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编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。21教育网
思路设计：重在培优训练，分选择、填空 ( http: / / www.21cnjy.com )、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。2·1·c·n·j·y
专题03 ：几种特殊形式的直线方程易错点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．经过点，且方向向量为的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．设是公比为，首项为的等比数列，是其前项和，则点（ ）
A．一定在直线上 B．一定在直线上
C．一定在直线上 D．一定在直线上
3．中，，高，所在的直线方程分别为，，则所在直线的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
4．（2021·上海市嘉定区第二中学高三月考）设是直线:的一个方向向量，是直线的一个法向量.设向量与向量的夹角为，则为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020·上海市向明中学高二月考）已知条件：“直线在两条坐标轴上的截距相等”，条件：“直线的斜率等于”，则是的 21·世纪*教育网
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
6．（2018·上海·格致中学高二期中）下列命题中正确的是（ ）
A．经过点的直线都可以用方程表示
B．经过定点的直线都可以用方程表示
C．经过任意两个不同点的直线都可用方程表示
D．不经过原点的直线都可以用方程表示
7．（2020·上海·复旦附中高二月考）过点作直线l，l经过点和，且a，，则这样的直线l的条数为（ ）．2-1-c-n-j-y
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2018·上海市建平中学高二月考）若P(2,3)既是的中点,又是直线与直线的交点,则线段AB的中垂线方程是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A． B．
C． D．
9．已知直线和，则“”是“直线的法向量是直线的方向向量”的（ ）．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
10．已知、，、、、，直线，，则“”是“直线与垂直”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
二、填空题
11．（2020·上海徐汇·高二期中）在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_______．（写出所有正确命题的编号）【出处：21教育名师】
① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；
② 如果与都是无理数，则直线不经过任何整点；
③ 如果直线经过两个不同的整点，则直线必经过无穷多个整点；
④ 直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数．
12．（2020·上海·格致中学高二期中）过点的直线分别与轴、轴的正半轴交于、两点，则（为坐标原点）面积取得最小值时直线方程为____________.【版权所有：21教育】
13．（2020·上海师大附中高二期中）已知直线l经过点，且和直线的夹角等于，则直线l的方程是_________．21教育名师原创作品
14．已知直线过点，且它的一个方向向量为，则原点到直线的距离为______．
15．（2021·上海市奉贤中学高二月考）经过的直线与两直线和分别交于两点,且满足则直线的方程为__________.21*cnjy*com
16．（2021·上海·高三专题练习）在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点在线段上（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，一同学已正确算得的方程：，请你求的方程：______.21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
17．（2021·上海市洋泾中学高二月考）已知圆和点，则过点且与圆相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________________．
18．在平面直角坐标系内，已知直线l的一个方向向量为，点和在l上的投影分别是点和，若，则实数的值为__________.
19．已知过点的直线L在两坐标轴上的截距均为正值，当两截距之和最小时，求直线L的方程为_________．www.21-cn-jy.com
20．若，直线与交于点P，点P的轨迹C与x、y轴分别相交于A、B两点，O为坐标原点（A、B异于原点O），则满足的位于第一象限内的点P坐标为_______________．
三、解答题
21．如图，在道路边安装路灯，路面OD宽12m，灯柱OB高14m，灯杆AB与地面所成角为30°．路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线AC与灯杆AB垂直，轴线AC，灯杆AB都在灯柱OB和路面宽线OD确定的平面内．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）当灯杆AB长度为多少时，灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线？
（2）如果灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线，此时有一高2.5m的警示牌直立在C处，求警示牌在该路灯灯光下的影子长度．【来源：21·世纪·教育·网】
22．在平面直角坐标系中，已知射线：，：．过点作直线分别交射线于点A，B．
（1）当的中点在直线上时，求直线的方程；
（2）当的面积取最小值时，求直线的方程；
（3）当取最小值时，求直线的方程．
23．（2021·上海·华师大二附中高二月考）已知点，求：
（1）边上的中线所在直线的方程；
（2）边上的高所在的直线的方程；
（3）三角形的面积.
24．（2020·上海市控江中学高二期中）已知直线过定点，且交轴负半轴于点 交轴正半轴于点.点为坐标原点．21世纪教育网版权所有
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（1）若的面积为4，求直线的方程；
（2）求的最小值，并求此时直线的方程；
（3）求的最小值，并求此时直线的方程．
25．（2020·上海市杨浦高级中学高二期中）已知正方形的一条边AB所在直线为，正方形的中心为.www-2-1-cnjy-com
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求:（1）该正方形的面积;
（2）该正方形的两条对角线所在直线的一般式方程.
