编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
进阶2：余弦函数的图像与性质重难点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．定义在上的函数，既是偶函数又是周期函数.若的最小正周期是，且当时，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
将函数值利用周期性和奇偶性变形为，然后结合函数解析式求解出结果.
【详解详析】
因为的最小正周期是，所以，
又因为是偶函数，所以，
故选：B.
2．关于函数，有以下四个命题：
①函数是偶函数；②的图像关于直线对称；③要得到函数的图像只需将的图像向右平移个单位；④在区间内的单调递增区间是和．
其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】B
【思路指引】
代入解析式，利用函数的奇偶性即可判断①；根据函数的对称性可判断②；根据三角函数的平移变换原则可判断③；根据单调区间可判断④.
【详解详析】
对于①，因为函数，
所以
，函数不是偶函数，故①不正确；
对于②，时，，
所以函数图像关于对称，故②正确；
对于③，将的图像向右平移个单位，
得到
，故③不正确；
对于④，，
由，
解得，
当时，，
当时，，
所以在区间内的单调递增区间是和，故④正确.
所以②④正确.
故选：B
【名师指路】
本题考查了三角函数的图像与性质，掌握三角函数的图像与性质是解题的关键，属于中档题.
3．函数是（ ）
A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数
C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数
【标准答案】B
【思路指引】
逆用二倍角的余弦公式化简函数解析式，判断该函数的奇偶性以及最小正周期，即可得出答案.
【详解详析】
令，
，
所以函数为偶函数，且，
故选：B．
【名师指路】
本题主要考查了二倍角公式，周期公式以及利用定义判断函数奇偶性，属于中档题.
4．（2021·上海·高一期末）下列命题：
①若是定义在上的偶函数，且在上是增函数，，则.
②若锐角、满足，则.
③若，则对恒成立.
④要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位..
其中真命题的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【标准答案】A
对于①，联系偶函数和增函数得到函数在上为减函数后即可解决；
对于②，，化成同名三角函数后利用三角函数的单调性即可解决；
③，根据三角函数的周期性解决；
④函数的中x的系数，要引起特别注意，它对平移变换的量产生影响.
【详解详析】
解：①由已知可得函数在上为减函数，
且由于，
②由已知角的范围可得：，
③错，因为易知，其周期为，故应有恒成立，
④错，应向右平移个单位得到.
故其中真命题的是：②.
故选：A.
【名师指路】
本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的图象和性质，诱导公式，三角函数的单调性，正弦定理，属于中档题．
5．下列说法中不正确的是（ ）
A．正弦函数、余弦函数的定义域是，值域是
B．余弦函数当且仅当时，取得最大值1
C．余弦函数在上都是严格减函数
D．余弦函数在上都是严格增函数
【标准答案】C
【思路指引】
借助于余弦函数的图像，对四个选项一一验证.
【详解详析】
对于A：因为正弦函数、余弦函数的定义域是，且均有最大值1和最小值-1，故A正确；
对于B：由图像可知，当时，都有取得最大值，所以余弦函数当且仅当时，取得最大值1，故B正确；
对于C：余弦函数在上单调递减，在上单调递增，故C错误；
对于D：由图像可知，余弦函数在上都是严格增函数，故D正确.
故选：C
6．若不等式对任意都成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
令，则函数在单调递减，条件等价于，从而解得参数范围.
【详解详析】
，，则，
令，则函数在单调递减，
由题知恒成立，则
解得
故选：B
7．已知是锐角三角形，若，则（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【标准答案】B
【思路指引】
由是锐角三角形，则，结合诱导公式及正弦、余弦函数的性质判断即可得结果．
【详解详析】
由已知得
因为余弦函数在上单调减，所以，则A，C错；
因为是锐角三角形，所以，则，
所以，故B正确，D错．
故选：B
【名师指路】
关键点点睛：应用正余弦函数单调性与诱导公式转化是解题的关键．
8．（2021·上海·高一期中）函数，设它的最小正周期为，值域为，则（ ）
A．，，且为奇函数
B．，为偶函数
C．，且为奇函数
D．，，且为偶函数
【标准答案】B
【思路指引】
利用倍角公式把已知函数解析式变形，再由周期公式求周期，由的范围求得函数值域，再由奇偶性的定义判断函数的奇偶性．
【详解详析】
解：
，
的最小正周期．
，，
则函数的值域为，，．
又的定义域为，且，
则为偶函数．
故选：B．
9．（2021·上海浦东新·高一期中）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
由诱导公式化简函数式后确定奇偶性可得．
【详解详析】
四个函数的最小正周期都是，
是奇函数，
是偶函数，
，时，，函数图象不过原点，也不关于轴对称，既不是奇函数也不是偶函数，
是偶函数．
故选：A．
10．（2021·上海市建青实验学校高一期中）下列函数中，既在上为增函数，又是以为最小正周期的偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
根据三角函数的单调性及周期性和奇偶性对选项一一分析即可.
