中小学教育资源及组卷应用平台
编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。21世纪教育网版权所有
思路设计：重在培优训练，分选择 ( http: / / www.21cnjy.com )、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21教育网
专题04 ：解析几何之两条直线的位置关系必考点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．过点（1，3）且与原点相距为1的直线共有（ ）.
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
2．若，且分别是直线的法向量，则的值分别可以是（ ）
A．2，1 B．1，2 C． D．
3．设，则“”是“直线和直线平行”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2020·上海交大附中高二开学考试）已知直线及与函数图像的交点分别为A，B，与函数图像的交点分别为C，D，则直线与（ ）21cnjy.com
A．相交，且交点在坐标原点 B．相交，且交点在第一象限
C．相交，且交点在第二象限 D．相交，且交点在第四象限
5．（2020·上海市嘉定区第一中学高二期中）对于直线，下列说法不正确的是
A．无论如何变化，直线的倾斜角的大小不变
B．无论如何变化，直线一定不经过第三象限
C．无论如何变化，直线必经过第一、二、三象限
D．当取不同数值时，可得到一组平行直线
6．（2020·上海市金山中学高二期中）若直线与平行，则与间的距离为（ ）
A． B．
C． D．
7．是“直线与直线相互垂直”的（ ）.
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2021·上海市杨浦高级中学高二期末）已知、、、、、，直线：，：，则“”是“直线与平行”的（ ）2·1·c·n·j·y
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
9．（2021·上海青浦·高二期末）已知直线l1∶xsina+y=0与直线l2∶3x+y+c=0，则下列结论中正确的是（ ）
A．直线l1与直线l2可能重合
B．直线l1与直线l2可能垂直
C．直线l1与直线l2可能平行
D．存在直线l1外一点P，直线l1绕点P旋转后可与直线l2重合
10．在平面直角坐标系中，已知过点和的直线与直线平行，则的值为（ ）
A．0 B．10 C．2 D．
二、填空题
11．已知直线：、：，若，则实数_________.
12．直线与直线的夹角为______________.
13．（2021·上海·南洋中学高三月考）若直线与互相垂直，则实数的值为______.
14．（2021·上海奉贤区致远高级中学高二期末）已知直线与平行，则___________.
15．（2021·上海市奉贤中学高三月考）直线和直线是平行直线，则实数________.
16．（2021·上海徐汇·高二期末）若直线与直线平行，则实数m的值为____________
17．（2021·上海静 ( http: / / www.21cnjy.com )安·高二期末）两条直线2x+y-2= 0和2x +4y-5= 0的夹角大小为__________.（结果用反三角函数值表示）【来源：21·世纪·教育·网】
18．（2021·上海市洋泾中学高二月考）直线与直线的夹角大小为____________（用反三角表示）．21·世纪*教育网
19．若直线和平行，则实数的值为__________．
20．已知直线和的夹角为，那么的值为____________.
三、解答题
21．求证：不论取何实数，直线恒过一个定点，并求此定点坐标.
22．已知，，求当为何值时，与相交、平行或重合．
23．（2020·上海市新场中学高二月考）已知直线和.
（1）当为何值时两直线平行；
（2）当时，求直线与所成夹角的大小.（用反三角表示）
24．已经直线与两点
（1）若与直线平行，求它们之间的距离以及的倾斜角；
（2）若与线段无公共点，求的取值范围.
25．当m为何值时，直线与直线.
（1）相交；
（2）垂直；
（3）平行；
（4）重合.
26．（2021·上海崇明·一模）直线与直线的夹角大小等于_______. (结果用反三角函数值表示).21·cn·jy·com
27．已知等腰三角形的底边所在直线，一条腰所在直线，另一条腰过点，求这条腰所在直线方程.
28．求直线关于对称的直线方程．
29．已知为实数，设直线的方程为，直线的方程为.
（1）若与平行，求的值；
（2）当与相交时，用表示交点的坐标，并说明点一定在某一条定直线上.
30．从点出发的一束光线依次经过直线和反射后回到点．设和上反射点分别为和，求直线的方程．www.21-cn-jy.com
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。2·1·c·n·j·y
思路设计：重在培优训练，分选 ( http: / / www.21cnjy.com )择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。【来源：21cnj*y.co*m】
专题04 ：解析几何之两条直线的位置关系必考点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．过点（1，3）且与原点相距为1的直线共有（ ）.