26．（2020·上海·格致中学高二期中）已知的顶点，的平分线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为.21*cnjy*com
（1）求边所在的直线方程；
（2）求 .
27．（2020·上海市控江中学高二期中）已知坐标平面内第一象限的点到两个定点，距离的比．
（1）若点的纵坐标为，求点的横坐标；
（2）若点到直线的距离为1，求直线的点法向式方程和直线的点方向式方程．
28．直线过点，且与直线和轴围成等腰三角形，求直线的方程.
29．如图，射线，所在直线的方向向量分别为， ，点在内，于， 于.
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）若，，求 的值；
（2）若，的面积是 ，求的值；
（3）已知为常数，，的中点为，且，当 变化时，求的取值范围.
30．（2020·上海师大附中高二期中）数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心、重心位于同一直线上，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线，若的顶点，，且的欧拉线的方程为．21·cn·jy·com
（1）求线段的垂直平分线方程；
（2）求外心（外接圆圆心）的坐标；
（3）求顶点的坐标．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。21*cnjy*com
思路设计：重在培优训练， ( http: / / www.21cnjy.com )分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题03 ：几种特殊形式的直线方程易错点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．经过点，且方向向量为的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
根据题意，由方向向量为，需考虑是否为0，若不为0，则直线存在斜率，求出斜率，再根据直线过点，可求出直线方程表达式，若为时，则直线斜率不存在，由直线过点P可得出直线方程表达式，综合可得出答案.
【详解详析】
由于直线的方向向量为，
当时，直线存在斜率，且斜率.
∵直线过点，
∴直线方程为：，即.
当时，直线不存在斜率，则直线方程为，满足方程.
故选：D.
【名师指路】
本题主要考查了直线的倾斜角与斜率，直线的点斜式方程，直线的方向向量等概念，属于中档题.
2．设是公比为，首项为的等比数列，是其前项和，则点（ ）
A．一定在直线上 B．一定在直线上
C．一定在直线上 D．一定在直线上
【标准答案】D
【思路指引】
由于，即可得出.
【详解详析】
∵，∴，
∴点一定在直线上.
故选：D.
【名师指路】
本题考查了等比数列的前项和公式、直线的方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
3．中，，高，所在的直线方程分别为，，则所在直线的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
由垂直关系可得AB和AC的斜率，进而可得AB和AC的方程，分别解方程组可得B，C的坐标，进而可得方程.21教育名师原创作品
【详解详析】
解：∵两边AB，AC上的高线方程分别为与，
∴它们的斜率分别为，，故AB和AC的斜率分别为，，
∴AB和AC的方程分别为，，
整理为一般式可得，
联立方程组，解得，即，
同理联立，解得，即，
∴BC所在直线的方程为，即.
故选：C.
【名师指路】
本题考查直线的一般式方程和垂直关系，涉及直线的点斜式方程和斜率公式以及方程组的解法，属中档题.
4．（2021·上海市嘉定区第二中学高三月考）设是直线:的一个方向向量，是直线的一个法向量.设向量与向量的夹角为，则为（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
根据给定条件求出直线的方向向量，直线的法向量，再利用向量夹角公式计算即可得解.
【详解详析】
因是直线:的一个方向向量，则，
又是直线的一个法向量，则，
则有向量与向量的夹角为，，
所以.
故选：C
5．（2020·上海市向明中学高二月考）已知条件：“直线在两条坐标轴上的截距相等”，条件：“直线的斜率等于”，则是的 21·cn·jy·com
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【标准答案】B
【详解详析】
当直线过原点时，直线在两条坐标轴上的截距相等，斜率可以为任意数，故不成立；
当直线的斜率等于，可设直线方程为，故其在两坐标轴上的截距均为，故可得成立，则是的必要非充分条件，故选B.www.21-cn-jy.com
6．（2018·上海·格致中学高二期中）下列命题中正确的是（ ）
A．经过点的直线都可以用方程表示
B．经过定点的直线都可以用方程表示
C．经过任意两个不同点的直线都可用方程表示
D．不经过原点的直线都可以用方程表示
【标准答案】C
【思路指引】
根据斜率不存在时不能用点斜式与斜截式表示、截距为零的直线不能用截距式表示，从而可得结果.
