编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
进阶6：三角函数图像的变换易错题专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·上海市建平中学高三期中）将函数的图像上的各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿着x轴向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心可以是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·上海市延安中学高一期中）若函数的图像向右平移个单位后与函数的图像重合，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数的图像关于直线对称
C．是函数的一个零点
D．函数在区间上严格增函数
3．若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为
A． B． C． D．
4．（2021·上海·高一期末）对于函数，下列命题：
①函数对任意都有.
②函数图像关于点对称.
③函数图像可看作是把的图像向右平移个单位而得到.
④函数图像可看作是把的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）而得到.
其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，所得函数图象的一个对称中心是（ ）．
A． B． C． D．
6．（2021·上海市南洋模范中学高一期中）已知函数的最小正周期是，若其图像向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图像（ ）
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于直线对称
7．（2021·上海·高一期末）把函数的图象沿着轴向左平移个单位，纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）后得到函数的图象，对于函数有以下四个判断：
（1）该函数的解析式为；
（2）该函数图象关于点对称；
（3）该函数在上是增函数；
（4）若函数在上的最小值为，则.
其中正确的判断有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
8．为了得到函数的图像,可以将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
9．（2021·上海·高一期中）设函数在区间上单调，且，当时，取到最大值2，若将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数的图像，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021·上海·高一期中）函数的图像向左平移个单位长度后对应的函数是奇函数，函数．若关于的方程在内有两个不同的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021·上海青浦·一模）已知函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，则__________.
12．（2021·上海浦东新·二模）将函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，得到函数的图象．若在上至少含有个零点，则的最小值为___________.
13．（2021·上海·高一期末）将函数图象上每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，则__________.
14．（2021·上海·高一期末）已知函数，将其图象向左平移个单位长度后，得到的图象为偶函数，则的最小值是_______
15．（2021·上海·高一期末）将函数图像上所有点向左平移个单位，再将横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数图像，若函数在上有且仅有一条对称轴和一个对称中心，则的取值范围为_______________．
16．若函数的图像上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将整个图像向左平移个单位，向下平移1个单位，得到函数的图像，则_____________．
17．将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，区间（，且）满足：在上至少含有100个零点，在所有满足上述条件的中，则的最小值为________
18．（2021·上海市七宝中学高三月考）将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的任意，的最小值是，则的最小值是____________
19．已知将函数的图象向右平移个单位长度得到画的图象，若和的图象都关于对称，则________.
20．把函数的图像上各点向右平移个单位，再把横坐标变为原来的一半，纵坐标扩大到原来的4倍，则所得的函数的对称中心坐标为________
三、解答题
21．（2021·上海市西南位育中学高一期中）已知函数.
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若函数y=g（x）的图像是由函数y=f（x）的图像向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，求函数y=g（x）的单调递增区间.
22．已知函数y＝sin＋2.
求：（1）函数的周期及单调增区间；
（2）函数的图象可由y＝sin x的图像经过怎样的变换而得到．
23．已知函数在区间上的最大值为6.
（1）求常数的值及函数图像的对称中心；
（2）作函数关于轴的对称图像得函数的图像，再把函数的图像向右平移个单位得函数的图像，求函数的单调减区间.
24．把函数图像向左平移个单位后，与函数图像重合，求的最小正值．
25．（2021·上海·高一期中）已知函数，且．
（1）求的解析式;
（2）先将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得各点的纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象．若在区间有且只有一个，使得取得最大值，求的取值范围．
26．（2021·上海市南洋模范中学高二月考）已知函数，周期是．
（1）求的解析式，以及时的值域；
（2）将图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移个单位，最后将整个函数图像向上平移个单位后得到函数的图像，若成立的充分条件是，求实数的取值范围．
27．（2021·上海·高一期中）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
（1）求的解析式.
（2）求的最大值.
（3）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标变)，得到函数的图象，当时，求函数的值域.
（4）对于第（3）问中的函数，记方程在上的根从小到依次为，，，试确定的值，并求的值.
