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编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。21cnjy.com
思路设计：重在培优训练，分选 ( http: / / www.21cnjy.com )择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。【版权所有：21教育】
专题06 双曲线的性质综合难点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·上海市杨浦高级中学高二期末）已知两点，，给出下列曲线方程：（1）；（2）；（3）；（4），在曲线上存在点满足的所有曲线是（ ）21*cnjy*com
A．（1）（2）（3）（4） B．（2）（3）
C．（1）（4） D．（2）（3）（4）
【标准答案】B
【思路指引】
求出线段MN的垂直平分线方程，然后分别和 ( http: / / www.21cnjy.com )题目给出的四条曲线方程联立，利用判别式判断直线和曲线的交点情况，从而判断给出的曲线上是否存在点P，使得||PA|＝|PB|．
【详解详析】
由A（1，），B（﹣4，），
得，A、B的中点坐标为（，0），
∴AB的垂直平分线方程为y﹣0＝﹣2（x），即y＝﹣2x﹣3．
（1）∵直线y＝﹣2x﹣3与直线4x+2y﹣1＝0平行，
∴直线4x+2y﹣1＝0上不存在点P，使|PA|＝|PB|；
（2）联立，得5x2+12x+6＝0，△＝122﹣4×5×6＝24＞0．
∴直线y＝﹣2x﹣3与x2+y2＝3有交点，曲线x2+y2＝3上存在点P满足|PA|＝|PB|；
（3）联立，得，方程有解，
∴直线y＝﹣2x﹣3与x21有交点，曲线x21上存在点P满足|PA|＝|PB|；
（4）联立，得8x2+12x+5＝0，△＝122﹣4×8×5＝﹣16＜0．
∴直线y＝﹣2x﹣3与x21没有交点，曲线x21上不存在点P满足|PA|＝|PB|．
∴曲线上存在点P满足|PA|＝|PB|的所有曲线是（2）（3）．
故选B．
【名师指路】
本题考查了曲线与方程，训练了线段的垂直平分线方程的求法，考查了利用判别式法判断两条曲线的位置关系，是中档题．
2．过点作直线与双曲线交于两点，使点为的中点，则这样的直线（ ）
A．存在一条，且方程为 B．存在无数条
C．存在两条，且方程为 D．不存在
【标准答案】D
分当直线的斜率不存在时，将直线方程为 代入，得 ，与双曲线只有一个交点，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为代入，得，分和两种情况讨论求解.
【详解详析】
当直线的斜率不存在时，直线方程为 代入，
得 ，与双曲线只有一个交点，不符合题意.
当直线的斜率存在时，设直线方程为，
代入，得，
当时，直线 与双曲线只有一个交点，不符合题意.
当时，因为点为的中点，
由韦达定理得 ，
解得
而当时，，
所以直线与双曲线不相交.
故选：D
【名师指路】
本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，还考查了分类讨论的思想方法，属于中档题.
3．已知直线与双曲线（）交于、两点，与轴交于点，若，则的值为
A． B． C． D．2
【标准答案】A
首先由直线方程与双曲线方程联立得出A、B两点的坐标关系，再由找到A、B两点横坐标的关系，结合根与系数的关系得到关于a的方程，从而求得选项.2·1·c·n·j·y
【详解详析】
由直线方程与双曲线方程联系得，
设，∵，∴，
∴，，，∴，，，
∴，解得，
故选：A.
【名师指路】
本题是考查双曲线和直线位置关系的综合题目 ( http: / / www.21cnjy.com )，解题的关键是如何利用已知的向量条件构造关于a的方程，还考查了一元二次方程根与系数的关系，并且对学生的运算能力要求较高，属于中档题.
4．点，定义，如图为双曲线及渐近线，则关于点、、，下列结论正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
设点、、，根据这三点与双曲线以及渐近线的位置关系比较、、与、的大小关系，由此可得出结论.
【详解详析】
设点、、，则双曲线的两条渐近线方程为，
点在直线的上方，则，则，即
点在直线的上方，则，则，
所以，，
点在双曲线的外部，则，
在直线的上方，则，可得，
点在直线的下方，则，可得，
所以，，即；
因为点在双曲线的内部，则.