【详解详析】
对于选项A，为奇函数，故A错误；
对于选项B，，当时，，根据余弦函数性质知单调递减，故B错误；
对于选项C，，当时，单调递增，且是的偶函数，故C正确；
对于选项D，的周期，故D错误.
故选：C.
二、填空题
11．若函数的最小正周期是，则______.
【标准答案】
【思路指引】
先根据二倍角公式化简原式，然后根据最小正周期的计算公式求解出的值.
【详解详析】
因为，
所以，所以，
故答案为：.
12．函数，的值域为______.
【标准答案】
【思路指引】
利用平方关系将函数化为的二次函数，配方求值域即可.
【详解详析】
，
，
故的值域为 ，
故答案为：.
13．（2021·上海·南洋中学高一月考）已知函数，则的值域为_______．
【标准答案】
【思路指引】
利用换元法，令，进而可得，再利用函数的单调性即可求解.
【详解详析】
由
令，则，
所以，
又对勾函数的单调递减区间为，；
单调递增区间为，，
结合对勾函数的图象，如下：
所以，
所以，
所以函数的值域为.
故答案为：.
14．函数的单调增区间为__________．
【标准答案】，
【思路指引】
先求函数的定义域，再在定义域上求出的单调减区间，从而可求原函数的增区间.
【详解详析】
由题设有即，
所以，故，
故函数的定义域为.
设，
令，故，
故函数的减区间为，
所以的增区间为.
故答案为：
15．函数在闭区间上的最大值是1，则__________．
【标准答案】
【思路指引】
令，即求在上的最大值，需要根据对称轴的位置进行分类讨论即可求出结果.
【详解详析】
，
令，则，对称轴，
若，即时，在处取得最大值，即，解得，与矛盾，故不合题意，舍去；
若，即时，在处取得最大值，即，即，解得或，因为，所以；
若，即时，在处取得最大值，即，解得，与矛盾，故不合题意，舍去；
综上：.
故答案为：.
16．（2021·上海·高一期中）已，，则实数的取值范围是______．
【标准答案】
【思路指引】
用表示，再根据，可解得的取值范围．
【详解详析】
解：，当时，不成立；当时
．
又，，，
解得：．
故答案为：．
17．（2021·上海·华师大二附中高一期中）已知函数在上不单调，则的最小值为___________.
【标准答案】3
【思路指引】
直接利用三角函数中余弦函数的性质的单调性的应用，集合的对立关系的应用求出的最小值．
【详解详析】
解：函数在上不单调，
当函数为单调递增时，
即，整理得：，，
由于函数在上单调递增时，，
即：，
整理得：当时，；①
当函数单调递减时；，
整理得：，，
由于函数在上单调递减时，，
即，
整理得：当时，，②
由于函数在上不单调，
且，
所以的取值为①②所表示的不等式的补集，
，
所以的最小值为3．
故答案为：3．
18．（2021·上海南汇中学高一期末）定义：对于任意实数、，.设函数的表达式为（，常数），函数的表达式为，若对于任意，总存在使得成立，则实数的取值范围是______.
【标准答案】
【思路指引】
根据题意，将问题转化为，再进而根据定义求得函数，再结合求解即可.
【详解详析】
因为对于任意，总存在使得成立
所以，
当时，即时， ；
当，即时， ，
所以，
因为，
所以，解得
所以实数的取值范围是
故答案为：
19．（2021·上海市奉贤中学高一期中）函数在区间上的 最小值是，则的最大值为________．
【标准答案】
【思路指引】
由已知中函数，由同角三角函数的基本关系，将函数的解析式化为的形式，进而根据函数的最小值为，结合已知中，及余弦函数的图象和性质，即可得到的最大值．
【详解详析】
解：函数
若在区间，上的最小值为，
则由，
解得，
又，
，
故答案为：．
20．（2021·上海·曹杨二中高一月考）已知函数，则的值域是___________.
