编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
进阶4：正切函数的图像与性质重难点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．下列命题中正确的是（ ）
A．在第一象限单调递增 B．在函数中，越大，也越大
C．当时，总有 D． 的图象关于原点对称
【标准答案】D
【思路指引】
取特殊值代入检验结合奇偶性定义即可判断出结果．
【详解详析】
在第一象限内取两个数，有
因为，但，不满足增函数定义，故A，B错；
取，有，故C错；
由的定义域为关于原点对称，且
故为奇函数，所以图象关于原点对称，D正确．
故选：D
2．函数的图像相邻的两支截直线所的线段长度为，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
依题意可得函数的最小正周期为，即可求出，再代入求值即可；
【详解详析】
解：因为函数的图像相邻的两支截直线所的线段长度为，所以函数的最小正周期为，所以，所以，所以，所以
故选：B
3．在下列函数中，同时满足：①在上递增；②以为周期；③是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．.
【标准答案】C
【思路指引】
根据单调性,周期性,奇偶性的判定依据依次分析每个选项即可得到结果
【详解详析】
选项A，的最小正周期为,不满足②；
选项B，为偶函数,不满足③；
选项D，在上单调递减,不满足①；
选项C，设,在上单调递增,则,即,即在上单调递增,故满足①；的最小正周期为,故满足②；,故满足③
故选：C．
4．（2021·上海市金山中学高一期中）下列命题中正确的是（ ）
A．函数的定义域是
B．第一象限的角必是锐角
C．若，则与的终边相同
D．不是周期函数．
【标准答案】D
【思路指引】
根据正切函数的定义可知A错误；容易举出反例判定BC错误；根据正弦函数的性质和周期函数的定义，的利用反证法可以证明D正确.
【详解详析】
由正切函数的定义可知函数的定义域为，x=0时正切函数是有意义的，0 ，故A错误；
380°是第一象限角，但不是锐角，故B错误；
60°和120°的正弦值相等，但终边不相同，故C错误；
假若函数是周期函数，存在T>0,使得f(x+T)=f(x)对于任意实数x恒成立，
当x≥0时,由正弦函数的周期性得,T=2kπ,k∈N*，
但,
,
，
所以函数不是周期函数，故D正确.
故选：D.
5．（2021·上海·高一期末）方程的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
把方程化为，结合正切函数的性质，即可求解方程的解，得到答案.
【详解详析】
由题意，方程，可化为，
解得，，即方程的解集为.
故选：C.
6．函数在区间（，）内的图象是( )
A． B． C． D．
【标准答案】D
【详解详析】
解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=
分段画出函数图象如D图示，
故选D．
7．下列四组函数中，与表示同一函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【标准答案】C
【思路指引】
求出各选项中两个函数的定义域，观察两个函数的解析式是否相等，由此可得出正确结论.
【详解详析】
对于A选项，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不相同，两个函数不是同一函数；
对于B选项，对于函数，，解得，则函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不相同，两个函数不是同一函数；
对于C选项，函数的定义域为，
函数的定义域为，两个函数的定义域相同，
由于，这两个函数为同一函数；
对于D选项，对于函数，，得，则函数的定义域为，对于函数，则，可得，且有，
两个函数的定义域不相同，这两个函数不是同一函数.
故选C.
【名师指路】
本题考查函数相等的判断，解题时要结合函数的定义域和解析式一致，才可判断出两个函数为同一函数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
8．已知函数，点，为的图象上两点，为坐标原点，则（ ）
A．1 B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
直接利用正切函数的关系式求出点A和B的坐标，进一步利用三角函数的诱导公式的应用求出结果.
【详解详析】
由点，坐标代入，
可解得，
故，，
所以，
故，
故选：D
【名师指路】
本题主要考查了三角函数的定义的应用，三角函数的诱导公式的应用，正切函数的关系式的应用，主要考查学生的运算能力，属于中档题.
9．（2021·上海·高一期中）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
首先利用诱导公式，将自变量调整到一个单调区间内，再比较大小.
【详解详析】
，，
，
在区间单调递增，，
即.
故选：A
【名师指路】
关键点点睛：本题的关键是利用诱导公式，化简，这样自变量都在区间 ，即可利用单调性比较大小.
10．下列命题中，为真命题的是（ ）
A．函数既是偶函数又是周期函数
B．函数既是奇函数，又是增函数
C．函数的最小正周期为
D．函数的最大值为
【标准答案】D
【思路指引】
对于A，可由奇偶性的概念及周期性即可得出结果，对于B，利用正切函数性质可得函数是奇函数，但是不单调；对于C，化简求得，得出结论；对于D，函数的最大值是2，利用复合函数单调性求得函数的最大值，即可判断出结论.
【详解详析】
解：A.函数定义域关于原点对称，,
所以是偶函数，但不是周期函数,A错误.
B.函数定义域关于原点对称，，
所以是奇函数,但定义域不连续，不能说是增函数,B错误.
C.函数，
利用得最小正周期不为，C错误,
D.函数的最大值是2，
又在其定义域内单调递增，
所以的最大值是lg2,D正确,
故选：D.
二、填空题
11．利用图像，不等式的解集为____________.
【标准答案】
【思路指引】
依题意画出函数图象，分别求出、时的取值，数形结合即可得到原不等式的解集；
【详解详析】
解：函数图象如下所示：
令，则，解得；
令，则，解得，
因为，所以，即原不等式的解集为，
故答案为：.
12．函数的值域是__________．
【标准答案】
【思路指引】
依题意可得，由的取值范围，求出的取值范围，再根据正切函数的性质计算可得；
【详解详析】
解：，因为，所以，由正切函数的性质可得，所以
故答案为：
13．（2021·上海市金山中学高一期中）函数的图象的对称中心为________．
【标准答案】
【思路指引】
由正切函数的图象的对称性,结合图象平移变换即可得到答案.