综上所述，.
故选：D.
【名师指路】
关键点点睛：本题考查利用点与双曲线及 ( http: / / www.21cnjy.com )其渐近线的位置关系比较代数式的大小关系，解题的关键在于根据点与渐近线、双曲线的位置关系寻找中间值来比较.
5．（2021·上海·高三专题练习）已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒有，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】D
根据三角形的面积关系寻求等量关系，再推导出关系即可.
【详解详析】
，且是的内心，
设内切圆的半径为，
则，
，即，
，即，
渐近线方程是.
故选：D.
【名师指路】
求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行 ( http: / / www.21cnjy.com )分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.【来源：21·世纪·教育·网】
6．（2021·上海·复旦附中高二期末）已知双曲线，方向向量为的直线与交于两点，若线段的中点为，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
根据题意写出直线的方程，然后结合点差法求出，进而可以求出双曲线的渐近线方程.
【详解详析】
由题意知直线的方程为，即，设，则，
作差得，即，
又因为，，
则，即，即，
且，消去，得，
则，当时，，所以直线与双曲线有两个交点，符合题意，
所以双曲线的渐近线方程是，即，
故选：B.
7．（2021·上海市复兴高级中学高二期中）若曲线与曲线恰有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
先分析出表示起点为的两条斜率分别为1和-1的射线.
若曲线为椭圆，只需点落在椭圆内，列不等式求出的范围；
若当曲线为双曲线时，只需把表示的射线与渐近线比较，列不等式求出的范围.
【详解详析】
如图示：表示起点为的两条斜率分别为1和-1的射线.
( http: / / www.21cnjy.com / )
当曲线为椭圆时，即，只需点落在椭圆内，即，解得：；
当曲线为双曲线时，即，渐近线方程：
要使曲线与曲线恰有两个不同的交点，
只需，解得：.
所以实数的取值范围是
故选：C
8．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）已知曲线：．下列叙述中正确的是（ ）
A．垂直于轴的直线与曲线存在两个交点
B．直线与曲线最多有三个交点
C．曲线关于直线对称
D．若，为曲线上任意两点，则有
【标准答案】B
【思路指引】
分的正负，分别去绝对值得出曲线的方程，画图，再根据椭圆与双曲线的性质，得出曲线的性质即可
【详解详析】
当，时，曲线的方程为，渐近线方程为．
当，时，曲线方程为，方程无解．
当，时，曲线方程为，渐近线方程为．
当，时，曲线方程为．
作出曲线的图象如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
显然是关于的函数，故A错误．
由图象可知当直线经过点且时，直线与曲线有三个交点．
∵，∴曲线不关于直线对称，故C错误．
由图象可知为增函数，∴，故D错误．
故选：B．
9．（2021·上海·复旦附中青浦分校高二月考）已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线所在平面内的一个定点，点P是该双曲线上的动点，关于的最小值， 有下列命题∶ 21教育网
①使得取最小值的点P有且仅有一个∶
②当x0> 0时， 的最小值为∶ .
③当x0<0时，的最小值为∶
④当且时，的最小值为；
⑤当且x 0<0时，的最小值为.
其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】B
【思路指引】
作出图像，结合双曲线的定义及三角形三边的性质，通过图像逐项判断即可.
【详解详析】
①如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
显然，此时最小值为，而满足条件的P有两个，故①错误；
②当、、不共线时，则一定会构成△，则，当、、共线时，存在，使得，故此时最小值为，故②正确；
( http: / / www.21cnjy.com / )
③如图所示：
此时的最小值为，故③错误；
④由②可知，此时最小值为，故④错误；
⑤如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
此时，故⑤正确；
故选：B
10．（2021·上海普陀·一模）设点是双曲线的左 右两焦点，点是的右支上的任意一点，若，则的值可能是（ ）
A．4 B． C．5 D．
【标准答案】B
【思路指引】
设由题可得，进而得，利用双曲线的定义可得，即得
【详解详析】
设则，由题可知，
∴，又，
∴，可得，
∴，即，
∴，
∴，又.