【详解详析】
因为直线与轴垂直时不能用点斜式与斜截式表示，所以选项不正确；
因为直线与坐标轴垂直时不能与截距式表示，所以选项不正确；
故选C.
【名师指路】
本题主要考查直线的方程，直线方程主要有五种形 ( http: / / www.21cnjy.com )式，每种形式的 直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式设直线方程时要注意讨论斜是否存在；截距式要注意讨论截距是否为零；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化为一般式.
7．（2020·上海·复旦附中高二月考）过点作直线l，l经过点和，且a，，则这样的直线l的条数为（ ）．2·1·c·n·j·y
A．1 B．2 C．3 D．4
【标准答案】B
【思路指引】
设出直线方程的截距式，把点（1，3）代入直线方程，变形得 3a＝（a﹣1）b，检验a＝1时的情况，当a≥2时，根据b＝3 求a、b 的值．
【详解详析】
∵直线l过点（a，0）和（0，b），可设直线l的方程为：1，
∵直线l过点（1，3），∴1，即 3a＝（a﹣1）b，又a∈N*，b∈N*，
∴当 a＝1时，此时，直线和x轴垂直，和y轴无交点，直线不过（0，b），故a＝1时不满足条件．
当 a≥2时，b3①，
当 a＝2时，b＝6，当 a＝4时，b＝4，
当a＞4时，由①知，满足条件的正整数b不存在，
综上，满足条件的直线有2条，
故选 B．
【名师指路】
本题考查直线的截距式方程的应用，把可作出的l的条数问题转化为求a、b 的值的个数问题，体现了分类讨论和转化的数学思想．
8．（2018·上海市建平中学高二月考）若P(2,3)既是的中点,又是直线与直线的交点,则线段AB的中垂线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
直线与直线方程相减可得：，把点代入可得：，进而得出线段的中垂线方程．
【详解详析】
解：直线与直线方程相减可得：
，
把点代入可得：，
线段的中垂线方程是，化为：．
故选．
【名师指路】
本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．已知直线和，则“”是“直线的法向量是直线的方向向量”的（ ）．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【标准答案】A
【思路指引】
由题意结合直线法向量、方向向量的求解可得直线的法向量与直线的方向向量，若直线的法向量是直线的方向向量，由向量共线的坐标表示可得或，再由充分条件和必要条件的概念即可得解.
【详解详析】
直线和,
直线的一个法向量为，直线的一个方向向量为，
若直线的法向量是直线的方向向量，则直线的法向量与直线的方向向量共线，
，解得或，
“”是“直线的法向量是直线的方向向量” 充分非必要条件.
故选：A.
【名师指路】
本题考查了直线方向向量、法向量的求解，考查了平面向量共线的坐标表示及充分条件、必要条件的判断，属于中档题.
10．已知、，、、、，直线，，则“”是“直线与垂直”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【标准答案】C
【思路指引】
由法向量垂直得直线垂直，从而得到判断．
【详解详析】
直线的一个法向量为，的一个法向量为，
．
故选：C．
【名师指路】
关键点点睛：本题考查直线垂直的充要条件．判断两直线垂直的方法：
（1）从斜率角度，需分类：一条直线斜率不存在，一条直线斜率为0；斜率都在在时，斜率乘积为；
（2）方向向量垂直；
（3）法向量垂直．
二、填空题
11．（2020·上海徐汇·高二期中）在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_______．（写出所有正确命题的编号）
① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；
② 如果与都是无理数，则直线不经过任何整点；
③ 如果直线经过两个不同的整点，则直线必经过无穷多个整点；
④ 直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数．
【标准答案】①③
【思路指引】
给直线分别取不同的方程，可得到②和④的反例，同时找到符合条件①的直线；通过直线经过两个不同的整点可证得其经过无穷多个整点，③正确.
【详解详析】
①令直线为：，则其不与坐标轴平行且不经过任何整点，①正确；
②令直线为：，则直线经过整点，②错误；
③令直线为：，过两个不同的整点，，
则，两式作差得：，
即直线经过整点，
直线经过无穷多个整点，③正确；
④令直线为：，则不过整点，④错误.
故答案为：①③.
