中小学教育资源及组卷应用平台
编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。21世纪教育网版权所有
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、 ( http: / / www.21cnjy.com )解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21·cn·jy·com
第2章圆锥曲线单元综合提优专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于、，则为
A． B． C． D．
2．（2021·上海市第五十四中学高二月考）若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为（ ）2·1·c·n·j·y
A．[3-,） B．[3+,） C．[,） D．[,）
3．（2021·上海·格致中学高三月考）设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是
A． B． C． D．
4．（2021·上海·高三专题练习）从点向圆引切线，则切线长的最小值
A． B．5 C． D．
5．（2021·上海·高三专题练习）已知圆和直线，则是圆和直线相交的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知曲线：与曲线：恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．在平面直角坐标系中，定义为两点AB的“切比雪夫距离”，又设点P及上任意一点Q,称的最小值为点P到直线的“切比雪夫距离”，记作,给出下列三个命题：【来源：21·世纪·教育·网】
①对任意三点A、B、C，都有
②已知点P(2,1)和直线,则
③定点动点P满足则点P的轨迹与直线(为常数)有且仅有2个公共点.
其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系中,把到定点,距离之积等于（）的点的轨迹称为双纽线C.已知点是双纽线C上一点,下列说法中正确的有（ ）21·世纪*教育网
①双纽线C关于原点O中心对称； ②；
③双纽线C上满足的点P有两个； ④的最大值为.
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③
9．方程为的曲线，给出下列四个结论：
① 关于轴对称；
② 关于坐标原点对称；
③ 关于轴对称；
④ ，；
以上结论正确的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
10．设直线系，，对于下列四个命题：
（1）中所有直线均经过一个定点；
（2）存在定点不在中的任意一条直线上；
（3）对于任意整数，，存在正边形，其所有边均在中的直线上；
（4）中的直线所能围成的正三角形面积都相等；其中真命题的是（ ）
A．（2）（3） B．（1）（4） C．（2）（3） （4） D．（1）（2）
二、填空题
11．（2021·上海市松江二中高二月考）已知椭圆（）的左、右焦点为、，以为顶点，为焦点作抛物线交椭圆于，且，则抛物线的准线方程是________
12．（2021·上海·位育中学高二期末）若圆被直线所截得的弦长为，则________
13．（2021·上海·闵行中学高二期末）已知点在抛物线上，过点的直线交抛物线于，两点，若直线，的斜率分别为，，则等于___________.
14．（2021·上海市实验学校高二期末）已知椭圆内有一点，弦过点，则弦中点的轨迹方程是__________.21教育网
15．（2021·上海中学高二期末）直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，直线、的斜率之积为，以线段的中点为圆心，为半径的圆与直线交于、两点，，则的最小值为______．www-2-1-cnjy-com
16．（2021·上海市张堰中学高三月考）抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后.反射光线平行于抛物线的轴.已知抛物线，平行于轴的光线在抛物线上点处反射后经过抛物线的焦点，在抛物线上点处再次反射，又沿平行于轴方向射出，则两平行光线间的最小距离为___________.21*cnjy*com
17．方程表示一个圆，则m的取值范围是_______
18．（2021·上海崇明·二模）在平面直角坐标系中，过点作圆的两条切线，切点分别为，．若，则实数的值等于____________．
19．（2021·上海市奉贤中学高二月考）定义点到曲线的距离为该点与曲线上所有点之间距离的最小值，则点到曲线距离为___________.【出处：21教育名师】
20．（2021·上海市杨浦高级中学高二期末）已知椭圆：，为短轴顶点，椭圆上两个不同点满足，则直线恒过的定点的横坐标为______________．【版权所有：21教育】
三、解答题
21．（2021·上海·高三专题练习）（1）动直线与抛物线相交于点，动点的坐标是，求线段中点的轨迹的方程；21cnjy.com
（2）过点的直线交上述轨迹于两点，点坐标是，若的面积为，求直线的倾斜角的值.