【标准答案】
【思路指引】
讨论的范围，对去绝对值写成分段函数的形式，作出函数图象，即可得最值，进而可得值域.
【详解详析】
当时，，，且，
此时，
当时，，，且，
此时，
当时，，，且，
此时，
当时，，，且，
此时，
当时，，，且，
此时，
当时，，，且，
此时，
当时，，，且，
此时，
当时，，，且，
此时，
综上所述： ，
作出其图象如图所示：
由图知：是奇函数，且周期为，
所以当时，，
当时，，
所以的值域是，
故答案为：.
三、解答题
21．已知函数．
（1）判断“为偶函数”是“”的什么条件？
（2）证明：为奇函数的充要条件是．
【标准答案】（1）必要非充分条件；（2）证明见解析．
【思路指引】
（1）根据是偶函数时，判断充分性不成立；时，是偶函数，判断必要性成立；即可得出结论；
（2）由判断为奇函数，充分性成立；由为奇函数时，，必要性成立；即证结论成立．
【详解详析】
解：（1）函数是偶函数，
，，充分性不成立；
当时，是偶函数，必要性成立；
所以“为偶函数”是“”的必要不充分条件；
（2）证明：当时，为奇函数，充分性成立；
当为奇函数时，，必要性成立；
所以为奇函数的充要条件是．
22．已知函数．
（1）求的单调增区间；
（2）若在区间上的值域为，求的取值范围．
【标准答案】（1）；（2）.
【思路指引】
（1）利用两角和与差的余弦公式和二倍角的余弦公式化简函数为，再利用余弦函数的性质求解.
（2）根据的值域为，则，再根据，利用余弦函数的性质求解.
【详解详析】
（1），
，
，
令，，解得，，
∴的单调递增区间为，.
（2）∵的值域为，∴，
∵，∴，
结合余弦函数图象可知，解得，
∴的取值范围是.
23．作出函数的图像，并写出它的定义域、值域、最小正周期、单调区间、奇偶性．
【标准答案】见解析．
【思路指引】
先化简函数得到函数的解析式，画出函数的图像后根据图象可得函数的单调区间、最小正周期、奇偶性、值域等.
【详解详析】
函数的定义域为.
当即时，
，
当即时，
，
故的图象如图所示：
因为，故为的周期，
结合图象可得为的最小正周期.
由图象可得：的增区间为、，
减区间为、，
根据图象可得为非奇非偶函数且值域为.
24．已知函数
（1）作出在上的图像；
（2）若，判断是否为周期函数？如果是，求出最小正周期.
【标准答案】（1）图象答案见解析；（2）是，最小正周期.
【思路指引】
(1)先对函数式化简整理，在区间上分段讨论并作出图象而得解；
(2)利用周期函数的意义并借助正余弦函数的最小正周期判断作答.
【详解详析】
(1)，即时，，
，即时，，
所以，
时，，时，，在上的图像如图：
(2)，是周期函数，
因正弦函数和余弦都是周期函数，最小正周期为，
则时，，
，，
时，，
，，
即，，
所以是周期函数，最小正周期为.
25．函数的部分图像如图.
（1）写出及图中的值；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
【标准答案】（1），；（2）最大值为1，最小值为.
【思路指引】
(1)由函数的图象过点及所在区间即可得解；
(2)考查函数f(x)在区间上的性质即可作答.
【详解详析】
(1)观察函数的图象知，的图象过点，
则，而，则，即，其周期为2，
，由图象知，，则，，
所以，；
(2)时，，而函数在上递增，在上递减，
则，即时，
而，，即时，
所以在区间上的最大值为1，最小值为.
26．（2021·上海·上外浦东附中高一期中）已知函数．
（1）当a=0时，求函数y=f(x)的单调减区间；
（2）设方程在内有两个相异的实数根、，求实数a的取值范围及的值；
（3）若对任意实数x，恒成立，求实数a的取值范围．
【标准答案】（1），；（2），；（3）．
【思路指引】
（1）利用二倍角公式将函数化简，再根据余弦函数的性质计算可得；
（2）依题意可得，令，依题意在内有两个不相等的实数根据，即或在内有两个不相等的实数根，再根据的取值范围，可判断，即可求出的取值范围，再根据对称性求出；
（3）依题意恒成立，令，则在上恒成立，对分类讨论，再参变分离，根据函数的性质求出的取值范围，即可得解；
【详解详析】
解：（1）当时，
令，解得，所以函数的单调递减区间为；
（2）
令，则，令，则，即，即或，
当时，，所以有两个相异的实数根、，所以，解得，即，且，所以，所以；
（3）由（2）可知，因为恒成立，即恒成立，
令，则，则在上恒成立；
当时，显然恒成立；
当时恒成立，因为在上单调递增，所以；
当时恒成立，因为在上单调递增，所以；
综上可得
27．函数的最小值为.