28．（2021·上海·高一期中）已知函数，其中常数．
（1）在上单调递增，求的取值范围；
（2）若，将函数图象向左平移个单位，得到函数的图象，且过，若函数在区间（，且）满足：在上至少含30个零点，在所上满足上述条件的中，求的最小值；
（3）在（2）问条件下，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
29．（2021·上海·高一期中）将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作.
（1）在中，三个内角且，若C角满足，求的取值范围；
（2）已知常数，，且函数在内恰有2021个零点，求常数 与的值.
30．已知函数的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴．
（1）求函数的解析式；
（2）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，若角满足，求的取值范围；
（3）将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍后所得到的图象对应的函数记作，已知常数，，且函数在内恰有个零点，求常数与的值．编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
进阶6：三角函数图像的变换易错题专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·上海市建平中学高三期中）将函数的图像上的各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿着x轴向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心可以是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
把函数的图象变换后得到函数的图象，故所得函数的对称中心为，由此可得结果.
【详解详析】
解： 将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍，得函数的图象，向右平移个单位，
得到函数的图象，
令，可得，
故所得函数的对称中心为，
令，可得函数图象的一个对称中心为，
故选：D.
2．（2021·上海市延安中学高一期中）若函数的图像向右平移个单位后与函数的图像重合，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数的图像关于直线对称
C．是函数的一个零点
D．函数在区间上严格增函数
【标准答案】D
【思路指引】
先由图像的平移变换推导出的解析式，再分析函数的周期、零点、对称性、单调性，判断是否正确．
【详解详析】
函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，
，
对于A，的最小正周期为，故A错误 ；
对于B，当，，故直线不是函数的对称轴，故B错误；
对于C，当，，故不是函数的零点，故C错误；
对于D，当时，，在上单调递增，故D正确．
故选：D．
【名师指路】
关键点点睛：考查三角函数的平移变换、三角函数的性质等基础知识，解题的关键是通过函数图像的平移变换推导出的解析，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是一般题．
3．若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为
A． B． C． D．
【标准答案】D
【详解详析】
函数的图像向右平移个单位得，所以
，所以得最小值为．
4．（2021·上海·高一期末）对于函数，下列命题：
①函数对任意都有.
②函数图像关于点对称.
③函数图像可看作是把的图像向右平移个单位而得到.
④函数图像可看作是把的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）而得到.
其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【标准答案】C
【思路指引】
利用三角函数的平移，伸缩变换和三角函数的对称性依次判断即可得到答案.
【详解详析】
对①，因为，，
所以为函数的对称轴，
即对任意都有，故①正确.
对②，，
所以为函数的对称中心，故②正确；
对③，的图像向右平移个单位得到
，故③错误；
对④，的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），
得到，故④正确.
故选：C
【名师指路】
本题主要考查三角函数的平移和伸缩变换，同时考查了三角函数的对称性，属于中档题.
5．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，所得函数图象的一个对称中心是（ ）．
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
先利用三角函数的图像变换，可以得到变换后的函数解析式，再由正弦函数的对称性代入计算即可.
【详解详析】
函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），
则得到：，
再向右平移个单位，则得到：，
令即
故选：D
【名师指路】
本题考查了三角函数图像的变换以及三角函数的对称性，属于一般题.
6．（2021·上海市南洋模范中学高一期中）已知函数的最小正周期是，若其图像向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图像（ ）
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于直线对称
【标准答案】D
【思路指引】
由最小正周期为可得,平移后的函数为,利用奇偶性得到,即可得到,则,进而判断其对称性即可
【详解详析】
由题,因为最小正周期为,所以,
则平移后的图像的解析式为,
此时函数是奇函数,所以,
则,
因为,当时,,
所以,
令,则,即对称点为；
令,则对称轴为,
当时,，
故选：D
【名师指路】
本题考查图象变换后的解析式,考查正弦型三角函数的对称性
7．（2021·上海·高一期末）把函数的图象沿着轴向左平移个单位，纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）后得到函数的图象，对于函数有以下四个判断：
（1）该函数的解析式为；
（2）该函数图象关于点对称；
（3）该函数在上是增函数；
（4）若函数在上的最小值为，则.
