中小学教育资源及组卷应用平台
编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。21cnjy.com
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解 ( http: / / www.21cnjy.com )答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。www.21-cn-jy.com
专题08 抛物线的性质综合难点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·上海·高三专题练习）已知为抛物线的焦点，、是抛物线上的不同两点，则下列条件中与“、、三点共线”等价的是（ ）21世纪教育网版权所有
A． B．
C． D．
2．过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们的横坐标之和等于，则这样的直线（ ）21教育网
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在
3．（2021·上海市金山中学高二月考）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，位于第一象限，则的最小值是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A． B． C． D．
4．已知抛物线和直线在第一象限内的交点为．设是抛物线上的动点，且满足，记，则（ ）21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．当时，的最小值是
B．当时，的最小值是
C．当时，的最小值是
D．当时，的最小值是
5．若直线与抛物线交于A、B两点(不与原点重合)，且，则实数b的值为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．
6．（2021·上海市南洋模范中学高二期末）已知过抛物线焦点的直线与交于，两点，交圆于，两点，其中，位于第一象限，则的值不可能为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．（2021·上海市控江中学高三月考）已知点的坐标为，点是抛物线上的点，则使得是等腰三角形的点的个数是（ ）21*cnjy*com
A．2 B．4 C．6 D．8
8．已知直线与抛物线交于、两点，若四边形为矩形，记直线的斜率为，则的最小值为（ ）．2·1·c·n·j·y
A．4 B． C．2 D．
9．已知为抛物线的焦点，、、为抛物线上三点，当时，有（ ）
A．个 B．个 C．有限个，但多于个 D．无限多个
10．（2021·上海·位育中学三模）已知抛物线为其焦点，为其准线，过任作一条直线交抛物线于两点，分别为在上的射影，为的中点，给出下列命题:①;②;③;④与的交点在轴上;⑤与交于原点．其中真命题的个数为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
11．（2021·上海·位育中学高二月考）直线被抛物线截得线段长是____________
12．设抛物线的焦点为，过的两条直线，分别交抛物线于点，，，，且，的斜率，满足，则的最小值为__________．21教育名师原创作品
13．已知圆：与抛物线：恰有两个公共点 ，圆与恰有一个公共点，且圆与轴相切于的焦点，则___________.
14．（2021·上海市复兴高级中学高二期中）过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于点（在轴的上方），为抛物线的准线，点在上且，则到直线的距离为________
15．（2021·上海·曹杨二中高二月考）如图，已知抛物线的焦点为，直线过点且依次交抛物线及圆于、、、四点，则的最小值为_____．
( http: / / www.21cnjy.com / )
16．（2021·上海市建平中学高三期中）过抛物线的焦点且斜率为的直线交抛物线于点（在轴上方），为抛物线的准线，点在上且，则到直线的距离为___________
17．（2021·上海崇明·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，以为顶点为焦点作抛物线.若双曲线与抛物线交于点，且，则抛物线的准线方程是_____.
18．（2021·上海长宁·一模）已知点在抛物线上，点在的准线上，线段的中点均在抛物线上，设直线与轴交于点，则的最小值为____________．
19．（2021·上海长宁·一模）设曲线与函数的图像关于直线对称，若曲线仍然为某函数的图像，则实数的取值范围为____________
20．（2021·上海交大附中模拟预测）焦点为的抛物线与圆交于、两点，其中点横坐标为，方程的曲线记为，是圆与轴的交点，是坐标原点.有下面的四个命题，请选出所有正确的命题：_________.①对于给定的角，存在，使得圆弧所对的圆心角；②对于给定的角，存在，使得圆弧所对的圆心角；③对于任意，该曲线有且仅有一个内接正△；④当时，存在面积大于2021的内接正△.
( http: / / www.21cnjy.com / )
三、解答题
21．（2021·上海青浦·一模）已知抛物线.
