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编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。21教育网
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答 ( http: / / www.21cnjy.com )三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。www.21-cn-jy.com
专题04 椭圆的性质综合难点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·上海市实验学校高二期末）设P是椭圆上一点，M、N分别是两圆：和上的点，则的最小值、最大值的分别为（ ）
A．9，12 B．8，11 C．8，12 D．9，11
2．若曲线与曲线恰有两个不同交点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．椭圆与直线的交点情况是（ ）
A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．由的取值而确定
4．设、是椭圆上相异的两点.设、.
命题甲：若，则与关于轴对称；
命题乙：若，则与关于轴对称.
关于这两个命题的真假，以下四个论述中，正确的是（ ）
A．甲和乙都是真命题 B．甲是真命题，乙是假命题
C．甲是假命题，乙是真命题 D．甲和乙都是假命题
5．在圆锥曲线中，我们将焦距与长轴长的比值称为离心率，已知椭圆与x轴正半轴交于点A，若该椭圆上总存在点P（异于A），使（O为坐标原点），则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知三角形的三个顶点都在椭圆：上，设它的三条边，，的中点分别为，，，且三条边所在线的斜率分别为，，，且，，均不为0.为坐标原点，若直线，，的斜率之和为1.则（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A． B． C． D．
7．（2021·上海奉贤·高二期末）直线与椭圆相交于两点、，点使得的面积为，则这样的点在椭圆上的个数有（ ）2-1-c-n-j-y
A．个 B．个 C．个 D．个
8．已知椭圆过右焦点F作不垂直于x轴的弦交椭圆于A，B两点，AB的垂直平分线交x轴于N，则|NF|：|AB|等于（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A． B． C． D．
9．已知椭圆C：的左右顶点分别为A、B，F为椭圆C的右焦点，圆上有一个动点P，P不同于A、B两点，直线PA与椭圆C交于点Q，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．下面是对曲线的一些结论，正确的结论是（ ）
①的取值范围是；
②曲线是中心对称图形；
③曲线上除点，外的其余所有点都在椭圆的内部；
④过曲线上任一点作轴的垂线，垂线段中点的轨迹所围成图形的面积不大于；
A．①②④ B．②③④ C．①② D．①③④
二、填空题
11．（2021·上海黄浦·三模）已知椭圆的右顶点为右焦点为以为圆心，为半径的圆与椭圆相交于两点，若直线过点则的值为_____．21*cnjy*com
12．（2021·上海嘉定·三模）设椭圆，直线l过的左顶点A交y轴于点P，交于点Q，若为等腰三角形（O为坐标原点），且Q是的中点，则的长轴长等于________.
( http: / / www.21cnjy.com / )
13．（2021·上海长宁·二模）设分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且不是椭圆的顶点．若，且，则实数的值为_____．
14．（2021·上海市控江中学高三月考）设椭圆的左顶点，过点的直线与相交于另一个点，与轴相交于点，若，，则___________.
15．（2021·上海·高三专题练习）已知F1，F2是椭圆C：（a> 0，b> 0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若△PF1F2的面积为9，则b=_________.
16．（2021·上海徐汇·高二期末）设直线与椭圆的交点为、，点为椭圆上的动点，则使的面积为的点的个数是________________．21·世纪*教育网
17．（2021·上海市建平中学高二月考）椭圆的焦点坐标为________．
18．（2021·上海·复旦附中青浦分校高二月考）已知椭圆， 焦点F1（-c，0）， F2（c，0）（c> 0），若过F1的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则椭圆的离心率是_______.21*cnjy*com
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19．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左右焦点分别为，，椭圆的弦与分别垂直于轴与轴，且相交于点.已知线段，，，的长分别为2，4，6，12，则的面积为___________.
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20．在平面直角坐标系xOy中，已知点A在椭圆上，点P满足，且，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为_______
三、解答题
21．（2021·上海市七宝中学高三期中）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于该椭圆的另一个焦点上．椭圆有光学性质：从一个焦点出发的光线，经过椭圆面反射后经过另一个焦点，即椭圆上任意一点P处的切线与直线、的夹角相等．已知，垂足为，，，以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立如图的平面直角坐标系．21cnjy.com
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(1)求截口BAC所在椭圆C的方程；
(2)点P为椭圆C上除长轴端点和短轴端点外的任意一点．
①是否存在m，使得P到和P到直线的距离之比为定值，如果存在，求出的m值，如果不存在，请说明理由；
②若的角平分线PQ交y轴于点Q，设直线PQ的斜率为k，直线、的斜率分别为，，请问是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．
22．（2021·上海市复兴高级中学高三期中）已知椭圆的左 右焦点分别为 ，点在椭圆上，且，点， 是椭圆上关于坐标原点O对称的两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点在第一象限，轴于点，直线交椭圆于点（不同于Q点），试求的值；
(3)已知点在椭圆上，直线与圆相切，连接，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.