【名师指路】
本题考查对于直线方程的理解，关键是能够通过特例来否定命题和验证存在性的问题，对于学生对直线方程特点的掌握有较高的要求.
12．（2020·上海·格致中学高二期中）过点的直线分别与轴、轴的正半轴交于、两点，则（为坐标原点）面积取得最小值时直线方程为____________.
【标准答案】
【思路指引】
设直线的方程为，求出点、的坐标，结合已知条件求出的取值范围，然后求出的面积关于的表达式，利用基本不等式可求出面积的最小值，利用等号成立求出的值，即可得出所求直线的方程.
【详解详析】
易知直线的斜率存在且不为零，
设直线的方程为，即.
在直线的方程中，令，可得；令，可得.
所以，点、.
由已知条件可得，解得.
的面积为.
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，直线的方程为，即.
故答案为：.
【名师指路】
关键点点睛：解本题的关键在于将三角形的面积利用斜率有关的代数式表示，并结合基本不等式求出三角形面积的最小值，同时不要忽略了斜率的取值范围的求解.【来源：21cnj*y.co*m】
13．（2020·上海师大附中高二期中）已知直线l经过点，且和直线的夹角等于，则直线l的方程是_________．
【标准答案】或
【思路指引】
分析可得已知直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为或，分类讨论并利用点斜式方程求解即可.
【详解详析】
由已知可得直线的斜率，所以倾斜角为，
因为直线与的夹角为，所以直线的倾斜角为或，
当倾斜角为时,直线为，即为；
当倾斜角为时,直线为，
故答案为：或.
【名师指路】
本题考查直线与直线的夹角，关键点是求出直线的倾斜角得到l的倾斜角，考查求直线方程，考查分类讨论思想.
14．已知直线过点，且它的一个方向向量为，则原点到直线的距离为______．
【标准答案】
【思路指引】
求出直线的方程，然后利用点到直线的距离公式可求出原点到直线的距离.
【详解详析】
由于直线的一个方向向量为，则直线的斜率为，所以，直线的方程为，即，因此，原点到直线的距离为.
故答案为.
【名师指路】
本题考查点到直线距离的计算，同时也考查 ( http: / / www.21cnjy.com )了直线方向向量的应用，解题时要根据题中条件得出直线的斜率，并写出直线的方程，考查计算能力，属于中等题.
15．（2021·上海市奉贤中学高二月考）经过的直线与两直线和分别交于两点,且满足则直线的方程为__________.
【标准答案】
【思路指引】
先讨论可得当直线的斜率不存在时，不满足条件，设出直线的斜截式方程，结合，求出直线的斜率，可得直线的方程．www-2-1-cnjy-com
【详解详析】
解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时直线与两直线和的交点、的坐标分别为，，则，不满足，
故直线的斜率存在，设直线的斜率为，
则直线的方程为：，
则直线与两直线和的交点、的横坐标分别为，，
，
，
解得：，
故直线的方程为：；
故答案为：
【名师指路】
本题考查的知识点是直线的方程，直线的交点坐标，分类讨论思想，难度中档．
16．（2021·上海·高三专题练习）在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点在线段上（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，一同学已正确算得的方程：，请你求的方程：______.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【思路指引】
写出直线AB，CP的截距式方程，两式相减即所求直线方程.
【详解详析】
直线交于点F，两式相减得：
，F满足该方程，O在该直线上，
则就是的方程.
故答案为：
【名师指路】
此题考查求直线方程，关键在于熟练掌握直线的截距式方程，根据求交点坐标方法可得所求直线方程.
17．（2021·上海市洋泾中学高二月考）已知圆和点，则过点且与圆相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________________．2-1-c-n-j-y
【标准答案】
【思路指引】
易知点在圆上，圆心与的连线的斜率的负倒数为所求直线的斜率，写出直线方程，求截距后计算三角形面积.
【详解详析】
易知点在圆上，圆心与的连线的斜率为．
设切线斜率为，则．
所以过点A且与圆O相切的切线方程为，即．易知切线在两坐标轴上的截距分别为5，，所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为．
【名师指路】
本题主要考查了直线和圆相切的位置关系，直线方程的求法，属于中档题.