故选：B.
二、填空题
11．（2021·上海·华师大二附中高二开学考试）已知点，，．若直线上存在一点，使得，则的取值范围是_________．www.21-cn-jy.com
【标准答案】
【思路指引】
由题可知的轨迹是以，为焦点，实轴长为2的双曲线的上支，则直线上存在一点，使得，只需满足直线的斜率大于渐近线的斜率即可.
【详解详析】
因为，所以的轨迹是以，为焦点，实轴长为2的双曲线的上支，
该双曲线的渐近线方程为，
因为直线上存在一点，使得，
所以，解得．
故答案为：.
【名师指路】
本题考查双曲线定义的理解，考查利用渐近线的性质解题，属于中档题.
12．设是双曲线上在第一象限内的点，为其右焦点，点关于原点的对称点为，若，设，且，则的取值范围是______.
【标准答案】
【思路指引】
设双曲线的左焦点为，设，则，由已知条件可得，进而得，从而得，而，所以可得，再由可求得结果
【详解详析】
设双曲线的左焦点为，设，则，
因为点关于原点的对称点为，且，
所以，
所以，
所以，即，
所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以，所以，
故答案为：
【名师指路】
此题考查双曲线定义的应用，考查三角形面积公式的应用，考查了三角函数，属于中档题
13．（2021·上海市进才中学高三月考）设 分别是双曲线(，)的左 右焦点，点在双曲线右支上且满足，双曲线的渐近线方程为，则___________.
【标准答案】
设双曲线的半焦距为，求得双曲线的渐近线方程可得，，的关系，求出的三条边，运用余弦定理可求值．
【详解详析】
设双曲线的半焦距为，
由双曲线的渐近线方程，可得，
则，
在中，，，
由余弦定理可得
．
故答案为：．
【名师指路】
关键点睛：解答本题的关键是看到双曲线的焦半径，要马上联想到双曲线的定义解题.这是圆锥曲线的一个解题技巧，要注意熟练运用.【出处：21教育名师】
14．已知A、B分别为双曲线的左、右顶点，点P在第一象限内的双曲线上，记PA、PB、PO的斜率分别为、、，则的取值范围为_________.21教育名师原创作品
【标准答案】
【思路指引】
假设点，然后计算，并结合双曲线的渐近线以及点的位置可得结果.
【详解详析】
设点
由题可知：
所以
又，所以
所以，由双曲线的渐近线方程为且在第一象限
所以，所以
故答案为：
【名师指路】
关键点点睛：得知是本题关键，并结合渐近线方程直接判断.
15．已知点，点是双曲线上的点，点是点关于原点的对称点，则的取值范围是________.21·cn·jy·com
【标准答案】
【思路指引】
根据题意设点，进而点，再根据向量数量积的坐标运算得，再结合得.
【详解详析】
解:设点，则点,
所以，，
，
因为是双曲线上的点，故，
所以，
故的取值范围是.
故答案为：
【名师指路】
本题考查双曲线的方程的应用，向量数量积运算，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意，设，进而由向量的运算得结合二次函数性质即可得答案.
16．已知曲线，若直线与曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值范围是______.
【标准答案】
【思路指引】
分别在和两种情况下确定曲线的方程，由此得到的图象；当时，由双曲线的渐近线方程结合图象可知满足题意；当时，由直线与圆相切可求得；综合两种情况可求得的范围.
【详解详析】
当时，；当时，；由此可得曲线图象如下图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
①当时，为双曲线的渐近线，其与有唯一交点，
当时，与有唯一交点；
②当时，若与有唯一交点，则与相切，
则，解得：（舍）或.
综上所述：实数的取值范围为.
故答案为：.
【名师指路】
关键点点睛：本题考查根据直线与曲线交点个数求解参数范围的问题，解题关键是能够根据的正负确定曲线的类型，由此得到曲线的图象.
17．（2021·上海市建平中学高二期末）设P是双曲线上任意一点，Q与P关于x轴对称，、分别为双曲线的左、右焦点，若有，则与夹角的取值范围是__________.