其中正确的判断有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【标准答案】B
【思路指引】
利用正弦型函数的图象变换规律求得函数的解析式，然后利用正弦函数的基本性质可得出结论.
【详解详析】
把函数的图象沿着轴向左平移个单位，可得的图象，
再把纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）后得到函数的图象，
对于函数，故（1）错误；
由于当时，，故该函数图象关于点对称，故（2）正确；
在上，，故函数该函数在上不是增函数，故（3）错误；
在上，，故当时，
函数在上取得最小值为，，故（4）正确，
故选：B.
【名师指路】
本题主要考查正弦型三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数基本性质的判断，考查推理能力，属于中等题.
8．为了得到函数的图像,可以将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【标准答案】B
【思路指引】
根据诱导公式化简y＝cos（2x）＝再根据平移的大小确定函数式中平移的单位即可．
【详解详析】
∵y＝cos（2x）＝=cos[2（x）]，
∴将函数y＝cos2x的图象向左平移个单位，即可得到的图象．
故选B．
【名师指路】
本题考查三角函数图象的变换，解题的关键是理解图象平移的原则，本题是一个易错题，特别是x的系数不等于1时容易出错．
9．（2021·上海·高一期中）设函数在区间上单调，且，当时，取到最大值2，若将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数的图像，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
首先设函数，由条件确定周期和的范围，再利用对称性求出对称中心和对称轴，求，代入求，利用伸缩变换求，最后解不等式.
【详解详析】
函数的最大值为2，，
在区间上单调，所以，即，
，即，
，是函数的对称轴，
，是函数的对称中心，
和是函数相邻的对称轴和对称中心，，得，
当时，取到最大值2，，，
当时，，
，根据题意可知，
，
，解得：，.
的解集是.
故选：A
【名师指路】
关键点点睛：本题的关键是对称性和周期性的灵活应用，关键由条件确定相邻的对称轴和对称中心.
10．（2021·上海·高一期中）函数的图像向左平移个单位长度后对应的函数是奇函数，函数．若关于的方程在内有两个不同的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
利用函数的图象变换规律，利用三角函数的图象和三角恒等变形，可得，即，，从而得到，进而得到的值.
【详解详析】
函数的图像向左平移个单位长度后，可得的图象.
由条件为奇函数，则，即
又，所以，即
关于的方程在内有两个不同的解，
即在内有两个不同的解，
即在内有两个不同的解，
即，其中(为锐角) 在内有两个不同的解，
即方程即在内有两个不同的解，
由，则，
所以，
所以
则，即，
所以，
故选：D
【名师指路】
本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，诱导公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
二、填空题
11．（2021·上海青浦·一模）已知函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，则__________.
【标准答案】2
【思路指引】
先根据左右平移不改变最值求得，再根据三角函数平移规律得出平移后函数，从而可列出关于等量关系，再由同一三角函数商的关系得出，从而得出，最后根据两角差正切公式即可求得结果.
【详解详析】
解：因为左右平移不改变最值，即与的最值相同，
则，所以，，
因为向右平移个单位得到：
，
而，
所以，
则，即，
从而.
故答案为：2.
12．（2021·上海浦东新·二模）将函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，得到函数的图象．若在上至少含有个零点，则的最小值为___________.
【标准答案】
【思路指引】
由三角函数平移变换可得解析式，将问题转化为在上至少有个根，利用整体对应的方法可构造不等式求得的范围，由此得到最小值.
【详解详析】
由题意得：；
当时，，
令，则，原问题等价于方程在上至少有个根；
，解得：，
的最小值为.
故答案为：.
【名师指路】
关键点点睛：本题考查根据正弦型函数零点个数求解参数范围的问题，解题关键是能够采用整体对应的方式，通过研究整体所处的范围确定不等关系.