【详解详析】
的对称中心是.
∵函数的图象由的图象向上平移1个单位得到，
∴函数的对称中心为
故答案为：.
14．（2021·上海市进才中学高一期中）已知函数的最小正周期为，则_____.
【标准答案】
【思路指引】
利用正切函数周期公式直接求解.
【详解详析】
因为函数的最小正周期为，所以，所以.
故答案为：
15．（2021·上海市第二中学高一期中）函数的值域是________
【标准答案】
【思路指引】
求出的范围，利用二次函数的性质得出值域.
【详解详析】
，
故答案为：
16．（2021·上海市延安中学高一期末）已知函数是上的严格增函数，则正实数的取值范围是______.
【标准答案】
【思路指引】
由已知得为一个周期的子集，由此可得关于的不等式组，解不等式组即可．
【详解详析】
解：∵函数在内是单调增函数，
∴，解得，经检验，满足题意.
∴的取值范围是．
故答案：.
17．凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，有≤f()，已知函数y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值为________．
【标准答案】
【详解详析】
∵f(x)="sin" x在区间(0,π)上是凸函数,且A,B,C∈(0,π),
∴≤f=f,
即sin A+sin B+sin C≤3sin=,
∴sin A+sin B+sin C的最大值为.
18．已知函数f(x)，任意x1，x2∈ (x1≠x2)，给出下列结论：
①f(x＋π)＝f(x)；②f(－x)＝f(x)；③f(0)＝1；
④>0；⑤.
当时，正确结论的序号为________．
【标准答案】①④
【思路指引】
根据正切函数的周期判断①是否正确，正切函数的奇偶性判断②是否正确，由判断③是否正确，由正切函数的单调性判断④是否正确，由正切函数的图象判断⑤是否正确.
【详解详析】
由于f(x)＝tan x的周期为π，故①正确；
函数f(x)＝tan x为奇函数，故②不正确；
f(0)＝tan 0＝0，故③不正确；
④表明函数为增函数，而f(x)＝tan x为区间上的增函数，故④正确；
⑤由函数f(x)＝tan x的图象可知，设，
故函数在区间上有，
在区间上有，故⑤不正确．
故答案为：①④
【名师指路】
本题考查了正切函数的图象和性质，属于中档题.
19．（2021·上海·高一期中）①函数在它的定义域内是增函数；②若、是第一象限角，且，则；③函数一定是奇函数；④函数的最小正周期为．上列四个命题中，正确的命题是_____．
【标准答案】④
【思路指引】
对于①，举特值：，可得答案；对于②，举特值：，可得答案；对于③，举特值：可得答案；对于④，利用的最小正周期和图象的翻折变换可得答案.
【详解详析】
对于①，函数的定义域为，当时，；当时，，所以函数在它的定义域内不是增函数，故①不正确；
对于②，当，时，满足、是第一象限角，且，但是，故②不正确；
对于③，当时，为偶函数，故③不正确；
对于④，因为的最小正周期为，而函数的图象是由函数的图象保留轴上方的图象，将轴下方的图象沿轴翻折到轴上方而得到的，所以函数的最小正周期是函数的最小正周期的一半，即函数的最小正周期是，故④正确.
故答案为：④
【名师指路】
关键点点睛：熟练掌握三角函数的单调性、奇偶性和周期性是解题关键.
20．（2021·上海市奉贤中学高一期中）已知函数和函数的图像交于、、三点，则的面积为____．
【标准答案】
【思路指引】
联立方程组，求出交点坐标，利用三角形的面积公式求出面积.
【详解详析】
由，得或，因为，
所以或或，
所以函数与函数图像的交点为，，，所以的面积
故答案为：.
三、解答题
21．函数（，）在一个周期内的图像经过，，三点，求的表达式.
【标准答案】
【思路指引】
由题意，根据是半周期内的两个相邻的零点，求得，进而求得和，即可得到函数的解析式；
【详解详析】
（1）当是半周期内的两个相邻的零点，
则
所以函数
（2）当是一周期内的两个不相邻的零点，
则
所以函数
【名师指路】
本题主要考查了三角函数的图象与性质，及三角函数的解析式的求解，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，合理、准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
22．讨论函数的定义域、值域、周期性、奇偶性与单调性.
【标准答案】定义域为；值域为；最小正周期为；奇函数；单调递减区间.
【思路指引】
根据，结合正切函数的基本性质得出函数的定义域、值域、周期性、奇偶性与单调性.
【详解详析】
，由，得.
所以，函数的定义域为，值域为，最小正周期为.
，则函数为奇函数.
由，解得.
因此，函数的单调递减区间为.
【名师指路】
本题考查余切函数的基本性质，解题时要将弄清余切函数与正切函数之间的关系，利用正切函数的基本性质来研究余切函数的基本性质，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
23．（2021·上海·高一期末）已知余切函数.
（1）请写出余切函数的奇偶性，最小正周期，单调区间；（不必证明）
（2）求证：余切函数在区间上单调递减.
【标准答案】（1）奇函数；周期为，单调递减速区间： （2）证明见解析
【思路指引】
（1）直接利用函数的性质写出结果．
（2）利用单调性的定义和三角函数关系式的变换求出结果．
【详解详析】
（1）奇函数；周期为，单调递减区间：
（2）任取，，，有
因为，所以，
于是，，
从而，.
因此余切函数在区间上单调递减.
【名师指路】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
24．已知函数.