18．在平面直角坐标系内，已知直线l的一个方向向量为，点和在l上的投影分别是点和，若，则实数的值为__________.【出处：21教育名师】
【标准答案】
【思路指引】
不妨设直线过原点，写出直线的方程，然后求得的坐标，即为，得向量，即可得．
【详解详析】
不妨设直线过原点，则直线的方程为，即，
设，∴，由得，解得，∴，
又，∴，∴．
故答案为：．
【名师指路】
结论点睛：两条直线垂直的充要条件的向量方法： ( http: / / www.21cnjy.com )（1）两条直线的法向量垂直，（2）两条直线的方向向量垂直，（3）一条直线的方向向量与另一条直线的法向量平行．
19．已知过点的直线L在两坐标轴上的截距均为正值，当两截距之和最小时，求直线L的方程为_________．
【标准答案】
【详解详析】
试题分析：设直线方程为
当且仅当即时等号成立，取得最小值，此时，所以方程为
考点：1．直线方程；2．均值不等式求最值
20．若，直线与交于点P，点P的轨迹C与x、y轴分别相交于A、B两点，O为坐标原点（A、B异于原点O），则满足的位于第一象限内的点P坐标为_______________．
【标准答案】
【思路指引】
分别求得直线过定点，直线过定点，且，根据，求得点的轨迹方程，得到，联立方程组，求得，再结合两点间的距离公式和圆的方程，联立方程组，即可求得点的坐标.
【详解详析】
由题意，将直线变形为，
由，解得，即直线过定点，
同理可得直线过定点，且，
设点的坐标为，则，
由，
可得，
整理得，
令，可得，令，可得，即,
所以时点的轨迹圆的一条直径，则，
由勾股定理，可得，
联立方程组 ，解得，
由于点在第一象限，则，
由两点间的距离公式，可得，
联立方程组，解得，
即点的坐标为.
故答案为：.
【名师指路】
方法点睛：本题解答的关键在于找出直线所过的顶点，以及垂直条件，求得点的轨迹方程，以及结合题设条件联立方程组进行求解.
三、解答题
21．如图，在道路边安装路灯，路面OD宽12m，灯柱OB高14m，灯杆AB与地面所成角为30°．路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线AC与灯杆AB垂直，轴线AC，灯杆AB都在灯柱OB和路面宽线OD确定的平面内．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）当灯杆AB长度为多少时，灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线？
（2）如果灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线，此时有一高2.5m的警示牌直立在C处，求警示牌在该路灯灯光下的影子长度．
【标准答案】（1）当灯杆AB长度为2m时，灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线；（2）m.
【思路指引】
（1）分别以图中OD、OB所在直线为x、y轴，建立平面直角坐标系，求出直线和方程后可得点坐标，从而得；
（2）设警示牌为CM，由的大小得点坐标，从而可得直线方程，求得它与轴交点的坐标，得影子长．
【详解详析】
解：（1）分别以图中OD、OB所在直线为x、y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
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灯杆AB与地面所成角为30°，B（0，14），AB方程为：y＝x+14，…①
因为灯罩线AC与灯杆AB垂直，
可设的斜率为，则＝，
又C（6，0），
所以直线AC的方程为：y＝（x﹣6），…②
由①②组成方程组，求得点A（，15）；
所以|AB|＝＝2，
即当灯杆AB长度为2m时，灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线；
（2）设警示牌为CM，且CM⊥OD，
则M（6，），A（，15），
所以直线AM的方程为：y﹣15＝（x﹣），
令yN＝0，解得xN＝7，
所以CN＝7﹣6＝.
所以警示牌在该路灯灯光下的影子长度为m．
【名师指路】
本题考查直线方程的应用，解题关键是建立平面直角坐标系，求出直线方程，由直线方程得交点坐标，得线段长．【来源：21·世纪·教育·网】
22．在平面直角坐标系中，已知射线：，：．过点作直线分别交射线于点A，B．
（1）当的中点在直线上时，求直线的方程；
（2）当的面积取最小值时，求直线的方程；
（3）当取最小值时，求直线的方程．
【标准答案】（1）（2）（3）
【思路指引】
（1）设，，根据的中点在直线上求出，利用斜率公式求出直线的斜率，再由点斜式可求出直线的方程；21·世纪*教育网
（2）设直线的方程为，求出的坐标，利用求出面积关于的解析式，再根据基本不等式求最值可得和直线的方程；
（3）利用（2）中的坐标求出、，得到关于的函数关系式，再换元利用基本不等式求出取最小值时的，从而可得直线的方程.