13．（2021·上海·高一期末）将函数图象上每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，则__________.
【标准答案】
【思路指引】
利用逆向变换，即先将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象每一个点的横坐标伸长为原来的倍，求出函数的解析式，由此可计算得出的值.
【详解详析】
利用逆向变换，即先将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，
再将所得图象每一个点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，
因此，.
故答案为：.
【名师指路】
易错点点睛：在三角函数图象变换时，图象变换的顺序不同，其中的变换量也有所不同：
（1）先相位变换后周期变换，平移个单位；
（2）先周期变换后相位变换，平移个单位.
这是很容易出错的地方，应特别注意.
14．（2021·上海·高一期末）已知函数，将其图象向左平移个单位长度后，得到的图象为偶函数，则的最小值是_______
【标准答案】
【思路指引】
先利用两角和的正弦公式化简的解析式，然后再利用图象平移变换的规律求平移后的解析式，最后由奇偶性可得的最小值.
【详解详析】
，
将其图象向左平移个单位长度后，得
的图象，
由图象为偶函数图象可得
所以
令，得.
故答案为：
【名师指路】
本题主要考查了三角函数图象的平移变换，以及三角函数的奇偶性，属于中档题.
15．（2021·上海·高一期末）将函数图像上所有点向左平移个单位，再将横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数图像，若函数在上有且仅有一条对称轴和一个对称中心，则的取值范围为_______________．
【标准答案】
【思路指引】
根据图象变换求出解析式，再结合正弦函数的性质建立不等式，即可求出的取值范围.
【详解详析】
将函数图像上所有点向左平移个单位，得到的图象，
再将横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得，
函数在上有且仅有一条对称轴和一个对称中心，
由，得，
，解得.
故答案为：.
【名师指路】
本题考查三角函数的图象变换，以及根据相关性质求参数，属于中档题.
16．若函数的图像上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将整个图像向左平移个单位，向下平移1个单位，得到函数的图像，则_____________．
【标准答案】
【思路指引】
直接利用三角函数平移法则得到答案.
【详解详析】
向上平移1个单位得到；
向右平移个单位得到；
纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的倍，得到，
故答案为：.
【名师指路】
本题考查了三角函数平移，意在考查学生对于三角函数平移的掌握情况.
17．将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，区间（，且）满足：在上至少含有100个零点，在所有满足上述条件的中，则的最小值为________
【标准答案】
【思路指引】
根据的图象变换规律求得的解析式，再根据零点的定义求得的零点，再使区间端点取特殊值，计算即可求解最小值.
【详解详析】
∵函数，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位
得到函数
令，得，则或
即或，
根据在上至少含有100个零点，
不妨假设，此时
则此时的最小值为，此时
则
故答案为：
【名师指路】
本题考查三角函数平移变换和零点问题，考查计算能力，属于中等题型.
18．（2021·上海市七宝中学高三月考）将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的任意，的最小值是，则的最小值是____________
【标准答案】
【思路指引】
，不妨取，，，得到答案.
【详解详析】
根据题意：，，不妨取，，
取，故，即
故，最小值为，故当时，的最小值是.
故答案为：.
【名师指路】
本题考查了三角函数平移，三角函数的最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
19．已知将函数的图象向右平移个单位长度得到画的图象，若和的图象都关于对称，则________.
【标准答案】
【思路指引】
和的图象都关于对称，所以①，②，由①②结合即可得到答案.
【详解详析】
由题意，，因为和的图象都关于对
称，所以①，②，由①②，得
，又，所以，将代入①，得
，注意到，所以，所以.
故答案为：
【名师指路】
本题考查正弦型函数的性质，涉及到函数图象的平移、函数的对称性，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.
20．把函数的图像上各点向右平移个单位，再把横坐标变为原来的一半，纵坐标扩大到原来的4倍，则所得的函数的对称中心坐标为________
【标准答案】，
【思路指引】
根据三角函数的图象变换，求得函数的解析式，进而求得函数的对称中心，得到答案.