（1）求函数的单调递增区间和对称中心；
（2）当时,方程有解，求实数的取值范围．
【标准答案】（1）对称中心为（，1），（k∈Z）．单调递增区间为[kπ，kπ]，（k∈Z）．
（2）[，].
【思路指引】
（1）利用正弦函数的图象的对称性求得该函数的对称中心；利用正弦函数的单调性，求得函数的单调递增区间．
（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数ysin（2x）在上的最值即得的取值范围．
【详解详析】
（1）∵函数f（x）sin（2x）+1，
∴令2xkπ，解得x，
∴对称中心为（，1），（k∈Z）．
由ysin（2x）的减区间满足：2kπ2x2kπ，（k∈Z），解得kπx≤kπ，
∴函数f（x）sin（2x）+1的单调递增区间为[kπ，kπ]，（k∈Z）．
（2）方程有解，即为sin（2x）=m有解，令ysin（2x）
则当时，2x∈[，]，
∴当2x，即x时，函数ysin（2x）取得最大值1，
当2x，即x时，函数f（x）取得最小值．
∴y∈[，]，即m∈[，].
【名师指路】
本题主要考查正弦函数的单调性、定义域和值域以及它的图象的对称性，考查了方程有解的问题的转化，属于中档题．
25．函数，其中．
（1）若，求的值；
（2）在（1）的条件下，若函数图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式；并求最小正实数m，使得函数图像向左平移m个单位得到的函数是奇函数．
【标准答案】（1）；（2）
【思路指引】
（1）由，利用两角差的余弦公式得到，再求解.
（2）由（1）得到，再根据函数图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，得到，解得，得到，然后图像向左平移m个单位得到的函数，再根据是奇函数求解.
【详解详析】
（1）因为，
所以，
解得，
又因为，
所以.
（2）由（1）知，
因为函数图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，
所以，
解得，
所以，
函数图像向左平移m个单位得到的函数，
因为是奇函数，
所以，
即，
所以最小正实数m.
【名师指路】
本题主要考查两角和与差的三角函数以及三角函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
26．已知函数f(x)＝2tan的最小正周期T满足1【标准答案】k＝3，非奇非偶函数,，k∈Z
【详解详析】
试题分析：
由根据可求得，故函数的解析式为，然后再判断奇偶性和求出单调区间．
试题解析：
∵函数的最小正周期，且，
∴，即，
又，
∴，
∴．
由，得，
∴函数的定义域不关于原点对称，
∴函数是非奇非偶函数．
由，
得．
所以函数的单调递增区间为．
27．请研究与函数相关的下列问题，在表中填写结论．
问题 结论（不需要过程）
求的定义域
求函数的周期
写出在区间范围内的值域
写出图像的所有对称中心
【标准答案】，， ，
【思路指引】
由，则，然后利用复合函数的定义域，周期，单调性及值域的求解方法进行计算．
【详解详析】
解：
问题 结论
求的定义域
求函数的周期 周期为
写出在区间范围内的值域 ，，
写出图象的所有对称中心
28．已知函数．
（1）当时，求的最小正周期及单调区间；
（2）若在上恒成立，求的取值范围．
【标准答案】（1）4，，；（2）.
【思路指引】
（1）当时，利用正切函数的周期公式和单调性即可求出的最小正周期及单调区间；
（2）根据在上恒成立，建立周期与最值的关系，解不等式即可求出的取值范围.
【详解详析】
（1）当时，的最小正周期,故最小正周期为4；
要求的单调区间，只需，解得：，
故的增区间为，，无单减区间.
（2）∵，∴函数的周期．∵在上恒成立，∴在上为严格增函数，∴，∴．
∵，∴，即，即，∴，∴．
29．已知函数，其中．
（1）当时，求函数的最大值和最小值；
（2）若函数在区间上是单调函数，求的取值范围．
【标准答案】
（1）最小值，最大值
（2）
【思路指引】
（1）求出函数的解析式，根据二次函数的性质即可求解；
（2）将配方求出对称轴为，解不等式或即可求解.
（1）
当时，，对称轴为
因为，
所以当时，取得最小值，
当时，取得最大值,
所以函数的最大值为，最小值为.
（2）
是关于的二次函数，
它的图象的对称轴为直线．
因为在区间上是单调函数，
所以或，
即或，
又，
所以的取值范围是.
30．（2021·上海·高一期末）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β
（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值
（2）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α-β最大
【标准答案】（1）124m.（2）55m.
【详解详析】
(1)由及AB＋BD＝AD，得，解得H＝＝124.
因此，算出的电视塔的高度H是124m.
(2)由题设知d＝AB，得tanα＝.
由AB＝AD－BD＝，得tanβ＝，
所以tan(α－β)＝，
当且仅当d＝，即d＝＝55时，上式取等号．所以当d＝55时，tan(α－β)最大．因为0<β<α<，则0<α－β<，所以当d＝55时，α－β最大．故所求的d是55m.编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
进阶4：正切函数的图像与性质重难点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．下列命题中正确的是（ ）
A．在第一象限单调递增 B．在函数中，越大，也越大
C．当时，总有 D． 的图象关于原点对称
2．函数的图像相邻的两支截直线所的线段长度为，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
3．在下列函数中，同时满足：①在上递增；②以为周期；③是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．.
4．（2021·上海市金山中学高一期中）下列命题中正确的是（ ）
A．函数的定义域是
B．第一象限的角必是锐角
C．若，则与的终边相同
D．不是周期函数．
5．（2021·上海·高一期末）方程的解集是（ ）
A． B．
C． D．
6．函数在区间（，）内的图象是( )
A． B． C． D．
7．下列四组函数中，与表示同一函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
8．已知函数，点，为的图象上两点，为坐标原点，则（ ）
A．1 B． C． D．
9．（2021·上海·高一期中）若，则（ ）
A． B．
C． D．
10．下列命题中，为真命题的是（ ）
A．函数既是偶函数又是周期函数
B．函数既是奇函数，又是增函数
C．函数的最小正周期为
D．函数的最大值为
二、填空题
11．利用图像，不等式的解集为____________.
