编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
进阶8：三角函数单元综合提优专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·上海·高一期末）已知、均为锐角，且，则、的大小关系是
A． B． C． D．不能确定
2．若是周期为π的奇函数，则可以是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·上海·高一期中）若函数是定义在上的减函数，又是锐角三角形的两个内角，则
A． B．
C． D．
4．已知函数在上恰有4个零点，则正整数的值为（ ）
A．2或3 B．3或4 C．4或5 D．5或6
5．（2021·上海·高一期末）设函数，，值域为，则以下结论错误的是（ ）
A．的最小值为 B．a不可能等于，
C．的最大值为 D．b不可能等于，
6．（2021·上海·高一期中）已知函数，若函数的所有零点依次记为，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·上海·高一期末）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．（2021·上海·高一期中）关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数为奇函数 B．是函数的周期
C．函数的值域为 D．函数在区间上单调递减
9．已知函数是以5为周期的奇函数，若，，则等于（ ）
A．4 B． C．3 D．
10．若，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．若函数，则满足且的函数可以是______.（写出一个即可）
12．函数的值域是_____.
13．（2021·上海·复旦附中高一期中）函数在上的值域是___________.
14．（2021·上海·高一期末）已知函数，若函数的所有零点依次记为且，，若，则__________.
15．（2021·上海·高一期末）将函数的图象向右平移 个单位后得到函数的图象，若对满足的、，有的最小值为，则______．
16．（2021·上海·高一期末）已知是定义在R上的奇函数，且时，单调递增，已知设集合集合则________.
17．（2021·上海·高一期末）函数在区间上的最大值为，则的值是_____________.
18．用表示函数在闭区间I上的最大值．若正数a满足，则a的最大值为________．
19．（2021·上海·高一期末）已知函数 ，记方程在上的根从小到大依次为，，，求=____.
20．（2021·上海市行知中学高一月考）若，，且，则______（提示：在上严格增函数）
三、解答题
21．如图，函数的图像过点.
（1）求证：，并写出的解析式；
（2）指出函数的单调增区间；
（3）解方程.
22．如图，直角坐标系建立在湖泊的某一恰当位置，现准备在湖泊的一侧修建一条观光大道，它的前一段是以为圆心，为半径的圆弧，后一段是函数，时的图像，图像的最高点为.
（1）求函数的解析式；
（2）若在湖泊内修建如图的矩形水上乐园，其中折线为水上赛艇线路，问点落在圆弧上何处时赛艇线路最长？
23．如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形.记，矩形的面积为.
（1）求与之间的函数关系式；
（2）当取何值时，最大？并求出的最大值.
24．设函数，已知的图像与轴相邻两个交点的距离为，且图像关于点对称.
（1）求的解析式；
（2）求不等式的解集.
25．函数(，，)的图像如图所示，其图像经过点，.
（1）求出此函数的解析式以及函数的单调递增区间；
（2）是否存在实数，满足不等式？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
26．已知定义在区间上的函数的图象关于直线对称，当时，函数.
（1）求，的值；
（2）求的表达式；
（3）若关于的方程有解，那么将方程在取某一确定值时所求得的所有解的和记为，求的所有可能值及相应的取值范围.
27．对于任意给定的实数，函数在区间上至少有一个最大值和一个最小值，求正整数的最小值.
28．（2021·上海·高一期末）设函数为偶函数.
（1） 求的值；
（2）若的最小值为，求的最大值及此时的取值；
（3）在（2）的条件下，设函数，其中.已知在处取得最小值并且点是其图象的一个对称中心，试求的最小值.
29．已知函数．
（1）若对恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，求函数在上零点的个数．
30．（2021·上海·高一期中）已知函数.
（1）求证：是奇函数；
（2）若对任意，恒有，求实数a的取值范围.编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
进阶8：三角函数单元综合提优专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·上海·高一期末）已知、均为锐角，且，则、的大小关系是
A． B． C． D．不能确定
【标准答案】A
将等式化简，根据三角函数有界性，利用不等式以及的单调性判断出、的大小关系.