【详解详析】
由题意，把函数的图像上各点向右平移个单位，
可得，
再把图象上点的横坐标变为原来的一半，可得，
把函数纵坐标扩大到原来的4倍，可得，
令，解得，
所以函数的对称中心为.
故答案为：.
【名师指路】
本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的对称中心的求解，其中解答中熟练三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
三、解答题
21．（2021·上海市西南位育中学高一期中）已知函数.
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若函数y=g（x）的图像是由函数y=f（x）的图像向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，求函数y=g（x）的单调递增区间.
【标准答案】（1）；（2），.
【思路指引】
（1）利用三角恒等变换得到，再由周期公式求解；
（2）利用三角函数的平移变换得到，再利用三角函数的性质求解.
【详解详析】
（1），
，
，
.
所以函数f（x）的最小正周期是.
（2）由题意得：，
令，
解得，
所以函数y=g（x）的单调递增区间是.
22．已知函数y＝sin＋2.
求：（1）函数的周期及单调增区间；
（2）函数的图象可由y＝sin x的图像经过怎样的变换而得到．
【标准答案】（1）T＝π，单调增区间为，k∈Z；（2）答案见解析.
【思路指引】
（1）先求周期和利用换元法求单增区间；
（2）先进行相位变化，接着进行周期变换，然后进行振幅变换，最后进行上下平移即可.
【详解详析】
解：（1）T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以函数的单调增区间为，k∈Z..
（2）把y＝sin x的图像向左平移个单位得到的图像；
把的图像上每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到的图像；
把的图像上每个点的横坐标不变，纵坐标延伸到原来的倍，得到的图像；
把的图像向上平移2个单位长度得到的图像.
【名师指路】
(1)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或的性质解题；
(2)求单调区间，最后的结论务必写成区间形式，不能写成集合或不等式；
(3)图像变换要注意先进行周期变化或是先进行平移变换.
23．已知函数在区间上的最大值为6.
（1）求常数的值及函数图像的对称中心；
（2）作函数关于轴的对称图像得函数的图像，再把函数的图像向右平移个单位得函数的图像，求函数的单调减区间.
【标准答案】（1），对称中心为；（2）.
【思路指引】
（1）化简可得，由最大值求得，令可求得对称中心；
（2）根据图像变换求得的解析式，再根据三角函数的性质即可求出单调递减区间.
【详解详析】
（1），
当时，，
所以当时，取得最大值为，所以，
则，
令，则，
所以的对称中心为；
（2）和关于轴对称，，
把函数的图像向右平移个单位得，
令可得
故的单调减区间为.
24．把函数图像向左平移个单位后，与函数图像重合，求的最小正值．
【标准答案】
【思路指引】
先根据诱导公式将函数名称统一为，然后根据图像平移确定出的可取值，由此可求解出的最小正值.
【详解详析】
因为，向左平移个单位后得到，
又因为与图像重合，
所以，所以，
当取最小正值时，，此时.
25．（2021·上海·高一期中）已知函数，且．
（1）求的解析式;
（2）先将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得各点的纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象．若在区间有且只有一个，使得取得最大值，求的取值范围．
【标准答案】（1）；（2）.
【思路指引】
（1）利用降幂公式降次，然后利用辅助角公式合一，代入求解即可；（2）根据伸缩平移得到函数，然后利用整体法，求解的范围，再根据题干列不等式求解.
【详解详析】
（1）
．
因为，
所以，．
（2）由题可知，
因为在区间上有且只有一个，使得取得最大值，
所以，即．
因为，
所以
则，，
当，即时，，故`；
当，即时，，故．
综上，的取值范围为．
【名师指路】
关于三角函数解析式的化简问题，首先需要利用和差公式或者诱导公式展开化为同角，其次利用降幂公式进行降次，最后利用辅助角公式进行合一变换，最终得到的形式.