12．函数的值域是__________．
13．（2021·上海市金山中学高一期中）函数的图象的对称中心为________．
14．（2021·上海市进才中学高一期中）已知函数的最小正周期为，则_____.
15．（2021·上海市第二中学高一期中）函数的值域是________
16．（2021·上海市延安中学高一期末）已知函数是上的严格增函数，则正实数的取值范围是______.
17．凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，有≤f()，已知函数y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值为________．
18．已知函数f(x)，任意x1，x2∈ (x1≠x2)，给出下列结论：
①f(x＋π)＝f(x)；②f(－x)＝f(x)；③f(0)＝1；
④>0；⑤.
当时，正确结论的序号为________．
19．（2021·上海·高一期中）①函数在它的定义域内是增函数；②若、是第一象限角，且，则；③函数一定是奇函数；④函数的最小正周期为．上列四个命题中，正确的命题是_____．
20．（2021·上海市奉贤中学高一期中）已知函数和函数的图像交于、、三点，则的面积为____．
三、解答题
21．函数（，）在一个周期内的图像经过，，三点，求的表达式.
22．讨论函数的定义域、值域、周期性、奇偶性与单调性.
23．（2021·上海·高一期末）已知余切函数.
（1）请写出余切函数的奇偶性，最小正周期，单调区间；（不必证明）
（2）求证：余切函数在区间上单调递减.
24．已知函数.
（1）求函数的单调递增区间和对称中心；
（2）当时,方程有解，求实数的取值范围．
25．函数，其中．
（1）若，求的值；
（2）在（1）的条件下，若函数图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式；并求最小正实数m，使得函数图像向左平移m个单位得到的函数是奇函数．
26．已知函数f(x)＝2tan的最小正周期T满足127．请研究与函数相关的下列问题，在表中填写结论．
问题 结论（不需要过程）
求的定义域
求函数的周期
写出在区间范围内的值域
写出图像的所有对称中心
28．已知函数．
（1）当时，求的最小正周期及单调区间；
（2）若在上恒成立，求的取值范围．
29．已知函数，其中．
（1）当时，求函数的最大值和最小值；
（2）若函数在区间上是单调函数，求的取值范围．
30．（2021·上海·高一期末）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β
（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值
（2）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α-β最大编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
进阶5：三角函数图像的综合应用必考题专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．已知，且，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
根据正弦函数与正切函数的图象和性质，确定时的取值的范围，再根据，将不等式变形整理为，解不等式的或，从而确定的取值的范围，再取交集即可.
【详解详析】
在同一直角坐标系中画出函数与，内的图象，如图所示：
由图可知，若使得，则需或
，解得或
由正切函数的图象和性质可知，或或或
综上所述：或
故选：B
【名师指路】
本题考查正弦函数、正切函数的图象与性质，以及解不等式，属于中档题.
2．在内，使成立的的取值范围是
A． B．
C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
直接画出函数图像得到答案.
【详解详析】
画出函数图像，如图所示：根据图像知.
故选：.
【名师指路】
本题考查了解三角不等式，画出函数图像是解题的关键.
3．（2021·上海市实验学校高一期中）设函数，其中，已知在上有且仅有4个零点，则下列的值中满足条件的是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
设，则，从而将问题转化为在上有4个零点，从而得到，再利用不等式恒成立问题求得的范围，即可得答案.
【详解详析】
设，则，
所以在上有4个零点，
因为，所以，
所以，
所以，即，满足的只有A.
故选：A.
【名师指路】
本题考查根据三角函数的零点个数求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的应用.
4．给出下列命题：
①函数的值域为，则；
②函数是偶函数；
③在内的单调递增区间是和；
④直线是函数的图像的一条对称轴．
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【标准答案】C
【思路指引】
根据三角函数的基本性质对选项一一分析即可.
【详解详析】
对于①，，则，，故①错误；
对于②，，是偶函数，故②正确；
对于③，，则，根据正弦函数的单调性知，函数的单增区间应满足：和，
故函数的单增区间为和，故③错误；
对于④，，即是函数的一条对称轴，故④正确；
故正确的有②、④，共2个，
故选：B
5．（2021·上海奉贤·高一月考）已知函数．若为奇函数，为偶函数，且在至多有2个实根，则的最大值为（ ）
A．10 B．14 C．15 D．18
【标准答案】A
【思路指引】
先根据函数的奇偶性得到函数的对称轴和对称中心，求出后，再利用换元法，求出在至多有2个实根时，的取值范围，从而得到的最大值.
【详解详析】
由题意，得为的图象的对称中心，直线为的图象的一条对称轴，
所以，两式相加得，
又因为，所以，代入，得，
因为时，，
即由已知可得，至多有2个实根，
即，由此可得，
又因为，所以时的最大值为10，
故选：A．
【名师指路】
本题考查三角函数的图象和性质的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时要注意三角函数的周期性特点，同时要注意换元法的灵活运用.
6．已知点，是函数上的两个不同点，且，则对于下列四个不等式：①；②；③；④. 其中正确不等式的个数是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
根据斜率判断①正确，取计算得到②④错误；根据和的几何意义判断③正确得到答案.
【详解详析】
如图所示：，根据图像知，①正确；
取计算得到，，故②④错误；
表示中点的纵坐标；表示中点的横坐标对应函数值.
根据函数为凸函数知正确，即③正确.
故选：
【名师指路】
本题考查了三角函数不等式的判断，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用.