23．（2021·上海市建平中学高三月考）已知椭圆：上任意一点到焦点距离的最大值与最小值之比为，长轴长为，左右顶点分别为、.2·1·c·n·j·y
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(1)求椭圆的方程；
(2)设直线：与轴交于点，点是椭圆上异于、的动点，直线、分别交直线于、两点，求证：为定值；www-2-1-cnjy-com
(3)如图，原点到：的距离为1，直线与椭圆交于、两点，直线：与平行且与椭圆相切于点（、位于直线的两侧），记、的面积分别为、，若，求实数的取值范围.
24．（2021·上海虹口·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于，两点，交轴于点.21教育名师原创作品
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(1)若直线的倾斜角为时，求的值；
(2)若点在第一象限，满足，求的值；
(3)在轴上是否存在定点，使得是一个确定的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
25．（2021·上海杨浦·一模）如图，椭圆的左 右焦点分别为 ，过右焦点与x轴垂直的直线交椭圆于M N两点，动点P Q分别在直线MN与椭圆C上.已知，的周长为.【出处：21教育名师】
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(1)求椭圆C的方程；
(2)若线段PQ的中点在y轴上，求三角形的面积；
(3)是否存在以 为邻边的矩形，使得点E在椭圆C上？若存在，求出所有满足条件的点Q的横坐标；若不存在，说明理由.21·cn·jy·com
26．（2021·上海金山·一模）已知为椭圆C：内一定点，Q为直线l：上一动点，直线PQ与椭圆C交于A B两点（点B位于P Q两点之间），O为坐标原点.21世纪教育网版权所有
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(1)当直线PQ的倾斜角为时，求直线OQ的斜率；
(2)当AOB的面积为时，求点Q的横坐标；
(3)设，，试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
27．（2021·上海市建平中学高二月考）给定椭圆，称圆为椭圆E的“伴随圆”．已知椭圆E中，离心率为．【版权所有：21教育】
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线与椭圆E交于A、B两点，与其“伴随圆”交于C、D两点，．
①请将用含有k的关系式表示（不需给出k的范围）；
②当时，求的面积
28．（2021·上海崇明·一模）如图，已知椭圆的左焦点为，点是椭圆上位于第一象限的点，M，N是轴上的两个动点(点位于轴上方)，满足且，线段PN交轴于点.
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(1)若，求点的坐标；
(2)若四边形为矩形，求点的坐标；
(3)求证:为定值.
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本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。【来源：21cnj*y.co*m】
思路设计：重在培优训练，分选择、 ( http: / / www.21cnjy.com )填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21*cnjy*com
专题04 椭圆的性质综合难点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·上海市实验学校高二期末）设P是椭圆上一点，M、N分别是两圆：和上的点，则的最小值、最大值的分别为（ ）
A．9，12 B．8，11 C．8，12 D．9，11
【标准答案】C
【思路指引】
两圆的圆心是椭圆的焦点，，的最大值与最小值是到圆心的距离加上半径、减去半径，结合椭圆定义可得．
【详解详析】
由题意椭圆的焦点分别是，恰好是已知两圆圆心，两圆半径都是1，
，，，，
，
∴，．
故选：C．
2．若曲线与曲线恰有两个不同交点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
分别在曲线为椭圆、双曲线和圆三种情况下，由数形结合的方式得到不等关系，从而求得结果.
【详解详析】
①当曲线为椭圆时，若两曲线恰有两个交点，则需如下图所示：
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则，解得：
②当曲线为双曲线时，如下图所示：
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若为双曲线的渐近线，则两曲线恰有两个交点
，解得：
③当曲线为圆，即时，两曲线有个不同交点，不合题意
综上所述：实数的取值范围为
故选
【名师指路】
本题考查根据两曲线交点个数求解参数范围的问题，关键是能够通过分类讨论的方式，根据曲线方程表示的不同曲线，利用数形结合的方式得到不等关系.2·1·c·n·j·y
3．椭圆与直线的交点情况是（ ）
A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．由的取值而确定
【标准答案】C
先将转化为： ，令，解出直线过定点，再将代入，判断点与椭圆的位置关系.