26．（2021·上海市南洋模范中学高二月考）已知函数，周期是．
（1）求的解析式，以及时的值域；
（2）将图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移个单位，最后将整个函数图像向上平移个单位后得到函数的图像，若成立的充分条件是，求实数的取值范围．
【标准答案】（1），；（2）．
【思路指引】
（1）利用三角恒等变换减函数转化为，再根据周期是．求得其解析式，然后利用正弦函数的性质求解；
（2）利用图象变换得到，再根据成立的充分条件是，转化当时，恒成立，由求解.
【详解详析】
（1），
，
，
由，解得，
所以函数，
因为，
所以，
所以，
即函数在上的值域是．
（2）由题意得，
因为成立的充分条件是，
所以当时，恒成立，
所以只需，转化为求的最大值与最小值，
当时，，
所以，，
从而，，即．
所以的取值范围是．
【名师指路】
方法点睛：双变量存在与恒成立问题：
若， 成立，则 ；
若， 成立，则 ；
若， 成立，则 ；
若， 成立，则 ；
若， 成立，则 的值域是的子集；
27．（2021·上海·高一期中）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
（1）求的解析式.
（2）求的最大值.
（3）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标变)，得到函数的图象，当时，求函数的值域.
（4）对于第（3）问中的函数，记方程在上的根从小到依次为，，，试确定的值，并求的值.
【标准答案】（1）（2）（3）（4）
【思路指引】
（1）利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，利用正弦函数的周期，奇偶性求得函数的解析式；
（2）令，利用换元法转化为，求最大值即可；
（3）利用函数的图象变换规律，求得函数的解析式，进而求得函数的值域；
（4）由方程，得到，根据，求得，设，转化为，结合正弦函数的图象与性质，即可求解.
【详解详析】
（1）由题意，函数
因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，
所以，可得，
又由函数为奇函数，可得，
所以，
因为，所以，
所以函数.
（2），
令，
则，
所以，，
因为对称轴，
所以当时，，
即的最大值为.
（3）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，
当时，，
当时，函数取得最小值，最小值为，
当时，函数取得最大值，最小值为，
故函数的值域.
（4）由方程，即，即，
因为，可得，
设，其中，即，
结合正弦函数的图象，如图
可得方程在区间有5个解，即，
其中，
即
解得
所以.
【名师指路】
关键点点睛：解决三角函数图象与性质的综合问题的关键是首先正确的将已知条件转化为三角函数解析式和图象，然后再根据数形结合思想研究函数的性质（单调性、奇偶性、对称性、周期性），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界函数等概念.
28．（2021·上海·高一期中）已知函数，其中常数．
（1）在上单调递增，求的取值范围；
（2）若，将函数图象向左平移个单位，得到函数的图象，且过，若函数在区间（，且）满足：在上至少含30个零点，在所上满足上述条件的中，求的最小值；
（3）在（2）问条件下，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【标准答案】（1）；（2）；（3）．
【思路指引】
(1)由二倍角正弦公式化简原函数，即知最小正周期，找到其中一个递增区间，由已知区间属于递增区间列不等式组求的范围即可；(2)根据函数图象平移得到，由其过P点且求出值，在上至少含30个零点，根据三角函数的图象及性质分析即可知的最小值；(3)由不等式恒成立，令，即成立即可求的范围
【详解详析】
解（1）由题意，有，又则最小正周期
由正弦函数的性质，当，函数取得最小值，函数取得最大值
∴是函数的一个单调递增区间
若函数在上单调递增，则且
解得
（2）∵由（1）：
∴将函数图象向左平移个单位，得到函数的图象
∵的图象过．
∴，可得：，解得：，，
即：，，
∵
∴，可得的解析式为：
∴的周期为
在区间（，且）满足：在上至少有30个零点，
即在上至少有30个解．
∴有或
解得：或
分析：直线与三角函数图象的一个周期内的交点中，两个交点距离：最小为波谷跨度，最大为波峰跨度：
∴当交点正好跨过15个波谷，即跨过14个整周期和一个波谷时，有最小值
即，在所有满足上述条件的中的最小值为
（3），设，
∵即可
只需要解得
综上所述
【名师指路】
本题考查了三角函数的图象及性质，1、应用二倍角正弦公式化简，结合正弦函数的单调性求参数范围；2、根据函数图象平移得到新函数的解析式，由函数的零点个数求最值；3、将不等式恒成立转化为函数的最值情况下不等式成立，进而求参数范围
29．（2021·上海·高一期中）将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作.