7．（2021·上海市七宝中学高三月考）已知函数.给出下列结论：
①是周期函数；
② 函数图像的对称中心；
③ 若，则；
④不等式的解集为.
则正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③④ C．①③④ D．①②④
【标准答案】D
【思路指引】
由，可知是周期为的函数， 当时，；当时，，画出在一个周期内的函数图象，通过图象去研究问题.
【详解详析】
是周期为的函数，①正确；
当时，，
当时，，
可以画出在一个周期内的函数图象，如下
由图可知：函数的对称中心为，②正确；
函数的对称轴为
若，则，即，③错误；
不等式等价于：
由图可知：
解得，④正确.
故选：D.
【名师指路】
本题考查了诱导公式，降幂公式及三角函数的性质，考查了数形结合思想，属于难题.
8．（2021·上海·高一期中）已知函数，若且 ，则函数取得最大值时x的可能值为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
由得到对称轴为，求出的取值集合，再由，可得，，代入函数中可得，进而求出函数取到最大值时x的集合，k取适当的整数可得x的取值选项.
【详解详析】
由题意，函数，
因为可知函数的对称轴为，
所以，可得，，得，，
又因为，所以，即，可得，
所以可得，，所以，
所以取到最大值时，则，，即，，
当k取适当的整数时，只有适合，
故选：B.
【名师指路】
本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档题.
9．（2021·上海·位育中学高三开学考试）在中，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．以上答案都不对
【标准答案】B
【思路指引】
先取得或，分和两种情况讨论，结合三角恒等变换的公式，以及三角函数的性质，即可求解.
【详解详析】
由题意，在中，若，
因为，可得或，
当时，可得，则，
可得，
因为，所以，所以；
当时，可得，则，
可得，
其中，
设在区间上单调递增，在上单调递减，
又由，，
所以，即，
综上可得，的取值范围是.
故选：B.
【名师指路】
解答与三角函数有关的范围问题的求解策略：
1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为的形式；
2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.
10．若函数的定义域与区间的交集由个开区间组成，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
先求解函数在区间的零点，将区间进行分区，在每一个区间内利用函数的图象研究函数的正负，从而得出结果。
【详解详析】
函数的定义域需要满足，
可以先考虑，
因为
所以当时，或；
当时，或或；
当时，或或或；
当时，或或或或；
这时区间自然就被分为六个区间，分别为，，，，，，然后对每一个区域分析函数的符号，
根据图象可得，当时，
，，，，
所以，故满足题意；
同理可得时，，故不满足题意；
时，，故满足题意；
时，，故满足题意；
时，，故不满足题意；
时，故满足题意.
故选：C
【名师指路】
本题考查了对数函数的定义域问题，考查了分类讨论的思想方法，还考查了函数的图象的画法。
二、填空题
11．（2021·上海奉贤·高一月考）函数满足：，，且在上具有单调性，则满足条件的取值个数为________.
【标准答案】2
【思路指引】
根据函数的单调性，确定周期满足的条件，得到，根据，，得到对称中心与对称轴之间的关系，进而求出的值.
【详解详析】
∵在上具有单调性，
∴，即，
则，则，
∵，，
∴是一条对称轴，是一个对称中心，则，
若，即，即，则，满足，
若，即，即，则，满足，
若，即，即，则，不满足，
故满足条件的或9，故取值个数为2个，
故答案为：2.
【名师指路】
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用单调区间，对称轴和对称中心的距离判断周期满足的条件是解决本题的关键，属于中档题.
12．关于的方程在上有两个不同解，则的取值范围是________
【标准答案】
【思路指引】
利用辅助角公式将原方程化为，将问题转化为函数与函数的图象的交点问题，结合图象，即可得出的取值范围.
【详解详析】
化简得出
，
关于的方程在上有两个不同解
函数与函数的图象有两个不同的交点
函数与函数的图象如下图所示
由图可知，要使得函数与函数的图象有两个不同的交点，则，即
故答案为：
【名师指路】
本题主要考查了三角函数图象的综合应用，属于中档题.
13．函数，若存在，使得对任意都有成立，则的最小值是_____________．
【标准答案】2
【思路指引】
先确定的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值也就是半个周期，由此可得结果.
【详解详析】
解：因为函数，若存在，使得对任意都有成立，
所以是最小值，是最大值，
所以的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值，也就是半个周期，
所以的最小值为，
故答案为：2
【名师指路】
此题考查三角函数的性质，确定的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值也就是半个周期是解题的关键，属于中档题.
14．（2021·上海·高一期中）设函数，，若恰有个零点，则下述结论中：①恒成立，则的值有且仅有个；②存在，使得在上单调递增；③方程一定有个实数根，其中真命题的序号为_________.
【标准答案】①②③
【思路指引】
可把中的整体当作来分析，结合三角函数的图象与性质即可得解．
【详解详析】
由于恰有4个零点，令，，
由有4个解，则，解得，
①即，由上述知，
故的值有且仅有个，正确；
②当时，，当时，，解得，
又，故存在，使得在上单调递增，正确；
③，而，
所以可取，共4个解，正确，
综上，真命题的序号是①②③.
故答案为：①②③.
【名师指路】
三角函数的性质分析一般用数形结合，图象的简化十分重要。本题考查命题真假的判断，考查三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
15．（2021·上海·华师大二附中高三月考）已知函数的图象的相邻两对称轴之间的距离为，且在上恰有3个零点，则___________.
【标准答案】
【思路指引】
根据题意求得，要使在上恰有3个零点，转化为与恰有3个交点，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解详析】
由题意，函数
=
，
因为函数的图象的相邻两对称轴之间的距离为，可得，解得，
所以，
要使在上恰有3个零点，
则与恰有3个交点，
当时，，此时，
则，即.
