人教版八年级数学 下册 第十七章 17.2 勾股定理的逆定理 同步练习题（含答案）
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| 名称 | 人教版八年级数学 下册 第十七章 17.2 勾股定理的逆定理 同步练习题（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 112.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-21 11:34:19 | ||
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文档简介
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第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理
一、选择题
1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A.三个内角比为1∶2∶1 B.三边之比为1∶2∶
C.三边之比为∶2∶ D. 三个内角比为1∶2∶3
2.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是 a，b，c，那么下面不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A.∠B=∠C-∠A
B.a2 = (b+c) (b-c)
C.∠A：∠B：∠C=5 ：4 ：3
D.a : b : c=5 : 4 : 3
3.已知四个三角形分别满足下列条件：①三角形的三边之比为1：1：；②三角形的三边分别是9、40、41；③三角形三内角之比为1：2：3；④三角形一边上的中线等于这边的一半。其中直角三角形有（ ）个。
A．4 B．3 C．2 D．1
4.下列命题中是假命题的是( )．
A．△ABC中,若∠B=∠C－∠A,则△ABC是直角三角形.
B．△ABC中,若a2=(b+c)(b－c),则△ABC是直角三角形.
C．△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5则△ABC是直角三角形.
D．△ABC中,若a∶b∶c=5∶4∶3则△ABC是直角三角形.
5.如图,P是等边三角形ABC内的一点,连接PA,PB,PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连接CQ.若PA:PB:PC=3:4:5，连接PQ，试判断△PQC的形状（ ）
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
填空题
6.若△ABC的三个外角的度数之比为3：4：5，最大边AB与最小边BC的关系是_________．
7.三边为9、12、15的三角形，其面积为 .
8.如图，D为△ABC的边BC上一点，已知 AB = 13，AD = 12，AC =15，BD=5，则BC的长为 .
9.如图，AB=5，AC=3，BC边上的中线AD=2，且AD⊥AC，则△ABC的面积为______．
10.在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_______．
三、解答题
11.已知△ABC的三边长分别是a，b，c，其中a=3，c=5，且关于x的一元二次方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根，判断△ABC的形状。
12.如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，
求四边形ABCD的面积.
13.如图,有一块地,已知AD=4m,CD=3m,∠ADC=90°,AB=13m,BC=12m.求这块地的面积。
14.已知：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且CE＝，求证：AF⊥FE．
15.如图，在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D.E,F为BC中点,BE与DF,DC分别交于点G,H,∠ABE＝∠CBE．(1)求证：BH=AC；(2)求证：BG2－GE2＝EA2．
16.如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的
C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，
利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处
滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，
求树高AB.
17.观察下列各组勾股数的组成特点，你能求出第7组勾股数a，b，c各是多少吗？第n组呢？
第 1 组:3=2X1+1，4=2X1X(1+1),5=2X1X(1 + 1)+1；
第 2 组:5=2X2+1，12=2X2X(2+1),13=2X2X(2+1) + 1；
第 3 组:7=2X3+1，24=2X3X(3+1),25=2X3X(3+1) + 1；
第 4 组:9=2X4+1，40=2X4X(4+1),41=2X4X(4+1) + 1；
…；
第 7 组:a，b，c.
18.如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度全速前进，2小时后甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船沿那个方向航行吗？
参考答案：
一、1.C 2.C 3.A 4.C 5.A
二、6.AB=2BC
7.54，提示：先根基勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，面积为
8. 14 解析 由AD2+BD2=AB2可知ΔABC为直角三角形，则AD为ΔABC的BC边上的高，在RtΔACD中，CD2=AC2-AD2=152-122=81，所以CD=9，BC=BD+CD=5+9=14.
9.6．提示：延长AD到E，使DE＝AD，连结BE，可得△ABE为Rt△．
10.4
三、11.【答案】∵关于x的一元二次方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根，
∴b2-4ac=16-4b=0
解得：b=4，
∵a=3，c=5，
∴32+42=52，
∴△ABC为直角三角形．
12.解：连接AC，在Rt△ABC中，
AC2=AB2＋BC2=32＋42=25， ∴ AC=5.