（1）在中，三个内角且，若C角满足，求的取值范围；
（2）已知常数，，且函数在内恰有2021个零点，求常数 与的值.
【标准答案】（1）；（2），..
【思路指引】
（1）首先利用三角函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的取值范围.
（2）利用函数的图象和函数的零点的关系进一步进行分类讨论，最后求出参数的值和n的值.
【详解详析】
解：（1）函数的图象向右平移个单位，
再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象.
可知.
因为，所以，
∴，∴，
∴.
因为，所以，
所以，∴，
所以的取值范围为.
（2）依题意，，
当时，，
则在内的零点个数为偶数个，故，
令，，
得，，
二次方程必有两不等实根、，
由于，则、异号，
（i）当且时，
方程在根的个数为偶数个，不合乎题意；
（ii）当，则，当时，
关于的方程在上有三个根，
由于，则为奇数
则，
解得：，由于不是整数，故舍去.
（iii）当时，则，当时，
关于的方程在上有三个根，且为奇数，
，解得.
此时，，得.
综上所述：，.
【名师指路】
本题考查三角函数的平移变换，恒等变换，三角函数性质等，考查分类讨论思想和数学运算能力，是难题.
30．已知函数的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴．
（1）求函数的解析式；
（2）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，若角满足，求的取值范围；
（3）将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍后所得到的图象对应的函数记作，已知常数，，且函数在内恰有个零点，求常数与的值．
【标准答案】（1）；（2）；（3），.
【思路指引】
（1）由函数的周期公式可求出的值，求出函数的对称轴方程，结合直线为一条对称轴结合的范围可得出的值，于此得出函数的解析式；
（2）由得出，再由结合锐角三角函数得出，利用正弦定理以及内角和定理得出，由条件得出，于此可计算出的取值范围；
（3）令，得，换元得出，得出方程，设该方程的两根为、，由韦达定理得出，分（ii）、；（ii），；（iii），三种情况讨论，计算出关于的方程在一个周期区间上的实根个数，结合已知条件得出与的值.
【详解详析】
（1）由三角函数的周期公式可得，，
令，得，
由于直线为函数的一条对称轴，所以，，
得，由于，，则，
因此，；
（2），由三角形的内角和定理得，.
，且，，.
，
由，得，由锐角三角函数的定义得，，
由正弦定理得，，
，
，且，，，.
，因此，的取值范围是；
（3）将函数的图象向右平移个单位，
得到函数，
再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍后所得到的图象对应的函数为，
，
令，可得，
令，得，，
则关于的二次方程必有两不等实根、，则，则、异号，
（i）当且时，则方程和在区间均有偶数个根，
从而方程在也有偶数个根，不合乎题意；
（ii）当，则，当时，只有一根，有两根，
所以，关于的方程在上有三个根，
由于，则方程在上有个根，由于方程在区间上只有一个根，在区间上无实解，方程在区间上无实数解，在区间上有两个根，因此，关于的方程在区间上有个根，在区间上有个根，不合乎题意；
（iii）当时，则，当时，只有一根，有两根，
所以，关于的方程在上有三个根，
由于，则方程在上有个根，由于方程在区间上无实数根，在区间上只有一个实数根，
方程在区间上有两个实数解，在区间上无实数解，
因此，关于的方程在区间上有个根，在区间上有个根，此时，，得.
综上所述：，.
【名师指路】
本题考查利用三角函数的性质求三角函数的解析式，以及三角形中的取值范围问题，以及三角函数零点个数问题，同时也涉及了复合函数方程解的个数问题，考查分类讨论思想的应用，综合性较强，属于难题.