【详解详析】
因为，所以，
所以，所以，
所以，
又因为，所以，
所以，所以，
又因为在上递增，且，
所以.
故选：A.
【名师指路】
本题考查三角函数的综合应用，难度一般.(1)分析角的大小，可通过相应的三角函数的单调性进行分析；(2)注意借助三角函数的有界性进行不等式的放缩.
2．若是周期为π的奇函数，则可以是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
结合选项，利用三角恒等变换的公式化简，应用三角函数的性质，逐项判定，即可求解.
【详解详析】
由题意，若，则为偶函数，不符合题意；
若，则，奇函数且周期为，符合题意；
若，则为偶函数，不符合题意；
若，则周期为，不符合题意.
故选：B.
【名师指路】
本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及三角函数的恒等变换的应用，着重考查了推理与运算能力.
3．（2021·上海·高一期中）若函数是定义在上的减函数，又是锐角三角形的两个内角，则
A． B．
C． D．
【标准答案】D
依题意只需判断各选项中自变量的大小，由已知可得，根据正弦函数的单调性，得出的大小关系，即可求解.
【详解详析】
是锐角三角形的两个内角，，
在为增函数，
，
又函数是定义在上的减函数，
.
故选：D.
【名师指路】
本题考查抽象函数的函数值大小关系，利用函数的单调性，以及判断锐角三角形中角的三角函数大小是解题的关键，属于中档题.
4．已知函数在上恰有4个零点，则正整数的值为（ ）
A．2或3 B．3或4 C．4或5 D．5或6
【标准答案】C
根据函数的图象特征及周期性，得到求解.
【详解详析】
因为函数在上恰有4个零点，
所以，
解得，
所以正整数的值为4或5.
故选：C.
【名师指路】
本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
5．（2021·上海·高一期末）设函数，，值域为，则以下结论错误的是（ ）
A．的最小值为 B．a不可能等于，
C．的最大值为 D．b不可能等于，
【标准答案】D
【思路指引】
作出正弦函数y = sinx的图象，并加以观察并根据函数的单调性对A、B、 C、D各项的结论进行推理论证，结合取特殊的a、b值检验，可得选项.
【详解详析】
解：作出正弦函数y = sinx的图象，加以观察得：
对于A，当时，函数在上单调递增，此时函数的最小值为，函数的最大值，
此时函数的值域为，达到最小值，故A正确；
对于B，如果，由于没有达到最小值-1，则才能出现函数的最小值-1.而此时函数的最大值为1，而不是，与题设矛盾，因此，故B正确；
对于C，当时，函数在上先单调递增，再单调递减，此时函数的最小值为，函数的最大值，
此时函数的值域为，达到最大值，故C正确；
对于D，当时，此时函数的值域为，所以b可能等于，，故D不正确；
故选：D.
【名师指路】
本题给出正弦函数的几个结论要求找出其中的假命题，考查了正弦函数的图象与性质等知识，属于中档题.
6．（2021·上海·高一期中）已知函数，若函数的所有零点依次记为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
先求出的对称轴为和周期，然后可求出在上有8条对称轴，再利用正弦函数的图像和性质，可得，从而可求得结果.
【详解详析】
令，得，即对称轴为.
函数周期，令，可得.
则函数在上有8条对称轴.
根据正弦函数的性质可知，
将以上各式相加得：
故选：C.
【名师指路】
此题考查正弦函数的图像和性质，主要利用正弦函数图像的对称性，属于中档题.
7．（2021·上海·高一期末）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【标准答案】D
根据函数的图象求出函数的周期，然后可以求出，通过函数经过的最大值点求出值，即可得到结果.
【详解详析】
由函数的图象可知:，.
当，函数取得最大值1，所以，，
，，
故选：D.