22．如图，圆锥的展开侧面图是一个半圆，、是底面圆的两条互相垂直的直径，为母线的中点，已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点、为对称轴的抛物线的一部分．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）证明：圆锥的母线与底面所成的角为；
（2）若圆锥的侧面积为，求抛物线焦点到准线的距离．
23．（2021·上海·复旦附中青浦分校高二月考）已知双曲线C：的离心率为，且经过.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过点的直线交双曲线C于x轴下方不同的两点P Q，设P Q中点为M，求三角形面积的取值范围.21教育名师原创作品
24．（2021·上海·华师大二附中高三月考）已知，如图，曲线由曲线和曲线组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点，为曲线所在圆锥曲线的焦点21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）若，求曲线的方程；
（2）如图，作斜率为正数的直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求弦的中点的轨迹方程；
（3）对于（1）中的曲线，若直线过点交曲线于点，求面积的最大值
25．（2021·上海市金山中学高三期中）已知直线l：与椭圆C：交于A、B两点（如图所示），且在直线l的上方．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求常数t的取值范围；
(2)若直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，求k1+k2的值；
(3)若△APB的面积最大，求∠APB的大小，
26．（2021·上海市松江二中高二月考）已知椭圆的焦距与长轴的比值为，其短轴的下端点在抛物线的准线上.www.21-cn-jy.com
(1)求椭圆的方程;
(2)设为坐标原点，是直线上的动点，为椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆，相交于两点，与椭圆相交于两点，2-1-c-n-j-y
①若，求圆的方程;
②设与四边形的面积分别为，若，求的取值范围.
27．动圆过定点，且与直线相切，其中，设圆心的轨迹为．
（1）求轨迹的方程；
（2）设直线交轨迹于不同的两个点、，当时，直线过定点，请求出定点坐标；
（3）设轨迹上的两个定点、，分别过点、作倾斜角互补的两条直线、分别与轨迹交于、两点，求证：直线的斜率为定值．【来源：21cnj*y.co*m】
28．设点是抛物线上异于原点的一点，过点作斜率为、的两条直线分别交于、两点（、、三点互不相同）．
（1）已知点，求的最小值；
（2）若，直线的斜率是，求的值；
（3）若，当时，点的纵坐标的取值范围．
29．（2021·上海市延安中学高二期末）已知A、B为圆O：与y轴的交点（A在B的上方），过点的直线l交圆O于M、N两点.
（1）若，求直线与直线的夹角；
（2）若M、N都不与A、B重合时，是否存在定直线m，使得直线与的交点恒在直线m上 若存在，求出直线m的方程，若不存在，说明理由.
30．（2021·上海黄浦·三模）已知直线交抛物线于两点.
（1）设直线与轴的交点为，若，求实数的值；
（2）若点在抛物线上，且关于直线对称，求证：四点共圆：
（3）记为抛物线的焦点，过抛物线上的点作准线的垂线，垂足分别为点，若的面积是的面积的两倍，求线段中点的轨迹方程.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。21·cn·jy·com
思路设计：重在培优训练，分选择、 ( http: / / www.21cnjy.com )填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
第2章圆锥曲线单元综合提优专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于、，则为
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，由此可得出的值.
【详解详析】
抛物线的焦点坐标为，设直线的方程为，
将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得，
由韦达定理得，由于点、均在抛物线上，则，得，
因此，.
故选B.
【名师指路】
本题考查抛物线焦点弦所在直线的性质，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理法求解，考查运算求解能力，属于中等题.
2．（2021·上海市第五十四中学高二月考）若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为（ ）
A．[3-,） B．[3+,） C．[,） D．[,）
【标准答案】B
【详解详析】
由题意可得,,故.
设,则.
关于
对称,故 在上是增函数,当时有最小值为,无最大值,故的取值范围为,
故选B.
3．（2021·上海·格致中学高三月考）设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是
A． B． C． D．
【标准答案】D
【详解详析】
试题分析：设，，，当斜率存在时，设斜率为，则
，相减得： ，因为直线与圆相切，所以，即，
的轨迹是直线，代入抛物线得：，所以，又在圆上，代入得：
，所以，因为直线恰好有四条，所以，所以，
即时直线恰好有两条，当直线斜率不存在时，直线有两条，所以直线恰有条时，故选D．
考点：1．直线和圆的位置关系；2．直线和抛物线的位置关系．
【方法点晴】本题主要考查的是直线与圆锥曲线的位置关系，以及直线与圆的相切问题，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件首先求出中点的轨迹方程，这里主要考查的是点差法，问题转化为与圆有交点，从而当直线斜率存在时，半径大于且小于有两条，当直线斜率不存在时，也有两条符合条件，故需要．21世纪教育网版权所有
4．（2021·上海·高三专题练习）从点向圆引切线，则切线长的最小值
A． B．5 C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
设切线长为,则再利用二次函数的图像和性质求函数的最小值得解.
【详解详析】
设切线长为,则, .
故选:A.
