编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
进阶7：三角函数的综合易错点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．函数 的最小值和最大值分别为( )
A． B． C． D．
2．下列函数中，同时满足：①在上是严格增函数；②以为周期；③是奇函数的函数是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列函数中，既是上的增函数，又是以为周期的偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
4．关于函数有下列四个结论：
①的图象关于原点对称；
②在区间上单调递增；
③的一个周期为；
④在是有四个零点
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
5．已知函数在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．下列函数中，在上递增，且周期为的偶函数是（ ）
A． B． C． D．
7．设函数，在与图象的交点中，任意连续三个交点两两相连构成一个，则以下说法错误的是（ ）
A．函数的图象与函数的图象关于直线对称
B．把函数的图象向左平移个单位得到函数的图象
C．是等腰直角三角形
D．的面积为
8．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为0 B．的最大值为2
C． D．在上有解
9．已知函数，时，有唯一解，则满足条件的的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.对于下列四种说法，正确的是
①函数的图象关于点成中心对称
②函数在上有8个极值点
③函数在区间上的最大值为，最小值为
④函数在区间上单调递增
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
二、填空题
11．已知A，B是函数的图象与函数的图象的两个不同的交点，则线段AB长度的最小值是______．
12．给出下列命题：①是奇函数；②若、都是第一象限角，且，则；③是函数的图像的一条对称轴；④已知函数，使对任意都成立的正整数的最小值是2.其中正确命题的序号是______.
13．函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则下列结论正确的是______.
①的一个周期为； ②的图象关于对称；
③是的一个零点； ④在单调递减；
14．将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上每一点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变得到的图象，当时，方程有三个实数根，且，则___________.
15．已知函数，其中表示不超过的最大整数，下列关于说法正确的有:______．
①的值域为[-1,1]
②为奇函数
③为周期函数，且最小正周期T=4
④在[0，2）上为单调增函数
⑤与的图像有且仅有两个公共点
16．给出以下命题：
①若α、β是第一象限角且，则；
②函数有三个零点；
③函数是奇函数；
④函数的周期是；
⑤函数，当时恒有解，则a的范围是.
其中正确命题的序号为____________.
17．的垂心在其内部，，，则的取值范围是________.
三、解答题
18．已知函数（，）的最大值和最小正周期相同，的图象过点，且在区间上为增函数.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在区间上只有4个零点，求b的最大值.
19．已知函数的部分图象，如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）若方程在上有两个不同的实根，试求的取值范围;
（3）若，求出函数在上的单调减区间.
20．如图所示，合肥一中积极开展美丽校园建设，现拟在边长为0.6千米的正方形地块上划出一片三角形地块建设小型生态园，点分别在边上.
（1）当点分别时边中点和靠近的三等分点时，求的余弦值；
（2）实地勘察后发现，由于地形等原因，的周长必须为1.2千米，请研究是否为定值，若是，求此定值，若不是，请说明理由.
21．已知函数，.
（1）求函数的单调增区间；
（2）若≤对任意的恒成立，求的取值范围.
22．已知函数 .
(1) 求的最小正周期和单调递增区间；
(2) 若关于的方程在上有解,求实数的取值范围.
23．已知函数 .
（1）当有是实数解时，求实数的取值范围；
（2）若，对一切恒成立，求实数的取值范围.
24．已知函数．
(I)求函数的最小正周期和单调递减区间；
(II)在中，A，B，C的对边分别为，求的值．
25．求证：＝.
26．设函数.
（1）若，求的最大值及相应的的取值范围；
（2）若是的一个零点，且，求的值和的最小正周期.
27．已知函数．
（1） 试说明函数的图象是由函数的图象经过怎样的变换得到的；
（2）若函数，试判断函数的奇偶性，并用反证法证明函数的最小正周期是；
（3）求函数的单调区间和值域.
28．已知函数，其中常数.
（1）令，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数，求函数的解析式；
（2）若在上单调递增，求的取值范围；
（3）在（1）的条件下的函数的图像，区间且满足：在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值.