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【标准答案】C
【思路指引】
分类讨论，当斜率不存在时，验证成立；当斜率存在时，求出点斜式方程，再利用点到直线的距离公式求出斜率即可求解.【出处：21教育名师】
【详解详析】
当斜率不存在时，过点（1，3）的直线为，原点到直线的距离为1，满足题意；
当斜率存在时，设直线的斜率为，则直线方程为，
即，
则原点到直线的距离，解得，
即直线方程为，
即满足题意的直线有2条.
故选：C
【名师指路】
本题考查了点斜式方程、点到直线的距离公式，考查了分类讨论的思想，属于基础题.
2．若，且分别是直线的法向量，则的值分别可以是（ ）
A．2，1 B．1，2 C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
由已知可得，从而有，求出关系，逐项验证即可.
【详解详析】
，
分别是直线，
的法向量，，
，
选项A，满足，选项B，C，D均不满足.
故选：A.
【名师指路】
本题考查直线与法向量间的关系，以及直线与直线的位置关系，考查计算求解能力，属于基础题.
3．设，则“”是“直线和直线平行”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【标准答案】C
【思路指引】
先判断当成立是否能推出两条直线平行；再判断当两条直线平行时，一定有成立，利用充要条件的定义得到结论．【版权所有：21教育】
【详解详析】
解：当时，两条直线的方程分别是和，此时两条直线平行成立
反之，当两条直线平行时，有但即或，
时，两条直线都为，重合，舍去
所以“”是“直线和直线平行”的充要条件．
故选：．
【名师指路】
本题考查充分条件、必要条件的判定、两直线平行的判定等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．【来源：21·世纪·教育·网】
4．（2020·上海交大附中高二开学考试）已知直线及与函数图像的交点分别为A，B，与函数图像的交点分别为C，D，则直线与（ ）
A．相交，且交点在坐标原点 B．相交，且交点在第一象限
C．相交，且交点在第二象限 D．相交，且交点在第四象限
【标准答案】A
【思路指引】
分别求出直线与和的交点坐标，再求直线方程可得出答案.
【详解详析】
由得，得，
所以直线AB的方程为，即
由得，得
所以直线CD的方程为，即，
直线与相交，且交点在坐标原点，
故选：A.
【名师指路】
本题考查直线与对数函数的交点问题，直线与直线的位置关系问题，属于基础题.
5．（2020·上海市嘉定区第一中学高二期中）对于直线，下列说法不正确的是
A．无论如何变化，直线的倾斜角的大小不变
B．无论如何变化，直线一定不经过第三象限
C．无论如何变化，直线必经过第一、二、三象限
D．当取不同数值时，可得到一组平行直线
【标准答案】C
直线，化为：，根据直线斜率与在轴上的截距的意义即可判断出正误．
【详解详析】
直线，化为：，
可得斜率，倾斜角为轴上的截距为，
因此无论如何变化，直线必经过第一、二、四象限，C错；
直线一定不经过第三象限，B对；
直线的倾斜角的大小不变，A对；
当取不同数值时，可得到一组平行直线，D对；
故选：．
6．（2020·上海市金山中学高二期中）若直线与平行，则与间的距离为（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
由两直线平行的判定有且求参数a，应用平行线距离公式求与间的距离.
【详解详析】
∵直线与平行，
∴且，解得．
∴直线与间的距离．
故选：B．
7．是“直线与直线相互垂直”的（ ）.
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【标准答案】A
【思路指引】
对分类讨论，利用两条相互垂直的直线与斜率之间的关系即可得出．
【详解详析】
解：对于：直线与直线，
当时，分别化为：，，此时两条直线不垂直，舍去；
当时，分别化为：，，此时两条直线相互垂直，因此满足条件；
当，0时，两条直线的斜率分别为：，，由于两条直线垂直，可得，解得或（舍去）．
综上可得：两条直线相互垂直的充要条件为：或．
是“直线与直线相互垂直”的充分而不必要条件．
故选：．
【名师指路】
本题考查了两条相互垂直的直线与斜率之间的关系，考查了分类讨论思想、推理能力与计算能力，属于中档题．
8．（2021·上海市杨浦高级中学高二期末）已知、、、、、，直线：，：，则“”是“直线与平行”的（ ）21世纪教育网版权所有
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【标准答案】D
【思路指引】
判断是否可以推出；再判断是否可以推出，结合充分必要条件的定义即可得出结果.
