中小学教育资源及组卷应用平台
编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。21·cn·jy·com
思路设计：重在培优训练，分 ( http: / / www.21cnjy.com )选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
第1章坐标平面上的直线单元综合提优专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．若直线相交于同一点，则点到原点的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
先由，求得直线的交点坐标，代入直线，得到，然后将点到原点的距离的最小值，转化为原点到直线的距离求解.
【详解详析】
由，解得，
所以直线的交点为，
因为交点在直线上，
所以，
所以点到原点的距离的最小值为，
故选：D
2．如图所示，已知，，从点射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C．6 D．
【标准答案】D
【思路指引】
求出点P关于y轴的对称点和关于直线的对称点，然后可算出答案.
【详解详析】
点P关于y轴的对称点的坐标是.
设点P关于直线的对称点为，则，解得
故光线所经过的路程.
故选：D
3．已知直线：与直线：平行，则实数为（ ）
A．3 B．-2 C．3或-2 D．以上都不对
【标准答案】A
【思路指引】
两直线平行，斜率相等或者均不存在斜率,但不能重合，利用斜率公式即可得到.
【详解详析】
直线：的斜率为 ，一定存在斜率；
直线：的斜率为，
因为两直线平行，所以，解得或，
当时，：，：，不重合，平行；
当时，：，：，直线重合，所以舍掉.
故选：A.
4．已知直线和直线，下列说法不正确的是（ ）
A．始终过定点 B．若，则或
C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限
【标准答案】B
【思路指引】
对于A选项，提出让其前面的系数为，即可验证A正确.对于B选项，当则与重合，故B错误.利用两直线垂直，即可得到，得到C正确.把直线化为斜截式方程，找到恒过定点，即可验证D正确
【详解详析】
，，，即始终过定点，故A正确. 若，当则与重合，故B错误.或，故C正确. 当时，直线始终过点，斜率为负，不会过第三象限，故D正确.2·1·c·n·j·y
故选：B.
5．原点到直线：的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
求出直线所过定点的坐标，由分析可知所求的最大距离即为.
【详解详析】
由可得，
所以直线过定点，
所以原点与点的连线垂直于直线即点为垂足时，原点到直线的距离最大，
所以原点到直线距离最大值为：，
故选：B.
6．过点且与直线平行的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
根据题意设线的方程为，再根据经过点，待定系数即可得答案.
【详解详析】
由题可得，设平行于直线的直线的方程为，
因为直线过点，
所以，解得，
所以直线的方程为.
故选：D.
7．已知 ，点 在直线 上，则 的最小值为（ ）
A． B．9 C．10 D．
【标准答案】C
【思路指引】
根据给定条件求出点B关于直线的对称点坐标，再利用两点间距离公式计算作答.
【详解详析】
依题意，点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
在直线上任取点C，连接，显然，直线垂直平分线段，
则有，当且仅当点与重合时取“=”，
因此，，
所以 的最小值为10.
故选：C
8．设点，，若直线与线段有交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
因为直线过定点,直线与线段有交点,转化为过定点的直线与线段有公共点,画出图像,结合图像,即可求得答案.【版权所有：21教育】
【详解详析】
解： 直线与线段有交点，即直线与线段有交点，
对于直线，令，则，则直线恒过点，
根据题意，作出如下图像：
( http: / / www.21cnjy.com / )
,
根据两点求斜率公式可得：直线的斜率为，
,
根据两点求斜率公式可得：直线的斜率为，
直线的斜率为，若直线与线段有交点，则，
故选：C.
9．设，则直线与直线垂直的充分不必要条件是（ ）
A． B．
C．或1 D．或
【标准答案】B
【思路指引】
根据两直线垂直求出a的范围即可直接判断作答.
【详解详析】
直线与直线垂直，等价于，解得或，
所以直线与直线垂直的充分不必要条件是B选项.
故选：B
10．已知满足方程，则M的轨迹为（ ）
A．直线 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
【标准答案】A
【思路指引】
将方程转化为，利用方程的几何意义判断.
【详解详析】
满足方程，
即满足方程，
几何意义为：点M到直线x-2y+3=0和到点（-1，1）的距离相等，
又因为点（-1，1）在直线x-2y+3=0上，
所以点M的轨迹为一条直线，
故选：A
二、填空题
11．直线过定点______．
【标准答案】
【思路指引】
根据题中所给直线方程，令参数的系数等于零，求得结果.
