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编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。21cnjy.com
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三 ( http: / / www.21cnjy.com )种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21·cn·jy·com
专题05 双曲线的标准方程高频考点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．已知、为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则P到x轴的距离为
A． B． C． D．
2．（2021·上海·高三专题练习）过双曲线的右顶点作轴的垂线与的一条渐近线相交于点，若以的右焦点为圆心，以为半径的圆经过 两点(为坐标原点)，则双曲线的方程为（ ）21教育网
A． B．
C． D．
3．已知曲线， 以下命题不正确的是（ ）
A．若，则曲线是椭圆，其焦点在轴上
B．若，则曲线是圆，其半径为
C．若，则曲线是双曲线，其渐近线方程为
D．若，，则曲线是两条直线，其倾斜角均为0
4．（2021·上海·高三专题练习）设圆O ( http: / / www.21cnjy.com )1和圆O2是两个相离的定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹可能是 ①两条双曲线；②一条双曲线和一条直线；③一条双曲线和一个椭圆．以上命题正确的是--www-2-1-cnjy-com
A．① ③ B．② ③ C．① ② D．① ② ③
5．如图，点是曲线上的任意一点，，，射线交曲线于点，垂直于直线，垂足为点.则下列判断：①为定值；②为定值5.其中正确的说法是【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①②都正确 B．①②都错误
C．①正确，②错误 D．①都错误，②正确
6．（2021·上海黄浦·三模）已知、分别是双曲线：(，)的左、右焦点，且，若是该双曲线右支上一点，且满足，则面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知圆的圆心为C，过点且与x轴不重合的直线l交圆C于A、B两点，点A在点M与点B之间，过点M作直线AC的平行线交直线BC于点P，则点P的轨迹是（ ）
A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
8．已知定圆：，点是圆所在平面内一定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点，则点的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点.其中所有可能的结果有（ ）【出处：21教育名师】
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．已知椭圆，作垂直于轴的直线交椭圆于、两点，作垂直于轴的直线交椭圆于、两点，且，直线与直线交于点，则点的轨迹为（ ）的一部分
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
10．（2021·上海市建平中学高三月考）设是双曲线的右支上的点，则代数式的最小值为（ ）21*cnjy*com
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021·上海·高二期中）已知为坐标原点，，，点满足，点又满足，则点的坐标是__________．21*cnjy*com
12．（2021·上海市新场中学高二期中）已知两点，若，那么点的轨迹方程是______.
13．（2021·上海长宁·一模）已知双曲线的左，右焦点为，过的直线与双曲线的左、右支分别交于点.若为等边三角形，则的边长为____________
14．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二月考）若将方程化简为的形式，则___________.【来源：21·世纪·教育·网】
15．（2021·上海中学高二期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则________.
16．（2021·上海青浦·一模）已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，中点横坐标为，则此双曲线的方程是______.21教育名师原创作品
17．（2021·上海徐汇·高二期末）设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，分别是双曲线的左、右焦点，若，则_______．
18．（2021·上海·高三专题练习）设双曲线r：（ ）的左、右焦点分别为，，点M在r的右支上，向量是直线的一个方向向量，若 ，则r的焦距为 ______ .
19．（2021·上海市嘉定区第一中学高三月考）已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为________．
20．（2021·上海·华师大二附中高二开学考试）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则实数m=_____________
21．（2021·上海宝山·高二期末）设、为双曲线的两焦点，P为双曲线上的一点，且，则的面积为______21世纪教育网版权所有
22．（2021·上海·复旦附中青浦分校高二月考）已知点，，.设点满足，且为函数图象上的点，则_____.
三、解答题
23．（2021·上海·高三专题练习）.已知点，，动点满足条件.记动点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.
24．（2021·上海青浦·高二期末）如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点A，B，它们距离城市中心O的距离均为km，C是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心O的距离为4km，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路M-N-P如图所示，道路MN段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都多16km，其中道路起点M到东西方向主干道的距离为6km，线路NP段上的任意一点到O的距离都相等，以O为原点、线段AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.
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（1）求道路M-N-P的曲线方程；
（2）现要在M-N_P上建一站点Q，使得Q到景点C的距离最近，问如何设置站点Q的位置（即确定点Q的坐标）？www.21-cn-jy.com
25．（2021·上海奉贤·一模）第一象限内的点在双曲线上，双曲线的左 右焦点分别记为，已知为坐标原点.【版权所有：21教育】
(1)求证：；
(2)若的面积为2，求点的坐标.