【详解详析】
已知可转化为：
，
令，
解得，
所以直线过定点 ，
将代入
可得，
所以点在椭圆的内部，
所以直线与椭圆必相交，
所以必有两个交点.
故选：C
【名师指路】
本题主要考查了点与椭圆，直线与椭圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题.
4．设、是椭圆上相异的两点.设、.
命题甲：若，则与关于轴对称；
命题乙：若，则与关于轴对称.
关于这两个命题的真假，以下四个论述中，正确的是（ ）
A．甲和乙都是真命题 B．甲是真命题，乙是假命题
C．甲是假命题，乙是真命题 D．甲和乙都是假命题
【标准答案】A
设点、，则或，利用两点间的距离公式结合命题中的等式，化简计算可判断出两个命题的真假.
【详解详析】
设点、，则，可得，.
对于命题甲：，
同理可得，
，则，整理得，
，，所以，，则，必有，
所以，则与关于轴对称，命题甲正确；
同理可知命题乙也正确.
故选：A.
【名师指路】
本题主要考查椭圆的对称性的应用，考查椭圆方程的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.
5．在圆锥曲线中，我们将焦距与长轴长的比值称为离心率，已知椭圆与x轴正半轴交于点A，若该椭圆上总存在点P（异于A），使（O为坐标原点），则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
设，利用可得关于的方程，再结合该点在椭圆上可得，利用可求离心率的范围.
【详解详析】
由椭圆方程可得，
设，则，
因为，故，故，
又，故，整理得到：，
因为当时，，故方程有一个解为.
所以此方程的另一个解为，故的横坐标为，
所以，即即，所以，
故选：B.
【名师指路】
方法点睛：椭圆离心率的范围计算，一般利用题设条件构建关于的不等式关系，构建时常依据坐标的范围、几何量的范围等.21教育网
6．已知三角形的三个顶点都在椭圆：上，设它的三条边，，的中点分别为，，，且三条边所在线的斜率分别为，，，且，，均不为0.为坐标原点，若直线，，的斜率之和为1.则（ ）21教育名师原创作品
A． B． C． D．
【标准答案】A
设，，，，，，利用，在椭圆上，代入椭圆方程，两式相减得：，同理可得：，，再利用已知条件即可得出结果.
【详解详析】
设，，，，，，
因为，在椭圆上，
所以，
，
两式相减得：
，
即，
同理可得，，
所以
因为直线 的斜率之和为1，
所以，
故选：A.
【名师指路】
关键点睛：本题主要考查椭圆的简单性质的应用.利用平方差法转化求解斜率是解决本题的关键.
7．（2021·上海奉贤·高二期末）直线与椭圆相交于两点、，点使得的面积为，则这样的点在椭圆上的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【标准答案】C
【思路指引】
设点，其中，利用点到直线的距离公式以及三角形的面积公式可得出或，观察直线、与函数的图象的公共点个数，由此可得出结论.
【详解详析】
设点、，因为点在椭圆上，设点，其中，
设点到直线的距离为，则，
因为，，
所以，，
所以，或，
可得或，
因为，则，如下图所示：
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直线与函数的图象只有个公共点，
直线与函数的图象有个公共点，
因此，满足条件的点共有个.
故选：C.
8．已知椭圆过右焦点F作不垂直于x轴的弦交椭圆于A，B两点，AB的垂直平分线交x轴于N，则|NF|：|AB|等于（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
设出直线的参数方程，代入椭圆方程，化简后写出韦达定理.利用直线参数的几何意义表示出，由此求得两者的比值.
【详解详析】
依题意可知，椭圆的右焦点为.设直线的参数方程为（为参数，为直线的倾斜角，）.代入椭圆，化简得，所以.设的中点为，则中点对应的参数，所以.而.所以.
故选：B.
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【名师指路】
本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.
9．已知椭圆C：的左右顶点分别为A、B，F为椭圆C的右焦点，圆上有一个动点P，P不同于A、B两点，直线PA与椭圆C交于点Q，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
椭圆焦点在轴上，由在圆，则，有，设，求出，令，，分离常数，求解得出结论.