【标准答案】
设，由求出的取值范围，再由平面向量的数量积计算出与夹角的余弦的取值范围，从而得夹角的范围．
【详解详析】
设，则，
又双曲线中，即，
∴，
又，即，代入上式得，．
，，，
设与夹角为，则
∵，∴，
，
，，，
∴，∵，∴．
故答案为：．
【名师指路】
关键点点睛：本题考查依托双曲线求平面向量夹角的取值范围．解题方法是设，利用点满足的条件求出的范围，然后求出向量夹角的余弦值，余弦值的范围，从而得出角的范围．
18．（2021·上海徐汇·高二期末）已知实数满足，则的取值范围是____________
【标准答案】
【思路指引】
去绝对值分别列出每个象限解析式，数形结合利用距离求解范围.
【详解详析】
当，表示椭圆第一象限部分；
当，表示双曲线第四象限部分；
当，表示双曲线第二象限部分；
当，不表示任何图形；
以及两点，
作出大致图象如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
曲线上的点到的距离为，
根据双曲线方程可得第二四象限双曲线渐近线方程都是，
与距离为2，
曲线二四象限上的点到的距离为小于且无限接近2，
考虑曲线第一象限的任意点设为到的距离
，当时取等号，
所以，
则的取值范围是
故答案为：
19．（2021·上海奉贤·一模）已知曲线的焦距是10，曲线上的点到一个焦点的距离是2，则点到另一个焦点的距离为__________.
【标准答案】或10.
【思路指引】
对参数a进行讨论，考虑曲线是椭圆和双曲线的情况，进而结合椭圆与双曲线的定义和性质求得答案.
【详解详析】
由题意，曲线的半焦距为5，若曲线是焦点在x轴上的椭圆，则a>16，所以，而椭圆上的点到一个焦点距离是2，则点到另一个焦点的距离为；
若曲线是焦点在y轴上的椭圆，则0
若曲线是双曲线，则a<0，容易判断双曲线的焦点在y轴，所以，不妨设点P在双曲线的上半支，上下焦点分别为，因为实半轴长为4，容易判断点P到下焦点的距离的最小值为4+5=9>2，不合题意，所以点P到上焦点的距离为2，则它到下焦点的距离.
故答案为：或10.
20．（2021·上海浦东新·一模）已知实数满足，则的取值范围是___________.
【标准答案】
【思路指引】
讨论得到其图象是椭圆，双曲线的一部分组成图形，根据图象可得的取值范围，进而可得的取值范围.
【详解详析】
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因为实数满足，
当时，方程为的图象为椭圆在第一象限的部分；
当时，方程为的图象为双曲线在第四象限的部分；
当时，方程为的图象为双曲线在第二象限的部分；
当时，方程为的图象不存在；
在同一坐标系中作出函数的图象如图所示，
根据双曲线的方程可得，两条双曲线的渐近线均为，
令，即，与双曲线渐近线平行，
当最大时，直线与椭圆相切，
联立方程组，得，
，
解得，
又因为椭圆的图象只有第一象限的部分，
所以，
当直线与双曲线渐近线重合时，z最小但取不到最小值，即，所以
综上所述，，
所以，
即，
故答案为：.