29．已知函数
(1)求函数的对称轴方程；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若关于x的方程在上恰有一解，求实数m的取值范围．
30．函数f（x）=Asin（2ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示
（1）求A，ω，φ的值；
（2）求图中a，b的值及函数f（x）的递增区间；
（3）若α∈[0，π]，且f（α）=，求α的值．编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
进阶7：三角函数的综合易错点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．函数 的最小值和最大值分别为( )
A． B． C． D．
【标准答案】C
【详解详析】
2. ∴当时，，当 时， ，故选C.
2．下列函数中，同时满足：①在上是严格增函数；②以为周期；③是奇函数的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
由三角函数的单调性、周期性及奇偶性逐项判断即可得解.
【详解详析】
对于A，，该函数在上单调递减，不合题意；
对于B，，该函数在上单调递减，且为偶函数，不合题意；
对于C，，当时，，在上是增函数，
最小正周期，且为奇函数，符合题意；
对于D，，在上单调递减，不合题意.
故选：C.
3．下列函数中，既是上的增函数，又是以为周期的偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
对于A、C，都不是偶函数，不符合题意；对于B， 在区间上不是增函数，不符合题意；对于D，，根据正弦函数图象判断出结论．
【详解详析】
解：对于A、C，都不是偶函数，不符合题意；
对于B，在区间上不是增函数，不符合题意；
对于D，，是区间上的增函数，又是以为周期的偶函数，满足题意．
故选：D．
4．关于函数有下列四个结论：
①的图象关于原点对称；
②在区间上单调递增；
③的一个周期为；
④在是有四个零点
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【标准答案】A
【思路指引】
对于①，由函数的定义域和，可得函数是奇函数，再由奇函数的图象性质可判断；
对于②，当时，，化简，根据正弦函数的性质可判断；
对于③，由，以及函数的周期性的定义可判断；
对于④，令，解得，由此可判断.
【详解详析】
解：对于①，函数的定义域为R，且，
所以函数是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，故①正确；
对于②，当时，，，所以，
又因为在上单调递增，所以在上单调递增，故②正确；
对于③，因为，所以不是函数的周期，故③不正确；
对于④，在时，令，即，解得，共3个零点，故④不正确；
综上得正确命题的编号为：①②，
故选：A.
5．已知函数在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
根据题意若要函数在区间内没有零点，由，又因为，所以或，化简即可得解.
【详解详析】
由，且，
所以，
由题意可得或，
解得或 ，
因为，
所以或者，
故选：D
6．下列函数中，在上递增，且周期为的偶函数是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
由三角函数的单调性、奇偶性、周期性逐一判断即可.
【详解详析】
对于A，是奇函数，故A不符合题意；
对于B，为偶函数，周期，但其在上单调递减，故B不符合题意；
对于C，是奇函数，故C不符合题意；
对于D，是偶函数，周期，在单调递增，故D符合题意.
故选：D
7．设函数，在与图象的交点中，任意连续三个交点两两相连构成一个，则以下说法错误的是（ ）
A．函数的图象与函数的图象关于直线对称
B．把函数的图象向左平移个单位得到函数的图象
C．是等腰直角三角形
D．的面积为
【标准答案】C
【思路指引】
对选项A，根据即可判断A正确，对选项B，根据即可判断B正确，对选项C，首先根据题意得到，从而得到，再计算长度即可判断C错误；对选项D，计算面积即可判断D正确.
【详解详析】
对选项A，，
所以函数的图象与函数的图象关于直线对称，选项正确；
对选项B，由于，B选项正确；
对选项C，令，
令得连续的三点：，
所以，
，.
所以不是等腰直角三角形，选项错误；
对选项D，，D选项正确．
故选：C
8．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为0 B．的最大值为2
C． D．在上有解
【标准答案】C
【思路指引】
可得，得出是以为周期的函数，故只需考虑即可.
【详解详析】
，
是以为周期的函数，
当时，，
则，，
根据函数的周期性可得的最小值为1，最大值为，故AB错误，
在上无解，故D错误，
，故C正确.