（1）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，求的值（其中为坐标原点）；
（2）过抛物线上一点，分别作两条直线交抛物线于另外两点 ，交直线于两点，求证：为常数
（3）已知点，在抛物线上是否存在异于点的两个不同点，使得若存在，求点纵坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.21·cn·jy·com
22．（2021·上海浦东新·一模）已知斜率为的直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于不同的两点、.www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）若点和到抛物线准线的距离分别为和，求；
（2）若，求的值；
（3）点，，对任意确定的实数，若是以为斜边的直角三角形，判断符合条件的点有几个，并说明理由.
23．（2021·上海徐汇·一模）在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线，是曲线上一点.
（1）求曲线的方程；
（2）过点且斜率为的直线与曲线交于两点，若且直线与直线交于点，求 的值；
（3）若点在轴上，的内切圆的方程为，求面积的最小值.
24．（2021·上海宝山·高二期末）已知椭圆的右焦点为，短轴长为.
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求椭圆的方程；
（2）设S为椭圆的右顶点，过点F的直线与交于M、N两点（均异于S），直线、分别交直线于U、V两点，证明：U、V两点的纵坐标之积为定值，并求出该定值；
（3）记以坐标原点为顶点、为焦点的抛物线为，如图，过点F的直线与交于A、B两点，点C在上，并使得的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在F的右侧，设、的面积分别为、，是否存在锐角，使得成立？请说明理由.
25．（2021·上海浦东新·高二期中）在平面直角坐标系中，原点为，抛物线的方程为，线段是抛物线的一条动弦．
（1）求抛物线的准线方程；
（2）求，求证：直线恒过定点；
（3）过抛物线的焦点作互相垂直的两条直线、，与抛物线交于、两点，与抛物线交于、两点，、分别是线段、的中点，求面积的最小值．【出处：21教育名师】
26．（2021·上海·曹杨二中高二月考）直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，直线、的斜率之积为，以线段的中点为圆心，为半径的圆与直线交于、两点．
（1）求证：直线过定点；
（2）求中点的轨迹方程；
（3）设，求的最小值．
27．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）过抛物线上一定点作两条直线分别交抛物线于，，【版权所有：21教育】
（1）若横坐标为的点到焦点的距离为1，求抛物线方程；
（2）若为抛物线的顶点，，试证明：过、两点的直线必过定点；
（3）当与的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线的斜率是非零常数.
28．（2021·上海市实验学校高三月考）已知直线与抛物线交于，两点，且，过椭圆的右顶点的直线l交于抛物线于，两点.
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求抛物线的方程；
（2）若射线，分别与椭圆交于点，，点为原点，，的面积分别为，，问是否存在直线使？若存在求出直线的方程，若不存在，请说明理由；21*cnjy*com
（3）若为上一点，，与轴相交于，两点，问，两点的横坐标的乘积是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由.
29．（2021·上海·闵行中学高三开学考试）如图，直线与抛物线相交于不同的两点、，且（为定值），线段的中点为，与直线平行的抛物线的切线的切点为．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）用、表示出点、点的坐标，并证明垂直于轴；，
（2）求的面积（只与有关，与、无关）；
（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连、，再作与、平行的切线，切点分别为、，小张马上写出了、的面积，由此小张求出了直线与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．2-1-c-n-j-y
30．（2021·上海市吴淞中学高三期中）已知点在抛物线上，过点的直线与抛物线C有两个不同的交点A、B，且直线PA交轴于M，直线PB交轴于N.
（1）求抛物线C的方程；
（2）求直线的斜率的取值范围；
（3）设O为原点，，求证：为定值.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。www-2-1-cnjy-com
思路设计：重在培优训练，分选择、 ( http: / / www.21cnjy.com )填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题08 抛物线的性质综合难点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·上海·高三专题练习）已知为抛物线的焦点，、是抛物线上的不同两点，则下列条件中与“、、三点共线”等价的是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，将韦达定理逐一代入各选项中的等式，求出的值，进而可得出结论.
【详解详析】
设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，
消去得，由韦达定理得，.
抛物线的焦点的坐标为，若、、三点共线，则.
对于A选项，，解得；
对于B选项，，解得；
对于C选项，，
整理得，即，解得；
对于D选项，，整理得，
解得或.
故选：B.
【名师指路】
本题考查焦点弦性质相关的判断，涉及韦达定理的应用，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中等题.