【名师指路】
本题主要考查圆的切线问题,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
5．（2021·上海·高三专题练习）已知圆和直线，则是圆和直线相交的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【标准答案】A
【思路指引】
由圆和直线相交，解出的范围，结合选项判断即可．
【详解详析】
圆和直线相交，即圆心到的距离小于半径，
，解得
则是圆和直线相交的充分不必要条件
故选：A
【名师指路】
本题考查充分必要条件的判断，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
6．已知曲线：与曲线：恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
利用绝对值的几何意义，由，可得时，，时，，则可得曲线：与曲线：必交于点，再无其它交点，把代入方程，得，分类讨论，可得结论21·世纪*教育网
【详解详析】
解：由，可得时，，时，，
所以曲线：与曲线：必交于点，
为了使曲线：与曲线：恰好有两个不同的公共点，则将代入方程，得，当时，满足题意，
因为曲线：与曲线：恰好有两个不同的公共点，
所以，且是方程的根，
所以，即时，方程两根异号，满足题意，
综上，的取值范围为，
故选：C
【名师指路】
此题考查曲线的交点问题，考查分析问题的能力，考查分类思想，属于中档题
7．在平面直角坐标系中，定义为两点AB的“切比雪夫距离”，又设点P及上任意一点Q,称的最小值为点P到直线的“切比雪夫距离”，记作,给出下列三个命题：21*cnjy*com
①对任意三点A、B、C，都有
②已知点P(2,1)和直线,则
③定点动点P满足则点P的轨迹与直线(为常数)有且仅有2个公共点.
其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【标准答案】C
【思路指引】
①讨论三点共线和不共线，结合图象与新定义即可判断；
②设点直线一点，且，可得，讨论即可得出即可判断；
③讨论点在坐标轴和各个象限的情况，求得轨迹方程，即可判断．
【详解详析】
解：①对任意三点、、，
若它们共线，设，、，、，，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
结合三角形的相似可得,,分别为,,或,,，
则；
若,或,对调，可得；
若它们不共线，且三角形中为锐角或钝角，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
由矩形或矩形，
；
则对任意的三点，，，都有；
故①正确；
②设点直线一点，且，可得，
由，解得，即有，
当时，取得最小值；
由，解得或，即有，
的范围是，无最值，
综上可得，，两点的“切比雪夫距离”的最小值为，
故②错误；
③定点、，动点满足，
可得不轴上，在线段间成立，
可得，解得，
由对称性可得也成立，即有两点满足条件；
( http: / / www.21cnjy.com / )
若在第一象限内，满足即为，为射线，
由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线，
则点的轨迹与直线为常数）有且仅有2个公共点，
故③正确；
真命题的个数是2，
故选：C．
【名师指路】
本题考查新定义的理解和运用，考查数形结合思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．
8．双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系中,把到定点,距离之积等于（）的点的轨迹称为双纽线C.已知点是双纽线C上一点,下列说法中正确的有（ ）
①双纽线C关于原点O中心对称； ②；
③双纽线C上满足的点P有两个； ④的最大值为.
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③
【标准答案】B
【思路指引】
对①,设动点,把关于原点对称的点代入轨迹方程,显然成立；
对②,根据的面积范围证明即可.
对③,易得若则在轴上,再根据的轨迹方程求解即可.
对④,根据题中所给的定点,距离之积等于,再画图利用余弦定理分析中的边长关系,进而利用三角形三边的关系证明即可.www-2-1-cnjy-com
【详解详析】
( http: / / www.21cnjy.com / )
对①,设动点,由题可得的轨迹方程,把关于原点对称的点代入轨迹方程显然成立.故①正确；
对②,因为,故.
又,所以,
即,故.故②正确；
对③, 若则在的中垂线即轴上.
故此时,代入，
可得,即,仅有一个.故③错误；
对④,因为,故,
即,
因为,
故.
即,
所以.
又,当且仅当共线时取等号.
故,
即,解得.故④正确.
( http: / / www.21cnjy.com / )
故①②④正确.
故选：B
【名师指路】
本题主要考查了动点轨迹方程的性质判定, ( http: / / www.21cnjy.com )因为该方程较复杂,故在作不出图像时,需要根据题意求出动点的方程进行对称性的分析,同时需要结合解三角形的方法对所给信息进行辨析.属于难题.
9．方程为的曲线，给出下列四个结论：
① 关于轴对称；
② 关于坐标原点对称；
③ 关于轴对称；
④ ，；
以上结论正确的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【标准答案】B
【思路指引】
①中，用代替，可判定曲线关于轴对称；②中，用代替，用代替，可判定曲线不关于原点对称；③中，用代替，可判定曲线不关于轴对称；④中，化简方程和，得出不等式，即可求解.www.21-cn-jy.com
【详解详析】
由题意，方程，
对于①中，用代替，可得方程，所以方程表示的曲线关于轴对称；
对于②中，用代替，用代替，可得方程，所以方程表示的曲线不关于原点对称；
对于③中，用代替，可得方程，所以方程表示的曲线不关于轴对称；
对于④中，方程，可化为，可得，
解得，
又由，即，解得.