【详解详析】
椭圆C：的左右顶点分别为，
右焦点，点圆上且不同于，
，
设，
令，
，
且不等于0.
故选:D.
【名师指路】
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、三角函数求值、函数的性质、换元方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题.21·cn·jy·com
10．下面是对曲线的一些结论，正确的结论是（ ）
①的取值范围是；
②曲线是中心对称图形；
③曲线上除点，外的其余所有点都在椭圆的内部；
④过曲线上任一点作轴的垂线，垂线段中点的轨迹所围成图形的面积不大于；
A．①②④ B．②③④ C．①② D．①③④
【标准答案】C
由曲线方程性质可知①正确；关于原点对称的两个点点，是否都在曲线上，可判断②；令代入验证即可判断③；通过轨迹法求得垂线段中点的轨迹方程，判断轨迹中的点与的关系即可判断④.
【详解详析】
，可知，即，，，，①正确；
将方程中的换成，换成方程不变，故②正确；
，令，则，当时，，点在椭圆的外部，故③错误；
过曲线上任一点作轴的垂线，垂线段中点的轨迹为，即，
在上任取一点，
，
，，即在外，
围成图形的面积大于，故④错误.
故选：C
【名师指路】
方法点睛：关于对称点的问题可以利用以下知识解决：
①点关于轴对称的点为；
②点关于轴对称的点为；
③点关于原点对称的点为；
④点关于轴对称的点为.
二、填空题
11．（2021·上海黄浦·三模）已知椭圆的右顶点为右焦点为以为圆心，为半径的圆与椭圆相交于两点，若直线过点则的值为_____．21cnjy.com
【标准答案】
【思路指引】
由对称性得弦是椭圆的通径，由通径长可得关系式，从而求得．
【详解详析】
由已知，，因为过焦点，所以由对称性知轴，所以，，所以．
故答案为：．
12．（2021·上海嘉定·三模）设椭圆，直线l过的左顶点A交y轴于点P，交于点Q，若为等腰三角形（O为坐标原点），且Q是的中点，则的长轴长等于________.
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【标准答案】
【思路指引】
由题意可得，代入椭圆方程求解即可.
【详解详析】
设，由题意可得：，
因为Q是的中点，所以
∴，∴，
代入椭圆方程可得：，解得，∴椭圆的长轴长等于
故答案为：.
13．（2021·上海长宁·二模）设分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且不是椭圆的顶点．若，且，则实数的值为_____．21·世纪*教育网
【标准答案】1
【思路指引】
由已知向量条件结合椭圆的对称性推出四边形一定为平行四边形，可得，即.
【详解详析】
因为，所以，所以，
又，且不是椭圆的顶点．
根据椭圆的对称性可知，四边形一定为平行四边形，
如图：
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所以，
所以，即，
故答案为：．
【名师指路】
关键点点睛：根据椭圆的对称性求解是解题关键.
14．（2021·上海市控江中学高三月考）设椭圆的左顶点，过点的直线与相交于另一个点，与轴相交于点，若，，则___________.
【标准答案】
【思路指引】
由椭圆方程及已知条件知：、，进而求出的坐标，由在椭圆上求参数a即可.
【详解详析】
由题设，知：，若直线与轴相交于x轴上方，由知：，
∵，即是的中点，
∴，又在椭圆上，
∴，解得.
故答案为：
15．（2021·上海·高三专题练习）已知F1，F2是椭圆C：（a> 0，b> 0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若△PF1F2的面积为9，则b=_________.21*cnjy*com
【标准答案】3
【思路指引】
结合已知三角形面积根据椭圆的定义可得．
【详解详析】
设，，
因为，所以，所以
，
又，所以，，．
故答案为：3．
16．（2021·上海徐汇·高二期末）设直线与椭圆的交点为、，点为椭圆上的动点，则使的面积为的点的个数是________________．
【标准答案】2
【思路指引】
先求交点A，B得，再求与直线平行且与椭圆相切的直线方程，最后根据两直线距离判定点的个数.
【详解详析】
由题意知，直线恰好经过椭圆的两个顶点，，
故，
若的面积为，
则（为边上的高），所以．
联立与椭圆方程，
得．
令，
得，
即当直线平移到直线或时，
与椭圆相切，
它们与直线的距离或，
当，所以有个点符合要求；
当，没有满足题意的点；所以一共有个点符合要求．
故答案为：2
17．（2021·上海市建平中学高二月考）椭圆的焦点坐标为________．
【标准答案】
【思路指引】
由椭圆的几何性质可直接求解.