在△ACD中，∵ AC2＋CD2=25＋122=169，
而 AB2=132=169，
∴ AC2＋CD2=AB2，∴ ∠ACD=90°．
故S四边形ABCD=S△ABC＋S△ACD=AB·BC＋AC·CD=×3×4＋×5×12=6＋30=36.
13.解：连接AC，∵∠ADC=90°，AD=4，CD=3，∴AC2=AD2+CD2=42+32=25，∴AC=5.又∵BC=12，AB=13，∴AC2+BC2=52+122=169，又∵AB2=169，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，∴S四边形ABCD=S△ABC-S△ADC=×12×5-×3×4=24m2．
14.提示：连结AE，设正方形的边长为4a，计算得出AF，EF，AE的长，由AF2＋EF2＝AE2得结论．
15.证明：（1）∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，∵∠ABC=45°，∴∠BCD=180°-90°-45°=45°=∠ABC∴DB=DC.∵∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠HBD=90°，∴∠HBD=∠ACD. ∵在△DBH和△DCA中， ∠BDH＝∠CDA， BD＝CD，∠HBD＝∠ACD，∴△DBH≌△DCA（ASA），∴BH=AC．
（2）连接CG，由（1）知DB=CD.∵F为BC的中点，∴DF垂直平分BC，∴BG=CG.∵点E为AC中点，BE⊥AC，∴EC=EA.在Rt△CGE中，由勾股定理得CG2-GE2=CE2.∵CE=AE，BG=CG，∴BG2-GE2=EA2．
16.设AD=x米，则AB为（10+x）米，AC为（15-x）米，BC为5米，∴(x+10)2+52=(15-x)2，解得x=2，∴10+x=12（米）
17.分析：观察已知勾股数的特点，找出规律.
解：第7组：a=2×7+1=15，b=2×7×（7+1）=112，c=2×7×（7+1）+1=113.
第n组：a=2n+1，b=2n（n+1），c=2n（n+1）+1.
18.【答案】BM=8×2=16海里，
BP=15×2=30海里，
在△BMP中，BM2+BP2=256+900=1156，PM2=1156，
BM2+BP2=PM2，
∴∠MBP=90°，
180°-90°-60°=30°，
故乙船沿南偏东30°方向航行。
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第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理
一、选择题
1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A.三个内角比为1∶2∶1 B.三边之比为1∶2∶
C.三边之比为∶2∶ D. 三个内角比为1∶2∶3
2.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是 a，b，c，那么下面不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A.∠B=∠C-∠A
B.a2 = (b+c) (b-c)
C.∠A：∠B：∠C=5 ：4 ：3
D.a : b : c=5 : 4 : 3
3.已知四个三角形分别满足下列条件：①三角形的三边之比为1：1：；②三角形的三边分别是9、40、41；③三角形三内角之比为1：2：3；④三角形一边上的中线等于这边的一半。其中直角三角形有（ ）个。
A．4 B．3 C．2 D．1
4.下列命题中是假命题的是( )．
A．△ABC中,若∠B=∠C－∠A,则△ABC是直角三角形.
B．△ABC中,若a2=(b+c)(b－c),则△ABC是直角三角形.
C．△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5则△ABC是直角三角形.
D．△ABC中,若a∶b∶c=5∶4∶3则△ABC是直角三角形.
5.如图,P是等边三角形ABC内的一点,连接PA,PB,PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连接CQ.若PA:PB:PC=3:4:5，连接PQ，试判断△PQC的形状（ ）
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
填空题
6.若△ABC的三个外角的度数之比为3：4：5，最大边AB与最小边BC的关系是_________．
7.三边为9、12、15的三角形，其面积为 .
8.如图，D为△ABC的边BC上一点，已知 AB = 13，AD = 12，AC =15，BD=5，则BC的长为 .
9.如图，AB=5，AC=3，BC边上的中线AD=2，且AD⊥AC，则△ABC的面积为______．
10.在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_______．
三、解答题
11.已知△ABC的三边长分别是a，b，c，其中a=3，c=5，且关于x的一元二次方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根，判断△ABC的形状。
12.如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，
求四边形ABCD的面积.