(1)求；
(2)若，求a及此时的最大值.
【标准答案】(1)
(2)，的最大值5
【思路指引】
（1）通过配方得，再通过对范围的讨论，利用二次函数的单调性即可求得；
（2）由于，对分与进行讨论，即可求得的值及的最大值．
(1)
∵，
∴，且，
∴若，即，当时，；
若，即，当时，；
若，即，当时，.
综上所述，.
(2)
∵，
∴若，则有，得，与矛盾；
若，则有，即，解得或（舍），
∴时，，即，
∵，
∴当时，取得最大值5.
28．（2021·上海·位育中学高一期中）函数的定义域为，对于区间，如果存在，，使得，则称区间为函数的“区间”．
（1）判断是否是函数的“区间”，并说明理由；
（2）设为正实数，若是函数的“区间”，求的取值范围．
【标准答案】（1）不是，理由见解析；（2）.
【思路指引】
(1)根据函数值的范围可判定不是函数的“区间”；
(2)根据新定义和余弦函数的性质可得存在k，，使得，再分类讨论即可求出的取值范围.
【详解详析】
(1) 不是函数的“区间”.理由如下：
因为，
所以对于任意的，，都有，
所以不是函数的“区间”.
(2)因为是函数的“区间”，
所以存在，，使得.
所以
所以存在，使得
不妨设，又因为，
所以，所以.
即在区间内存在两个不同的偶数.
①当时，区间的长度，
所以区间内必存在两个相邻的偶数，故符合题意.
②当时，有，
所以.
当时，有，即.
所以也符合题意.
当时，有，即.
所以符合题意.
当时，有，此式无解.
综上所述，的取值范围是.
29．（2021·上海·高一期中）已知函数，.
（1）当时，写出的单调递减区间（不必证明），并求的值域；
（2）设函数，若对任意，总有，使得，求实数t的取值范围.
【标准答案】（1）单调递减区间为；值域为；（2）.
【思路指引】
（1）由对勾函数的图像，直接写出递减区间和值域；
（2）先求出的值域，把对任意，总有，使得转化为两个值域的包含关系，解不等式即可.
【详解详析】
（1）当时，的图像如图示，
∴的单调递减区间为；值域为
（2），由知：，
∵上递减；上递增；
∴在上单增，在上单减，
∴在上的值域为，记B=
设的值域为A，要使“对任意，总有，使得”，只需.
对于：
当时，在上单增，有，
此时，只需，解得：.
当时，在上单减，值域为；在上单增，值域为，
此时，只需，解得：；
当时，在上单减，有，
此时，只需，无解.
综上：.
∴实数t的取值范围为
【名师指路】
方法点睛：含双量词的数学问题中参数范围的求解分为两大类：
（1）不等式型转化为最值的比较；
（2）等式型的转化为值域的包含关系.
30．（2021·上海市行知中学高一期中）已知函数，如果对于定义域内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数，恒有成立，则称函数是上的周期为的级类周期函数．
（1）已知是上的周期为1的级类周期函数，且是上的严格增函数，当时，，求实数的取值范围；
（2）设函数是上的周期为1的2级类周期图数，且当时，．若对任意，都有，求的取值范围；
（3）是否存在实数，使函数是上的周期为的级类周期函数，若存在，求出实数和的值，若不存在，说明理由．
【标准答案】（1）；（2）；（3）答案见解析；
【思路指引】
（1）根据函数定义有，易得时，根据已知条件有且即可求的范围；
（2）由函数定义有时，再结合题设函数不等式恒成立、二次函数的性质，求的范围；
（3）由题意恒成立，讨论、分别求对应值.
【详解详析】
（1）由级类周期函数定义知：，即
∴当时，，…，当时，，
∵是上的严格增函数，且上单调递增，
∴且，解得，
∴.