【详解详析】
直线，令，得，
所以直线过定点，
故答案为：.
12．若△ABC的顶点A（5，1），A ( http: / / www.21cnjy.com )B边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，则直线BC的方程为________.21世纪教育网版权所有
【标准答案】6x－5y－9＝0
【思路指引】
先计算AC边所在直线方程为2x＋y－11＝0，设B（x0，y0），AB的中点M为，根据解得答案.www-2-1-cnjy-com
【详解详析】
由AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0可以知道kAC＝－2，
又A（5，1），AC边所在直线方程为2x＋y－11＝0，
联立直线AC与直线CM方程得 解得
顶点C的坐标为C（4，3）.设B（x0，y0），AB的中点M为 ，
由M在直线2x－y－5＝0上，得2x0－y0－1＝0，
B在直线x－2y－5＝0上，得x0－2y0－5＝0，
联立 解得 所以顶点B的坐标为（－1，－3）.
于是直线BC的方程为6x－5y－9＝0.
故答案为：6x－5y－9＝0
【名师指路】
本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.
13．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝6，AB＝8，点M为△ABC内切圆的圆心，过点M作动直线l与线段AB，AC都相交，将△ABC沿动直线l翻折，使翻折后的点A在平面BCM上的射影P落在直线BC上，点A在直线l上的射影为Q，则的最小值为_____．21教育网
【标准答案】825
【思路指引】
以AB，BC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，设直线l的斜率为k，用k表示出|PQ|，|AQ|，利用基本不等式得出答案．2-1-c-n-j-y
【详解详析】
过点M作△ABC的三边的垂线，设⊙M的半径为r，则r2，
以AB，BC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，
如图所示，则M（2，2），A（0，8），
因为A在平面BCM的射影在直线BC上，所以直线l必存在斜率，
过A作AQ⊥l，垂足为Q，交直线BC于P，
设直线l的方程为：y＝k（x﹣2）+2，则|AQ|，
又直线AQ的方程为：yx+8，则P（8k，0），所以|AP|8，
所以|PQ|＝|AP|﹣|AQ|＝8，
所以，
①当k＞﹣3时，4（k+3）25≥825，
当且仅当4（k+3），即k3时取等号；
②当k＜﹣3时，则4（k+3）23≥823，
当且仅当﹣4（k+3），即k3时取等号.
故答案为：825
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题考查了考查空间距离的计算，考查基本不等式的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
14．已知函数在区间上至少有一个零点，则的最小值为______．
【标准答案】；
【思路指引】
表示点到点的距离的平方再减1，点是坐标系中直线看成参数上的点,则点到直线的距离，求出的最小值即可.21教育名师原创作品
【详解详析】
,
函数在区间上至少有一个零点,即方程在上由解.
表示点到点的距离的平方再减1.
其中点是坐标系中直线看成参数上的点.
所以点到点的距离大于等于点到直线的距离.
而点到直线的距离
所以
设，由，则
由函数在单调递增，所以
所以，即
故
故答案为：
【名师指路】
本题考查了点到直线的距离的应用，考查了变换主元的方法，考查求函数的最值，本题的关键在于将方程看成是关于变量的直线，属于难题.21*cnjy*com
15．已知为等腰直角三角形，C为直角顶点，AC中点为，斜边上中线CE所在直线方程为，且点C的纵坐标大于点E的纵坐标，则AB所在直线的方程为_______________________.
【标准答案】
【思路指引】
设，由中点公式求出点A坐标，根据等腰直角三角形可知，，建立与，与间关系，即可求出，进而根据点斜式求出直线的方程.
【详解详析】
因为中线CE所在直线方程为，
所以可设，
由AC中点为，可得，
所以，
为等腰直角三角形，CE为中线，
,，
①，
又是的中点，,
,，
化简得： ②，
由①②解得，
所以点,又因为，
所以直线方程为,
即所求方程为.
故答案为：
【名师指路】
本题主要考查了两直线垂直位置关系，根据两直线垂直研究斜率之间的关系，直线方程的点斜式，考查了推理能力和运算能力，属于中档题.21·世纪*教育网
16．已知直线过两直线和的交点，且原点到该直线的距离为，则该直线的方程为_____.
【标准答案】或
【思路指引】
先求两直线和的交点，再分类讨论，先分析所求直线斜率不存在时是否符合题意，再分析直线斜率存在时，设斜率为，再由原点到该直线的距离为，求出，得到答案.