故答案为：.
【名师指路】
解答三角函数的图象与性质的基本方法：
1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为的形式；
2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.
16．（2021·上海·上外浦东附中高一月考）设函数在的图像大致如图，则的最小正周期为______
【标准答案】
【思路指引】
首先根据是函数的一个上升零点得到的表达式；然后再根据图象得到周期的范围，从而求出的范围，进而求得周期.
【详解详析】
由函数图象可知：是函数的一个上升零点，
所以，解得，
又由函数的图象得，即，所以，
所以时，，所以.
故答案为：.
17．（2021·上海市高桥中学高三期中）已知函数的图象上关于轴对称的点恰有9对,则实数的取值范围_________.
【标准答案】
【思路指引】
求出函数关于轴对称的图像，利用数形结合可得到结论.
【详解详析】
若，则，，设为关于轴对称的图像，画出的图像，
要使图像上有至少9个点关于轴对称，即与有至少9个交点，则，且满足
，即．
则，解得，
故答案为
【名师指路】
解分段函数或两个函数对称性的题目时，可先将一个函数的对称图像求出，利用数形结合的方式得出参数的取值范围；遇到题目中指对函数时，需要讨论底数的范围，分别画出图像进行讨论.
18．（2021·上海市进才中学高一期中）已知函数的图像经过两点，当时，，则实数的取值范围是____________.
【标准答案】
【思路指引】
先求出，再化简函数，由的范围和正弦函数的图象与性质，求出的最值，由条件和恒成立列出不等式，求出实数的取值范围．
【详解详析】
已知函数的图象经过，，两点，，
．
函数，
当，时，，，，，1, ，
当时，； 当时，．
当，时，恒成立，，，
求得，
则实数的取值范围是，，
故答案为，．
【名师指路】
本题考查正弦函数的图象与性质，三角恒等变换中的公式，函数的单调性，以及恒成立与存在性问题的转化，考查转化思想，换元法、分离常数法，化简、变形能力，属于难题．
19．函数的图像与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是_________
【标准答案】
【思路指引】
先去掉绝对值符号，得出函数的解析式，再做出的图像，由图像可得两个图像要有两个不同的交点时的范围.
【详解详析】
由已知得，在坐标系中做出图像如下：
由图像可知最高点值为，最低点值为，要使在部分的图像与有两个不同的交点，则需要，
故答案为：.
.
【名师指路】
本题主要考查分段函数的概念，正弦函数图象，先去掉绝对值化简函数解析式，再由解析式画出函数的图象，结合图象确定参数的取值范围是解决此类题目的关键，属于中档题.
20．（2021·上海闵行·二模）已知函数若在区间D上的最大值存在，记该最大值为，则满足等式的实数a的取值集合是___________.
【标准答案】
【思路指引】
先确定在区间上有最大值，且，因此在区间上的最大值为. 然后按在处或处取最大值分类讨论，数形结合，进而可得结果.
【详解详析】
依题意可知，在区间上有最大值必然为，且，所以在区间上的最大值为.
（1）若在处取最大值，即，解得，此时，所以适合题意；
（2）若在处取最大值，即，解得，此时，所以适合题意.
综上可知，的取值集合是.
故答案为：.
【名师指路】
关键点点睛：本题的关键点在于确定在区间上有最大值，且，进而可得在区间上的最大值为.
三、解答题
21．已知函数，.
（1）将化为的形式（，，）并求的最小正周期；
（2）设，若在上的值域为，求实数、的值；
（3）若对任意的和恒成立，求实数取值范围.
【标准答案】（1），；（2），，或，；（3）.
【思路指引】
(1)由三角函数的恒等变换公式和正弦函数的周期的公式，即可求解；
(2)由正弦函数的图象与性质，讨论的范围，得到的方程组，即可求得的值；
（3）对讨论奇数和偶数，由参数分离和函数的最值，即可求得的范围.
【详解详析】
(1)由题意，函数
所以函数的最小正周期为.
（2）由（1）知，
当时，则，所以，
即，令，则，
函数，即，，
当时，在为单调递增函数，
可得且，即，解得；
当时，在为单调递减函数，
可得且，即，解得；
综上可得，或，；
（3）由（2）可知，当时，，
当为奇数时，，即为，即恒成立，
又由，即；
当为偶数时，，即为，即恒成立，
又由，即；
综上可得，实数满足，即实数取值范围.
【名师指路】
本题主要考查了三角恒等变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解中熟练化简函数的解析式，合理应用三角函数的图象与性质，以及利用分类讨论和分离参数求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，分离参数，以及推理与运算能力，属于中档试题.
22．（2021·上海·高一期末）已知函数（）.
（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；
（2）在区间上的最大值与最小值.
【标准答案】（1），，；（2），.
【思路指引】
（1）根据二倍角公式和辅助角公式得到，,根据正弦函数图象的性质进行解答；
（2）由定义域根据正弦函数的单调性即可求出函数在上的最大值与最小值．
【详解详析】
(1)
的最小正周期为,
令,
解得
所以单调减区间为,.
(2)当,则,
，
，
故的最大值为,最小值为-1.
【名师指路】
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属于中档题．
23．已知函数，.
（1）求的最大值和最小值；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【标准答案】（1）；；（2）.
【思路指引】
（1）由，可得，结合三角函数的性质，即可求解；
由不等式在上恒成立，转化为对恒成立，结合函数的最值，即可求解.
【详解详析】
（1）由题意，函数，
因为，可得，
所以当，即时，函数取得最大值，最大值为；
当，即时，函数取得最小值，最小值为.