13.如图,有一块地,已知AD=4m,CD=3m,∠ADC=90°,AB=13m,BC=12m.求这块地的面积。
14.已知：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且CE＝，求证：AF⊥FE．
15.如图，在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D.E,F为BC中点,BE与DF,DC分别交于点G,H,∠ABE＝∠CBE．(1)求证：BH=AC；(2)求证：BG2－GE2＝EA2．
16.如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的
C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，
利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处
滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，
求树高AB.
17.观察下列各组勾股数的组成特点，你能求出第7组勾股数a，b，c各是多少吗？第n组呢？
第 1 组:3=2X1+1，4=2X1X(1+1),5=2X1X(1 + 1)+1；
第 2 组:5=2X2+1，12=2X2X(2+1),13=2X2X(2+1) + 1；
第 3 组:7=2X3+1，24=2X3X(3+1),25=2X3X(3+1) + 1；
第 4 组:9=2X4+1，40=2X4X(4+1),41=2X4X(4+1) + 1；
…；
第 7 组:a，b，c.
18.如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度全速前进，2小时后甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船沿那个方向航行吗？
参考答案：
一、1.C 2.C 3.A 4.C 5.A
二、6.AB=2BC
7.54，提示：先根基勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，面积为
8. 14 解析 由AD2+BD2=AB2可知ΔABC为直角三角形，则AD为ΔABC的BC边上的高，在RtΔACD中，CD2=AC2-AD2=152-122=81，所以CD=9，BC=BD+CD=5+9=14.
9.6．提示：延长AD到E，使DE＝AD，连结BE，可得△ABE为Rt△．
10.4
三、11.【答案】∵关于x的一元二次方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根，
∴b2-4ac=16-4b=0
解得：b=4，
∵a=3，c=5，
∴32+42=52，
∴△ABC为直角三角形．
12.解：连接AC，在Rt△ABC中，
AC2=AB2＋BC2=32＋42=25， ∴ AC=5.
在△ACD中，∵ AC2＋CD2=25＋122=169，
而 AB2=132=169，
∴ AC2＋CD2=AB2，∴ ∠ACD=90°．
故S四边形ABCD=S△ABC＋S△ACD=AB·BC＋AC·CD=×3×4＋×5×12=6＋30=36.
13.解：连接AC，∵∠ADC=90°，AD=4，CD=3，∴AC2=AD2+CD2=42+32=25，∴AC=5.又∵BC=12，AB=13，∴AC2+BC2=52+122=169，又∵AB2=169，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，∴S四边形ABCD=S△ABC-S△ADC=×12×5-×3×4=24m2．
14.提示：连结AE，设正方形的边长为4a，计算得出AF，EF，AE的长，由AF2＋EF2＝AE2得结论．
15.证明：（1）∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，∵∠ABC=45°，∴∠BCD=180°-90°-45°=45°=∠ABC∴DB=DC.∵∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠HBD=90°，∴∠HBD=∠ACD. ∵在△DBH和△DCA中， ∠BDH＝∠CDA， BD＝CD，∠HBD＝∠ACD，∴△DBH≌△DCA（ASA），∴BH=AC．
（2）连接CG，由（1）知DB=CD.∵F为BC的中点，∴DF垂直平分BC，∴BG=CG.∵点E为AC中点，BE⊥AC，∴EC=EA.在Rt△CGE中，由勾股定理得CG2-GE2=CE2.∵CE=AE，BG=CG，∴BG2-GE2=EA2．
16.设AD=x米，则AB为（10+x）米，AC为（15-x）米，BC为5米，∴(x+10)2+52=(15-x)2，解得x=2，∴10+x=12（米）
17.分析：观察已知勾股数的特点，找出规律.
解：第7组：a=2×7+1=15，b=2×7×（7+1）=112，c=2×7×（7+1）+1=113.
第n组：a=2n+1，b=2n（n+1），c=2n（n+1）+1.
18.【答案】BM=8×2=16海里，
BP=15×2=30海里，
在△BMP中，BM2+BP2=256+900=1156，PM2=1156，
BM2+BP2=PM2，
∴∠MBP=90°，
180°-90°-60°=30°，
故乙船沿南偏东30°方向航行。
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