故选：C.
【名师指路】
本题考查三角函数的应用，解题的关键是得出是以为周期的函数，故只需考虑即可.
9．已知函数，时，有唯一解，则满足条件的的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【标准答案】B
【思路指引】
对ω进行分类讨论，当，通过可确定的范围，由，得到，从而得到，再根据ω∈Z，可得的值；当时,同理可得的值.
【详解详析】
当时,
∵有唯一解，根据正弦函数的图象可得
，解得
又
当时,
解得,
又,
综上所述,
故选：B .
【名师指路】
本题主要考查三角函数的图象与性质，求三角函数的值时，利用函数图像求出的范围，即可求得值，属于中等题.
10．将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.对于下列四种说法，正确的是
①函数的图象关于点成中心对称
②函数在上有8个极值点
③函数在区间上的最大值为，最小值为
④函数在区间上单调递增
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
【标准答案】B
【详解详析】
，将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的图象.对于①，，故函数的图象不关于点成中心对称，所以①错误；对于②，由得，结合函数图象可得在上有8个极值点，所以②正确；对于③，由，得，则，所以的最大值为，最小值为，所以③正确；对于④，当时，，故函数在区间上不单调， 所以④错误.故选B．
二、填空题
11．已知A，B是函数的图象与函数的图象的两个不同的交点，则线段AB长度的最小值是______．
【标准答案】
【思路指引】
求得在一个周期内的两个交点坐标，由此求得长度的最小值.
【详解详析】
和的周期为，由得，在时，有或，记得或，不妨设，所以长度的最小值为.
故答案为：
【名师指路】
本小题主要考查正弦函数与余弦函数，考查两点间的距离公式.
12．给出下列命题：①是奇函数；②若、都是第一象限角，且，则；③是函数的图像的一条对称轴；④已知函数，使对任意都成立的正整数的最小值是2.其中正确命题的序号是______.
【标准答案】①③④
【思路指引】
对①，化简得可判断；对②，取特殊值可说明；对③，代入求值可判断；对④，化简，求出其最小正周期即可判断.
【详解详析】
对①，是奇函数，故①正确；
对②，如，但，故②错误；
对③，当时，，取得最大值，故③正确；
对④，，则的最小正周期为，则的最小值是2，故④正确.
故答案为：①③④.
【名师指路】
本题考查三角函数奇偶性的判断，考查三角函数的单调性和对称性以及周期性，解题的关键是正确化简，正确理解三角函数的性质.
13．函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则下列结论正确的是______.
①的一个周期为； ②的图象关于对称；
③是的一个零点； ④在单调递减；
【标准答案】①②③
【思路指引】
先由图像的平移变换推导出的解析式，再分析函数的周期、零点、对称性、单调性，判断是否正确．
【详解详析】
解：函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，
，
的一个周期为，故①正确；
的对称轴满足：，，
当时，的图象关于对称，故②正确；
由，得，
是的一个零点，故③正确；
当时，，
在上单调递增，故④错误．
故答案为：①②③．
【名师指路】
本题考查命题真假的判断，考查三角函数的平移变换、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
14．将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上每一点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变得到的图象，当时，方程有三个实数根，且，则___________.
【标准答案】
【思路指引】
先根据图象变换得到解析式并画出在上的图象，考虑这条直线与有三个交点时的对称情况，根据对称性计算出的值.
【详解详析】
由已知得，，函数与的交点分别为，由图可知关于直线对称，关于直线对称，所以
，所以
故答案为.
【名师指路】
本题考查三角函数的图象与性质的综合运用，难度一般.通过数形结合方法，将方程根数目问题转化为函数图象交点个数问题.