【详解详析】
（1）设，，则的中点为，
因为的中点在直线上，
所以，即，
所以直线的斜率，
所以直线的方程为，即.
（2）设直线的方程为，
联立，得，所以，
联立，得，，所以，
所以，
因为，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为，此时，直线的方程为，即.
（3）由（2）知，，
，
所以
，
令，则
，当且仅当，即时，取得最大值，取得最小值，此时直线的方程为，即.
【名师指路】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；21*cnjy*com
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
23．（2021·上海·华师大二附中高二月考）已知点，求：
（1）边上的中线所在直线的方程；
（2）边上的高所在的直线的方程；
（3）三角形的面积.
【标准答案】
（1）
（2）
（3）
【思路指引】
（1）求得中点，结合求得边上的中线所在直线的方程.
（2）求得直线的斜率，由点斜式求得边上的高所在的直线的方程.
（3）求得到直线的距离，结合的长度求得三角形的面积.
（1）
的中点为，即，
由于，所以边上的中线所在直线的方程为.
（2）
，所以边上的高的斜率为，
所以边上的高所在直线方程为.
（3）
直线的方程为，
到的距离为，
，
所以.
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24．（2020·上海市控江中学高二期中）已知直线过定点，且交轴负半轴于点 交轴正半轴于点.点为坐标原点．21世纪教育网版权所有
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（1）若的面积为4，求直线的方程；
（2）求的最小值，并求此时直线的方程；
（3）求的最小值，并求此时直线的方程．
【标准答案】（1）；（2），；（3）4；.
【思路指引】
（1）设，代入点坐标，得到，再利用面积公式得到，两式联立求解，即可得出结果；（2），得到，利用基本不等式求解即可；（3）利用，，三点共线，可得，利用平面向量的数量积公式以及基本不等式即可求解.
【详解详析】
（1）设，
因为过点，
所以，
所以，
由解得，
所以直线的方程为，
即；
（2），
所以，
当且仅当，时取等号，
所以直线的方程为；
（3）因为，，三点共线，
所以，
当且仅当，时取等号，
所以直线的方程为.
【名师指路】
关键点睛：本题主要考查了直线方程的求解，解题的关键是基本不等式的应用.
25．（2020·上海市杨浦高级中学高二期中）已知正方形的一条边AB所在直线为，正方形的中心为.
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求:（1）该正方形的面积;
（2）该正方形的两条对角线所在直线的一般式方程.
【标准答案】（1）；（2）或.
【思路指引】
（1）利用点到直线的距离公式得到，再利用，即可求出结果.（2）设对角线所在直线的方程为，可设两直线的法向量分别为，，设两直线夹角为，，代入得到或，即可求出结果.
【详解详析】
（1）正方形的一条边AB所在直线为，
正方形的中心为，
则正方形的中心到AB所在直线的距离为：
，
所以正方形的面积：；
（2）设对角线所在直线的方程为，
边所在直线为，
两直线的法向量分别为，，
设两直线夹角为，
则，
或，
两条对角线方程为或，
即或.
【名师指路】
关键点睛：设两直线的法向量分别为，，利用夹角得到的关系式是解决本题的关键.
26．（2020·上海·格致中学高二期中）已知的顶点，的平分线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为.
（1）求边所在的直线方程；
（2）求 .
【标准答案】（1）；（2）.
【思路指引】
（1）求出点关于直线和对称的点，利用两个对称点都在直线上，即可求得边所在的直线方程；
（2）联立直线方程求出两点的坐标，利用两点间距离公式求出三条边长，再利用余弦定理即可求得.
【详解详析】
（1）作点关于的平分线的对称点，
作点关于的平分线的对称点，
由题意得，，，四点共线，
所以直线的方程为，即；
（2）由得，由得，
又，
所以，
，
，
由余弦定理得，
所以.
【名师指路】
关键点点睛：根据角的两边所在的直线关于角的平分线所在的直线对称，可得与关于直线对称，与关于直线对称，所以点关于直线，对称的点都在直线上，即可求得边所在的直线方程；第二问求角要想到利用余弦定理，因此需要求两点的坐标，利用两点间距离公式求三边长.