【名师指路】
解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方 ( http: / / www.21cnjy.com )程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
三、解答题
21．（2021·上海·位育中学高二期中）已知点、，为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴的上方交双曲线于点，且．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线过点（0，1）且与双曲线交于、两点，若、中点的横坐标为1，求直线的方程；
（3）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂直，垂足分别为、，求证：为定值．
【标准答案】（1）；（2）；（3）为定值，证明见解答．
【思路指引】
（1）由题意可得，由直角三角形的性质和双曲线的定义，解方程可得，即可得到双曲线的方程；
（2）设直线的方程为，与双曲线的方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，以及中点坐标公式，解方程可得，进而得到直线的方程；
（3）设，则，求得双曲线的渐近线方程分别与相应的垂线方程联立，求得交点，，以及、的坐标，由向量数量积的坐标表示，化简整理，即可得证．
【详解详析】
（1）由双曲线的方程可得，
在直角三角形中，，，
可得，且，
解得，又，
所以，
则双曲线的方程为；
（2）由题意可得直线的斜率存在，设为，直线的方程为，
联立，可得，
，解得
设，的横坐标分别为，，则
由、中点的横坐标为1，可得，
解得或（舍去），
所以直线的方程为；
（3）证明：设，则，
由，解得，
由，解得，
所以
，
即．
22．（2021·上海市建平中学高二期中）已知双曲线（，）的左、右焦点分别是、，左、右两顶点分别是、，弦和所在直线分别平行于轴与轴，线段的延长线与线段相交于点（如图）．2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）若是双曲线 的一条渐近线的一个方向向量，试求的两渐近线的方程；
（2）若，，，，试求双曲线的方程；
（3）在（1）的条件下，且，点与双曲线的顶点不重合，直线和直线与直线分别相交于点和，试问：是否存在定点，使得恒成立？若是，请求出定点的坐标，若不是，试说明理由．
【标准答案】（1）；（2）；（3）存在；或．
【思路指引】
（1）由直线的方向向量可得渐近线的斜率，从而可得渐近线的方程，
（2）求得，代入双曲线的方程，可求得的值，从而可求得双曲线的方程，
（3）求得双曲线的方程，运用三点共线的条件，可得的坐标，假设存在，运用两直线垂直的条件，结合恒等式，可得定点的坐标
【详解详析】
（1）由是的一条渐近线的一个方向向量，可得渐近线的斜率为，所以双曲线的渐近线方程为，
（2）由，，，，可得，则，
代入双曲线方程得，，
解得，
所以双曲线的方程为，
（2）由（1）可得，双曲线方程为，即，
设，则，
由三点共线，可得，
即有，所以，
同理可得，由三点共线，可得，
假设存在定点，使得恒成立，可得，
即，化为，
即为，
令，则，得，
所以存在定点，且或
23．（2021·上海市长征中学高二期中）点是双曲线E：上一点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为．
（1）求的值；
（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上的一点，满足，求的值．
【标准答案】（1）；（2）或
【思路指引】
（1）将点代入双曲线方程，即可得到，再表示出直线，的斜率，从而得到，即可得解；
（2）由（1）可得双曲线的方程为，联立直线与曲线方程，消元、列出韦达定理，设，根据向量共线的坐标表示，化简即可得到，从而得解；21世纪教育网版权所有
【详解详析】
解：（1）因为点是双曲线E：上一点，所以，又，，由直线PM，PN的斜率之积为，所以，即，又，得，所以；
（2）由（1）可得双曲线的方程为，因为，所以，
联立得，设，，所以，设，由，所以，又为双曲线上一点，即，
所以，化简得，
又，在双曲线上，则，，
又有
即有
即，解得或
24．（2021·上海松江·一模）
(1)求双曲线的方程；
(2)若对任意的，直线与双曲线总有公共点，求实数的取值范围；
(3)若过点的直线与双曲线交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及此常数的值，若不存在，请说明理由.
【标准答案】(1)
(2)
(3)存在，
【思路指引】
（1）由离心率及渐近线方程求出即可得双曲线方程；
（2）联立直线与双曲线方程，消元得方程，分类讨论，当方程为一元一次方程时不符合题意，当方程为一元二次方程时利用判别式求解即可;
（3）假设存在P， 计算，根据韦达定理化简，当满足时，为常数.
(1)
由题意可知，，
因为，
所以，
所以双曲线的方程为；
(2)
联立得，
当时，
此时易知时，直线与双曲线没有公共点，不符合题意，
所以，且，
即，
所以，
所以，
解得，
所以；
(3)
设，
所以，
当斜率不存在时，可知不符合，所以设直线，
所以
，①
联立，得，
所以 ②，
把②代入①化简得：，
所以当时，得，
此时.
25．（2021·上海市嘉定区第二中学高三月考）已知双曲线C的中心在原点，是它的一个顶点.是它的一条渐近线的一个方向向量.www-2-1-cnjy-com
(1)求双曲线C的方程；
(2)设，M为双曲线右支上动点，当|PM|取得最小时，求四边形ODMP的面积；
(3)若过点任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点（A，B都不同于点D），求证:为定值.