15．已知函数，其中表示不超过的最大整数，下列关于说法正确的有:______．
①的值域为[-1,1]
②为奇函数
③为周期函数，且最小正周期T=4
④在[0，2）上为单调增函数
⑤与的图像有且仅有两个公共点
【标准答案】③⑤
【思路指引】
根据已知分析函数f（x）＝sin（[x]）的图象和性质，逐一判断四个结论的真假，可得结论．
【详解详析】
∵表示不超过的最大整数，
∴的值域为{﹣1，0，1}，故①错误；
∵函数＝sin（[]）
∴ sin（）＝0；
sin（）＝1．不是奇函数，故②错误；
作出函数图象，如图所示：
函数y＝f（x）是周期函数，且最小正周期为4，故③正确；
在[0，2）上为单调增函数显然错误，故④错误．
与的图像有且仅有两个公共点，分别是，故⑤正确；
故真命题为：③⑤，
故答案为：③⑤．
【名师指路】
本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中分析出函数f（x）＝sin（[x]）的图象和性质，是解答的关键．
16．给出以下命题：
①若α、β是第一象限角且，则；
②函数有三个零点；
③函数是奇函数；
④函数的周期是；
⑤函数，当时恒有解，则a的范围是.
其中正确命题的序号为____________.
【标准答案】④⑤
【思路指引】
根据正切周期性，对①举反例；根据与关系，可解零点；根据奇函数定义域，判断是非奇非偶函数.
【详解详析】
对于①，令，则①错；
对于②，当有恒成立，则无零点；又为奇函数，，也无零点；则只有一个零点，则②错；
对于③，求定义域，则定义域为定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数，则③错误；
对于④，函数是函数向下平移个单位，再沿轴将下方图像翻折到轴上方，故，则④正确
对于⑤，
当，，，
使恒有解，则恒有根
，，则⑤正确
故答案为：④⑤
【名师指路】
本题考查，正切函数周期性、奇偶性定义、翻折变换、三角函数有界性，综合性较强，考查计算能力，有一定难度.
17．的垂心在其内部，，，则的取值范围是________.
【标准答案】
【思路指引】
在中，设，且，得处，利用三角函数的图象与性质，即可求解.
【详解详析】
在为锐角三角形，
设，且，
所以，
所以，
又由，则，
所以，即的取值范围是.
【名师指路】
本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，其中解答中设，得到，利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，试题综合性强，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
三、解答题
18．已知函数（，）的最大值和最小正周期相同，的图象过点，且在区间上为增函数.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在区间上只有4个零点，求b的最大值.
【标准答案】；（2）
【思路指引】
（1）根据条件先求，再根据，求，最后再验证值，确定函数的解析式；（2）根据条件求函数的零点，确定的最大值应是第5个零点.
【详解详析】
（1）函数的最大值是2，,函数的周期，
即，
，且，或，
当时，，当时， ，满足条件；
当时，，当时， ，所以函数在区间上为减函数，所以舍去，
所以函数；
（2），得，
，解得：，
或，解得：，
函数在区间上只有4个零点，
这四个零点应是，，，，
那么的最大值应是第5个零点，即，
所以的最大值是.
【名师指路】
关键点点睛：本题第一问注意求出两个 后需验证是否满足条件，第二个关键点是，注意是开区间，开区间内只有四个零点，则的最大值是第5个零点.
19．已知函数的部分图象，如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）若方程在上有两个不同的实根，试求的取值范围;
（3）若，求出函数在上的单调减区间.
【标准答案】（1）；（2）；（3）
【思路指引】
（1）根据图象可得最小正周期，求得；根据最大值和最小值确定；由，结合的范围可求得的取值，从而得到解析式；（2）将问题转化为与的图象在上有两个交点，通过数形结合的方式可确定的取值范围；（3）根据复合函数单调性的判断可将问题转化为求解的单调递增区间；根据（2）中的图象，分别讨论每一段单调区间对应的的单调性，进而求得结果.