【名师指路】
本题主要考查了由三角函数的图象求解析式，通过周期求的值，通过最值点求的值是解题的关键，属于基础题.
8．（2021·上海·高一期中）关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数为奇函数 B．是函数的周期
C．函数的值域为 D．函数在区间上单调递减
【标准答案】D
【思路指引】
利用奇偶性定义判断选项A错误；用周期定义验证选项B错误；去绝对值化简函数，分段计算得到函数值域判断C错误；利用整体代入法判断单调性即判断D正确.
【详解详析】
，可得函数为偶函数，A错误；
，若，必有.
但当时，，，即，故B错误；
当时，，可得函数的值域为，故C错误；
选项D中，时，，，故函数，根据正弦函数图象特征可知单调递减，故D正确.
故选：D.
【名师指路】
关键点点睛：
本题的解题关键在于熟知奇偶性和周期性定义，并准确去绝对值化简正弦型函数，才能结合三角函数性质突破难点.
9．已知函数是以5为周期的奇函数，若，，则等于（ ）
A．4 B． C．3 D．
【标准答案】B
【思路指引】
先用二倍角公式将化为，然后将代入，最后利用函数的奇偶性和周期性即可解得.
【详解详析】
，因为函数为奇函数且周期为5，所以.
故选：B.
10．若，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
将等式左边用辅助角公式化简得到左边的取值范围，则等式右边也在这个范围，最后解不等式即可.
【详解详析】
∵，
∴
所以.
故选：B.
二、填空题
11．若函数，则满足且的函数可以是______.（写出一个即可）
【标准答案】（答案不唯一）.
【思路指引】
先分析得到函数奇偶性以及周期性，由此联想到三角函数，写出符合条件的一个函数解析式即可.
【详解详析】
因为，所以为偶函数，
又因为，所以，
所以是周期函数且一个周期为，
此处可想到余弦型函数，，所以可取，
所以满足题意的一个函数可以是：，
故答案为：（答案不唯一）.
12．函数的值域是_____.
【标准答案】
【思路指引】
原函数可变形为，由三角函数的有界限和不等式的性质可得．
【详解详析】
解：，
，，
，
，
函数的值域是，
故答案为：，．
13．（2021·上海·复旦附中高一期中）函数在上的值域是___________.
【标准答案】
【思路指引】
化简解析式后，利用正弦函数与二次函数的性质求解.
【详解详析】
令，则，
因为的对称轴方程为，
所以
所以，所以，
所以函数在上的值域是，
故答案为：
14．（2021·上海·高一期末）已知函数，若函数的所有零点依次记为且，，若，则__________.
【标准答案】
【详解详析】
由题意，令，解得.
∵函数的最小正周期为，，
∴当时，可得第一个对称轴，当时，可得.
∴函数在上有条对称轴
根据正弦函数的图象与性质可知：函数与的交点有9个点，即关于对称，关于对称，…，即，，…，.
∵
∴
∴
故答案为.
点睛：本题考查了三角函数的零点问题，三角函数的考查重点是性质的考查，比如周期性，单调性，对称性等，处理抽象的性质最好的方法结合函数的图象，本题解答的关键是根据对称性找到与的数量关系，本题有一个易错点是，会算错定义域内的交点的个数，这就需结合对称轴和数列的相关知识，防止出错.
15．（2021·上海·高一期末）将函数的图象向右平移 个单位后得到函数的图象，若对满足的、，有的最小值为，则______．
【标准答案】或
【思路指引】
先求解的解析式，根据可知一个取得最大值一个是最小值，不妨设取得最大值，取得最小值，结合三角函数的性质的最小值为，即可求解的值；
【详解详析】
由函数的图象向右平移，可得
不妨设取得最大值，取得最小值，
，，．
可得
的最小值为，即．
得或
故答案为或．
【名师指路】
本题主要考查由函数的解析式，函数的图象变换规律，属于中档题．
16．（2021·上海·高一期末）已知是定义在R上的奇函数，且时，单调递增，已知设集合集合则________.