综上可得①④是正确的.
故选：B.
【名师指路】
本题主要考查了曲线与方程为背景下的命题的 ( http: / / www.21cnjy.com )真假判定，其中解答中熟练应用曲线的对称性和函数的基本性质，得出不等式关系式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
10．设直线系，，对于下列四个命题：
（1）中所有直线均经过一个定点；
（2）存在定点不在中的任意一条直线上；
（3）对于任意整数，，存在正边形，其所有边均在中的直线上；
（4）中的直线所能围成的正三角形面积都相等；其中真命题的是（ ）
A．（2）（3） B．（1）（4） C．（2）（3） （4） D．（1）（2）
【标准答案】A
【思路指引】
首先发现直线系表示圆的切线集合，再根据切线的性质判断（1）（3）（4），以及观察得到点不在任何一条直线上，判断选项.2-1-c-n-j-y
【详解详析】
因为点到直线系中每条直线的距离，直线系表示圆的切线集合.
（1）由于直线系表示圆的所有切线，其中存在两条切线平行，所有中所有直线均经过一个定点不可能，故（1）不正确；【出处：21教育名师】
（2）存在定点不在中的任意一条直线上，观察知点符合条件，故（2）正确；
（3）由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数，存在正变形，其所有边均在的直线上，故（3）正确；【来源：21cnj*y.co*m】
（4）如下图，中的直线所能围成的正三角形有两类，一类如，一类是,显然这两类三角形的面积不相等，故（4）不正确.21教育名师原创作品
( http: / / www.21cnjy.com / )
故选：A
【名师指路】
本题考查含参直线方程，距离公式，轨迹问题的综合应用，重点考查转化与变形，分析问题的能力，属于偏难习题，本题的关键是观察点到直线系中每条直线的距离，直线系表示圆的切线集合，再判断选项就比较容易.
二、填空题
11．（2021·上海市松江二中高二月考）已知椭圆（）的左、右焦点为、，以为顶点，为焦点作抛物线交椭圆于，且，则抛物线的准线方程是________
【标准答案】
【思路指引】
先设出椭圆的左右焦点坐标，进而可得抛物线的方程，设出直线的方程并与抛物线联立，求出点的坐标，由此可得，进而可以求出，的长度，再由椭圆的定义即可求解．
【详解详析】
解：设，，则抛物线，
直线，联立方程组，解得，，
所以点的坐标为，所以，又，所以
所以，所以，
则，
所以抛物线的准线方程为：，
故答案为：．
12．（2021·上海·位育中学高二期末）若圆被直线所截得的弦长为，则________
【标准答案】
【思路指引】
求出圆心到直线的距离，由圆的半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形可得答案.
【详解详析】
( http: / / www.21cnjy.com / )
圆心，半径为1，圆心到直线的距离为，
解得，，
因为，所以，
解得，符合题意.
故答案为：.
【名师指路】
本题考查了直线和圆的位置关系，关 ( http: / / www.21cnjy.com )键点是利用由圆的半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形解题，判断直线和圆的位置关系有①几何法，就是利用圆心到直线的距离和半径大小；②代数法，就是利用圆的方程和直线方程联立后的判别式求解.21*cnjy*com
13．（2021·上海·闵行中学高二期末）已知点在抛物线上，过点的直线交抛物线于，两点，若直线，的斜率分别为，，则等于___________.
【标准答案】
【思路指引】
由题意将的坐标代入抛物线的方程可得的值，进而求出抛物线的方程，设出直线的方程并与抛物线方程联立求出两根之和及两根之积，求出直线，的斜率之积，化简可得定值.
【详解详析】
由题意将的坐标代入抛物线的方程可得，解得，
所以抛物线的方程为；
由题意可得直线 的斜率不为0，
所以设直线的方程为：，设，，，，
联立直线与抛物线的方程：，
整理可得：，则，，
由题意可得
，
所以．
故答案为：.
