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编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。21cnjy.com
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。【来源：21cnj*y.co*m】
专题01 圆的方程综合专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．图中曲线的方程可以是( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
2．（2021·上海市长征中学高二期中）圆上的点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．0
3．（2021·上海交大附中高二期末）正方体中，M为的中点，P在底面内运动，且满足，则P的轨迹为www.21-cn-jy.com
A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
4．（2021·上海市实验学校高二期末）已知圆：，则下列命题：①圆上的点到的最短距离的最小值为；②圆上有且只有一点到点的距离与到直线的距离相等；③已知，在圆上有且只有一点，使得以为直径的圆与直线相切.真命题的个数为（ ）21世纪教育网版权所有
A． B． C． D．
5．（2021·上海市大同中学高三月考）已知P是曲线上的动点，定点，则的最大值是（ ）21教育名师原创作品
A． B． C． D．
6．（2021·上海崇明·一模）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一(如图)，给出下列两个命题:命题:曲线上任意一点到原点的距离都不超过；命题:曲线所围成的“心形”区域的面积小于3，则下列说法正确的是（ ）【版权所有：21教育】
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A．命题是真命题，命题是假命题 B．命题是假命题，命题是真命题
C．命题都是真命题 D．命题都是假命题
7．（2021·上海·复旦附中青浦分校高二月考）已知圆，圆，M，N分别是圆上的动点，P为x轴上的动点，则以的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·上海市建平中学高三期中）太极图被称为“中华第一图”，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.现定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，设圆.下列说法正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
①函数是圆O的一个“太极函数”；
②函数是圆O的一个“太极函数”；
③函数的图像关于原点中心对称是为圆O的“太极函数”的充要条件；
④圆O的所有非常值函数的太极函数都不能为偶函数.
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
9．（2021·上海·华师大二附中高二月考）已知实数，，，满足，，，则的最大值是（ ）21*cnjy*com
A．6 B．8 C． D．12
10．（2021·上海市建平中学高三开学考试）已知的外接圆圆心为，，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二月考）直角坐标平面中，若定点A（1，2）与动点P（x，y）满足，则点P的轨迹方程是___________.21·cn·jy·com
12．（2021·上海市南洋模范中学高二期末）过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为，，则的最小值为__________.
13．（2021·上海·复旦附中高二期末）已知 为圆：上的两点，且，设为弦上一点，且，则的最小值为______.
14．已知圆在轴正半轴所截得弦长为，且圆切轴于点，则圆的标准方程为___________.
15．（2021·上海交大附中高三开学考试）在平面上，对任意的，曲线都不经过一些点，则这些点组成的区域的面积为__________【来源：21·世纪·教育·网】
16．（2021·上海交大附中高一期末）如图所示，半径为1的圆内接于正方形，点是圆上的一个动点，点与关于直线成轴对称，若，则的取值范围是______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
17．（2021·上海市金山中学高二期末）古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点，动点满足，（其中和是正常数，且），则的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”.现已知两定点和，是圆上的动点，则的最小值为________21教育网
18．（2021·上海市建平中学高三期中）我们将函数图象绕原点逆时针旋转后仍为函数图象的函数称为函数，为其旋转角，若函数为函数，则其旋转角所有可取值的集合为___________
19．（2021·上海·华师大二附中高三月 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )考）圆C通过不同的三个点P（k，0）、Q（2，0）、 R（0，1）， 已知圆C在点P处的切线斜率为1，则圆C的一般方程是___________．
20．（2021·上海青浦·高二期末）已知点P （0，2），圆O∶x2 +y2=16上两点，满足 ，则的最小值为___________.2-1-c-n-j-y
三、解答题
21．（2021·上海·华师大二附中高二月考）疫情期间，作为街道工作人员的王阿姨和李叔叔需要上门排查外来人员信息，王阿姨和李叔叔分别需走访离家不超过200米、k米的区域，如图，、分别是经过王阿姨家（点）的东西和南北走向的街道，且李叔叔家在王阿姨家的东偏北方向，以点O为坐标原点，、为x轴、y轴建立平面直角坐标系，已知健康检查点（即点）和平安检查点（即点）是李叔叔负责区域中最远的两个检查点.
