据可得，，于是，最后结合正弦的两角差公式、辅助角公式和正弦函数的图象与性质即可得解．
【详解详析】
由，得，，
，．
由正弦定理知，，
由余弦定理知，，
，
，化简整理得，，
，，
由正弦定理，有，，，
锐角，且，，，解得，，
，
，，，，，，
的取值范围为，．
故选：．
【名师指路】
本题考查解三角形中正弦定理与余弦定理的综合应用，还涉及三角函数的图象与性质，以及三角恒等变换的基础公式，并运用到了角化边的思想，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
10．（2021·上海市金山中学高一期末）设锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ）
A．(1，9] B．(3，9]
C．(5，9] D．(7，9]
【标准答案】D
【思路指引】
由正弦定理求出，再由余弦定理可得，化为，结合角的范围，利用正弦函数的性质可得结论.
【详解详析】
因为，
由正弦定理可得，
则有，
由的内角为锐角，
可得，
，
由余弦定理可得
因此有
故选：D.
【名师指路】
方法点睛：正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
二、填空题
11．中，，则角的取值范围是_________.
【标准答案】
【思路指引】
设，由题意可知，由余弦定理可知，根据对号函数的图象，确定的取值范围，即可.
【详解详析】
在中，设，则，即.
由余弦定理可知
令，画函数图象如下：
由图象可知，
即
又为的内角
【名师指路】
本题考查余弦定理，以及对勾函数的图象与性质，属于较难的一道题.
12．（2021·上海奉贤·高一月考）在中，角、、所对的边分别为、、，若为锐角三角形，且满足，则的取值范围是________.
【标准答案】
【思路指引】
先根据余弦定理得到，再根据正弦定理和两角和差的正弦公式得到，根据三角形为锐角三角形，求得，以及的取值范围，再利用商的关系、两角差的正弦公式化简所求式子，由正弦函数的性质求得所求式子的取值范围.
【详解详析】
因为，所以，所以，
所以，即，，
即，因为三角形是锐角三角形，所以，所以，所以，且，所以.
所以=.由于，所以.
故答案为：
【名师指路】
本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，考查同角三角函数的基本关系式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
13．（2021·上海·高一期中）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且BC边上的高为，则的最大值是______．
【标准答案】
【思路指引】
由面积公式可得，再用余弦定理可得，即得出结果.
【详解详析】
由题，三角形的面积： .
由余弦定理：，可得： .
所以，其中.
所以的最大值为.
故答案为：.
【名师指路】
本题考查了正余弦定理解三角形，将边的关系转化为三角函数是解题的关键，属于较难题.
14．（2021·上海·高一期中）已知a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，且满足，，当角B最大时的面积为__________.
【标准答案】
【思路指引】
已知等式利用正弦定理化简，得到关系式，利用余弦定理表示出，把得出关系式整理后代入，利用基本不等式求出的最小值，即可求出边长，进而求得三角形的面积.
【详解详析】
已知等式利用正弦定理化简得：,
由余弦定理，
可知
当角B最大时，则最小，由基本不等式可得:
，
当且仅当，即时，取等号.
代入可得：，
因为，所以，
在等腰中，求得底边上的高为,.
故答案为：
【名师指路】
本题主要考查正弦定理和余弦定理以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于较难题.
15．（2021·上海·高一期中）在中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且，，则面积的最大值为________.
【标准答案】3
【思路指引】
本题首选可根据对进行化简，得出，然后构造平面直角坐标系并绘出的图像，则有、，再然后设，根据列出方程，即可求出的最大值以及面积的最大值.
【详解详析】
因为，
所以，
即，
，
，
，，解得，
如图：
以中点为原点、边为轴建立平面直角坐标系，则，，
设，则，，
故，
化简得，故，的最大值为，
，面积的最大值为，
故答案为：.
【名师指路】
本题考查正弦定理边角互化的应用以及三角恒等变换，考查阿波罗尼奥斯圆问题，考查两点间距离公式，考查计算能力，考查数形结合思想，是难题.
16．（2021·上海·高一期中）在锐角三角形 ABC 中，已知 2sin2 A+ sin2B = 2sin2C，则的最小值为___．
【标准答案】
【思路指引】
如图，作BD⊥AC于D，设AD＝x，CD＝y，BD＝h，由条件利用正弦定理及勾股定理可得x＝3y，再由几何关系表示正切值得＝＝，从而得解.