由题意，不等式在上恒成立，
即不等式对恒成立，
又当时，，所以，解得，
故的取值范围是.
【名师指路】
本题主要考查了三角函数的图象与性质及其应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及不等式恒成立的求解方法，合理应用分类参数求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
24．求下列方程的解集：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）．
【标准答案】（1）或或；
（2）或；
（3）；
（4）；
（5）或；
（6）或.
【思路指引】
（1）化简方程为，解得或，即可求解；
（2）化简得到，得到或，即可求解；
（3）化简得到，解得或，即可求解；
（4）化简方程得到，求得，即可求解；
（5）根据三角函数的基本滚形式，化简得到，求得或，即可求解；
（6）由倍角公式，化简得到，求得或，进而求得方程的解集.
【详解详析】
（1）由方程，可得，
即，解得或，
可得或或，
即方程的解集为或或.
（2）由方程，
可得，即，
解得或，
即或，
当时，即，解得；
当时，即，解得.
即不等式的解集为或
（3）由，
则方程，可化为，
即，解得或，
当时，即且，解得或；
当时，即，即，
因为，可得或，
所以方程的解集为.
（4）由方程，可得，
即，可得，
因为，可得，所以，
解得，所以方程的解集为.
（5）由方程，可得，
方程两边同除以，可得，解得或，
当时，可得；
当时，可得，
综上可得，方程的解集为或；
（6）由，可得，即，
可得，解得或，
当时，可得，即；
当，即，可得，解得，
所以方程的解集为：或.
25．已知集合是满足下述性质的函数的全体：存在非零常数，对于任意的，都有成立.
（1）设函数，试证明：；
（2）当时，试说明函数的一个性质，并加以证明；
（3）若函数，求实数的取值范围.
【标准答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析；（3）.
【思路指引】
（1）取，推得，即可得所以；
（2）当时，可得，推得，即可求解；
（3）由，得到成立，根据和两种情况，结合函数的新定义，即可求解.
【详解详析】
（1）由题意，函数，
取，对于任意的，，
所以.
（2）当时，可得，所以，
即，所以是一个周期函数，周期为2.
（3）因为，所以存在非零常数，对于任意的，
都有成立，即，
①若，取，则对于恒成立是不可能的；
②若，取，则对于也不成立，所以，
当时，，整理得，
所以，解得；
当时，，整理得，
所以，解得，
综上可得，实数的取值为.
26．（2021·上海长宁·二模）设．
（1）若，求的值；
（2）设，若方程有两个解，求的取值范围．
【标准答案】（1）；（2）．
【思路指引】
（1）化简函数由正余弦二倍角公式，结合已知条件即可求解函数值；
（2）化简，根据的范围得，又因为因为在内有两解，列出不等式组即可求解参数范围．
【详解详析】
解：（1），
因为，且，
所以，
所以，
，
所以；
（2），
因为，且
，
因为在内的解为
所以解得
故的取值范围为
【名师指路】
关键点点睛：本题的解题关键在于用整体法代换求解角的取值范围从而求得参数范围．
27．（2021·上海交大附中高一期末）设函数的表达式为，其中常数．
（1）求函数的值域；
（2）设实数，满足，若对任意，不等式都成立，求的值以及方程在闭区间上的解．
【标准答案】（1）；（2），或 或.
【思路指引】
（1）先利用三角函数恒等变换公式对函数化简得，从而可求出函数的值域；
（2）对任意，不等式都成立，可得，，从而可得，，，再由可求出，，然后由解方程使其解在区间上即可
【详解详析】
（1）
所以，所以函数的值域；
（2）对任意，不等式都成立，，
所以，，
所以，可得，，
所以
因为，所以
，所以
所以或 或 ，即或 或
所以方程在闭区间上的解为或 或
28．（2021·上海外国语大学附属大境中学高三月考）设函数．
（1）求的最大值及取得最大值时x的取值集合；
（2）求在上的单调增区间；
（3）若函数与的图像关于直线对称，且在上存在唯一零点，求实数m的取值范围．
【标准答案】（1）最大值，x取值集合为；（2）和；（3）.
【思路指引】
（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简，然后根据化简结果得到最大值，并采用整体替换的方法计算出对应的取值集合；
（2）先采用整体替换的方法求解出的单调递增区间，然后对进行取值，得到在上的单调增区间；
（3）先根据对称性求解出的解析式，然后将问题转化为“的图像有唯一交点”，通过数形结合的思想求解出的取值范围.
【详解详析】
（1）
，
所以，此时，
所以的取值集合为；
（2）令，所以，
当时，可得，则单调递增区间为，
当时，可得，则单调递增区间为，
所以在上的单调增区间为：和；
（3）由题意可知：，
所以，
令，作出的图像如下图所示：
当时，，当时，，当时，，
因为在上存在唯一零点，所以方程在上有唯一实数根，
所以的图像在上有唯一交点，所以的图像在上有唯一交点，
结合图象可知，.
29．（2021·上海·高一期中）设函数．
（1）当时，用表示的最大值；
（2）当时，求的值，并对此值求的最小值；
（3）问取何值时，方程在上有两解？
【标准答案】（1）（a）；（2）或；当时，，当时，；（3）或．
【思路指引】
（1）用同角公式对化简得，设，则函数是开口向下，对称轴为的抛物线，根据二次函数的性质，对进行讨论得出答案．
（2）（a）代入（1）中的（a）的表达式即可得出结果．
（3）方程．即，，欲使方程在，上有两解．则必须，从而求出的范围即可．
【详解详析】
解：（1）
．
令，则，，
可知函数是开口向下，对称轴为的抛物线，根据二次函数的性质，当时，最大值为；当可得最大值；当时，可得最大值.故的最大值（a）．
（2）当（a）时，
；
或（与矛盾，全部舍去；
；
或．
当时，根据二次函数性质，；
②当时，根据二次函数性质，．
（3）方程
即，
即，，
令，则有，如图，根据二次函数性质可得值域为，如图所示
即，根据以上图象大致可得图象如图所示：
方程在，上有两解．
即在，上有两解，
由上图可知，
或．
【名师指路】
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用和二次函数的性质．在二次函数的性质的使用的时候要特别注意对称轴的位置．
30．（2021·上海·复旦附中高一期中）已知数的相邻两对称轴间的距离为.