【详解详析】
（1）由图象可知：最小正周期，解得：
，
，
，
（2）方程在上有两个不同的实根等价于与的图象在上有两个交点
如图为函数在上的图象
当时，，当时，，
由图中可以看出当与有两个交点时，
（3）当时，为减函数
求函数在上的单调减区间即求函数的单调递增区间
①当时，单调递增，此时
在上单调递减，不符合题意
②当时，单调递减
当时，；当时，
在上单调递增
③当时，单调递增，此时
在上单调递减，不符合题意
综上所述：在上的单调递减区间为
【名师指路】
本题考查根据三角函数图象求解解析式、根据方程根的个数求解参数范围、复合函数单调区间的求解等知识；根据方程根的个数求解参数范围的常用方法是将问题转化为函数交点个数问题，通过数形结合的方式来进行求解.
20．如图所示，合肥一中积极开展美丽校园建设，现拟在边长为0.6千米的正方形地块上划出一片三角形地块建设小型生态园，点分别在边上.
（1）当点分别时边中点和靠近的三等分点时，求的余弦值；
（2）实地勘察后发现，由于地形等原因，的周长必须为1.2千米，请研究是否为定值，若是，求此定值，若不是，请说明理由.
【标准答案】（1）；（2）.
【思路指引】
（1）分别表示出和，根据公式得到的值，然后得到的值，从而得到的值；（2）设，表示出，表示出，再利用公式表示出，整理化简后得到定值，所以为定值，所以得到为定值.
【详解详析】
（1）由题意可知，
所以，
由题意可知，所以，
所以.
（2）设，所以
在直角三角形中，
所以，
整理得
，
所以
将代入上式可得，
所以，
所以为定值.
【名师指路】
本题考查几何图形里正切的表示，两角和的正切公式，属于中档题.
21．已知函数，.
（1）求函数的单调增区间；
（2）若≤对任意的恒成立，求的取值范围.
【标准答案】（1）；（2）
【思路指引】
（1）利用二倍角公式和辅助角公式将整理为，将整体对应的单调增区间，求出的范围即可；（2）将问题转化为，通过还原将问题转化为，；根据单调性求得，从而得到结果.
【详解详析】
（1）
由得：
单调增区间为：
（2）由得：
当时，
令，则
，
又在单调递增
【名师指路】
本题考查的单调区间的求解、与三角函数有关的恒成立问题.解决恒成立问题的关键是通过分离变量的方式将问题转化为变量与函数最值之间的关系，需要注意的是自变量的取值范围.
22．已知函数 .
(1) 求的最小正周期和单调递增区间；
(2) 若关于的方程在上有解,求实数的取值范围.
【标准答案】(1)，单调递增区间为.(2).
【详解详析】
试题分析：
(1)整理函数的解析式可得，据此可得函数的最小正周期，单调递增区间为.
(2)由题意可得，结合(1)中的函数解析式可知的值域为.而，故.
试题解析：
(1)
，
最小正周期，
函数的单调递增区间满足：，
解得的单调递增区间为.
(2)，所以，
，
所以的值域为.
而，所以，即.
点睛：求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在区间[a，b]上值域的一般步骤：
第一步：三角函数式的化简，一般化成形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式或y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式．
第二步：由x的取值范围确定ωx＋φ的取值范围，再确定sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的取值范围．
第三步：求出所求函数的值域(或最值)．
23．已知函数 .
（1）当有是实数解时，求实数的取值范围；
（2）若，对一切恒成立，求实数的取值范围.
【标准答案】（1）；（2）
【详解详析】
试题分析：
（1）由题意可知实数的取值范围为函数的值域，结合三角函数的范围和二次函数的性质可知时函数取得最小值，当时函数取得最大值，实数的取值范围是.
（2）由题意可得时函数取得最大值，当时函数取得最小值，原问题等价于，求解不等式组可得实数的取值范围是.
试题解析：
（1）因为，可化得，
若方程有解只需实数的取值范围为函数的值域，
而，又因为，
当时函数取得最小值，
当时函数取得最大值，
故实数的取值范围是.
（2）由，
当时函数取得最大值，
当时函数取得最小值，
故对一切恒成立只需，解得，
所以实数的取值范围是.