26．已知椭圆.双曲线的实轴顶点就是椭圆的焦点，双曲线的焦距等于椭圆的长轴长.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设直线经过点与椭圆交于两点，求的面积的最大值；
（3）设直线（其中为整数）与椭圆交于不同两点，与双曲线交于不同两点，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.
27．（2021·上海师范大学第二附属中学高三月考）已知，如图，曲线由曲线：和曲线：组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点为曲线所在圆锥曲线的焦点.2·1·c·n·j·y
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（Ⅰ）若，求曲线的方程；
（Ⅱ）如图，作直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求证：弦的中点必在曲线的另一条渐近线上；21·世纪*教育网
（Ⅲ）对于（Ⅰ）中的曲线，若直线过点交曲线于点，求面积的最大值.
28．（2021·上海·高三专题练习）已知△OFQ的面积为2，＝m
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（1）设≤m≤4，求∠OFQ正切值的取值范围；
（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），||＝c，m＝（﹣1）c2，当||取得最小值时，求此双曲线的方程.2-1-c-n-j-y
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本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。21·cn·jy·com
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、 ( http: / / www.21cnjy.com )解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。www.21-cn-jy.com
专题05 双曲线的标准方程高频考点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．已知、为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则P到x轴的距离为
A． B． C． D．
【标准答案】B
【详解详析】
本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，以及转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.【来源：21·世纪·教育·网】
不妨设点P在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得，.由余弦定理得cos∠P=，即cos，解得，所以，故P到x轴的距离为.
2．（2021·上海·高三专题练习）过双曲线的右顶点作轴的垂线与的一条渐近线相交于点，若以的右焦点为圆心，以为半径的圆经过 两点(为坐标原点)，则双曲线的方程为（ ）21*cnjy*com
A． B．
C． D．
【标准答案】B
，故，不妨设渐近线方程为，则，根据，计算得到答案.
【详解详析】
连接，，故，不妨设渐近线方程为，则.
故，解得，故双曲线方程为
故选：B
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3．已知曲线， 以下命题不正确的是（ ）
A．若，则曲线是椭圆，其焦点在轴上
B．若，则曲线是圆，其半径为
C．若，则曲线是双曲线，其渐近线方程为
D．若，，则曲线是两条直线，其倾斜角均为0
【标准答案】B
由解析几何的知识逐一判断即可.
【详解详析】
若，则曲线是椭圆，其焦点在轴上，故A正确
若，则曲线是圆，其半径为，故B错误
若，则曲线是双曲线，其渐近线方程为，故C正确
若，，则曲线是两条直线，其倾斜角均为0，故D正确
故选：B
4．（2021·上海·高三专题练 ( http: / / www.21cnjy.com )习）设圆O1和圆O2是两个相离的定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹可能是 ①两条双曲线；②一条双曲线和一条直线；③一条双曲线和一个椭圆．以上命题正确的是--
A．① ③ B．② ③ C．① ② D．① ② ③
【标准答案】C
【详解详析】
试题分析：设圆与圆相离，半径分别为，不妨设，则若圆与两圆都外切，则，而两圆都内切，则有，若圆与圆一个内切，一个外切，则有，故当时，轨迹是两条双曲线，当时，轨迹是一条双曲线和一条直线.选C.
考点：圆与圆的位置关系，双曲线的定义.
5．如图，点是曲线上的任意一点，，，射线交曲线于点，垂直于直线，垂足为点.则下列判断：①为定值；②为定值5.其中正确的说法是【版权所有：21教育】
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A．①②都正确 B．①②都错误
C．①正确，②错误 D．①都错误，②正确
【标准答案】A
【思路指引】
曲线的方程整理可得是双曲线的一部分，可以判定正好是双曲线的两个焦点，然后利用双曲线的定义可以得到结论①，利用抛物线的定义将转化为到抛物线准线的距离，可以判定②正确.
【详解详析】
曲线两边平方，
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得，为双曲线的的部分，
，恰为该双曲线的两焦点，由双曲线定义，
知，又，∴，①正确；
曲线即抛物线，其焦点为，准线方程为，
由抛物线定义，知，②正确；
故选：A.