【标准答案】
【思路指引】
由已知可得：时，，时，，将转化成或，即可将转化成：，即可转化成：成立，令，整理得：，再利用基本不等式即可得解．
【详解详析】
因为是定义在R上的奇函数，时，单调递增,且
所以时，，时，，
所以可化为：或，
所以集合可化为：
集合，
所以
即：恒成立.
即：恒成立，即：
记，令，则,且，代入得：
，当且仅当时，等号成立．
所以，
所以，
所以
【名师指路】
本题主要考查了奇函数的应用及函数单调性的应用，还考查了交集运算及参变分离法解决恒成立问题，还考查了换元法、转化思想及利用基本不等式求最值，属于难题．
17．（2021·上海·高一期末）函数在区间上的最大值为，则的值是_____________.
【标准答案】
【思路指引】
利用同角三角函数平方关系，易将函数化为二次型的函数，结合余弦函数的性质，及函数在上的最大值为1，易求出的值．
【详解详析】
函数
又函数在上的最大值为1，
≤0，
又,
且在上单调递增，
所以
即．
故答案为：
【名师指路】
本题考查的知识点是三角函数的最值，其中利用同角三角函数平方关系，将函数化为二次型的函数，是解答本题的关键，属于中档题．
18．用表示函数在闭区间I上的最大值．若正数a满足，则a的最大值为________．
【标准答案】
【思路指引】
分类讨论，根据正弦函数的图象与性质求出、，代入不等式求解a的取值范围即可.
【详解详析】
①当时，，
若，则，此时不成立；
②当时，，
若，则，又，解得；
③当时，，
若，则，又，解得；
④当时，，，，不符合题意.
综上所述，，即a的最大值为.
故答案为：
【名师指路】
本题考查正弦函数的图象与性质，考查逻辑推理能力、直观想象能力，属于中档题.
19．（2021·上海·高一期末）已知函数 ，记方程在上的根从小到大依次为，，，求=____.
【标准答案】
【思路指引】
由已知写出的对称轴方程及其周期，判断端点、的值，问题转化为在上与的交点问题，画出函数图象的草图即可确定根，进而根据目标表达式及对称轴求值.
【详解详析】
由，则，而，知：关于对称，
又最小正周期为，，
∴在上的函数图象如下，其与的交点横坐标，即为的根，，，，，，
∴如图，区间内共有6个根，且有，
∴.
故答案为：.
【名师指路】
关键点点睛：转化为两个函数在某闭区间上的交点问题，结合正弦函数的性质得到草图，应用数形结合的方法确定根及各根之间的对称轴.
20．（2021·上海市行知中学高一月考）若，，且，则______（提示：在上严格增函数）
【标准答案】1
【思路指引】
根据已知条件先分析的单调性和奇偶性，然后将已知等式变形可得，根据单调性奇偶性可知的关系，则结果可求.
【详解详析】
因为，所以，
所以，所以且，
设，在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
又因为，定义域关于原点对称，
所以为奇函数，
由可知，所以，
所以，所以，所以，
故答案为：.
【名师指路】
思路点睛：利用函数单调性和奇偶性解形如的等式的思路：
（1）利用奇偶性将等式变形为；
（2）根据单调性得到与的等量关系；
（3）结合函数定义域完成相关计算.
三、解答题
21．如图，函数的图像过点.
（1）求证：，并写出的解析式；
（2）指出函数的单调增区间；
（3）解方程.
【标准答案】（1）证明见解析，；（2）；（3）或.
【思路指引】
（1）根据图形可求得和周期，进而得出，再将代入可求得；
（2）令可求得单调递增区间；
（3）根据正弦函数的性质即可求解.
【详解详析】
（1）证明：由图知，，∴，∴.