点睛：二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
24．已知函数．
(I)求函数的最小正周期和单调递减区间；
(II)在中，A，B，C的对边分别为，求的值．
【标准答案】(1) , (2)
【详解详析】
试题分析：(1) 周期为，因为 解不等式即得单调递减区间（2）因为，所以 由余弦定理 得①又因为，所以 ② 由①，②可得的值．
试题解析：
(1)周期为
因为
所以，
所以函数的单减区间为
（2）因为，所以
所以，①
又因为，所以 ②
由①，②可得
25．求证：＝.
【标准答案】证明见解析
【详解详析】
试题分析：方法一 ：从左边证到右边，先切化弦通分用两角差公式积化和差得证；方法二从右边证到左边，先和差化积 用两角差公式 裂项切化弦得证.
.
试题解析：方法一
＝.
∴原式成立．
方法二
.
∴原式成立．
26．设函数.
（1）若，求的最大值及相应的的取值范围；
（2）若是的一个零点，且，求的值和的最小正周期.
【标准答案】（1）的最大值为，相应x的取值集合为；（2）最小正周期是π.
【思路指引】
利用诱导公式和两角差的正弦公式化函数为．
（1），利用正弦函数的最大值可得的最大值；
（2）题意说明，从而，，由可得结论．
【详解详析】
（1）当时，
所以的最大值为，相应x的取值集合为
（2）因为
整理得,
又
所以
∴最小正周期Tπ．
【名师指路】
本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用．属于基础题．
27．已知函数．
（1） 试说明函数的图象是由函数的图象经过怎样的变换得到的；
（2）若函数，试判断函数的奇偶性，并用反证法证明函数的最小正周期是；
（3）求函数的单调区间和值域.
【标准答案】（1）见解析；（2）偶函数，周期的证明见解析；（3）值域是，增区间为，减区间为．
【思路指引】
（1）先由二倍角公式和两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后根据三角函数图象变换的规律求解；
（2）求出的表达式，由奇偶性定义判断奇偶性，用反证法证明周期性；
（3）根据（2）中得出的性质，在一个周期内求出函数的值域，即得函数在定义域内值域，求出一个周期内单调区间，根据函数的周期性可得所有单调区间（但要注意区间的连续性）．
【详解详析】
（1）由题意，
把图象向右平移个单位得的图象，再把所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得的图象，最后将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，得的图象．
（2），
，∴是偶函数，
，是的一个周期，下面用反证法证明是最小正周期，
假设存在是的最小正周期，即恒成立，，
则，，
，
当时，，则，∴，即这与矛盾，∴假设错误，
∴是的最小正周期．
（3）由（2），当时，，
由得，，
∴，，
此时当时，，单调递增，当时，，单调递减，
∵的最小正周期是，∴时，函数的值域是．
增区间为，减区间为．
【名师指路】
本题考查二倍角公式，两角和与差的正弦公式，考查三角函数的图象变换，考查函数的周期性与单调性．三角函数图象变换时要注意先相位变换后周期变换与先周期变换后相位变换时平移的单位不相同.三角函数是周期函数，研究它的性质有时可以在一个周期内研究，如求值域、单调区间、零点等等，然后加上周期的整数倍即可扩充到整个实数集上．但有些性质在一个周期上研究还不能得出正确结论，如对称性（对称轴，对称中心），除在含有一个周期的区间内的对称性外还必须考虑区间的端点处有没有相应的对称性．
28．已知函数，其中常数.
（1）令，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数，求函数的解析式；
（2）若在上单调递增，求的取值范围；
（3）在（1）的条件下的函数的图像，区间且满足：在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值.
【标准答案】（1）；（2）；（3）
【思路指引】
（1）根据正弦函数平移“左加右减、上加下减”的法则即可求得；
（2）利用范围可求得的范围，根据单调性可得不等式组，解不等式组求得；由可求得，两个范围取交集得到最终结果；
（3）令可求得零点，进而得到相邻零点之间的距离；若最小，知均为零点，此时在恰有个零点，从而得到在至少有一个零点；根据相邻零点之间距离即可得到满足的条件，进而求得所求的最小值.