【名师指路】
本题考查双曲线与抛物线的定义，方程，属中档题，关键是利用双曲线和抛物线的定义进行转化求解.
6．（2021·上海黄浦·三模）已知、分别是双曲线：(，)的左、右焦点，且，若是该双曲线右支上一点，且满足，则面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
设，，，由双曲线定义得，根据得，，根据余弦定理和三角形面积公式得到面积关于的函数，根据二次函数知识可求得结果.
【详解详析】
设，，，由题意得，，
由双曲线定义得，∴,
所以，所以，所以，所以，
由余弦定理得，
，
当时，面积的最大值是，
故选：B.
【名师指路】
关键点点睛：根据余弦定理和三角形面积公式得到面积关于的函数是解题关键.
7．已知圆的圆心为C，过点且与x轴不重合的直线l交圆C于A、B两点，点A在点M与点B之间，过点M作直线AC的平行线交直线BC于点P，则点P的轨迹是（ ）
A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
【标准答案】C
【思路指引】
根据题意找出几何关系，得到，所以，即可得到，可求点的轨迹.
【详解详析】
由已知条件可知 ,
所以三角形是等腰三角形， ,
因为
所以
则三角形是等腰三角形，
所以
所以点的轨迹是双曲线的左支．
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故选：C
【名师指路】
关键点点睛：本题考查数形结合解集动点轨迹问题，本题的关键是根据图形，确定.
8．已知定圆：，点是圆所在平面内一定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点，则点的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点.其中所有可能的结果有（ ）21世纪教育网版权所有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【标准答案】C
首先分四种情况，点在圆内，圆上，圆外，以及点与点重合，四种情况讨论点的轨迹.
【详解详析】
当点在在圆内，∵，，则点的轨迹是以 为焦点的椭圆，
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当点在圆上时，由于，线段的中垂线交直线于，点的轨迹为一个点；
点在圆外时，，∵，则点的轨迹是以 为焦点的双曲线；
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当点与重合时，为半径的中点，点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
其中正确的命题序号为①②④⑥.共4个.
故选：C.
【名师指路】
关键点点睛：动点轨迹问题的关键是情况分类需全面，否则容易少选.
9．已知椭圆，作垂直于轴的直线交椭圆于、两点，作垂直于轴的直线交椭圆于、两点，且，直线与直线交于点，则点的轨迹为（ ）的一部分
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【标准答案】C
依题意画出图形，设直线的方程为：，直线的方程为：，分别将点A、B、C、D、P的坐标表示出来，由建立起关于p、q的方程，最后化简即可得出轨迹方程.21教育网
【详解详析】
设直线的方程为：，直线的方程为：，
所以点，，
，，，
所以，，
因为，所以，
所以 ，即，
所以点的轨迹为双曲线.
故选：C.
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【名师指路】
方法点睛：求点的轨迹方程的常用方法：1.直接法，2.定义法，3.相关点法.
10．（2021·上海市建平中学高三月考）设是双曲线的右支上的点，则代数式的最小值为（ ）www-2-1-cnjy-com
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
设,所求式表示,利用双曲线的定义进行转化后，利用距离三角不等式即可求得最小值.
【详解详析】
，
设,上式表示,由于双曲线的左焦点为,
双曲线的实轴,,
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,
,当在的延长线与双曲线右支的交点处时取到等号，所以的最小值为.
故选：B
二、填空题
11．（2021·上海·高二期中）已知为坐标原点，，，点满足，点又满足，则点的坐标是__________．21*cnjy*com
【标准答案】
【思路指引】
根据椭圆与双曲线的定义可知点为椭圆与双曲线右支的交点，联立方程组即可求解.
【详解详析】
由，，点满足，
由椭圆的定义可得点在椭圆上，
又点满足，
由双曲线的定义可得点在上，
联立椭圆方程与双曲线方程可得，，
所以点的坐标是.
故答案为：
12．（2021·上海市新场中学高二期中）已知两点，若，那么点的轨迹方程是______.
【标准答案】
【思路指引】
设点的坐标为，根据可得点的轨迹为双曲线.
【详解详析】
设点的坐标为
因为
所以点的轨迹为焦点在轴的双曲线
且
所以
所以点的轨迹方程为：
故答案为：
13．（2021·上海长宁·一模）已知双曲线的左，右焦点为，过的直线与双曲线的左、右支分别交于点.若为等边三角形，则的边长为____________
【标准答案】
【思路指引】
根据题意，结合双曲线的定义求解即可.