【详解详析】
将椭圆化成标准式得，故，焦点在轴上，所以，，故椭圆的焦点坐标为，
故答案为：
18．（2021·上海·复旦附中青浦分校高二月考）已知椭圆， 焦点F1（-c，0）， F2（c，0）（c> 0），若过F1的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则椭圆的离心率是_______.www.21-cn-jy.com
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【标准答案】
【思路指引】
由几何关系可得为，结合相似三角形可得的比例关系，联立焦点三角形公式即可求解
【详解详析】
由题可知，，，故，因为过F1的直线和圆相切，所以，又PF2⊥x轴，故，即，设则，椭圆离心率
故答案为：
19．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左右焦点分别为，，椭圆的弦与分别垂直于轴与轴，且相交于点.已知线段，，，的长分别为2，4，6，12，则的面积为___________.
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【标准答案】
根据图形以及线段，，，的长求出，将代入，可得，然后利用三角形面积公式可得答案.
【详解详析】
因为椭圆的弦与分别垂直于轴与轴，且相交于点，
线段，，，的长分别为2，4，6，12，
由图可知，是第一象限的点，根据椭圆的对称性可得，
，
，
即，将代入，
可得，解得，，
则的面积为，
故答案为：
【名师指路】
关键点点睛：本题主要考查椭圆的方程与几何性质，解题的关键是利用对称性求出，然后代入椭圆方程确定的值.【来源：21·世纪·教育·网】
20．在平面直角坐标系xOy中，已知点A在椭圆上，点P满足，且，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为_______
【标准答案】10
由已知可得，，三点共线，先设与轴的夹角为，为在轴上的投影，从而有线段在轴上的投影长度为，结合椭圆方程及基本不等式可求．
【详解详析】
，
，则，，三点共线，
，
设与轴的夹角为，为在轴上的投影，
则线段在轴上的投影长度为
，
当且仅当即时取得最大值10．
故答案为：10．
【名师指路】
方法点睛：在利用基本不等式求最值时， ( http: / / www.21cnjy.com )要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.
三、解答题
21．（2021·上海市七宝中学高三期中）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于该椭圆的另一个焦点上．椭圆有光学性质：从一个焦点出发的光线，经过椭圆面反射后经过另一个焦点，即椭圆上任意一点P处的切线与直线、的夹角相等．已知，垂足为，，，以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立如图的平面直角坐标系．
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(1)求截口BAC所在椭圆C的方程；
(2)点P为椭圆C上除长轴端点和短轴端点外的任意一点．
①是否存在m，使得P到和P到直线的距离之比为定值，如果存在，求出的m值，如果不存在，请说明理由；
②若的角平分线PQ交y轴于点Q，设直线PQ的斜率为k，直线、的斜率分别为，，请问是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．
【标准答案】(1).
(2)①存在②是定值
【思路指引】
（1）设所求椭圆方程为，由椭圆的性质求得，，可得椭圆的方程；
（2）①存在, 设椭圆上的点,直接计算，即可探索出存在m；
②由（1）得椭圆的方程为，设椭圆上的点，有，证明椭圆在点处的切线方程为， 再由右光学性质得直线，由此可求得定值.
(1)
设所求椭圆方程为，
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则，
由椭圆的性质：，所以，
，
所以椭圆的方程为.
(2)
由椭圆的方程为，则.
①存在直线，使得P到和P到直线的距离之比为定值.
设椭圆上的点,
则，P到直线的距离，
所以，
所以，当时，（定值）.
即存在，使得P到和P到直线的距离之比为定值.
②设椭圆上的点，则，
又椭圆在点处的切线方程为，
证明如下：对于椭圆，
当，，则，
所以椭圆在处的切线方程为，
又由，可以整理切线方程为：，
即切线方程为，即，也即.
所以椭圆在点处的切线方程为，
同理可证：当，椭圆在点处的切线方程为，
综述：椭圆在点处的切线方程为，
所以在点处的切线的斜率为，
又由光学性质可知：直线，所以，则.
所以，
，
那么.
22．（2021·上海市复兴高级中学高三期中）已知椭圆的左 右焦点分别为 ，点在椭圆上，且，点， 是椭圆上关于坐标原点O对称的两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点在第一象限，轴于点，直线交椭圆于点（不同于Q点），试求的值；
(3)已知点在椭圆上，直线与圆相切，连接，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.