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（1）求出k，并写出王阿姨和李叔叔负责区域边界的曲线方程；
（2）王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，需在姑山路（直线）上碰头见面，你认为在何处最为便捷、省时间（两人所走的路程之和最短）？并给出理由.
22．（2021·上海市长征中学高二期中）1972年9月，苏步青先生第三次来到江南造船厂，这一次他是为解决造船难题、开发更好的船体数学放样方法而来，他为我国计算机辅助几何设计的发展作出了重要贡献.造船时，在船体放样中，要画出甲板圆弧线，由于这条圆弧线的半径很大，无法在钢板上用圆规画出，因此需要先求出这条圆弧线的方程，再用描点法画出圆弧线.如图，已知圆弧 的半径 r 29米，圆弧所对的弦长l 12米，以米为单位，建立适当的坐标系，并求圆弧的方程（答案中数据精确到0.001米，）.
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23．（2021·上海黄浦·高二期末）设，圆：.
（1）若，点的坐标为，为圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程；
（2）若圆上有且仅有一个点到直线的距离等于1，求的值.
24．已知点C是曲线上一点，以C为圆心的圆与x轴交于O A两点，与y交于O B两点，其中O为坐标原点.www-2-1-cnjy-com
（1）求证：的面积为定值；
（2）设直线与圆C交于M，N两点，若，求圆C的方程.
25．已知圆过三个点，， ．
（1）求圆的方程；
（2）过原点的动直线与圆相交于不同的、两点，求线段的中点 的轨迹．
26．有一种大型商品，、两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离，地的运费是地运费的倍﹐已知 两地相距千米，顾客购物的唯一标准是总费用较低.建立适当的平面直角坐标系2·1·c·n·j·y
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（1）求、两地的售货区域的分界线的方程﹔
（2）画出分界线的方程表示的曲线的示意图，并指出在方程的曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地.21·世纪*教育网
27．（2021·上海市西南位育中学高二期末）在平行四边形中，，，点是线段的中点，线段与交于点.21*cnjy*com
（1）若，求点的坐标；
（2）当时，求点的轨迹方程.
28．（2021·上海金山·高二期末）已知圆.
（1）求圆心的坐标以及半径长；
（2）求过点的圆的切线方程.
29．已知，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，.设的外接圆为.
（1）若，求的标准方程；
（2）求面积最小时的值.
30．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）已知直线与双曲线：交于不同的两点，且线段的中点在上，求的值．【出处：21教育名师】
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。www.21-cn-jy.com
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答 ( http: / / www.21cnjy.com )三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。2·1·c·n·j·y
专题01 圆的方程综合专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．图中曲线的方程可以是( )
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A． B．
C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
由图像可知曲线的方程是或,即可得出结论．
【详解详析】
由图像可知曲线的方程是或,
故选:C．
【名师指路】
本题考查了根据图像求曲线的方程,解题关键是掌握圆的标准方程和直线方程,考查了分析能力,属于基础题.
2．（2021·上海市长征中学高二期中）圆上的点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．0
【标准答案】A
根据点的直线的距离公式判断直线和圆的位置关系即可得到结论．
【详解详析】
圆心O到直线的距离，即直线和圆相交，
则圆x2+y2＝16上的点到直线的距离的最大值为d+r＝.