【名师指路】
方法点睛：探索圆锥曲线的定值 ( http: / / www.21cnjy.com )问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
14．（2021·上海市实验学校高二期末）已知椭圆内有一点，弦过点，则弦中点的轨迹方程是__________.【来源：21·世纪·教育·网】
【标准答案】
【思路指引】
设，用点差法表示出直线的斜率，再利用可得结论．
【详解详析】
设，中点，
则，相减得，
斜率存在时，
∴，
又是中点，且直线过点，
所以，化简得，
斜率不存在时，方程为，中点为适合上述方程．
∴点的轨迹方程是．
故答案为：．
【名师指路】
方法点睛：本题考查椭圆弦中点问题，解题方法是“点差法”，即设弦两端点坐标为，代入椭圆方程后相减，变形可得弦所在直线斜率与弦中点坐标之间的关系．这种方法在其他圆锥曲线也适用．
15．（2021·上海中学高二期末）直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，直线、的斜率之积为，以线段的中点为圆心，为半径的圆与直线交于、两点，，则的最小值为______．【版权所有：21教育】
【标准答案】
【思路指引】
设直线，与抛物线联立方程，得韦达定理与，代入直线与抛物线表示出与，然后根据，利用数量积代入求解出，从而表示出圆心的坐标，根据平行四边形的四边平方和等于对角线平方和，代入列式，利用二次函数的性质求解最小值.
【详解详析】
设直线的方程为，，，
由得，所以，
得，，
所以，，
因为直线、的斜率之积为，所以，即，
所以，所以，
所以直线的方程为，，
从而圆心为，
由平行四边形的四边平方和等于对角线平方和（用向量法易证），得
，
所以，
所以当时，的最小值为．
故答案为：
【名师指路】
解决直线与抛物线的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；
（2）强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、向量的数量积、三角形的面积等问题．21cnjy.com
16．（2021·上海市张堰中学高三月考）抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后.反射光线平行于抛物线的轴.已知抛物线，平行于轴的光线在抛物线上点处反射后经过抛物线的焦点，在抛物线上点处再次反射，又沿平行于轴方向射出，则两平行光线间的最小距离为___________.2·1·c·n·j·y
【标准答案】
【思路指引】
作出图像，设，题中问题即为求的最小值，设直线，联立，用韦达定理表示即可得解.
【详解详析】
( http: / / www.21cnjy.com / )
根据题意作出图像，如图所示，设，题中问题即为求的最小值.
设，
由，得，
所以.
所以，
当时，最小为2.
故答案为：2.
17．方程表示一个圆，则m的取值范围是_______
【标准答案】
【思路指引】
把圆的一般方程化为标准方程，可得实数m的取值范围．
【详解详析】
方程，即表示圆，
，求得，则实数m的取值范围为，
故答案为：
【名师指路】
结论点睛：本题主要考查圆的普通方程化为标准方程，考查二元二次方程是圆的方程的条件，考查配方法，属于基础题．对于二元二次方程，可通过配方法配方成，当时，表示点；当时，表示圆.
18．（2021·上海崇明·二模）在平面直角坐标系中，过点作圆的两条切线，切点分别为，．若，则实数的值等于____________．
【标准答案】4．
【思路指引】
取中点，设，则利用斜率公式转化条件得，再结合圆的切线性质得，即得，最后根据三点共线求结果．
【详解详析】
由得，圆心为，设，
取中点，由题意得，
因为
所以，则
因此，从而三点关系，即得 .
故答案为：4.
【名师指路】
关键点点睛：本题的关键在于利用斜率关系转化为三点共线问题求解．
19．（2021·上海市奉贤中学高二月考）定义点到曲线的距离为该点与曲线上所有点之间距离的最小值，则点到曲线距离为___________.
【标准答案】2
【思路指引】
设出曲线上任意一点，利用两点间距离公式表达出，利用基本不等式求出最小值.
【详解详析】
当时，显然不成立，故，此时，设曲线任意一点，则，其中，当且仅当，即时等号成立，此时即为最小值.
故答案为：2
20．（2021·上海市杨浦高级中学高二期末）已知椭圆：，为短轴顶点，椭圆上两个不同点满足，则直线恒过的定点的横坐标为______________．
【标准答案】0
【思路指引】
设直线PQ的方程为：，与椭圆联立，求得韦达定理，又，则，代入化简可以得到参数t满足的方程，解得t的值，即可求得定点，从而解得定点的横坐标.
【详解详析】
设，，，直线PQ的方程为：，
由题意知k必然存在，联立，
化简得，
由韦达定理知，，
又，则，
即，
代入韦达定理，化简得，解得或（舍）；
所以过定点，定点的横坐标为0，
同理，根据对称性可得，当时，定点的横坐标为0，
故答案为：0
【名师指路】
方法点睛：求直线过定点，需要求得直线方程 ( http: / / www.21cnjy.com )，根据斜率和截距的关系，判断定点的值，在求解过程中，常常联立直线与圆锥曲线方程，通过韦达定理代入条件化简来求得参数间的关系，从而求得结果.