∵过点，∴，∴，又∵，∴或.
若，由，∴.
取知的第一个最值为最小值而不是最大值，∴.
此时.
（2）令，解得，
所以的单调递增区间为；
（3）即，即，
则或，，
则或
故方程的解集为或.
22．如图，直角坐标系建立在湖泊的某一恰当位置，现准备在湖泊的一侧修建一条观光大道，它的前一段是以为圆心，为半径的圆弧，后一段是函数，时的图像，图像的最高点为.
（1）求函数的解析式；
（2）若在湖泊内修建如图的矩形水上乐园，其中折线为水上赛艇线路，问点落在圆弧上何处时赛艇线路最长？
【标准答案】（1），；（2）当点坐标为时赛艇线路最长.
【思路指引】
（1）由图可知，，即可求出，将代入可求；
（2）求出的坐标，连接，设，将赛艇线路长表示为关于的三角函数形式，即可根据三角函数性质求解.
【详解详析】
（1）由图象知，，即，则，
将代入，则，
则，又，，
所以，；
（2）在中令，得，∴.
连接，设，，则.
设赛艇线路长为，则，
当时，有最大值，此时.
所以当点坐标为时赛艇线路最长.
23．如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形.记，矩形的面积为.
（1）求与之间的函数关系式；
（2）当取何值时，最大？并求出的最大值.
【标准答案】（1）；（2）时，.
【思路指引】
（1）根据直角三角形得出，，即可表示出面积；
（2）根据三角函数的性质即可求出.
【详解详析】
（1）在中，，，在中，，
∴，∴，
∴
.
（2）由得，所以当，即时，.
24．设函数，已知的图像与轴相邻两个交点的距离为，且图像关于点对称.
（1）求的解析式；
（2）求不等式的解集.
【标准答案】（1）；（2）.
【思路指引】
（1）由题意求出函数的周期，代入周期公式求得，再图象关于点对称．求得，则函数解析式可求；
（2）由已知求得，利用正切函数的图象及性质即可求得的取值集合．
【详解详析】
解：（1）函数的图象与轴相邻两交点的距离为，即，，
，
图象关于点对称．，，
，，
则．
（2）由（1）知，．
由，
得，，
即，，
不等式的解集为，．
25．函数(，，)的图像如图所示，其图像经过点，.
（1）求出此函数的解析式以及函数的单调递增区间；
（2）是否存在实数，满足不等式？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
【标准答案】（1），单调递增区间为()；（2）存在，.
【思路指引】
（1）代入，坐标，求出的表达式和的值，利用周期的范围确定，从而求得解析式.
（2）由定义域求出，从而确定，的范围，构造函数，利用其单调区间求解即可.
【详解详析】
（1）由题意得，代入点，则有，.又代入可得：
，即，解得，注意到，即，
从而，因此，即.
当，即时，原函数单调递增.
所以原函数的单调递增区间为().
（2）依题意，满足，解得.
因为，所以，同理.
设
令
故可知在区间上为增函数
，
只需要，即成立即可，
所以存在，使成立.
【名师指路】
已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
26．已知定义在区间上的函数的图象关于直线对称，当时，函数.
（1）求，的值；
（2）求的表达式；
（3）若关于的方程有解，那么将方程在取某一确定值时所求得的所有解的和记为，求的所有可能值及相应的取值范围.
【标准答案】（1）（2）；（3）①，②，③，④
【详解详析】
分析：（1）已知定义在区间[,π]上的函数y=f(x)的图象关于直线x=对称，我们易得，结合条件等式即可得解，（2）根据在区间[,π]上的函数y=f(x)的图象关于直线x=对称， 我们可以根据函数图象对称变化的法则得出在的解析式，进而得出表达式.（3）作出函数的图象，分析函数图象得到函数的性质，分类讨论后，结合方程在a取某一直时所求得的所有解的和即为，即可得到答案.