故选：A．
【名师指路】
本题主要考查直线和圆的位置关系的判断，先判断直线和圆的相交关系是解决本题的关键，属于基础题．
3．（2021·上海交大附中高二期末）正方体中，M为的中点，P在底面内运动，且满足，则P的轨迹为21·世纪*教育网
A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
【标准答案】A
先确定，再在平面内以为原点建立平面直角坐标系，求出的轨迹方程，即可得到结论．
【详解详析】
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由易知
又为的中点，则，
，
在平面内以为原点建立平面直角坐标系，设，，
由得
在底面内运动，
轨迹为圆的一部分
故选：A．
【名师指路】
关键点点睛：本题的关键是在底面内建立平面直角坐标系，设出点的坐标，求出曲线的轨迹方程，从而判断曲线的轨迹.2-1-c-n-j-y
4．（2021·上海市实验学校高二期末）已知圆：，则下列命题：①圆上的点到的最短距离的最小值为；②圆上有且只有一点到点的距离与到直线的距离相等；③已知，在圆上有且只有一点，使得以为直径的圆与直线相切.真命题的个数为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
利用动圆圆心与的距离减去圆的半径求出最小值判断①的正误；
利用动圆圆心轨迹方程结合动圆的半径，判断②的正误；
利用动圆圆心轨迹方程结合动圆的半径，说明以为直径的圆与直线相切，判断③的正误．
【详解详析】
解：对于①，动圆圆心与的距离减去圆的半径为：
，
①不正确．
对于②，已知动圆的圆心，的轨迹方程为：，
动圆构成的轨迹为夹在抛物线和抛物线之间的部分（包括边界），
抛物线是以点，为焦点以直线为准线的抛物线方程，圆上有且只有一点到点，的距离与到直线的距离相等；www-2-1-cnjy-com
这个点就是抛物线上的点．②正确．
对于③，，，在圆上有且只有一点，使得以为直径的圆与直线相切．
动圆圆心与，的距离减去圆的半径为：
，当且仅当时等号成立．
此时在圆上有且只有一点，，使得以为直径的圆与直线相切．③正确．
②③满足题意．
故选：．
【名师指路】
本题考查命题的真假的判断与应用，直线与圆的位置关系，曲线轨迹方程的综合应用．
5．（2021·上海市大同中学高三月考）已知P是曲线上的动点，定点，则的最大值是（ ）【出处：21教育名师】
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
首先三角换元，变形得点的坐标，再利用点的轨迹，结合点与圆的位置关系，得的最大值.
【详解详析】
由题意设，，则方程化简为，
，即，
，
所以，
所以，，即点是以原点为圆心，1为半径的圆，位于第四象限，包含轴的点，不包含轴的点，
的最大值是点和原点的距离加半径，即.
故选：B
6．（2021·上海崇明·一模）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一(如图)，给出下列两个命题:命题:曲线上任意一点到原点的距离都不超过；命题:曲线所围成的“心形”区域的面积小于3，则下列说法正确的是（ ）
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A．命题是真命题，命题是假命题 B．命题是假命题，命题是真命题
C．命题都是真命题 D．命题都是假命题
【标准答案】A
【思路指引】
先判断出曲线关于轴对称，结合基本不等式和对称性可以得到曲线经过的6个整数点，再结合这6个点的坐标就可以判断出两个命题的真假，进而选出答案.
【详解详析】
因为曲线，用替换曲线中的，方程不变，所以曲线关于轴对称，
当时，，
所以，可得，
所以曲线经过点再根据对称性可知，曲线还经过点
对于，当时，即曲线C右侧部分的点到原点的距离都不超过，再根据对称性可知，曲线上的所有点到原点的距离都不超过，故正确；
对于，因为在轴上方，图形面积大于四点围成的矩形面积，在轴下方，图形面积大于三点围成的等腰直角三角形的面积，所以曲线所围成的“心形”区域的面积的面积大于3，故错误.
故选：A
7．（2021·上海·复旦附中青浦分校高二月考）已知圆，圆，M，N分别是圆上的动点，P为x轴上的动点，则以的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
求出圆关于轴的对称圆的圆心坐标，以及半径，然后求解圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出的最小值.
【详解详析】
圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为1，圆的圆心坐标为，半径为3，
易知，当三点共线时，取得最小值，
的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，
即：.
故选：A.
8．（2021·上海市建平中学高三期中）太极图被称为“中华第一图”，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.现定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，设圆.下列说法正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
①函数是圆O的一个“太极函数”；
②函数是圆O的一个“太极函数”；
③函数的图像关于原点中心对称是为圆O的“太极函数”的充要条件；
④圆O的所有非常值函数的太极函数都不能为偶函数.