【详解详析】
解：如图，设的边长为，，
因为为等边三角形，所以，
由双曲线的方程知，
所以由双曲线的定义得，
即，解得，.
所以的边长为.
故答案：.
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14．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二月考）若将方程化简为的形式，则___________.【出处：21教育名师】
【标准答案】2
【思路指引】
根据双曲线的定义即可得到答案.
【详解详析】
方程表示点到，两点距离差的绝对值为6，∴轨迹为以，为焦点的双曲线，，，∴
故方程为，∴.
故答案为：2.
15．（2021·上海中学高二期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则________.
【标准答案】4
【详解详析】
试题分析：因为，所以
考点：双曲线定义
16．（2021·上海青浦·一模）已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，中点横坐标为，则此双曲线的方程是______.
【标准答案】
【思路指引】
设双曲线的标准方程为，利用点差法可求得的值，再结合焦点的坐标可求得和的值，由此可得出双曲线的标准方程.
【详解详析】
设点、，
由题意可得，，，
直线的斜率为，
则，两式相减得，
所以，
由于双曲线的一个焦点为，则，，，
因此，该双曲线的标准方程为.
故答案为：.
【名师指路】
本题考查双曲线标准方程的求解，涉及点差法的应用，考查计算能力，属于中等题.
17．（2021·上海徐汇·高二期末）设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，分别是双曲线的左、右焦点，若，则_______．
【标准答案】7
【思路指引】
利用双曲线的渐近线方程求出，再利用双曲线的定义，即可求解.
【详解详析】
由题意，点是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，
可得，解得，则，
又由分别是双曲线的左、右焦点，由，可得点在双曲线的左支上，
根据双曲线的定义，可得.
故答案为：.
【名师指路】
本题主要考查了双曲线的定义及几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，合理利用双曲线的定义求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.21cnjy.com
18．（2021·上海·高三专题练习）设双曲线r：（ ）的左、右焦点分别为，，点M在r的右支上，向量是直线的一个方向向量，若 ，则r的焦距为 ______ .
【标准答案】
【思路指引】
由题意可得直线的斜率为，且，设，由双曲线的定义可得，在三角形中，分别运用正弦定理、余弦定理，解方程可得，进而得到焦距．2·1·c·n·j·y
【详解详析】
解：向量是直线的一个方向向量，可得直线的斜率为，且，
设，由双曲线的定义可得，
在三角形中，由正弦定理可得，即，
解得，
由余弦定理可得，
即为，
解得，，
则焦距．
故答案为：．
【名师指路】
本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的正弦定理、余弦定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
19．（2021·上海市嘉定区第一中学高三月考）已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为________．
【标准答案】
作出图形，设双曲线的右焦点为，根据双曲线的定义可得，可得出，利用、、三点共线时取得最小值即可得解.
【详解详析】
对于双曲线，则，，，如下图所示：
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设双曲线的右焦点为，则，
由双曲线的定义可得，则，
所以，，
当且仅当、、三点共线时，等号成立.
因此，的最小值为.
故答案为：.
【名师指路】
关键点点睛：利用双曲线的定义求解线段和的最小值，有如下方法：
（1）求解椭圆、双曲线有关的线段长度和、差的最值，都可以通过相应的圆锥曲线的定义分析问题；
（2）圆外一点到圆上的点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解.
20．（2021·上海·华师大二附中高二开学考试）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则实数m=_____________
【标准答案】
【思路指引】
根据焦点相同，则焦距相等，建立方程求解.
【详解详析】
由可得，
由可得
所以焦点在轴上，且，
解得，
故答案为：
21．（2021·上海宝山·高二期末）设、为双曲线的两焦点，P为双曲线上的一点，且，则的面积为______
【标准答案】
【思路指引】
题意可得，，，，由余弦定理可得，由，求得的面积即为所求．
【详解详析】
由题意可得双曲线，，，，
得，，，，
又，，
由余弦定理可得：
，
的面积，
故答案为：．
22．（2021·上海·复旦附中青浦分校高二月考）已知点，，.设点满足，且为函数图象上的点，则_____.