【标准答案】(1)；
(2)；
(3)定值0，证明见解析.
【思路指引】
(1)根据给定条件设出双曲线C的方程，利用待定系数法计算得解.
(2)根据给定条件求出点M的坐标，并求出点M到直线DP距离，再借助三角形面积公式计算即得.
(3)设出直线AB方程：，联立直线AB与双曲线C的方程，借助韦达定理计算即可作答.
(1)
因双曲线C的中心在原点，一个顶点是，则设双曲线C的方程为：，
于是得双曲线C的渐近线方程为，而双曲线C的一条渐近线的一个方向向量是，
则有，
所以双曲线C的方程为.
(2)
依题意，设点，则，即，
，当时，，此时，
点M到直线DP：的距离为，而，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
四边形ODMP的面积，
所以四边形ODMP的面积为.
(3)
显然直线AB不垂直于y轴，设直线AB方程：，由消去x得：，
当时，恒成立，设，
则有，，
因此，，
所以为定值0.
【名师指路】
方法点睛：求定值问题常见的方法：(1)从 ( http: / / www.21cnjy.com )特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21*cnjy*com
26．（2021·上海闵行·一模）如图，在平面直角坐标系中，分别为双曲线Г：的左 右焦点，点D为线段的中点，直线MN过点且与双曲线右支交于两点，延长MD ND，分别与双曲线Г交于P Q两点.【来源：21cnj*y.co*m】
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(1)已知点，求点D到直线MN的距离；
(2)求证：；
(3)若直线MN PQ的斜率都存在，且依次设为k1 k2.试判断是否为定值，如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由.21·世纪*教育网
【标准答案】(1)
(2)证明见解析
(3)是定值.
【思路指引】
（1）求得点坐标和直线的方程，由此求得到直线的距离.
（2）对的斜率是否存在进行分类讨论，由此证得结论成立.
（3）设出直线的方程并代入双曲线方程，求得的坐标，由此计算是定值.
(1)
，
所以，则，
直线的方程为，即，
所以到直线的距离为.
(2)
直线的斜率不存在时，，
直线的斜率存在时，，，整理得.
综上所述，成立.
(3)
依题意可知直线的斜率存在且不为，
设直线的方程为，代入双曲线并化简得：
①，
由于，则代入①并化简得：
，
设，则，代入，
得，即，
所以
，
所以是定值.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。21教育网
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三 ( http: / / www.21cnjy.com )种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21·cn·jy·com
专题06 双曲线的性质综合难点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·上海市杨浦高级中学高二期末）已知两点，，给出下列曲线方程：（1）；（2）；（3）；（4），在曲线上存在点满足的所有曲线是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．（1）（2）（3）（4） B．（2）（3）
C．（1）（4） D．（2）（3）（4）
2．过点作直线与双曲线交于两点，使点为的中点，则这样的直线（ ）
A．存在一条，且方程为 B．存在无数条
C．存在两条，且方程为 D．不存在
3．已知直线与双曲线（）交于、两点，与轴交于点，若，则的值为
A． B． C． D．2
4．点，定义，如图为双曲线及渐近线，则关于点、、，下列结论正确的是（ ）
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A． B．
C． D．
5．（2021·上海·高三专题练习）已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒有，则双曲线的渐近线方程是（ ）2-1-c-n-j-y
A． B．
C． D．
6．（2021·上海·复旦附中高二期末）已知双曲线，方向向量为的直线与交于两点，若线段的中点为，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021·上海市复兴高级中学高二期中）若曲线与曲线恰有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）21*cnjy*com
A． B．
C． D．
8．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）已知曲线：．下列叙述中正确的是（ ）【出处：21教育名师】
A．垂直于轴的直线与曲线存在两个交点
B．直线与曲线最多有三个交点
C．曲线关于直线对称
D．若，为曲线上任意两点，则有
9．（2021·上海·复旦附中青浦分校高二月考）已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线所在平面内的一个定点，点P是该双曲线上的动点，关于的最小值， 有下列命题∶ 21*cnjy*com
①使得取最小值的点P有且仅有一个∶
②当x0> 0时， 的最小值为∶ .