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
【标准答案】A
【思路指引】
本题首先可根据太极函数的定义得出经过原点的奇函数是圆的“太极函数”，然后对四个选项中的函数依次进行分析，即可得出结果.
【详解详析】
根据题意，圆，其图形关于原点对称，
若函数为奇函数且经过原点，其图像关于原点对称，
则函数的图像必定将圆的周长和面积同时等分成两个部分，
故经过原点的奇函数是圆的“太极函数”，
对于①项：函数是经过原点的奇函数，故函数是圆的一个太极函数，故①正确；
对于②项：因为，所以函数是经过原点的奇函数，故是圆的一个太极函数，故②正确；
对于③项：若函数是奇函数，且图像与圆不相交，则不是圆的一个太极函数，故③错误；
对于④项：如下图所示：非常值函数为偶函数，也是圆O的的太极函数，故④错误，
故选：A.
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【名师指路】
关键点点睛：本题考查函数新定义，能否根据题意得出经过原点的奇函数是圆的“太极函数”是解决本题的关键，考查推理能力，是中档题.
9．（2021·上海·华师大二附中高二月考）已知实数，，，满足，，，则的最大值是（ ）
A．6 B．8 C． D．12
【标准答案】D
【思路指引】
采用数形结合法，将所求问题转化为两点到直线的距离和的倍，结合梯形中位线性质和三角形三边关系可求.
【详解详析】
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由，，，可知，点在圆上，由，即为等腰直角三角形，结合点到直线距离公式可理解为点到直线的距离，变形得，即所求问题可转化为两点到直线的距离和的倍，作于于，中点为，中点为，由梯形中位线性质可得，，作于，于，连接，则，当且仅当与重合，三点共线时，有最大值，由点到直线距离公式可得，由几何性质可得，，此时，故的最大值为.
故选：D
10．（2021·上海市建平中学高三开学考试）已知的外接圆圆心为，，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
过点O作，，利用圆的性质知为,中点，设，，利用向量的数量积结合已知条件得到，求出，利用基本不等式求最值即可.
【详解详析】
如图，过点O作，
，，和是等腰三角形，
为中点，为中点，
设，，则
，
，即
，即
联立解得：，
当且仅当，即时，等号成立.
所以的最大值为
故选：B
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【名师指路】
关键点点睛：本题考查圆的性质，平面向量的数量积以及基本不等式求最值，利用圆的性质结合平面向量的数量积得到关于x，y的方程，进而求出是解题的关键，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于难题.
二、填空题
11．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二月考）直角坐标平面中，若定点A（1，2）与动点P（x，y）满足，则点P的轨迹方程是___________.
【标准答案】
【思路指引】
设点，则，由，所以，代入，即可求解.
【详解详析】
设点，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
即.
因此点P的轨迹方程是.
故答案为：
12．（2021·上海市南洋模范中学高二期末）过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为，，则的最小值为__________.21*cnjy*com
【标准答案】13.
【思路指引】
根据双曲线和圆的方程可确定双曲线焦点与圆的圆心重合，利用勾股定理表示出切线长，将问题转化为的最小值的求解问题，利用双曲线定义和三角形三边关系可求得最小值.
【详解详析】
由，得，所以双曲线的焦点坐标为，
由圆的方程知：圆圆心的坐标为，半径，
圆的圆心坐标为，半径，
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分别为两圆切线，
，，
，
为双曲线右支上的点，且双曲线焦点为，，
又（当为双曲线右顶点时取等号），
，
即最小值为.
故答案为：.
【名师指路】
本题考查双曲线中的最值问题的 ( http: / / www.21cnjy.com )求解问题，涉及到双曲线定义的应用、圆的切线长的求解等知识；关键是能够将问题转化为双曲线上的点到焦点的距离之和的最值的求解问题.【版权所有：21教育】
13．（2021·上海·复旦附中高二期末）已知 为圆：上的两点，且，设为弦上一点，且，则的最小值为______.