（2）由题设：，而时，
∴当，即时，
当，即时，
∴，使，解得或
对任意都有，则.
（3）若存在，则，即恒成立，
∴当时，；
当时，，则，
若，，可得，
若，，可得，
∴综上，时；时.
【名师指路】
关键点点睛：利用级类周期函数的定义确定相应区间上的函数解析式，根据函数的单调性、函数不等式恒成立、存在性问题求参数.编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
进阶2：余弦函数的图像与性质重难点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．定义在上的函数，既是偶函数又是周期函数.若的最小正周期是，且当时，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．关于函数，有以下四个命题：
①函数是偶函数；②的图像关于直线对称；③要得到函数的图像只需将的图像向右平移个单位；④在区间内的单调递增区间是和．
其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．函数是（ ）
A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数
C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数
4．（2021·上海·高一期末）下列命题：
①若是定义在上的偶函数，且在上是增函数，，则.
②若锐角、满足，则.
③若，则对恒成立.
④要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位..
其中真命题的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．下列说法中不正确的是（ ）
A．正弦函数、余弦函数的定义域是，值域是
B．余弦函数当且仅当时，取得最大值1
C．余弦函数在上都是严格减函数
D．余弦函数在上都是严格增函数
6．若不等式对任意都成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知是锐角三角形，若，则（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
8．（2021·上海·高一期中）函数，设它的最小正周期为，值域为，则（ ）
A．，，且为奇函数
B．，为偶函数
C．，且为奇函数
D．，，且为偶函数
9．（2021·上海浦东新·高一期中）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021·上海市建青实验学校高一期中）下列函数中，既在上为增函数，又是以为最小正周期的偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若函数的最小正周期是，则______.
12．函数，的值域为______.
13．（2021·上海·南洋中学高一月考）已知函数，则的值域为_______．
14．函数的单调增区间为__________．
15．函数在闭区间上的最大值是1，则__________．
16．（2021·上海·高一期中）已，，则实数的取值范围是______．
17．（2021·上海·华师大二附中高一期中）已知函数在上不单调，则的最小值为___________.
18．（2021·上海南汇中学高一期末）定义：对于任意实数、，.设函数的表达式为（，常数），函数的表达式为，若对于任意，总存在使得成立，则实数的取值范围是______.
19．（2021·上海市奉贤中学高一期中）函数在区间上的 最小值是，则的最大值为________．
20．（2021·上海·曹杨二中高一月考）已知函数，则的值域是___________.
三、解答题
21．已知函数．
（1）判断“为偶函数”是“”的什么条件？
（2）证明：为奇函数的充要条件是．
22．已知函数．
（1）求的单调增区间；
（2）若在区间上的值域为，求的取值范围．
23．作出函数的图像，并写出它的定义域、值域、最小正周期、单调区间、奇偶性．
24．已知函数
（1）作出在上的图像；
（2）若，判断是否为周期函数？如果是，求出最小正周期.
25．函数的部分图像如图.
（1）写出及图中的值；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
26．（2021·上海·上外浦东附中高一期中）已知函数．
（1）当a=0时，求函数y=f(x)的单调减区间；
（2）设方程在内有两个相异的实数根、，求实数a的取值范围及的值；
（3）若对任意实数x，恒成立，求实数a的取值范围．
27．函数的最小值为.
(1)求；
(2)若，求a及此时的最大值.
28．（2021·上海·位育中学高一期中）函数的定义域为，对于区间，如果存在，，使得，则称区间为函数的“区间”．
（1）判断是否是函数的“区间”，并说明理由；
（2）设为正实数，若是函数的“区间”，求的取值范围．
29．（2021·上海·高一期中）已知函数，.
（1）当时，写出的单调递减区间（不必证明），并求的值域；
（2）设函数，若对任意，总有，使得，求实数t的取值范围.
30．（2021·上海市行知中学高一期中）已知函数，如果对于定义域内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数，恒有成立，则称函数是上的周期为的级类周期函数．
（1）已知是上的周期为1的级类周期函数，且是上的严格增函数，当时，，求实数的取值范围；
（2）设函数是上的周期为1的2级类周期图数，且当时，．若对任意，都有，求的取值范围；
（3）是否存在实数，使函数是上的周期为的级类周期函数，若存在，求出实数和的值，若不存在，说明理由．