③当x0<0时，的最小值为∶
④当且时，的最小值为；
⑤当且x 0<0时，的最小值为.
其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2021·上海普陀·一模）设点是双曲线的左 右两焦点，点是的右支上的任意一点，若，则的值可能是（ ）www.21-cn-jy.com
A．4 B． C．5 D．
二、填空题
11．（2021·上海·华师大二附中高二开学考试）已知点，，．若直线上存在一点，使得，则的取值范围是_________．2·1·c·n·j·y
12．设是双曲线上在第一象限内的点，为其右焦点，点关于原点的对称点为，若，设，且，则的取值范围是______.【版权所有：21教育】
【标准答案】
13．（2021·上海市进才中学高三月考）设 分别是双曲线(，)的左 右焦点，点在双曲线右支上且满足，双曲线的渐近线方程为，则___________.
14．已知A、B分别为双曲线的左、右顶点，点P在第一象限内的双曲线上，记PA、PB、PO的斜率分别为、、，则的取值范围为_________.
15．已知点，点是双曲线上的点，点是点关于原点的对称点，则的取值范围是________.
16．已知曲线，若直线与曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值范围是______.
17．（2021·上海市建平中学高二期末）设P是双曲线上任意一点，Q与P关于x轴对称，、分别为双曲线的左、右焦点，若有，则与夹角的取值范围是__________.
18．（2021·上海徐汇·高二期末）已知实数满足，则的取值范围是____________
19．（2021·上海奉贤·一模）已知曲线的焦距是10，曲线上的点到一个焦点的距离是2，则点到另一个焦点的距离为__________.21教育名师原创作品
20．（2021·上海浦东新·一模）已知实数满足，则的取值范围是___________.
三、解答题
21．（2021·上海·位育中学高二期中）已知点、，为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴的上方交双曲线于点，且．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线过点（0，1）且与双曲线交于、两点，若、中点的横坐标为1，求直线的方程；
（3）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂直，垂足分别为、，求证：为定值．
22．（2021·上海市建平中学高二期中）已知双曲线（，）的左、右焦点分别是、，左、右两顶点分别是、，弦和所在直线分别平行于轴与轴，线段的延长线与线段相交于点（如图）．www-2-1-cnjy-com
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（1）若是双曲线 的一条渐近线的一个方向向量，试求的两渐近线的方程；
（2）若，，，，试求双曲线的方程；
（3）在（1）的条件下，且，点与双曲线的顶点不重合，直线和直线与直线分别相交于点和，试问：是否存在定点，使得恒成立？若是，请求出定点的坐标，若不是，试说明理由．
23．（2021·上海市长征中学高二期中）点是双曲线E：上一点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为． 21世纪教育网版权所有
（1）求的值；
（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上的一点，满足，求的值．
24．（2021·上海松江·一模）
(1)求双曲线的方程；
(2)若对任意的，直线与双曲线总有公共点，求实数的取值范围；
(3)若过点的直线与双曲线交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及此常数的值，若不存在，请说明理由.21·世纪*教育网
25．（2021·上海市嘉定区第二中学高三月考）已知双曲线C的中心在原点，是它的一个顶点.是它的一条渐近线的一个方向向量.【来源：21cnj*y.co*m】
(1)求双曲线C的方程；
(2)设，M为双曲线右支上动点，当|PM|取得最小时，求四边形ODMP的面积；
(3)若过点任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点（A，B都不同于点D），求证:为定值.
26．（2021·上海闵行·一模）如图，在平面直角坐标系中，分别为双曲线Г：的左 右焦点，点D为线段的中点，直线MN过点且与双曲线右支交于两点，延长MD ND，分别与双曲线Г交于P Q两点.21cnjy.com
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(1)已知点，求点D到直线MN的距离；
(2)求证：；
(3)若直线MN PQ的斜率都存在，且依次设为k1 k2.试判断是否为定值，如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由.
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