【详解详析】
当时，两直线可能平行，也可能重合，故充分性不成立；
当时，与可能都等于0，故不一定成立，故必要性不成立；
综上所述，是的既非充分又非必要条件.
故选：
9．（2021·上海青浦·高二期末）已知直线l1∶xsina+y=0与直线l2∶3x+y+c=0，则下列结论中正确的是（ ）
A．直线l1与直线l2可能重合
B．直线l1与直线l2可能垂直
C．直线l1与直线l2可能平行
D．存在直线l1外一点P，直线l1绕点P旋转后可与直线l2重合
【标准答案】B
【思路指引】
由直线位置关系的平行、重合、垂直的条件可得答案.
【详解详析】
直线l1∶xsina+y=0的斜率为，与直线l2∶3x+y+c=0斜率为，
若直线l1与直线l2重合，则，且，由于，故A错误；
若，则，直线l1与直线l2可能垂直，故B正确；
若直线l1与直线l2平行，则，由于，故C错误；
由AC知，直线l1与直线l2既不可能重合也不可能平行，只能相交，故直线l1不可能绕P旋转后与直线l2重合，故D错误.21cnjy.com
故选：B.
10．在平面直角坐标系中，已知过点和的直线与直线平行，则的值为（ ）
A．0 B．10 C．2 D．
【标准答案】D
【思路指引】
利用过点和的直线与直线的斜率相等可得答案.
【详解详析】
∵直线的斜率等于，
∴过点和的直线的斜率也是，
，解得，
故选：D.
二、填空题
11．已知直线：、：，若，则实数_________.
【标准答案】0或
若直线：与直线：垂直，则，代入数据计算即得.
【详解详析】
直线：、：，且，
,即，
解得或.
故答案为：或.
【名师指路】
本题考查直线的位置关系，属于基础题.
12．直线与直线的夹角为______________.
【标准答案】
【思路指引】
先利用斜率之积为，判定两直线垂直，即可得解.
【详解详析】
由直线与直线的方程可知，
两直线的斜率分别为：，∴，∴,∴两直线的夹角为.
故答案为：.
【名师指路】
本题考查两直线的夹角的求法，关键根据两直线的方程求得斜率，根据斜率是否乘积为，从而判定两直线是否垂直是关键点.21·cn·jy·com
13．（2021·上海·南洋中学高三月考）若直线与互相垂直，则实数的值为______.
【标准答案】或
【思路指引】
利用求解.
【详解详析】
因为直线与垂直，则
，解得：或.
故答案为：或.
【名师指路】
本题考查直线的垂直问题，比较简单. 一般地，两直线平行时有；两直线垂直时.
14．（2021·上海奉贤区致远高级中学高二期末）已知直线与平行，则___________.
【标准答案】
【思路指引】
根据平行可得斜率相等列出关于参数的方程，解方程进行检验即可求解.
【详解详析】
因为直线与平行，
所以，解得或，
又因为时，，，
所以直线，重合故舍去，
而,,，所以两直线平行.
所以，
故答案为：3.
【名师指路】
(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要 ( http: / / www.21cnjy.com )考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．www.21-cn-jy.com
(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．
15．（2021·上海市奉贤中学高三月考）直线和直线是平行直线，则实数________.
【标准答案】
【思路指引】
根据直线平行的等价条件列关于的方程即可求解.
【详解详析】
因为直线和直线是平行直线，
所以，解得：，
故答案为：.
16．（2021·上海徐汇·高二期末）若直线与直线平行，则实数m的值为____________
【标准答案】
【思路指引】
利用两条直线平行的充要条件，列式求解即可．
【详解详析】
解：因为直线与直线平行，
所以，
解得．
故答案为：．
17．（2021·上海静安·高二期末）两条 ( http: / / www.21cnjy.com )直线2x+y-2= 0和2x +4y-5= 0的夹角大小为__________.（结果用反三角函数值表示）21·世纪*教育网
【标准答案】
【思路指引】
先求出两条直线的斜率，再利用两条直线的夹角公式求出两条直线的夹角的正切值，即可求得两条直线的夹角.