【标准答案】
【思路指引】
根据双曲线的定义求出点的轨迹方程与联立求出点的坐标，再由两点间距离公式即可求解.
【详解详析】
因为，，所以，
因为，
所以点在以，为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，
由，可得，
所以点的轨迹方程为：，
而点为函数图象上的点，
由解得：，即，
所以，
故答案为：.
三、解答题
23．（2021·上海·高三专题练习）.已知点，，动点满足条件.记动点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.
【标准答案】（1）；（2）
【思路指引】
（1）根据双曲线的定义可知轨迹为双曲线的右支，从而可得轨迹方程；（2）当直线斜率不存在时，可求得；当直线斜率存在时，假设直线方程，代入可整理得到一元二次方程；根据有两个正实根可构造出不等式组，求得斜率；将利用坐标运算表示为符合韦达定理的形式，代入整理后，结合可求得；综合两种情况可得所求最小值.
【详解详析】
（1）
由双曲线定义可知：点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支
，，
的方程为：
（2）①当直线斜率不存在时，设直线方程为：
此时，
②当直线斜率存在时，设直线方程为：
代入双曲线方程可得：
可知上式有两个不等的正实数根
解得：
由得：
综上所述，的最小值为
【名师指路】
本题考查根据双曲线的定义求解双曲线 ( http: / / www.21cnjy.com )方程、直线与双曲线综合应用中的最值问题的求解；易错点是忽略双曲线仅为右半支的情况，导致求解错误；求解最值问题的关键是能够将所求式子通过韦达定理来进行表示，利用韦达定理代入变为关于斜率的函数，从而结合斜率的范围求得最值.
24．（2021·上海青浦·高二期末）如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点A，B，它们距离城市中心O的距离均为km，C是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心O的距离为4km，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路M-N-P如图所示，道路MN段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都多16km，其中道路起点M到东西方向主干道的距离为6km，线路NP段上的任意一点到O的距离都相等，以O为原点、线段AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.
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（1）求道路M-N-P的曲线方程；
（2）现要在M-N_P上建一站点Q，使得Q到景点C的距离最近，问如何设置站点Q的位置（即确定点Q的坐标）？
【标准答案】（1） MN段∶， NP段，；（2）.
【思路指引】
（1）根据题意，由双曲线的定义可得线路所在的曲线是以定点为左右焦点的双曲线的右支上，求得其标准方程，再结合圆的定义，得到线路所在的曲线为以为圆心，为半径的圆，求得此圆的方程，即可得到答案；21教育名师原创作品
（2）根据题意，分点在线路与线路上两种情况讨论，分别求得的最小值，比较大小，得出最小值，以及点的坐标.
【详解详析】
（1）根据题意，线路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多，
则线路所在的曲线是以定点为左右焦点的双曲线的右支上，
其方程为，
又由线路段上的任意一点到的距离都相等，则线路所在的曲线为以为圆心，为半径的圆，其方程为，
故道路曲线方程为段：，段：.
（2）当点在线路上，设，
又由，则，
由（1）可得，则，
可得当时，有最小值，且，
当点在线路上，设，
又由，则，
由（1）可得，则，
可得当时，有最小值，且，
因为，所以有最小值为，此时，则，
则点的坐标为，此时到的距离最小.
25．（2021·上海奉贤·一模）第一象限内的点在双曲线上，双曲线的左 右焦点分别记为，已知为坐标原点.
(1)求证：；
(2)若的面积为2，求点的坐标.
【标准答案】(1)证明见解析.
(2).
【思路指引】
(1)根据给定条件结合双曲线定义及a，b，c的关系即可计算作答.
(2)利用(1)的结论求出双曲线的方程，求出长，由此列出方程组求解即得.
(1)
因是双曲线第一象限内的点，于是得，而，则，，
令双曲线的半焦距为c，则，因，因此，，
即，化简得，又，则有，，
所以.
(2)
因为线段的中点，则，由(1)知，于是有，则，
因此，双曲线方程为，设点，则有，
又是斜边的中点，则，即，
联立解得，而，则有，
所以点的坐标是.
26．已知椭圆.双曲线的实轴顶点就是椭圆的焦点，双曲线的焦距等于椭圆的长轴长.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设直线经过点与椭圆交于两点，求的面积的最大值；
（3）设直线（其中为整数）与椭圆交于不同两点，与双曲线交于不同两点，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.