【详解详析】
由和，得，即交点坐标为，
（1）当所求直线斜率不存在时，直线方程为，此时原点到直线的距离为，
符合题意；
（2）当所求直线斜率存在时，设过该点的直线方程为，
化为一般式得，由原点到直线的距离为，
则，解得，得所求直线的方程为.
综上可得，所求直线的方程为或
故答案为：或
【名师指路】
本题考查了求两直线的交点坐标，由点到直线的距离求参，还考查了对直线的斜率是否存在分类讨论的思想，属于中档题.
17．在平面直角坐标系中，已知直线：与曲线从左至右依次交于、、三点，若直线：上存在满足，则实数的取值范围是_______．
【标准答案】或
【思路指引】
由曲线及直线：的图象都关于原点对称，所以B为原点，且为AC中点， ，因为直线：上存在满足，所以直线上存在点到原点的距离为，得，解得k的取值范围
【详解详析】
因为曲线及直线：的图象都关于原点对称，所以B为原点，且B为AC中点，所以 ，因为直线：上存在满足，即，所以直线上存在点到原点的距离为，得，解得或
【名师指路】
根据函数性质，数形结合，理解题目问题的几何意义，建立不等关系求解参数的取值范围
18．在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上运动，点M是直线上的动点，则的最小值为___________.
【标准答案】4
【思路指引】
设点，则，求出点B关于直线的对称点为，问题转化为要使最短，则需最短，再由两点的距离公式和二次函数的性质可求得答案.
【详解详析】
设点，则，点B关于直线的对称点为，
则，解得，
所以要使最短，则需最短，
而，
又，设，所以，所以，
所以当时（满足），取得最小值，最小值为，
所以的最小值为4，
故答案为：4.
【名师指路】
方法点睛：本题考查两距离和的最小值问题，常采用求得点关于直线的对称点，利用对称的性质解决线段和的最小值问题.
19．已知a，，曲线，若两条曲线在区间上至少有一个公共点，则的最小值为________．
【标准答案】
【思路指引】
由题意两条曲线在区间上至少有一个公共点，得到有解，转化为关于a，b的直线方程，得到表示原点到点的距离的平方，转化为，巧换元，构造函数，利用函数的单调性质，求出最值．
【详解详析】
曲线，
，
，
，
于是可以看作关于a，b的直线方程，
则是该直线上的点，
表示原点到点的距离的平方，
设原点到直线的距离为d，
根据点到直线的距离公式得到，
，
令，则，则，
，
设，
可知函数在上为减函数，
当时，，
当时，最小值为．
故答案为:．
【名师指路】
关键点点睛：
求解本题的关键在于，根据点到直线距离公式，结合题意，得到，利用换元法，进行求解即可.
20．设，求的最小值是___________.
【标准答案】
【思路指引】
由配方化简可得d可看作点和到直线上的点的距离之和，作关于直线对称的点，连接，计算可得所求最小值.
【详解详析】
解：
，
即d可看作点和到直线上的点的距离之和，
作关于直线对称的点，
由题意得，解得
故，
( http: / / www.21cnjy.com / )
则.
故答案为：.
三、解答题
21．若直线的方程为（）．
（1）若直线与直线：平行，求的值；
（2）若直线在两轴上截距都存在且轴上截距是轴上截距的，求该直线的方程．
【标准答案】
（1）
（2）或
【思路指引】
（1）直线与直线平行，可得，解得．
（2）分直线过坐标原点与不过坐标原点两种情况讨论求解即可.
（1）
解：将化为斜截式方程得，
因为直线与直线平行，
所以且，解得．
（2）
解：当直线过坐标原点时，，解得，
此时直线的方程为，此时满足条件；
当直线不过坐标原点时，由于直线在两轴上截距都存在，则且，
故令得，令得，
因为直线在轴上截距是轴上截距的，
所以，解得，此时直线方程为.
综上，直线的方程为或.
22．已知直线的方程为点的坐标为.
（1）证明：直线一定经过第一象限；
（2）设直线与轴 轴分别交于，两点，当点到直线的距离取得最大值时，求的面积.
【标准答案】
（1）证明见解析；
（2）.
【思路指引】
（1）将直线整理得，即可知的坐标在第一象限，结论得证.
（2）当直线与直线垂直时，到直线的距离最大，求出直线的斜率，可得直线的斜率，由题意可得参数的值，进而求出，的坐标，求出的值，代入面积公式可得三角形的面积.