【详解详析】
由正弦定理，得：，
如图，作BD⊥AC于D，设AD＝x，CD＝y，BD＝h，
因为，所以，，化简，得：
，解得：x＝3y
，，，
＝＝
＝＝，当且仅当时取得最小值.
故答案为：.
【名师指路】
本题主要考查了三角形中的正弦定理及勾股定理，两角和的正切公式，利用基本不等式求最值，着重考查了数形结合的思想及转化与化归的能力，属于难题.
17．（2021·上海·高一期末）在中，，是的角平分线，，且，问_______时，最短.
【标准答案】
【思路指引】
作出图形，设内角、、的对边分别为、、，由题意可得出，利用余弦定理结合基本不等式可求得的最小值及其对应的、，利用角平分线的性质可求得，利用余弦定理求得，进而利用余弦定理可求得的长，由此可求得的值.
【详解详析】
在中，设内角、、的对边分别为、、，则，
，可得，
由余弦定理得
，
，则，所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
由，解得，，
，则，此时，，
由于，则，
由余弦定理得，
在中，由余弦定理可得，则，
因此，.
故答案为：.
【名师指路】
本题考查利用余弦定理与基本不等式求边的最值，同时也考查了三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于难题.
18．（2021·上海·高一期中）在中,角所对的边分别为且边上的高为,则的最大值是_____________
【标准答案】4
【思路指引】
由面积公式可得，再用余弦定理可得，即得出结果.
【详解详析】
由题，三角形的面积：
由余弦定理：
可得：
所以
所以的最大值为4
故答案为4
【名师指路】
本题考查了正余弦定理解三角形，将边的关系转化为三角函数是解题的关键，属于较难题.
19．（2021·上海·高一期中）在中，，，，分别为角，，的对边，且.若的内切圆面积为，则面积的最小值_______.
【标准答案】
【思路指引】
根据题意，由正弦定理得到，化简整理求出，求得角A；再由已知得内切圆的半径为，作出图形，记内切圆的圆心为，为切点，得到，由余弦定理得到，根据基本不等式，推出，再由三角形面积公式，即可得出结果.
【详解详析】
因为，以，
即，所以，即，；
由题意知内切圆的半径为，如图，内切圆的圆心为，为切点，
则，
从而，由余弦定理得，
整理得，解得或（舍去），
从而，
即面积的最小值为.
故答案为：．
【名师指路】
本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理，灵活运用基本不等式即可，属于较难题.
20．（2021·上海市七宝中学高一期中）设的内角A、B、C满足，则的最小值为________．
【标准答案】
【思路指引】
首先利用基本不等式求得，再根据余弦定理变形得，
将余切转化为正余弦，再利用正弦定理边角互化，转化为，最后利用角的范围求最值.
【详解详析】
由题意得，
另一方面，，
，当且仅当时取到最小值．
故答案为：
三、解答题
21．（2021·上海徐汇·高一期末）为了测量金茂大厦最高点与上海中心大厦最高点之间的距离，一架无人机在两座大厦的正上方飞行，无人机的飞行轨迹是一条水平直线，并且在飞行路线上选择、两点进行定点测量（如图），无人机能够测量的数据有：无人机的飞行高度，间的距离和俯角（即无人机前进正方向与无人机、测量目标连线所成的角）
（1）若无人机在处测得，在D处测得，其中，问：
能否测得金茂大厦的高？若能，请求出金茂大厦的高度（用已知数据表示）；若不能，请说明理由．
（2）若要进一步计算金茂大厦最高点与上海中心大厦最高点之间的距离，还需测量些数据？请用文字和公式简要叙述测量与计算的步骤．
【标准答案】（1）能，；（2）答案见解析.
【思路指引】
（1）在中，，由正弦定理可求出，过点作于点，
在中，求出，计算即为金茂大厦的高；
（2）需要测量，，在中，，利用正弦定理求，在中，由计算，在中，由余弦定理可求.
【详解详析】
（1）能测得金茂大厦的高，
如图：已知，，所以，
在中，，由正弦定理可得：，
即，所以，
过点作于点，
在中，，
所以金茂大厦的高为；
（2）第一步测量角，设，，
第二步：求的长，在中，，，
由正弦定理可得：，即，
所以，
第三步，求，在中，，
在中，，且已知和的长，由余弦定理即可求得长.
故可得金茂大厦最高点与上海中心大厦最高点之间的距离.