【详解详析】
设两条直线的斜率为的斜率为，
这两条直线的夹角为则
由两条直线的夹角公式可得，可得，
故答案为：
18．（2021·上海市洋泾中学高二月考）直线与直线的夹角大小为____________（用反三角表示）．www-2-1-cnjy-com
【标准答案】
【思路指引】
构造三角形，结合余弦定理求得夹角的大小.
【详解详析】
，，
，
，
所以，
所以两直线夹角的大小为.
故答案为：
( http: / / www.21cnjy.com / )
19．若直线和平行，则实数的值为__________．
【标准答案】或2
【详解详析】
试题分析：依题意可得,解得或．
考点：两直线平行．
20．已知直线和的夹角为，那么的值为____________.
【标准答案】3或
【思路指引】
利用两直线夹角的正切公式：（为两直线的夹角且,），得到方程，求解出参数的值即可.
【详解详析】
因为的斜率，的斜率，
又因为两直线的夹角为，所以，
解得：或.
故答案为或.
【名师指路】
本题考查两直线夹角的正切公式的运用，难度一般.已知两条直线的夹角为（）且两条直线的斜率为，则.21教育网
三、解答题
21．求证：不论取何实数，直线恒过一个定点，并求此定点坐标.
【标准答案】证明见解析，.
通过直线方程变形转化成两直线的交点系方程即可求出定点或通过先取两条特殊直线求交点，最后验证该点坐标满足方程即可.2-1-c-n-j-y
【详解详析】
解：证法一 将直线方程变形为，
它表示过两直线和的交点的直线系，
则，解方程组得.所以此直线恒过定点.
证法二 令，得.再令得.
两直线和的交点是，将点代入直线方程，
左边.所以此直线恒过定点.
【名师指路】
本题考查直线过定点，属于基础题.
22．已知，，求当为何值时，与相交、平行或重合．
【标准答案】见解析
【思路指引】
利用两直线相交、平行和重合的等价条件列出关于的等式或不等式，即可解得的值或取值范围.
【详解详析】
已知，.
若直线与相交，则，即，解得且且；
若直线与平行，则，解得或；
若直线与重合，则，解得.
综上所述，当或时，；当时，与重合；当且且时，与相交．
【名师指路】
本题考查利用两直线的位置关系求参数，考查计算能力，属于基础题.
23．（2020·上海市新场中学高二月考）已知直线和.
（1）当为何值时两直线平行；
（2）当时，求直线与所成夹角的大小.（用反三角表示）
【标准答案】（1）；（2）
【思路指引】
（1）根据两直线平行的等价条件且 即可求解；
（2）分别求出直线，的斜率，设直线与所成夹角为，再利用公式即可求夹角的正切值，即可求解.21*cnjy*com
【详解详析】
（1）若直线和平行.
则且 ，解得：，
（2）当时，直线和.
直线的斜率为，直线的斜率为，
设直线与所成夹角为，则，
可得，
所以直线与所成夹角为.
24．已经直线与两点
（1）若与直线平行，求它们之间的距离以及的倾斜角；
（2）若与线段无公共点，求的取值范围.
【标准答案】（1）；；（2）
【思路指引】
（1）由两点连线斜率公式可求得，即，从而得到直线方程及、直线方程；根据反三角函数可求得倾斜角，利用平行直线间距离公式可求得所求距离；21*cnjy*com
（2）首先确定直线恒过定点，可知临界状态为，利用两点连线斜率公式求得，可知，从而得到结果.
【详解详析】
（1）由坐标可得：
直线方程为：，即
与直线平行 ，即
设直线倾斜角为
直线与直线之间距离
（2）由题意知，直线恒过点
，
与线段无公共点 ，即
【名师指路】
本题是对直线部分知识的综合考查，涉及到直 ( http: / / www.21cnjy.com )线斜率与倾斜角的关系、两条直线平行的位置关系的应用、平行直线间距离公式、根据直线与线段交点情况求解斜率范围的问题，属于基础题.
25．当m为何值时，直线与直线.
（1）相交；
（2）垂直；
（3）平行；
（4）重合.
【标准答案】（1）且；（2）；（3）；（4）.