三、解答题
21．（2021·上海·高三专题练习）（1）动直线与抛物线相交于点，动点的坐标是，求线段中点的轨迹的方程；
（2）过点的直线交上述轨迹于两点，点坐标是，若的面积为，求直线的倾斜角的值.
【标准答案】（1）；（2）或.
【思路指引】
（1）由题意得点的坐标，表示出中点的坐标，消参即可得；（2）判断直线斜率不存在的情况，然后设出直线方程，联立消元得一元二次方程，写出韦达定理，求出弦长与点到直线的距离，代入面积公式计算即可求出直线的斜率.
【详解详析】
（1）解：设点的坐标为，由点的坐标为，点的坐标为，得中点坐标为，所以轨迹的方程为，即；
（2）当直线斜率不存在时，此时直线方程为，得，所以，不符合题意；设直线的方程为，因与抛物线有两个交点，故，得，代入，得，故恒成立.
记这个方程的两实根为，则.
.
又点到直线的距离
.
∴的面积为.
由，解得，∴.
∴或
【名师指路】
解决直线与圆锥曲线的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、圆锥曲线的条件；
（2）强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
22．如图，圆锥的展开侧面图是一个半圆，、是底面圆的两条互相垂直的直径，为母线的中点，已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点、为对称轴的抛物线的一部分．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）证明：圆锥的母线与底面所成的角为；
（2）若圆锥的侧面积为，求抛物线焦点到准线的距离．
【标准答案】（1）答案见解析（2）
【思路指引】
（1）设底面圆的半径为,圆锥的母线,因为圆锥的侧面展开图扇形弧长与圆锥的底面圆的周长相等,列出底面半径和关系式,即可证明:圆锥的母线与底面所成的角为.
（2）因为圆锥的侧面积为,即可求得其母线长.由⑴可知,可得.在平面建立坐标系,以原点,为轴正方向,设抛物线方程,代入即可求得,进而抛物线焦点到准线的距离.
【详解详析】
（1）设底面圆的半径为,圆锥的母线
圆锥的侧面展开图扇形弧长与圆锥的底面圆的周长相等
可得
由题意可知:底面圆
中 故:
圆锥的母线与底面所成的角为
（2） 圆锥的侧面积为
可得,故:
可得
中, 为的中点,可得
在平面建立坐标系,以原点,为轴正方向.如图:
( http: / / www.21cnjy.com / )
设抛物线方程
代入可得
根据抛物线性质可知, 抛物线焦点到准线的距离为.
抛物线焦点到准线的距离．
【名师指路】
本题考查了线面夹角和抛物线相关知识.利用 ( http: / / www.21cnjy.com )解析几何思想,通过建立坐标系,写出抛物线方程,研究曲线方程来求解相关的量,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.
23．（2021·上海·复旦附中青浦分校高二月考）已知双曲线C：的离心率为，且经过.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过点的直线交双曲线C于x轴下方不同的两点P Q，设P Q中点为M，求三角形面积的取值范围.
【标准答案】（1）；（2）.
【思路指引】
（1）由离心率和点的坐标求得a，b，写出双曲线方程；
（2）设直线的方程为与双曲线C方程联立，由韦达定理求出中点坐标，根据其条件求得m的范围，求出的面积表达式，根据单调性求得取值范围.
【详解详析】
（1）由题题意，得
，
解得.
所以，双曲线C的方程为.
（2）设直线的方程为与双曲线C方程联立：
，消元得
设P Q两点的纵坐标为，则：
，解得.
设点M的纵坐标为，由题点M为的中点，即
所以，
易知表达式在上单调递减，故三角形面积的取值范围为.
24．（2021·上海·华师大二附中高三月考）已知，如图，曲线由曲线和曲线组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点，为曲线所在圆锥曲线的焦点
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）若，求曲线的方程；
（2）如图，作斜率为正数的直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求弦的中点的轨迹方程；
（3）对于（1）中的曲线，若直线过点交曲线于点，求面积的最大值
【标准答案】（1）和；（2）；（3）．
【思路指引】
（1）由题意可得，解方程组求出的值，从而可求出曲线的方程；
（2）设直线，与曲线的方程联立成方程组，消去，利用根与系的关系结合中点坐标公式可得答案；
（3）由题意设直线为，与的方程联立方程组，消去，利用根与系的关系，设，从而可求出，然后表示出面积，利用基本不等式可求得结果
【详解详析】
解：（1）因为，所以，解得
所以曲线的方程为和；
（2）曲线的渐近线为，如图，设直线
则
又有数形结合知
设点，
则
所以，，
所以，即点在线段上；
（3）由（1）可知，和点
设直线为
，化为，
，设，所以
所以
，令
所以，当且仅当，即时等号成立
所以.