2．过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们的横坐标之和等于，则这样的直线（ ）
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在
【标准答案】A
分别讨论直线斜率存在和不存在的情况，根据是否能够满足横坐标之和为2进行判断.
【详解详析】
根据题意，抛物线的焦点坐标为.
若直线的斜率不存在，则两点关于焦点对称，故满足；
若直线的斜率不存在，设直线方程为
联立抛物线方程，可得
设，故，不可能等于2，
故此时不存在满足题意的直线.
综上所述，满足题意的直线只有1条.
故选：A.
【名师指路】
本题考查直线与抛物线的位置关系，属基础题.
3．（2021·上海市金山中学高二月考）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，位于第一象限，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
设直线的方程为：，，联立直线与抛物线的方程消元，然后韦达定理可得，然后根据抛物线的定义可得，然后用基本不等式可求得答案.
【详解详析】
抛物线的焦点，设直线的方程为：
联立方程组，得
设，则有，即
由抛物线的定义可得
所以，当且仅当时等号成立
所以的最小值是
故选：D
【名师指路】
本题考查的是抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系和基本不等式求最值，考查了学生的转化能力，属于中档题.
4．已知抛物线和直线在第一象限内的交点为．设是抛物线上的动点，且满足，记，则（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．当时，的最小值是
B．当时，的最小值是
C．当时，的最小值是
D．当时，的最小值是
【标准答案】D
由抛物线方程求得焦点坐标，再利用抛物线定义，数形结合找到的最小值.
【详解详析】
( http: / / www.21cnjy.com / )
到直线的距离
抛物线的焦点为
根据抛物线的定义知
故
F到直线的距离
当时，的最小值是
故选：D
【名师指路】
本题考查应用抛物线定义相关知识求最值问题，属于中档题.
5．若直线与抛物线交于A、B两点(不与原点重合)，且，则实数b的值为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．
【标准答案】A
【思路指引】
设，联立直线与抛物线方程并整理，结合韦达定理及向量数量积的坐标公式，列方程求b的值，根据A、B两点不与原点重合、判别式大于0，判断b的取值即可.【来源：21cnj*y.co*m】
【详解详析】
设，联立，整理得，
∴，，且由题意：，，
∵，而，
∴，即，解得或(舍).
而时，.
故选：A.
【名师指路】
关键点点睛：联立直线与抛物线方程，应用韦达定理及向量数量积的坐标公式，列方程求参数值，注意验证参数值的合理性.
6．（2021·上海市南洋模范中学高二期末）已知过抛物线焦点的直线与交于，两点，交圆于，两点，其中，位于第一象限，则的值不可能为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【标准答案】D
【思路指引】
本题考查了抛物线的性质及基本不等式的应用，属于中档题．
设PQ的方程为可得，可得，利用基本不等式求得最小值，从而作出判定．
【详解详析】
易得抛物线的焦点,
设，，PQ的方程为，
．
，，则．
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
则．
故选：D．
【名师指路】
PQ的方程为的形式，包括了斜率不存在的情况，可以避免分类讨论.
7．（2021·上海市控江中学高三月考）已知点的坐标为，点是抛物线上的点，则使得是等腰三角形的点的个数是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【标准答案】C
【思路指引】
根据等腰三角形的腰长不明确，分①；②；③；三种情况进行讨论求解．
【详解详析】
，则P为OA垂直平分线与抛物线的交点，下图中的、；
( http: / / www.21cnjy.com / )
，则P为以O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的交点，下图中的、；
( http: / / www.21cnjy.com / )
，则P为以A为圆心，AO为半径的圆与抛物线的交点，下图中的、．
( http: / / www.21cnjy.com / )
故选：C.
8．已知直线与抛物线交于、两点，若四边形为矩形，记直线的斜率为，则的最小值为（ ）．A．4 B． C．2 D．
【标准答案】B
【思路指引】
设直线方程并与抛物线方程联立,根据,借助韦达定理化简得.根据,相互平分,由中点坐标公式可得,即可求得,根据基本不等式即可求得最小值.