（1）求的解析式；
（2）将函数的图像向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，当时，求函数的值域.
（3）对于第（2）问中的函数，记方程在，上的根从小到依次为，试确定n的值，并求的值.
【标准答案】（1）；（2）；（3），.
【思路指引】
（1）利用降幂公式与辅助角公式化简，再根据相邻两对称轴间的距离为，所以求解即可；
（2）根据三角函数的图象变换得到，再结合正弦函数的图象性质求解值域即可；
（3）结合三角函数图象，画图分析的位置，再根据对称性的性质结论求解即可
【详解详析】
（1）由题意，函数
因为函数图像的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得.
故
（2）将函数的图像向右平移个单位长度，可得的图像.
再把橫坐标缩小为原来的，得到函数的图像.
当时，，
当时，函数取得最小值，最小值为，
当时，函数取得最大值，最大值为，故函数的值域.
（3）由方程，即，即，
因为，可得，设，其中，即，
结合正弦函数的图像，
可得方程在区间有5个解，即，
其中，
即
解得
所以.编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
进阶5：三角函数图像的综合应用必考题专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．已知，且，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．在内，使成立的的取值范围是
A． B．
C． D．
3．（2021·上海市实验学校高一期中）设函数，其中，已知在上有且仅有4个零点，则下列的值中满足条件的是（ ）
A． B． C． D．
4．给出下列命题：
①函数的值域为，则；
②函数是偶函数；
③在内的单调递增区间是和；
④直线是函数的图像的一条对称轴．
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2021·上海奉贤·高一月考）已知函数．若为奇函数，为偶函数，且在至多有2个实根，则的最大值为（ ）
A．10 B．14 C．15 D．18
6．已知点，是函数上的两个不同点，且，则对于下列四个不等式：①；②；③；④. 其中正确不等式的个数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·上海市七宝中学高三月考）已知函数.给出下列结论：
①是周期函数；
② 函数图像的对称中心；
③ 若，则；
④不等式的解集为.
则正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③④ C．①③④ D．①②④
8．（2021·上海·高一期中）已知函数，若且 ，则函数取得最大值时x的可能值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·上海·位育中学高三开学考试）在中，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．以上答案都不对
10．若函数的定义域与区间的交集由个开区间组成，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021·上海奉贤·高一月考）函数满足：，，且在上具有单调性，则满足条件的取值个数为________.
12．关于的方程在上有两个不同解，则的取值范围是________
13．函数，若存在，使得对任意都有成立，则的最小值是_____________．
14．（2021·上海·高一期中）设函数，，若恰有个零点，则下述结论中：①恒成立，则的值有且仅有个；②存在，使得在上单调递增；③方程一定有个实数根，其中真命题的序号为_________.
15．（2021·上海·华师大二附中高三月考）已知函数的图象的相邻两对称轴之间的距离为，且在上恰有3个零点，则___________.
16．（2021·上海·上外浦东附中高一月考）设函数在的图像大致如图，则的最小正周期为______
17．（2021·上海市高桥中学高三期中）已知函数的图象上关于轴对称的点恰有9对,则实数的取值范围_________.
18．（2021·上海市进才中学高一期中）已知函数的图像经过两点，当时，，则实数的取值范围是____________.
19．函数的图像与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是_________
20．（2021·上海闵行·二模）已知函数若在区间D上的最大值存在，记该最大值为，则满足等式的实数a的取值集合是___________.
三、解答题
21．已知函数，.
（1）将化为的形式（，，）并求的最小正周期；
（2）设，若在上的值域为，求实数、的值；
（3）若对任意的和恒成立，求实数取值范围.
22．（2021·上海·高一期末）已知函数（）.
（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；
（2）在区间上的最大值与最小值.
23．已知函数，.
（1）求的最大值和最小值；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
24．求下列方程的解集：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）．
25．已知集合是满足下述性质的函数的全体：存在非零常数，对于任意的，都有成立.
（1）设函数，试证明：；
（2）当时，试说明函数的一个性质，并加以证明；
（3）若函数，求实数的取值范围.
26．（2021·上海长宁·二模）设．
（1）若，求的值；
（2）设，若方程有两个解，求的取值范围．
27．（2021·上海交大附中高一期末）设函数的表达式为，其中常数．
（1）求函数的值域；
（2）设实数，满足，若对任意，不等式都成立，求的值以及方程在闭区间上的解．
28．（2021·上海外国语大学附属大境中学高三月考）设函数．
（1）求的最大值及取得最大值时x的取值集合；
（2）求在上的单调增区间；
（3）若函数与的图像关于直线对称，且在上存在唯一零点，求实数m的取值范围．
29．（2021·上海·高一期中）设函数．
（1）当时，用表示的最大值；
（2）当时，求的值，并对此值求的最小值；
（3）问取何值时，方程在上有两解？
30．（2021·上海·复旦附中高一期中）已知数的相邻两对称轴间的距离为.
（1）求的解析式；
（2）将函数的图像向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，当时，求函数的值域.
（3）对于第（2）问中的函数，记方程在，上的根从小到依次为，试确定n的值，并求的值.