25．（2021·上海市金山中学高三期中）已知直线l：与椭圆C：交于A、B两点（如图所示），且在直线l的上方．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求常数t的取值范围；
（2）若直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，求k1+k2的值；
（3）若△APB的面积最大，求∠APB的大小，
【标准答案】
（1）
（2）
（3）
【思路指引】
（1）由题可得，再由直线方程与椭圆方程联立，利用直线与椭圆的位置关系即求；
（2）利用韦达定理及斜率公式计算即得；
（3）利用弦长公式、三角形面积公式及基本不等式即得.
（1）
由题可知，
∴，
由得，，
∴得，
∴.
（2）
设，则
，
又，
∴
又
，
∴.
（3）
∵，
点P到直线AB的距离为，
∴，
当且仅当即时等号成立，此时，
∴，又，
∴∠APB=
26．（2021·上海市松江二中高二月考）已知椭圆的焦距与长轴的比值为，其短轴的下端点在抛物线的准线上.
（1）求椭圆的方程;
（2）设为坐标原点，是直线上的动点，为椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆，相交于两点，与椭圆相交于两点，
①若，求圆的方程;
②设与四边形的面积分别为，若，求的取值范围.
【标准答案】
（1）
（2）①，②
【思路指引】
（1）由椭圆以及抛物线的性质，可求得b的值，结合离心率可求得a，得到椭圆方程；
（2）①用待定系数法求出圆的标准方程；
②设出M(2，t)，求出直线方程，与椭圆方程联立，消去y，得到关于x的一元二次方程，结合韦达定理，由弦长公式，求出弦长AB，这样就可用t表示S2的函数，进而就可把表示为t的函数，结合基本不等式，可求出函数的值域，即可求出的取值范围.
（1）
短轴的下端点在抛物线的准线上，
又，
（2）
①由(1)知，设，则的圆心坐标为
的方程为
当时，所在直线方程为此时与题意不符，所以
所以设所在直线方程为
又圆的半径由
解得
所以圆的方程为
②当时，由①知所在直线方程为与椭圆方程联立，消去，得，则△
所以
因为
所以当且仅当t=0时取等号.
又因为，所以.
当t=0时，直线PQ的方程是x=1，，，
所以，，所以.
综上的取值范围是.
27．动圆过定点，且与直线相切，其中，设圆心的轨迹为．
（1）求轨迹的方程；
（2）设直线交轨迹于不同的两个点、，当时，直线过定点，请求出定点坐标；
（3）设轨迹上的两个定点、，分别过点、作倾斜角互补的两条直线、分别与轨迹交于、两点，求证：直线的斜率为定值．21教育网
【标准答案】（1）；（2）；（3），证明见解析．
【思路指引】
（1）利用抛物线的定义可知轨迹为抛物线，确定该抛物线的焦点和准线方程，即可得出轨迹的方程；
（2）设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出的值，即可得出直线所过定点的坐标；
（3）设点、，根据可得出，再利用直线的斜率公式可证得结论成立.
【详解详析】
（1）由题意可知，圆心到点的距离等于圆心到直线的距离，
所以，点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，
因此，轨迹的方程为；
（2）若直线垂直于轴，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.
设直线的方程为，联立，消去可得，
由韦达定理可得，，解得，
所以，直线的方程为，因此，直线过定点；
（3）设点、，
则，同理可得，，
由于直线、的倾斜角互补，则，可得，
所以，，
因此，直线的斜率为（定值）.
【名师指路】
方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
28．设点是抛物线上异于原点的一点，过点作斜率为、的两条直线分别交于、两点（、、三点互不相同）．
（1）已知点，求的最小值；
（2）若，直线的斜率是，求的值；
（3）若，当时，点的纵坐标的取值范围．
【标准答案】（1）（2）（3）或
【思路指引】
（1）因为,设,则,由两点间距离公式可求得:,即可得出的最小值;
（2）因为,所以,设的直线方程:,将与联立方程组,消掉,通过韦达定理,将点坐标用表示同理可得到坐标.即可求得直线的斜率是,进而求得答案;
（3）因为,故.、两点抛物线上,可得, ,即可求得向量和.由,可得到关于和方程,将方程可以看作关于的一元二次方程, 因为且,,故此方程有实根,,即可求得点的纵坐标的取值范围.