详解：（1）=sinπ=0，=sin=.
（2）由关于直线对称，
当时，,
则
（3）画出函数图象：
，
显然，若有解，则，
点睛：本题考查的知识点是函数解析式的求法，图象变换法，根的存在性及根的个数的判断，期中根据已知函数y=f(x)的图象关于直线x=对称，根据对称变化法即可得出解析式是解本题的关键.
27．对于任意给定的实数，函数在区间上至少有一个最大值和一个最小值，求正整数的最小值.
【标准答案】
【思路指引】
结合区间的长度、函数的最小正周期、以及函数在区间上至少有一个最大值和一个最小值列不等式，解不等式求得正整数的最小值.
【详解详析】
区间的长度为，为使函数在区间上至少有一个最大值和一个最小值，则函数的最小正周期一定不大于，所以，，所以正整数的最小值为.
【名师指路】
本小题主要考查三角函数最小正周期的求法，考查三角函数的基本性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
28．（2021·上海·高一期末）设函数为偶函数.
（1） 求的值；
（2）若的最小值为，求的最大值及此时的取值；
（3）在（2）的条件下，设函数，其中.已知在处取得最小值并且点是其图象的一个对称中心，试求的最小值.
【标准答案】（1）；（2）最大值为， 此时的取值为；（3）
【思路指引】
（1）根据 是偶函数，转化为 对一切恒成立求解.
（2）由（1）得到 ， 根据最小值为， 则，得到，然后再求最大值.
（3）由（2）得到，根据在处取最小值，点是其图象的一个对称中心，，由求解.
【详解详析】
（1）因为， 是偶函数，
所以 对一切恒成立，
所以.
（2）由（1）知 ，
因为其最小值为，
所以 ，
所以，
当时，取得最大值， 此时；
（3）由（2）知：，
，
，
因为在处取最小值，且点是其图象的一个对称中心,
所以，
所以，，
所以，则，
即，
又因为，
所以，，
当时， ，
，在处取得最大值，不符合题意；
当时，，
， 在取不到最小值，，不符合题意；
当时， ，
， 在处取得最小值，
，的图象关于点中心对称，
所以的最小值为.
【名师指路】
本题主要考查三角函数性质的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于难题.
29．已知函数．
（1）若对恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，求函数在上零点的个数．
【标准答案】（1）；（2）两个.
【思路指引】
（1）令，则可得对成立，即可列式求出；
（2）由（1），解得，，可得，，即可判断零点个数.
【详解详析】
（1）令，则，．
，当时，，．
对恒成立，化为对成立．
∴对恒成立，∴，
∴，即的取值范围是．
（2）由（1）知化为，其中．
由，即得．
当时，，，，∴．
令，，则，∴．
由知，∴．∴无解，在上有两解．
∴时，函数在上有两个零点．
【名师指路】
关键点睛：本题考查函数不等式的恒成立问题，解题的关键是将不等式转化为对恒成立，考查零点个数的判断，解题的关键是转化为和解的个数.
30．（2021·上海·高一期中）已知函数.
（1）求证：是奇函数；
（2）若对任意，恒有，求实数a的取值范围.
【标准答案】（1）证明见解析；（2）.
（1）计算化简，得出即可证明；
（2）根据奇函数得出，再根据单调性得出，进而得出恒成立，令，可得，利用单调性求出的最大值即可.
【详解详析】
（1）证明：的定义城是R，又，
且，
所以，是奇函数.
（2）解：由，
得，
因为是奇函数，
所以，
即.
又因为在R上单调递增，
所以，
即，
所以，对任意，恒成立，
设，.
则.
因为函数在上单调递减，
所以，即，则，
所以，实数a的取值范围是.
【名师指路】
本题考查奇偶性和单调性的综合应用，考查不等式的恒成立问题，解题的关键是利用函数是奇函数和单调递增得出恒成立，换元得出，再利用单调性求出最大值.