【标准答案】
根据题意，，，，利用已知条件
可得，变形可得，进而可得，结合圆的方程可得，即点的轨迹方程为圆；又由，其几何意义为圆上一点到直线的距离的5倍，结合直线与圆的位置关系分析可得的最小值，计算即可得答案．
【详解详析】
根据题意，，，，
满足，
则，
即，
则有，
变形可得：，
又由，为圆：上的两点，
则，；
又，
则，
即点的轨迹方程为圆，
则，
其几何意义为圆上一点到直线的距离的5倍，
又由圆的圆心到直线的距离，
则圆上一点到直线的距离的最小值为，
即的最小值为，
故的最小值为.
故答案为：.
【名师指路】
关键点睛：本题考查直线与圆的位置关系，涉及轨迹方程的分析计算，利用已知条件得到，进而求出轨迹是解决本题的关键.【来源：21·世纪·教育·网】
14．已知圆在轴正半轴所截得弦长为，且圆切轴于点，则圆的标准方程为___________.
【标准答案】
设圆心的坐标为，根据勾股定理可求得的值，由此可得出圆的标准方程.
【详解详析】
由于圆切轴于点，设圆心的坐标为，其中，且圆的半径为，
由于圆心到轴的距离、圆在轴正半轴所截得弦长的一半、圆的半径三者满足勾股定理，可得，
因此，圆的标准方程为.
故答案为：.
【名师指路】
方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法：
（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．
如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
②圆心在任意弦的中垂线上；
③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；
（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程 ( http: / / www.21cnjy.com )，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．21*cnjy*com
15．（2021·上海交大附中高三开学考试）在平面上，对任意的，曲线都不经过一些点，则这些点组成的区域的面积为__________【来源：21cnj*y.co*m】
【标准答案】
【思路指引】
根据题意将题中问题可转化为一元二次等式根的个数问题，即可由此解出答案.
【详解详析】
由题意知：对任意的，曲线都不经过一些点等价于无解.
即：.
化简得：.这些点组成的区域为以为圆心，为半径的圆.
其面积为：.
故答案为：.
16．（2021·上海交大附中高一期末）如图所示，半径为1的圆内接于正方形，点是圆上的一个动点，点与关于直线成轴对称，若，则的取值范围是______．
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【标准答案】
【思路指引】
根据题意，建立适当的平面直角坐标系，转化为坐标运算即可求解.
【详解详析】
如图所示，建立平面直角坐标系，
( http: / / www.21cnjy.com / )
故，，设，，则，
因，所以，即，
因此，
又因点是圆上的一个动点，所以，因此，
故，因此的取值范围为.
故答案为：.
17．（2021·上海市金山中学高二期末）古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点，动点满足，（其中和是正常数，且），则的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”.现已知两定点和，是圆上的动点，则的最小值为________21教育名师原创作品
【标准答案】
【思路指引】
在轴上取，由可得，可得，利用两点间距离公式可求得结果.
【详解详析】
如图，在轴上取点，
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，，，，
（当且仅当为与圆交点时取等号），
.
故答案为：.
【名师指路】
关键点点睛：本题解题关键是能够利用三角形相似关系将的最值求解转化为的最值求解问题，从而由三点共线确定最小值.
18．（2021·上海市建平中学高三期中）我们将函数图象绕原点逆时针旋转后仍为函数图象的函数称为函数，为其旋转角，若函数为函数，则其旋转角所有可取值的集合为___________
【标准答案】
【思路指引】
由解析式可知原函数图象为圆弧，根据函数的定义可知若旋转后不再是函数，则必存在垂直于轴的切线，且切点异于弧端点，通过图形进行分析可得结果.
【详解详析】
为如图所示的一段圆弧，其所对圆心角，
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若该函数图象绕原点逆时针旋转后不再是函数，则其旋转后的图象必存在垂直于轴的切线，且切点异于弧端点，
由图象可知：若，则当点自向运动（不包含）时，图象存在垂直于轴的切线，此时；
若，则当点自向运动（不包含）时，图象存在垂直于轴的切线，此时；
若函数为函数，其旋转角所有可能值的集合为：.