（1）
直线：，整理可得：，
∴直线恒过和的交点，即直线恒过定点在第一象限，
∴直线一定经过第一象限；
（2）
由（1）可得：直线恒过定点，
当与垂直时，到直线的距离最大，为，
又，故直线的斜率为，即，可得，
直线的方程为：，
令得：；令得：，即，，
∴，
∴.
23．已知直线与直线交于点.
（1）求过点且垂直于直线的直线的方程；（直线方程写成一般式）
（2）求过点并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程.（直线方程写成一般式）
【标准答案】
（1）
（2）或
【思路指引】
（1）联立方程得，进而根据题意设直线的方程为，再待定系数求解即可；
（2）根据题意，分直线过坐标原点和直线不过坐标原点两种情况讨论求解即可.
（1）
解：由，得.
设直线的方程为，代入点坐标得.
所以直线的方程为
（2）
解：当直线过坐标原点时，直线的方程为，即；
当直线不过坐标原点时，设直线的方程为，代入点坐标得，
所以直线的方程的为，即.
综上所述，直线的方程为或.
24．已知的三个顶点分别为，，.求：
（1）边所在直线的斜截方程；
（2）求的面积.
【标准答案】
（1）
（2）7
【思路指引】
（1）先求出斜率和点斜式方程，化为斜截式即可；
（2）将（1）方程化为一般式，利用点到直线的距离公式和两点间的距离公式求出三角形的高和底，进而求其面积.【来源：21cnj*y.co*m】
（1）
解：因为边所在直线的斜率为，
所以边所在直线方程为，
化为斜截式方程为；
（2）
解：由（1）得边所在直线方程为，
点到直线的距离为，
又，
所以的面积为.
25．（1）已知坐标平面内两点，.当为何值时，直线的倾斜角为锐角？
（2）已知直线.若直线不经过第四象限，求的取值范围.
【标准答案】（1）；（2）
【思路指引】
（1）利用直线的斜率大于零时倾斜角为锐角即可求解；
（2）根据直线不经过第四象限得到直线的斜率和纵截距均大于等于零即可求解.
【详解详析】
解：（1），
所以
因为直线的倾斜角为锐角
所以
解得：
所以当时，直线的倾斜角为锐角
（2）直线
即
因为直线不经过第四象限
所以，解得
所以的取值范围为.
26．已知点，点B，直线：其中．
（1）求直线所经过的定点P的坐标；
（2）若分别过A，B且斜率为的两条平行直线截直线所得线段的长为，求直线的方程．
【标准答案】（1）；（2）．
【详解详析】
解：由题意，其中，
则，
，
，
解得，
直线l所经过的定点P的坐标；
分别过A，B且斜率为的两条平行直线，分别为，
由知，l恒过点，
当斜率存在时，设直线l为，
设直线l与分别交于点E，F，
联立方程组可得，
所以，
即，
所以，
所以直线l：，
当直线l的斜率不存在时，
直线l：时，检验此时不符合题意，
综上，直线l的方程为．
本题考查直线恒过定点、两直线交点的意义及直线与直线的距离，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．21*cnjy*com
由题意可得其中，由此可得方程组，从而可求定点的坐标；
先求出过A，B且斜率为的两条平行直线，再分直线l的斜率存在和不存在两种情况讨论即可．
27．在平面直角坐标系中， ( http: / / www.21cnjy.com )已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴，y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合，如图所示．将矩形折叠，使点A落在线段DC上．【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；
（2）在（1）的条件下，若时，求折痕长的取值范围．
【标准答案】（1）；（2）.
【思路指引】
（1）当时，此时A点与D点重合，求出折痕所在的直线方程．当时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为，可知：A与G关于折痕所在的直线对称，有，解得故G点坐标为，从而折痕所在的直线与OG的交点坐标即线段OG的中点M的坐标表示，即可得出结果；
（2）当时，折痕长为当时，折痕所在的直线交BC于点，交y轴于点，利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出结果．
【详解详析】
（1）当时，此时点A与点D重合，折痕所在的直线方程为；
当时，将矩形折叠后点A落在线段DC上的点记为，
所以点A与点G关于折痕所在的直线对称，有，
即，交点，
故点G的坐标为，
从而折痕所在的直线与OG的交点坐标线段OG的中点为，
所以折痕所在的直线方程为，即，
综上所述，折痕所在的直线方程为；
（2）当时，折痕的长为2；
当时，折痕所在的直线交BC于点，
交y轴于点，，
又因为，所以，所以
综上所述，折痕长的取值范围为．
28．已知的三个顶点分别为，，．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）若过的直线将分割为面积相等的两部分，求b的值；
（2）一束光线从点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射到x轴上的F点，最后再经x轴反射，反射光线所在直线为l，证明直线l经过一定点，并求出此定点的坐标．
【标准答案】（1）；（2）证明见解析，．
【思路指引】
（1）结合图形分析可得直线的斜率大于直线PA的斜率，由此可得直线只能与BC、AB相交，设其与BC的交点为Q点，与x轴的交点为R，根据题设条件得到比例关系，列方程求b；
（2）设，结合光线反射的性质求出直线ED的斜率，由此可得直线l的方程，进而可得定点坐标.