27．（2020·上海市控江中学高二期中）已知坐标平面内第一象限的点到两个定点，距离的比．
（1）若点的纵坐标为，求点的横坐标；
（2）若点到直线的距离为1，求直线的点法向式方程和直线的点方向式方程．
【标准答案】（1）；（2）；.
【思路指引】
（1）根据直接法，利用，设，代入化简即可得到点的轨迹方程，由的纵坐标为，代入即可得解；
（2）根据几何关系，因为点到直线的距离为1，，所以，，求出直线方程，代入圆的方程求得点坐标，即可得解.
【详解详析】
（1）设，因为，
所以，
化简得，
令，得，解得，
所以点的横坐标为；
（2）因为点到直线的距离为1，，
所以，，
所以直线的方程为
把代入，
得，
解得，
所以点的坐标为或
或或，
所以直线的方程为或，
所以直线的点法向式方程为
直线的点方向式方程为.
【名师指路】
本题考查了求轨迹方程，考查了直线和圆的位置关系以及直线的点法向式方程和点方向式方程，有一定的计算量，属于中档题.
本题的关键点有：
（1）直接法求轨迹方程，利用条件直接列式求方程；
（2）计算能力和计算技巧，计算能力和计算技巧是解决解析几何问题的关键能力，需强化训练.
28．直线过点，且与直线和轴围成等腰三角形，求直线的方程.
【标准答案】；；；
【思路指引】
如图所示：讨论四种情况分别计算得到直线方程.
【详解详析】
如图所示：易知直线为和时，形成等腰三角形；
当是等腰三角形时：
此时直线方程为：
当是等腰三角形时：
此时直线方程为：
综上所述：；；；
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【名师指路】
本题考查了直线方程，漏解是容易发生的错误.
29．如图，射线，所在直线的方向向量分别为， ，点在内，于， 于.
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（1）若，，求 的值；
（2）若，的面积是 ，求的值；
（3）已知为常数，，的中点为，且，当 变化时，求的取值范围.
【标准答案】（1）；（2）或2；（3）
【思路指引】
(1)求出,点P到直线的距离,利用勾股定理,求的值;
(2)直线OA的方程为 ,求出到直线的距离,利用勾股定理求出,利用 的面积为,求k的值;
(3)设直线OA的倾斜角为,求出, ,利用,可得P变化时,动点 T轨迹方程,求出,即可求的取值范围.21cnjy.com
【详解详析】
（1）， ，
若，则， 的方程为，即，
则点到直线的距离为，
；
（2）直线OA的方程为,到直线的距离为 ,
,
的面积为,
或2；
（3）设, ,,, ,,
设直线OA的倾斜角为,则， ,
根据题意得，解得 ，
代入，
化简得动点T轨迹方程为.
,
当且仅当时, 取得最小值.
的取值范围是 .
【名师指路】
本题考查三角形面积，考查轨迹方程，解题的关键是正确利用图形关系，得出三角形面积的表达式.
30．（2020·上海师大附中高二期中）数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心、重心位于同一直线上，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线，若的顶点，，且的欧拉线的方程为．21教育网
（1）求线段的垂直平分线方程；
（2）求外心（外接圆圆心）的坐标；
（3）求顶点的坐标．
【标准答案】（1）；（2）；（3）.
【思路指引】
（1）线段的中垂线经过中点，与直线垂直，故求出中点和中垂线斜率点入点斜式化简即可；
（2）联立线段的中垂线方程，的欧拉线方程即可求出外心坐标；
（3）设出点坐标，将重心用表示代入欧拉线方程，再结合（2）中的外心坐标，外心到三个顶点距离相等，得到方程组求出顶点的坐标.【版权所有：21教育】
【详解详析】
解：（1）由题意可得：线段的中点为，直线的斜率为，
所以线段的垂直平分线的斜率为
所以线段的垂直平分线方程为，即；
（2）由，解得，
所以外心F（外接圆圆心）的坐标为；
（3）设，由重心坐标公式得重心为，
代入欧拉线的方程，得 ①，
由，得 ②，
由①②解得或，
当时，点B，C重合，所以，
所以顶点的坐标为．
【名师指路】
1.求解直线方程的2种方法：
（1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；
（2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；
②由条件建立所求参数的方程(组)；
③解这个方程(组)求出参数；
④把参数的值代入所设直线方程.
2.谨防3种失误:
（1）应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在；
（2）应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0；
（3）应用一般式确定直线的斜率时注意讨论是否为0.
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