【标准答案】（1） （2） （3）存在，
（1）根据椭圆方程可以得到双曲线的焦距和顶点坐标，从而直接写出双曲线方程即可；
（2）设出直线方程，将三角形面积拆分为2个三角形的面积，从而利用韦达定理进行处理；
（3）根据直线与两个曲线相交，通过夹逼出的取值范围，再结合向量相加为零转化出的条件，得到之间的关系，从而利用是整数，对结果进行取舍即可.2-1-c-n-j-y
【详解详析】
（1）对椭圆，因为，
故其焦点为，椭圆的长轴长为.
设双曲线方程为，
由题可知：，解得.
故双曲线的方程为：.
（2）因为直线AB的斜率显然不为零，
故设直线方程为，联立椭圆方程
可得
设交点，
则
则
又
故
令，解得
故
当且仅当时，即时，取得最大值.
故的面积的最大值为.
（3）联立直线与椭圆方程
可得
整理得 ①
设直线与椭圆的交点为
故可得 ②
同理：联立直线与双曲线方程
可得
整理得 ③
设直线与双曲线的交点为
故可得 ④
要使得
即可得
故可得
将②④代入可得
解得.
综上所述，要满足题意，只需使得：
故当时，可以取得满足题意；
即直线方程可以为
当时，可以取满足题意.
即直线方程可以为
故存在这样的直线有9条，能够使得.
【名师指路】
本题考查椭圆方程和双曲线方程，涉及椭圆 ( http: / / www.21cnjy.com )中三角形面积的最大值，以及圆锥曲线中的直线的存在性问题，属综合性困难题；其中解决第三问的关键是要把握住“整数”这一个关键词，同时也要对向量进行合理的转化.21·世纪*教育网
27．（2021·上海师范大学第二附属中学高三月考）已知，如图，曲线由曲线：和曲线：组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点为曲线所在圆锥曲线的焦点.【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
（Ⅰ）若，求曲线的方程；
（Ⅱ）如图，作直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求证：弦的中点必在曲线的另一条渐近线上；
（Ⅲ）对于（Ⅰ）中的曲线，若直线过点交曲线于点，求面积的最大值.
【标准答案】（Ⅰ）和.；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.
【思路指引】
(Ⅰ)由，可得，解出即可；
(Ⅱ)设点，设直线，与椭圆方程联立可得：，利用，根与系数的关系、中点坐标公式，证明即可；
(Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲线，且，设直线的方程为：，与椭圆方程联立可得： ，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面釈计算公式、基本不等式的性质，即可求解.
【详解详析】
(Ⅰ)由题意：，
，解得，
则曲线的方程为：和.
(Ⅱ)证明：由题意曲线的渐近线为：，
设直线，
则联立，得，
，解得：，
又由数形结合知.
设点，
则，，
，，
，即点在直线上.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲线，点，
设直线的方程为：，
联立，得：，
，
设，
，，
，
面积，
令，，
当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为.
【名师指路】
本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其 ( http: / / www.21cnjy.com )性质、直线与椭圆的相交问题、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质,考查了推理论证能力与运算求解能力，属于难题.
28．（2021·上海·高三专题练习）已知△OFQ的面积为2，＝m
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）设≤m≤4，求∠OFQ正切值的取值范围；
（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），||＝c，m＝（﹣1）c2，当||取得最小值时，求此双曲线的方程.
【标准答案】（1）；（2）
（1）设，由已知可得，化简得，根据的范围即可求出；
（2）设，则由△OFQ的面积可得，由可得，表示出利用基本不等式可求出的坐标，再代入双曲线方程即可求出.
【详解详析】
解：（1）由已知，△OFQ的面积为，，设，
得，
，
，，
故∠OFQ正切值的取值范围为；
（2）设所求的双曲线方程为，（a＞0，b＞0），
Q（x1，y1），则，
∵△OFQ的面积，，
又由，
，
则，
当且仅当c＝4时，最小.
此时Q的坐标为或.
由此可得，解得，
故所求方程为.
【名师指路】
关键点睛：本题考查双曲线方程的 ( http: / / www.21cnjy.com )求解，解题的关键是利用三角形面积和数量积得出点Q的表达式，再利用基本不等式求出最值时Q的坐标，即可求出双曲线方程.
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