故答案为：.
19．（2021·上海·华师大二附中高 ( http: / / www.21cnjy.com )三月考）圆C通过不同的三个点P（k，0）、Q（2，0）、 R（0，1）， 已知圆C在点P处的切线斜率为1，则圆C的一般方程是___________．
【标准答案】
【思路指引】
设出圆的一般方程，结合圆在点处切线的斜率求得圆的方程.
【详解详析】
设圆的一般方程为，
代入的坐标得
①，
②，
③，
圆心为，
由于圆在点处切线的斜率为，
所以，即④，
由①②③④解得,
所以圆的一般方程为.
故答案为：
20．（2021·上海青浦·高二期末）已知点P （0，2），圆O∶x2 +y2=16上两点，满足 ，则的最小值为___________.
【标准答案】48
【思路指引】
将原式化为，而分别表示到直线的距离，取的中点，设在直线的射影为，则原式=，根据圆的性质可以知道在以为直径的圆上，其中，进一步即可得到答案.
【详解详析】
由题意，三点共线，设为的中点，在直线的射影分别为，点O到直线的距离，
∴与圆相离 ，如图：
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而
，
易得，即，∴在以为直径的圆上，其中.
∵，当共线，且在之间时取“=”.
∴的最小值为.
故答案为：48.
【名师指路】
本题突破口有两点，一是将原式转化为距离的问题，这需要我们对距离公式非常熟悉；二是取的中点，这就需要对圆的性质要敏感，提到弦立马要想到弦心距，进而问题才能得解.21cnjy.com
三、解答题
21．（2021·上海·华师大二附中高二月考）疫情期间，作为街道工作人员的王阿姨和李叔叔需要上门排查外来人员信息，王阿姨和李叔叔分别需走访离家不超过200米、k米的区域，如图，、分别是经过王阿姨家（点）的东西和南北走向的街道，且李叔叔家在王阿姨家的东偏北方向，以点O为坐标原点，、为x轴、y轴建立平面直角坐标系，已知健康检查点（即点）和平安检查点（即点）是李叔叔负责区域中最远的两个检查点.
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（1）求出k，并写出王阿姨和李叔叔负责区域边界的曲线方程；
（2）王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，需在姑山路（直线）上碰头见面，你认为在何处最为便捷、省时间（两人所走的路程之和最短）？并给出理由.
【标准答案】（1），，；（2）
（1）求圆的标准方程，可设出圆心，利用圆上两点距离到圆心相等，可算得圆心和半径.
（2）可先求圆心O关于的对称点P,找到直线PC与l 的交点，即为所求.
【详解详析】
（1）易知，王阿姨负责区域边界的曲线方程为：
李叔叔家在王阿姨家的东偏北方向，设李叔叔家所在的位置为，离和距离相等
故
故
即
故
故李叔叔负责区域边界的曲线方程为
（2）圆心关于的对称点为
则有，
解得
联立与，可得交点为
王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，可选择在地点碰面，距离之和最近.
【名师指路】
求圆的方程，主要有两种方法：
(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆 ( http: / / www.21cnjy.com )的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由 ( http: / / www.21cnjy.com )题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．
22．（2021·上海市长征中学高二期中）1972年9月，苏步青先生第三次来到江南造船厂，这一次他是为解决造船难题、开发更好的船体数学放样方法而来，他为我国计算机辅助几何设计的发展作出了重要贡献.造船时，在船体放样中，要画出甲板圆弧线，由于这条圆弧线的半径很大，无法在钢板上用圆规画出，因此需要先求出这条圆弧线的方程，再用描点法画出圆弧线.如图，已知圆弧 的半径 r 29米，圆弧所对的弦长l 12米，以米为单位，建立适当的坐标系，并求圆弧的方程（答案中数据精确到0.001米，）.