【详解详析】
（1） 在,设,则
由两点间距离公式可求得:
令,
(当即取等号)
的最小值.
（2） ,,故
则的直线方程 :
将与联立方程组,消掉
则: ,得:
化简为:.
由韦达定理可得: 解得:
,可得: ,故
同理可得:
直线的斜率是
故: 即
的值为.
（3） ,,故
, 在、两点抛物线上
,
,
,故
整理可得:
、、三点互不相同,故:,
可得: 即:
此方程可以看作关于的一元二次方程,
且,,故此方程有两个不相等的实根:
即
故:
解得: 或
点的纵坐标的取值范围: 或.
【名师指路】
在求圆锥曲线与直线交点问题时,通常 ( http: / / www.21cnjy.com )用直线和圆锥曲线联立方程组,通过韦达定理建立起直线的斜率与交点横坐标的关系式.将直线与抛物线恒有交点问题,转化成求解一元二次方程有实根问题,是解本题的关键.
29．（2021·上海市延安中学高二期末）已知A、B为圆O：与y轴的交点（A在B的上方），过点的直线l交圆O于M、N两点.
（1）若，求直线与直线的夹角；
（2）若M、N都不与A、B重合时，是否存在定直线m，使得直线与的交点恒在直线m上 若存在，求出直线m的方程，若不存在，说明理由.
【标准答案】（1）；（2）存在，.
【思路指引】
（1）根据题意求出直线l的方程为：，和圆的方程联立求得，两点坐标，进而求得直线的方程为：，直线的方程为：，根据方向向量即可得解；
（2）假设存在满足条件的直线m，可取某两个固定直线如（1）中直线和直线，先求出交点，然后再证明普遍性即可.
【详解详析】
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）设直线与直线的夹角为，
直线l的方程为：，
由，解得或，故，，
易得直线的方程为：，
直线的方程为：，直线的方程为：，
直线和直线的方向向量分别为：，
则，直线与直线的夹角为.
（2）设直线与的交点为G，
假设存在满足条件的直线m，由圆的对称性，点G一定落在与y轴垂直的直线上.
由第（1）小题知，当，直线的方程为：，直线的方程为：，
联立方程解得直线与直线的交点.
下面证明点G落在定直线上.
设，，直线l的方程为，
由，整理得：，故，，
，
直线方程为，过点，
直线方程为，过点，
下面证明点R与点S重合：
∵
，
∴，∴点R与点S重合，即G落在定直线上.
所以直线与的交点恒在直线上.
【名师指路】
本题考查了直线和圆的位置关系，考查了两条直线的夹角问题，同时考查了定直线问题，计算量较大，属于较难题.本题的关键点有：
（1）韦达定理的应用，韦达定理是联系各个变量的桥梁，是解决解析几何问题的关键；
（2）计算能力和计算技巧是解决解析几何的核心能力.
30．（2021·上海黄浦·三模）已知直线交抛物线于两点.
（1）设直线与轴的交点为，若，求实数的值；
（2）若点在抛物线上，且关于直线对称，求证：四点共圆：
（3）记为抛物线的焦点，过抛物线上的点作准线的垂线，垂足分别为点，若的面积是的面积的两倍，求线段中点的轨迹方程.
【标准答案】（1）；（2）证明见解析；（3）或.
【思路指引】
(1)联立直线与抛物线，韦达定理得到，再利用化简得到，从而求出，最后带回韦达定理求出实数的值；(2)通过证明得到，同理，
于是点在以为直径的圆上，即四点共圆；(3)根据的面积是的面积的两倍求得直线与轴的交点为或，再根据直接法求出线段中点的轨迹方程，中间注意舍去不满足题意的点.
【详解详析】
解：（1）由得.
设，则
因为直线与相交，所以，得
由，得，所以，
解得，从而，
因为，所以，故.
（2）设，
因为两点关于直线对称，
则，故.
又于是，
即.
由点在抛物线上，有.
因为，所以，
于是
因此，同理，
于是点在以为直径的圆上，
即四点共圆.
（3）易知设，则
设直线与轴的交点为，则
由题设，可得，
所以或.
设线段的中点为，有
当时，当与轴不垂直时，
由可得，
即
而，所以.
同理，当时，.
当与轴垂直时，与重合.符合
综上，线段的中点的轨迹方程或.
【名师指路】
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的中点或中点弦问题，一般就是点差法，斜率公式，中点坐标公式求解问题；
(3)验证四点共圆是要找直径，问题可转化成边与边垂直，不管用向量还是用斜率都可以解决.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