【详解详析】
（1）
，即
（2） 当时，
，，解得：，
又
即的取值范围为
（3）令得：
或，
解得：或，
相邻两个零点之间的距离为或
若最小，则均为的零点，此时在区间，，…，分别恰有个零点
在区间恰有个零点 至少有一个零点
，即
检验可知，在恰有个零点，满足题意
的最小值为
【名师指路】
本题考查三角函数值知识的综合应用，涉及到三角函数的平移变换、根据三角函数在区间内的单调性求解参数范围、根据零点个数求解参数范围的问题；难点在于求解最小值时，能够通过确定临界状态，即至少有一个零点的区间，进而根据相邻零点之间的距离得到所求参数所满足的关系式，进而得到结果，属于较难题.
29．已知函数
(1)求函数的对称轴方程；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若关于x的方程在上恰有一解，求实数m的取值范围．
【标准答案】（1）对称轴方程为；（2）
【思路指引】
（1）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的对称性，求得函数f（x）的对称轴方程．
（2）由题意sin（2x﹣）＝ 在[0， ）上恰有一解，再利用正弦函数的单调性，结合函数y＝sin（2x﹣） 的图象，求得实数m的取值范围．
【详解详析】
（1）∵函数f（x）＝2sinxcosx+2sin（x+）cos（x+）＝sin2x+sin（2x+）＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），
∴令2x+＝kπ+，求得x＝，k∈Z，故函数f（x）的对称轴方程为x＝，k∈Z．
（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）＝2sin（2x﹣+）＝2sin（2x﹣）的图象，
若关于x的方程g（x）﹣1＝m在[0，）上恰有一解，即2sin（2x﹣）＝1+m 在[0，）上恰有一解，
即sin（2x﹣）＝ 在[0，）上恰有一解．
在[0，）上，2x﹣∈[﹣，），
函数y＝sin（2x﹣），当2x﹣∈[﹣，]时，单调递增；当2x﹣∈[，]时，单调递减，
而sin（﹣）＝﹣，sin＝1，sin（）＝，
∴﹣≤＜，或＝1，求得﹣﹣1≤m＜-1，或m＝1，
即实数m的取值范围[﹣﹣1，﹣1）∪{1}．
【名师指路】
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的对称性，正弦函数的单调性，属于中档题．
30．函数f（x）=Asin（2ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示
（1）求A，ω，φ的值；
（2）求图中a，b的值及函数f（x）的递增区间；
（3）若α∈[0，π]，且f（α）=，求α的值．
【标准答案】（1）；（2），递增区间为；（3）或.
【思路指引】
（1）利用函数图像可直接得出周期T和A，再利用，求出，
然后利用待定系数法直接得出的值．
（2）通过第一问求得的值可得到的函数解析式，令，再根据a的位置确定出a的值；令得到的函数值即为b的值；利用正弦函数单调增区间即可求出函数的单调增区间．
（3）令结合即可求得的取值．
【详解详析】
解：（1）由图象知A=2，=-（-）=，
得T=π，
即=2，得ω=1，
又f（-）=2sin[2×（-）+φ]=-2，
得sin（-+φ）=-1，
即-+φ=-+2kπ，
即ω=+2kπ，k∈Z，
∵|φ|＜，
∴当k=0时，φ=，
即A=2，ω=1，φ=；
（2）a=--=--=-，
b=f（0）=2sin=2×=1，
∵f（x）=2sin（2x+），
∴由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，
得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，
即函数f（x）的递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z；
（3）∵f（α）=2sin（2α+）=，
即sin（2α+）=，
∵α∈[0，π]，
∴2α+∈[，]，
∴2α+=或，
∴α=或α=．
【名师指路】
关于三角函数图像需记住：
两对称轴之间的距离为半个周期；
相邻对称轴心之间的距离为半个周期；
相邻对称轴和对称中心之间的距离为个周期．
关于正弦函数单调区间要掌握：
当时，函数单调递增；
当时，函数单调递减．