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【标准答案】
【思路指引】
以所在直线为轴，弦的垂直平分线为轴，根据勾股定理求得圆心坐标即可得解.
【详解详析】
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如图，以所在直线为轴，弦的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，
设圆弧的圆心为，连接，则，
所以，
即圆心的坐标为，
所以圆弧的方程为
23．（2021·上海黄浦·高二期末）设，圆：.
（1）若，点的坐标为，为圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程；
（2）若圆上有且仅有一个点到直线的距离等于1，求的值.
【标准答案】(1)；(2) 或
【思路指引】
(1)由题意，设的坐标为，由中点坐标公式可得的坐标，将的坐标代入圆的方程即可.
(2)由题意可得圆的圆心和半径，结合点到线的距离公式即可得出结果.
【详解详析】
(1)由题意，设，又，得，
若，圆：，为圆上的动点，
则，即.
(2)圆：，得圆心，半径，
若圆上有且仅有一个点到直线的距离等于1，
则圆心到直线的距离，
有，解得或，
故或.
【名师指路】
直接法求曲线方程的关注点：
①若曲线上的动点满足的条件是一些几何 ( http: / / www.21cnjy.com )量的等量关系，则可用直接法，其一般步骤是：设点→列式→化简→检验．求动点的轨迹方程时要注意检验，即除去多余的点，补上遗漏的点．
②若是只求轨迹方程，则把方程求出，把变量的限制条件附加上即可；若是求轨迹，则要说明轨迹的形状、位置、大小等．
24．已知点C是曲线上一点，以C为圆心的圆与x轴交于O A两点，与y交于O B两点，其中O为坐标原点.
（1）求证：的面积为定值；
（2）设直线与圆C交于M，N两点，若，求圆C的方程.
【标准答案】（1）证明见解析；（2）.
（1）设可得圆的方程，求出两点的坐标计算出的面积即可证明；
（2）由条件得出原点在线段的垂直平分线上，所以直线与垂直，由斜率之积为-1求得，从而得到圆C的方程.
【详解详析】
（1）证明：由题意设，则半径为，
所以圆的方程为，
令，则， 所以，，
令，则， 所以，，
所以，
所以的面积为定值.
（2）因为，所以原点在线段的垂直平分线上，
设线段的中点为，则三点共线，由（1）知，
的斜率为，由于直线所以与垂直，所以，
解得，或舍去，所以，
圆C的方程为.
【名师指路】
方法点睛：本题考查直线和圆的方程，根据条件建立方程关系是解决本题的关键，有一定的综合性，考查学生分析问题、解决问题的能力.
25．已知圆过三个点，， ．
（1）求圆的方程；
（2）过原点的动直线与圆相交于不同的、两点，求线段的中点 的轨迹．
【标准答案】（1）；（2）的轨迹是以为圆心，为半径的圆（点在圆内，不与边界重合）．
（1）设出圆的一般方程，代入三点坐标后可求解；
（2）根据圆的弦中点性质求出的轨迹方程后可得轨迹．
【详解详析】
（1）设圆方程为，
则，解得 ，
所以圆方程为，即；
（2）由（1），设，则由 得，，即 ，，．
又在圆内部，
所以的轨迹是以为圆心， 为半径的圆（点在圆内部）．
【名师指路】
方法点睛：本题考查求圆的方程，考查动点 ( http: / / www.21cnjy.com )轨迹．已知圆过三点时一般可设出圆的一般方程，代入三点坐标求出圆的方程，再化为标准方程即可．平面解析几何中的轨迹问题，可通过求出动点轨迹方程，由方程判断轨迹．当然也可由几何性质判断轨迹．
26．有一种大型商品，、两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离，地的运费是地运费的倍﹐已知 两地相距千米，顾客购物的唯一标准是总费用较低.建立适当的平面直角坐标系
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（1）求、两地的售货区域的分界线的方程﹔
（2）画出分界线的方程表示的曲线的示意图，并指出在方程的曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地.
【标准答案】（1）；（2）答案见解析.