22．（2021·上海市曹杨中学高一月考）已知函数．
（1）若函数的最小正周期为，求的值及时函数的值域；
（2）在（1）的条件下，在中，，，分别是角，，所对的边，为时函数的最小值，且，的面积为，，求的值；
（3）若函数在上没有最值，求的取值范围．
【标准答案】（1），值域为；（2）；（3）.
【思路指引】
（1）根据最小正周期公式求得，结合三角函数值域的求法求得在区间上的值域.
（2）根据的值求得，利用三角形面积公式列方程，求得的关系式，从而求得.
（3）由在区间上单调列不等式，由此求得的取值范围.
【详解详析】
（1）函数的最小正周期为，，所以.
，
由于，
所以.
（2），
由于，所以.
所以，即，
所以，即，
所以
（3）依题意函数在上没有最值，所以在区间上单调.
，
，
所以，由于，故令，可得；
或者，由于，故令，可得.
综上所述，的取值范围是.
23．（2021·上海·高一期中）燕山公园计划改造一块四边形区域铺设草坪，其中百米，百米，，，草坪内需要规划4条人行道以及两条排水沟，其中分别为边的中点．
（1）若，求排水沟的长；
（2）当变化时，求条人行道总长度的最大值．
【标准答案】（1）百米；（2）百米．
【思路指引】
（1）由已知易得，则，在，中分别由余弦定理可得，，解方程组即可；
（2）设，设，，则，在中，由正弦定理得，，，由余弦定理，同理，令，则，求出函数的最值即可.
【详解详析】
（1）因为，，
所以，所以，
因为，
所以，
所以，
在中：，
即①
在中：
，
即 ②
由①②解得：，即排水沟BD的长为百米；
设，设，，
在中，由余弦定理得：，
在中，由正弦定理：，得，
连接DE，在中，，
，
在中，由余弦定理：
，
同理：．
设，，则，
所以，
由复合函数的单调性知，该函数单调递增，所以时，
最大值为
，
所以4条走道总长度的最大值为百米．
【名师指路】
本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查学生的数学运算、数学建模能力，是一道有一定难度的题.
24．（2021·上海·高一期中）如图，某青年租用了一块边长为2百米的正方形田地来种植水果、蔬菜与花草，他在正方形的边，上分别取点，（不与正方形的顶点重合），用栅栏连接，，，使得，将正方形分成四个部分，现拟将图中阴影部分规划为水果种植区，部分规划为蔬菜种植区，部分规划为花草种植区，若水果种植区的投入约为元/百米2，蔬菜与花草种植区的投入约为103元/百米2.
（1）若使得，那么栅栏的总长度为多少？
（2）若从总投入的角度考虑，则这三个区域的总投入最少需要多少元？
【标准答案】（1）百米；（2）元
【思路指引】
（1）利用锐角三角函数求出、，再由余弦定理求出，即可得解；
（2）设阴影部分面积为，三个区域的总投入为．设，，由解三角形可得，运用两角和的正切公式和基本不等式，即可得到所求最小值．
【详解详析】
解：（1）因为，，所以，，所以
又因为，所以，
因为
所以
在中由余弦定理可得，
即
所以
所以
故栅栏的总长度为百米
（2）设阴影部分面积为，三个区域的总投入为．
则，从而只要求的最小值．
设，，则，
因为，
所以，
所以，
即，解得，即取得最小值为，
从而三个区域的总投入的最小值约为元．
【名师指路】
本题考查解三角形的实际应用，正确求出函数解析式和运用基本不等式或三角函数的恒等变换公式是解题的关键，属于中档题．
25．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.
（1）求证：；
（2）若是锐角三角形，，求的范围.
【标准答案】（1）证明见解析；（2）.
【思路指引】
（1）由两角差的正弦公式，得到，再结合正弦定理和余弦定理，即可证得；
（2）由（1），化简得到，再根据题设条件和三角形的性质，求得，结合三角函数的图象与性质，即可求解.
【详解详析】
（1）由两角差的正弦公式，可得，
又由正弦定理和余弦定理，可得
，
所以
（2）由（1）知
因为是锐角三角形，所以，可得，
又由，可得，所以，所以，
所以，可得，符合.
所以实数的取值范围是.
【名师指路】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.
26．（2021·上海·高一期中）随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼，“日行一万步，健康一辈子”.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，为某市的一条健康步道，，为线段，是以为直径的半圆，，，.
（1）求的长度；
（2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新增健康步道（，在两侧），，为线段.若，到健康步道的最短距离为，求到直线距离的取值范围.
【标准答案】（1）；（2）.