【详解详析】
（1）直线BC的方程为：，
直线只能与BC、AB相交，其与BC的交点为Q点，
由得，，
直线与x轴交点为，，
由，即，
化简得：，又，
，解得：，
而，．
（2）设，直线AC的方程为：，直线BC的方程为：，
设关于直线AC的对称点为，
则，解得，
同理可得关于直线BC的对称点为，
则在直线ED上，所以直线ED的斜率为，
的斜率为，l方程为，即，
过定点．
( http: / / www.21cnjy.com / )
29．如图，设直线：，：点A的坐标为过点A的直线l的斜率为k，且与，分别交于点M，N的纵坐标均为正数www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）设，求面积的最小值；
（2）是否存在实数a，使得的值与k无关若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明理由．
【标准答案】（1）；（2）存在；
【思路指引】
(1)利用直线的点斜式方程直线l的方程，再利用两条直线的交点坐标得和，再结合题目条件得，当时，得直线OA的方程为，
和，以及，再利用点到直线的距离公式得点M和N到直线OA的距离，从而得面积，令，则，从而得S
，再利用基本不等式求最值，计算得结论；
(2)利用(1)的结论，结合两点间的距离公式得和，计算，由得结论．
【详解详析】
(1)因为直线l过点，且斜率为k，
所以直线l的方程为
因为直线l与，分别交于点M，N，所以，
因此由得，即，
由得，即
又因为M，N的纵坐标均为正数，
所以，即
而，因此
又因为当时，直线OA的方程为，
，，且，
所以点M到直线OA的距离为，
点N到直线OA的距离为，
因此面积
令，则且，
因此
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以S的最小值为，即面积的最小值为
(2)存在实数，使得的值与k无关．
由(1)知：，，且
因此，，
所以
又因为，所以当时，为定值，
因此存在实数，使得的值与k无关．
30．已知直线l：，且与坐标轴形成的三角形面积为S.
（1）不论m为何实数，直线l过定点，试求出此点的坐标；
（2）分别求和时，所对应的直线条数；
（3）针对S的不同取值，讨论集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素个数.
【标准答案】
（1）
（2）时有两条直线；时有四条直线；
（3）答案见解析
【思路指引】
（1）直线方程化为，令求得直线所过的定点；
（2）由题意知直线的斜率存在且不为0，设出直线方程，求出直线与、轴的交点，计算对应三角形的面积，由此求得直线条数；21cnjy.com
（3）由题意得，讨论和时方程对应的实数根，从而求出对应直线的条数，即可得出集合直线经过且与坐标轴围成的三角形面积为中元素的个数．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）
解：直线可化为，
令，
解得，
不论为何实数，直线过定点；
（2）
解：由题意知，直线的斜率存在，且，
设直线方程为，则直线与轴的交点为，，
与轴的交点为；
的面积为；
令，得，时，方程化为，
解得，有两个正根，即有两条直线；
时，方程化为，，方程无实数根，即无直线；
综上知，时有两条直线；
令，得，时，方程化为，
解得，有两个正根，即有两条直线；
时，方程化为，解得，有两个负根，即有两条直线；
综上知，时有四条直线；
（3）
解：由题意得，，
时，方程化为，
解得，有两个正根，即有两条直线；
时，方程化为，， 时，
，方程无实数根，此时无直线；
时，，方程有一负根，此时有一条直线；
时，，解得，方程有两负根，即有两条直线；
由直线方程为，不能表示斜率为的直线，
所以当直线的斜率为时，直线方程为，与两坐标轴的交点为，和；
此时直线与坐标轴围成的三角形面积为；
综上知，时有两条直线；
时有三条直线，
时有4条直线；
时有3条直线；
时有4条直线；
即时，集合直线经过且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有2个；
或时，集合直线经过且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有3个；
或时，集合直线经过且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有4个．
【名师指路】
本题考查了直线恒过定点的应用问题，也考查了三角形的面积应用问题和方程解的个数判断问题，是难题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。21·cn·jy·com
思路设计：重在培优训练，分选择 ( http: / / www.21cnjy.com )、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。【来源：21·世纪·教育·网】
第1章坐标平面上的直线单元综合提优专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．若直线相交于同一点，则点到原点的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，已知，，从点射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是（ ）21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C．6 D．
3．已知直线：与直线：平行，则实数为（ ）