【思路指引】
若两直线，（1）由相交，有；（2）由垂直，有；（3）（4）由平行或重合，有；根据以上不同情况列方程求m的值.
【详解详析】
（1）两线相交，则，即，得且；
（2）两线垂直，则，即，得；
（3）两线平行，则，即，得且，
当时，两直线方程均为为同一直线，不合题意；
当时，直线方程分别为、.
∴.
（4）由（3）知：两线重合，有.
【名师指路】
易错点点睛：两直线平行求参数后，注意验证参数值，判断两直线是平行，还是重合，进而确定正确的参数值.
26．（2021·上海崇明·一模）直线与直线的夹角大小等于_______. (结果用反三角函数值表示).
【标准答案】
【思路指引】
先分别求出两条直线的斜率，再套用夹角公式即可求出答案.
【详解详析】
直线与直线的斜率分别为0和2，设它们的夹角为，
所以，则.
故答案为：.
27．已知等腰三角形的底边所在直线，一条腰所在直线，另一条腰过点，求这条腰所在直线方程.
【标准答案】
【思路指引】
设的斜率分别为，到的角为，到的角为，根据三角形为等腰三角形，利用到角公式，由，即求解.
【详解详析】
设的斜率分别为，
因为，，
所以，
设到的角为，到的角为，
所以，
因为三角形为等腰三角形，
所以，
所以，
解得，
又因为另一条腰过点，
所以的直线方程为：，
即
【名师指路】
本题主要考查两直线成角的概念已经到角公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
28．求直线关于对称的直线方程．
【标准答案】
【思路指引】
设上任意一点关于的对称点为在直线上，利用直线是的垂直平分线，建立方程关系，将用表示，代入直线方程，整理即可；由于相交，可得直线也过该交点，在直线再取一点，求出该点关于直线对称点的坐标，且在直线上，即可求解；或利用分别与夹角相等，设直线的斜率为，确定三直线的方向向量，应用夹角公式建立方程，求解即可.
【详解详析】
解法1：设上任意一点关于的对称点为，
则．
由于在直线上，
代入得即．
解法2：由．故与交点坐标为．
另取上不同于的一点，设关于的对称点，则
，即点坐标为．
所以，过与的直线的方程为，
即．
解法3：由．故与交点坐标为．
设直线的斜率为，则直线的一个方向向量为，
又直线一个方向向量为，直线的一个方向向量为，
则（舍），．
所以，直线的方程为，即．
【名师指路】
本题考查直线关于直线对称的方程，常用的方法有：（1）转移代入法求曲线的轨迹方程；
（2）通过两个特殊点求出直线方程；（3）通过夹角公式求出对称直线斜率，联系一个特殊点,用点斜式求出直线方程.考查计算求解能力，属于中档题.21教育名师原创作品
29．已知为实数，设直线的方程为，直线的方程为.
（1）若与平行，求的值；
（2）当与相交时，用表示交点的坐标，并说明点一定在某一条定直线上.
【标准答案】（1）；（2），证明见解析.
（1）由两直线平行的等价条件可得出关于实数的方程，即可解出实数的值；
（2）将两直线方程联立可求得交点的坐标，然后令，，消去参数得出关于、的二元一次方程，即可证得结论.
【详解详析】
（1）与平行，则，解得；
（2）联立，解得，，所以点，
，即.
因此，点在直线上.
【名师指路】
本题考查利用两直线平行求参数，同时也考查了直线交点坐标的计算，考查计算能力，属于中等题.
30．从点出发的一束光线依次经过直线和反射后回到点．设和上反射点分别为和，求直线的方程．
【标准答案】
【思路指引】
根据题意，可得出直线和斜率，设关于对称点，根据点关于直线对称的性质和中点坐标公式，即可求出的坐标，同理求出的坐标，结合条件可知，，，四点同在一条直线上，最后利用两点式方程求出直线的方程.
【详解详析】
解：由题可知，和的斜率分别为：，
设关于对称点，则，
所以的中点坐标为，且在上，
则，
同理得关于对称点，
由于从点出发的一束光线依次经过直线和反射后回到点，
则，，，四点同在一条直线上，
则，即，
所以，直线方程为.
【名师指路】
本题考查根据光线的反射求直线的方程，涉及点关于直线对称，直线的斜率，中点坐标公式和两点式方程的应用，考查运算能力.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