【标准答案】(1)
(2)
(3)为定值，理由见解析.
【思路指引】
（1）由已知可得，设，，根据求得的值，再由求得的值，进而可得椭圆的标准方程；
（2）设，，，计算，，可得，即可得；
（3）直线的斜率不存在时，的方程为或，求出，，三点坐标，可得、的长，即可得的值，当直线的斜率存在时，设，可得，设直线的方程为：，与椭圆方程联立可得，，由弦长公式计算，由两点间距离公式计算，即可得，即可得结论.www-2-1-cnjy-com
(1)
设椭圆的半焦距为，由点在椭圆上，可得，，，
，
由，可得，
所以，所以椭圆的标准方程为.
(2)
设，，，
所以，
，
所以，可得，所以
(3)
当直线的斜率不存在时，由题意可得：直线的方程为或，
当直线的方程为时，的方程为，
可得，，，则，，
所以，其他情况由对称性，同理可得，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，
即，可得，
设，可得，
由可得，
所以，，
所以，
，
，
所以，
综上所述：为定值.
【名师指路】
思路点睛：解决圆锥曲线定值、定点的方法：
（1）从特殊入手，求出定值、定点、定线，再证明定值、定点、定线与变量无关；
（2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量是此类问题的特点，设而不求的方法、整体思想和消元思想的运用可以有效的简化运算.【版权所有：21教育】
23．（2021·上海市建平中学高三月考）已知椭圆：上任意一点到焦点距离的最大值与最小值之比为，长轴长为，左右顶点分别为、.
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(1)求椭圆的方程；
(2)设直线：与轴交于点，点是椭圆上异于、的动点，直线、分别交直线于、两点，求证：为定值；
(3)如图，原点到：的距离为1，直线与椭圆交于、两点，直线：与平行且与椭圆相切于点（、位于直线的两侧），记、的面积分别为、，若，求实数的取值范围.
【标准答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【思路指引】
（1）根据，解得答案.
（2）设，计算直线方法解得交点，代入化简得到证明.
（3）根据距离的相切得到，，得到，根据得到答案.
(1)
根据题意，，解得，，则.
故椭圆方程为：.
(2)
设，，，，
故：，取得到，即.
同理可得，.
(3)
，即，
，化简得到，
，整理得到.
，故，
故，故，故.
24．（2021·上海虹口·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于，两点，交轴于点.
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(1)若直线的倾斜角为时，求的值；
(2)若点在第一象限，满足，求的值；
(3)在轴上是否存在定点，使得是一个确定的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
【标准答案】(1)
(2)
(3)存在使得是一个确定的常数.
【思路指引】
（1）根据题意求得，进而求得直线的方程，令，即可求解；
（2）设，根据，得到，联立方程组，求得，进而求得的值；
（3）按照直线斜率是否为0讨论，设直线的方程为，联立方程组求得，设，结合向量的数量积的公式，化简得到，从而得到，求得，即可得到答案.
(1)
解：由椭圆，可得，则，
所以，
又因为直线的倾斜角为，可得直线的斜率为，
所以直线的方程为，令，解得，即.
(2)
解：设，可得，
因为，即，整理得，
由且，解得，即，
又由，所以直线的方程为，
令，解得，即.
(3)
解：当直线l斜率不为0时，设直线的方程为，，，
联立方程组，整理得，
则，且，
设，可得，
则
，
令，可得，解得，此时点，；
当直线斜率为0时，直线的方程为，，
若点，则成立；
所以存在定点，使得是一个确定的常数
25．（2021·上海杨浦·一模）如图，椭圆的左 右焦点分别为 ，过右焦点与x轴垂直的直线交椭圆于M N两点，动点P Q分别在直线MN与椭圆C上.已知，的周长为.
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(1)求椭圆C的方程；
(2)若线段PQ的中点在y轴上，求三角形的面积；
(3)是否存在以 为邻边的矩形，使得点E在椭圆C上？若存在，求出所有满足条件的点Q的横坐标；若不存在，说明理由.
【标准答案】(1)；
(2)；
(3)存在，且点坐标为,.