A．3 B．-2 C．3或-2 D．以上都不对
4．已知直线和直线，下列说法不正确的是（ ）
A．始终过定点 B．若，则或
C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限
5．原点到直线：的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．过点且与直线平行的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知 ，点 在直线 上，则 的最小值为（ ）
A． B．9 C．10 D．
8．设点，，若直线与线段有交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．设，则直线与直线垂直的充分不必要条件是（ ）
A． B．
C．或1 D．或
10．已知满足方程，则M的轨迹为（ ）
A．直线 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
二、填空题
11．直线过定点______．
12．若△ABC的顶点A（5 ( http: / / www.21cnjy.com )，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，则直线BC的方程为________.21世纪教育网版权所有
13．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝6，AB＝8，点M为△ABC内切圆的圆心，过点M作动直线l与线段AB，AC都相交，将△ABC沿动直线l翻折，使翻折后的点A在平面BCM上的射影P落在直线BC上，点A在直线l上的射影为Q，则的最小值为_____．21cnjy.com
14．已知函数在区间上至少有一个零点，则的最小值为______．
15．已知为等腰直角三角形，C为直角顶点，AC中点为，斜边上中线CE所在直线方程为，且点C的纵坐标大于点E的纵坐标，则AB所在直线的方程为_______________________.
16．已知直线过两直线和的交点，且原点到该直线的距离为，则该直线的方程为_____.
17．在平面直角坐标系中，已知直线：与曲线从左至右依次交于、、三点，若直线：上存在满足，则实数的取值范围是_______．
18．在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上运动，点M是直线上的动点，则的最小值为___________.www.21-cn-jy.com
19．已知a，，曲线，若两条曲线在区间上至少有一个公共点，则的最小值为________．
20．设，求的最小值是___________.
三、解答题
21．若直线的方程为（）．
（1）若直线与直线：平行，求的值；
（2）若直线在两轴上截距都存在且轴上截距是轴上截距的，求该直线的方程．
22．已知直线的方程为点的坐标为.
（1）证明：直线一定经过第一象限；
（2）设直线与轴 轴分别交于，两点，当点到直线的距离取得最大值时，求的面积.
23．已知直线与直线交于点.
（1）求过点且垂直于直线的直线的方程；（直线方程写成一般式）
（2）求过点并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程.（直线方程写成一般式）
24．已知的三个顶点分别为，，.求：
（1）边所在直线的斜截方程；
（2）求的面积.
25．（1）已知坐标平面内两点，.当为何值时，直线的倾斜角为锐角？
（2）已知直线.若直线不经过第四象限，求的取值范围.
26．已知点，点B，直线：其中．
（1）求直线所经过的定点P的坐标；
（2）若分别过A，B且斜率为的两条平行直线截直线所得线段的长为，求直线的方程．
27．在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴，y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合，如图所示．将矩形折叠，使点A落在线段DC上．2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；
（2）在（1）的条件下，若时，求折痕长的取值范围．
28．已知的三个顶点分别为，，．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）若过的直线将分割为面积相等的两部分，求b的值；
（2）一束光线从点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射到x轴上的F点，最后再经x轴反射，反射光线所在直线为l，证明直线l经过一定点，并求出此定点的坐标．
29．如图，设直线：，：点A的坐标为过点A的直线l的斜率为k，且与，分别交于点M，N的纵坐标均为正数21教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）设，求面积的最小值；
（2）是否存在实数a，使得的值与k无关若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明理由．
30．已知直线l：，且与坐标轴形成的三角形面积为S.
（1）不论m为何实数，直线l过定点，试求出此点的坐标；
（2）分别求和时，所对应的直线条数；
（3）针对S的不同取值，讨论集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素个数.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