（1）以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设每单位距离的运费为元，设售货区域内一点为，设在两地的购货费用相同，利用已知条件求出点的轨迹方程，即为所求；
（2）分别化简、结合（1）中的方程可得出结论.
【详解详析】
（1）以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、，
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设每单位距离的运费为元，设售货区域内一点为，
若在两地的购货费用相同，则，
化简可得，
故在、两地的售货区域的分界线的方程为；
（2）由（1）可知，、两地的售货区域的分界线是以点为圆心，以为半径的圆，
所以，在圆上的居民从、两地购货的总费用相同.
由，可得，
所以，在圆外的居民从地购货便宜；
由，可得，
所以，在圆内的居民从地购货便宜.
【名师指路】
方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；21世纪教育网版权所有
（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.
27．（2021·上海市西南位育中学高二期末）在平行四边形中，，，点是线段的中点，线段与交于点.
（1）若，求点的坐标；
（2）当时，求点的轨迹方程.
【标准答案】（1）；（2）的轨迹是以为圆心，为半经的圆去掉与直线的两个交点.
（1）由为平行四边形，可知的坐标，进而求得点的坐标；
（2）由三点共线，存在唯一的实数使得，整理可得，又三点共线，存在唯一的实数使得，整理得，可得，且，即，，设点的坐标为，点的坐标为，根据所求关系用表示，又因为，可得，又点不在上，所以，故点的轨迹方程为.
【详解详析】
（1）由为平行四边形，可知，
又，所以；
（2）由题意三点共线，
存在唯一的实数使得，
所以，
，
又三点共线，
存在唯一的实数使得，
所以，
，
因为与不平行，
由平面向量基本定理，可得，且，
解得，
于是，
设点的坐标为，点的坐标为，
则，，
所以，即，
又因为，所以，
即，
整理得，
又点不在上，所以，
综上所述，点的轨迹方程为.
【名师指路】
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
28．（2021·上海金山·高二期末）已知圆.
（1）求圆心的坐标以及半径长；
（2）求过点的圆的切线方程.
【标准答案】（1）圆心，半径长为；（2）或.
【思路指引】
（1）将圆的方程化为标准方程，可得出圆心的坐标及半径长；
（2）对所求切线的斜率是否存在进行分类讨论，在切线斜率不存在时，可得出所求切线方程为，验证即可；在所求切线斜率存在时，可设所求切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径求出的值.综合可得出所求切线的方程.21·cn·jy·com
【详解详析】
（1）圆的标准方程为，圆心为，半径长为；
（2），则点在圆外.
①若所求切线的斜率不存在时，则切线的方程为，
圆心到直线的距离为，合乎题意；
②若所求切线的斜率存在，设所求切线的方程为，即，
由已知条件可得，解得，
此时，所求切线的方程为，即.
综上所述，过点的圆的切线方程为或.
29．已知，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，.设的外接圆为.
（1）若，求的标准方程；
（2）求面积最小时的值.
【标准答案】（1）；（2）或.
【思路指引】
（1）由三角形三个顶点坐标求其外接圆，应利用“三角形三边中垂线交点是其外接圆的圆心”来求解；
（2）思路基本与第（1）问相同，在计算圆面积时利用基本不等式进行分析并求取最值时的值.
【详解详析】
解：（1）∵，∴，
又∵，，
∴中点，中点，
∴线段的中垂线：，
线段的中垂线：，
∴得即圆心，
而，
∴的标准方程：.
（2）∵，，
∴中点，
∴线段的中垂线：，
由（1）知线段的中垂线：，
∴即即圆心，
∴半径，
∴，
而，当且仅当时，等号成立，
∵，，且，
∴当或时，有最小值，此时最小.
30．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）已知直线与双曲线：交于不同的两点，且线段的中点在上，求的值．21教育网
【标准答案】的值为．
【思路指引】
将直线与双曲线联立，求出中点坐标，代入方程即可求出的值
【详解详析】
解：设两点的坐标分别是, 线段的中点为,
由 , 得，（判别式）
，
∴,
∵点在上，则，故，
∴的值为 ．
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