【思路指引】
（1）的周长是，求得，由焦距得，然后求得得椭圆方程；
（2）线段PQ的中点在y轴上，得点横坐标，代入椭圆方程得点纵坐标，此时轴，易得其面积；
（3）假设存在以 为邻边的矩形，使得点E在椭圆C上，设，，，由平行四边形对角线互相平分把点坐标用点坐标表示，然后把坐标代入椭圆方程，利用垂直得向量的数量积为0，得出的关系，结合起来可得或，再分别代入求得，得结论．
(1)
由已知，所以，，从而，
椭圆方程为；
(2)
显然，线段PQ的中点在y轴上，则，轴，
，，所以；
(3)
假设存在以 为邻边的矩形，使得点E在椭圆C上，
设，，，，
因为四边形是矩形，一定为平行四边形，所以，，
都在椭圆上，，变形得①，
又，所以，即，②，
②代入①得，或，
时，，，此时与重合，点坐标为；
时，（舍去），，点坐标为．
所以存在满足题意的点，其坐标为,.
【名师指路】
本题考查求椭圆标准方程，直线与椭圆中的存在性命题．解题方法是假设存在，设出点的坐标，由平行四边形求出点坐标，然后把的坐标全都代入椭圆方程，再由垂直得向量的数量积为0，得出的关系，从而达到求解的目的．本题考查学生的逻辑思维能力，运算求解能力，属于难题．
26．（2021·上海金山·一模）已知为椭圆C：内一定点，Q为直线l：上一动点，直线PQ与椭圆C交于A B两点（点B位于P Q两点之间），O为坐标原点.2-1-c-n-j-y
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(1)当直线PQ的倾斜角为时，求直线OQ的斜率；
(2)当AOB的面积为时，求点Q的横坐标；
(3)设，，试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
【标准答案】(1)
(2)或
(3)1
【思路指引】
（1）先得到直线PQ的方程为：，由得到Q的坐标求解；
（2）设直线PQ的方程为，由，结合韦达定理求得，再由求解.
（3）设直线PQ的方程为，由，得到，，有，再根据，，得到求解.
(1)
解：因为直线PQ的倾斜角为，且，
所以直线PQ的方程为：，
由，得，
所以直线OQ的斜率是；
(2)
易知直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为，
由，得，
设，则，
所以，
所以，
解得，即，
所以直线PQ的方程为或，
由，得；
由，得；
(3)
易知直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为，
由，得，
设，则，
所以，
因为，，
所以，
所以，
.
27．（2021·上海市建平中学高二月考）给定椭圆，称圆为椭圆E的“伴随圆”．已知椭圆E中，离心率为．【出处：21教育名师】
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线与椭圆E交于A、B两点，与其“伴随圆”交于C、D两点，．
①请将用含有k的关系式表示（不需给出k的范围）；
②当时，求的面积
【标准答案】(1)
(2)①；②；
【思路指引】
（1）根据a、b、c即可求出椭圆方程.
(2)根据弦长，即可求得与的关系式，再联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理，即可求解.
(1)
由椭圆的离心率，解得
所以椭圆E的方程
(2)
①“伴随圆”的方程为，
由，得圆心O到CD的距离为
由，整理得
②设，
当时，，
由椭圆的对称性得当时，所得的面积相等，
不妨令,由，得，
由韦达定理得
，点O到直线l的距离为，
；
28．（2021·上海崇明·一模）如图，已知椭圆的左焦点为，点是椭圆上位于第一象限的点，M，N是轴上的两个动点(点位于轴上方)，满足且，线段PN交轴于点.21世纪教育网版权所有
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(1)若，求点的坐标；
(2)若四边形为矩形，求点的坐标；
(3)求证:为定值.
【标准答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【思路指引】
（1）结合椭圆的定义求得点的坐标.
（2）利用向量垂直列方程，化简求得点的坐标.
（3）利用向量垂直列方程，化简求得为定值.
(1)
椭圆，，，
，
设，且在第一象限，，.
则.
(2)
设，
由于，所以.
①，
由于，
所以
②，
由于四边形为矩形，，
所以③，
由于四边形为矩形，，
所以④，
③-④并化简得，
，
由于，所以，代入②得：
，，代入③得：
，由于，故解得，所以.
(3)
令（），
由①②得，
，
，将代入得
，，
，，
，由于，所以.
所以为定值.
【名师指路】
本小题破题关键在于利用向量运算表示垂直，构建各个量之间的等量关系式，进而化简得出题目的所求.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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