【思路指引】
（1）利用余弦定理求出半径，利用圆的周长公式可得结果；
（2）先求出点的大致轨迹，再结合正弦定理、圆的几何性质求最点到直线距离的最值即可求解．
【详解详析】
（1）在 中，由余弦定理可得，
，
．
（2） 的轨迹为 外接圆的一部分，设 外接圆的半径为，
由正弦定理，且满足，
由（1）得：，所以为直角，
过作于，设所求距离为，
①当通过圆心时， 达到最大，由几何关系得，四边形为矩形，
所以，此时满足，
②当无限接近时，此时，
综上：所求 到直线 距离 的取值范围为．
【名师指路】
本题考查利用正、余弦定理解三角形，动点到定直线距离的最值问题，同时对学生推理分析，数形结合，运算求解的能力有一定的要求，属于中档题．
27．（2021·上海·高一期中）如图，在中，AB＝4 cm，AC＝3 cm，角平分线AD＝2 cm，求此三角形面积.
【标准答案】
【思路指引】
设，由于是的角平分线，.设，则.在与中，分别利用余弦定理可得：，解得.再利用同角三角函数基本关系式和倍角公式可得，利用三角形的面积公式即可得出答案.
【详解详析】
解：设，
是的角平分线，.
设，则.
在与中，分别利用余弦定理可得：
，
.
，解得：.
，
.
此三角形的面积为：.
【名师指路】
本题综合考查了角平分线的性质、余弦定理、同角三角函数基本关系式和倍角公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力和计算能力，属于中等题型.
28．已知函数
（1）求函数的单调递增区间
（2）若锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且，求面积S的取值范围
【标准答案】（1）；（2）
【思路指引】
（1）先利用三角恒等变换公式化简解析式得到，根据正弦函数单调性，列出不等式求解，即可得出结果；
（2）由（1）先求出，由正弦定理得：，再根据锐角三角形求出B的取值范围，进而求出c的取值范围，从而得到面积的取值范围.
【详解详析】
（1）
由
解得：，
故函数的单调递增区间为．
（2），，
又，，，又，
在中，由正弦定理得：，得
又为锐角三角形，且，故，解得
，即
面积S的取值范围是：
【名师指路】
易错点睛：本题考查利用正弦定理求三角形边长范围的最值，解本题时要注意的事项：求角的范围时，是在为锐角三角形的前提下，考查学生的转化能力与运算解能力，属于中档题.
29．如图，某市拟在长为的道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段为函数的图像，且图像的最高点为；赛道的后一部分为折线段，为保证参赛运动员的安全，限定.
（1）求的值和两点间的直线距离；
（2）折线段赛道最长为多少？求此时点的坐标.
【标准答案】（1）；（2）最长为，此时点的坐标为.
【思路指引】
（1）由图得到A及周期，利用三角函数的周期公式求出ω，将M的横坐标代入求出M的坐标，利用两点距离公式求出|MP|；
（2）由余弦定理得,利用均值不等式求解，且有求出坐标.
【详解详析】
（1）依题意，有，又，∴，
∴, 当时，∴
∴，又,
∴
（2）如图，在中，，
由余弦定理得
即,
故
从而，即,
当且仅当时，折线段赛道最长.
因为，，
所以,
又
所以,，
所以,
,
故.
30．（2021·上海市延安中学高一期中）如图，为一个等腰三角形的空地，腰的长为3（百米），底的长为4（百米）现决定在空地内筑一条笔直的小路（宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等，面积分别为和；
（1）若小路一端E为的中点，求此时小路的长度；
（2）求的最小值.
【标准答案】（1）；（2）
【思路指引】
（1）计算得到，，利用余弦定理计算得到答案.
（2）讨论小路的端点、分别在两腰上和一腰一底边上时的最小值，分别计算得到答案.
【详解详析】
（1）E为的中点，
，不在上，
在上，，，
，在中，由余弦定理知，
在中，由余弦定理得
，即此时小路的长度为.
（2）分类讨论小路的端点、的位置，求的最小值：
①若小路的端点、分别在两腰上时，如图，设， 则有，
，
当且仅当时等号成立；
②若小路的端点、分别在一腰（不妨设腰）一底上时，如图，设，则有
，
当且仅当时等号成立；
综上所述：的最小值是.
【名师指路】
关键点点睛：本题考查了余弦定理求长度，基本不等式求最值，解题的关键是将转化为边的关系，利用和定积最大的思想做题，考查学生的分类讨论思想与运算求解能力，属于较难题.