【详解详析】
设,,
设直线:
将直线与联立方程组,消掉:
得:
由韦达定理可得: ┄①, ┄②
，故,可得:┄③
，，是上的点,
, 可得:┄④
由③④可得:,结合②可得:
和相互平分,由中点坐标公式可得，结合①②
可得:, ，
故，
根据对勾函数(对号函数)可知
时,. (当且仅当)
时,.(当且仅当)
所以.
故选:B.
【名师指路】
本题主要考查直线与圆锥曲 ( http: / / www.21cnjy.com )线的位置关系的应用问题,通过联立直线方程与抛物线方程的方程组,应用一元二次方程根与系数的关系,得到“目标函数”的解析式,确定函数的性质进行求解.21世纪教育网版权所有
9．已知为抛物线的焦点，、、为抛物线上三点，当时，有（ ）
A．个 B．个 C．有限个，但多于个 D．无限多个
【标准答案】D
根据可得为△的重心，结合解的情况可求.
【详解详析】
因为，所以为△的重心，
设，的中点为，则，可得，
只要满足点在抛物线内部，即，解得，
所以有无限多个.
故选：D.
【名师指路】
本题主要考查抛物线的性质，明确点的取值范围是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
10．（2021·上海·位育中学三模）已知抛物线为其焦点，为其准线，过任作一条直线交抛物线于两点，分别为在上的射影，为的中点，给出下列命题:①;②;③;④与的交点在轴上;⑤与交于原点．其中真命题的个数为（ ）21cnjy.com
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【标准答案】D
【思路指引】
①根据抛物线的定义和平行可以证明且，从而即;
②根据抛物线定义和梯形的中位线证明点在以为直径的圆上，从而有;
③通过证明, ，从而证明;
④由③知与的交点是的中点，由与轴的交点也为的中点，从而证明与的交点在轴上;
⑤通过设而不求将直线，与轴的交点都在原点，从而证明与交于原点．
【详解详析】
如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
对①，由抛物线的定义得：，所以,
又因为轴，所以，
所以,
同理因为，所以,
所以即，故①正确；
如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
对②，为的中点,取为的中点,
所以,
所以点在以为直径的圆上，从而有，故②正确；
如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
对③，,
又
所以，又
所以,由②知
，故③正确;
对④，
由③ 知与的交点是的中点，由与轴的交点也为的中点，故
与的交点在轴上，所以④正确;
( http: / / www.21cnjy.com / )
对⑤，设直线方程为：，，则
联立得，由韦达定理得：
又，
所以直线方程：
整理得：
，所以直线过原点，
同理可以证明直线过原点，
所以与交于原点；故⑤正确；
故选：D.
【名师指路】
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要 ( http: / / www.21cnjy.com )注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．【出处：21教育名师】
二、填空题
11．（2021·上海·位育中学高二月考）直线被抛物线截得线段长是____________
【标准答案】
【思路指引】
设直线交抛物线于点、，将直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，利用抛物线的焦点弦长公式计算可得结果.21教育名师原创作品
【详解详析】
设直线交抛物线于点、，
抛物线的焦点为，而直线过点，
联立，消去可得，，所以，，
由抛物线的焦点弦长公式可得.
故答案为：.
12．设抛物线的焦点为，过的两条直线，分别交抛物线于点，，，，且，的斜率，满足，则的最小值为__________．
【标准答案】8
【思路指引】
根据解析式求出焦点的坐标，从而由直线的点斜式方程写出直线，方程，与抛物线进行联立，设交点坐标，由韦达定理得焦点横坐标之和，结合抛物线中焦点弦长公式可得，由基本不等式即可求出最值.
【详解详析】
解：抛物线的焦点坐标为，设直线：，
直线：，联立，
整理得．设，，则，
设，，同理可得．
由抛物线的性质可得：，，又∵，
∴．
当且仅当时，等号成立，
∴的最小值为8．
故答案为：8．
【名师指路】
关键点睛:
本题的关键是联立直线和抛物线方程后，结合韦达定理和抛物线中的焦点弦公式写出的表达式.
13．已知圆：与抛物线：恰有两个公共点 ，圆与恰有一个公共点，且圆与轴相切于的焦点，则___________.2·1·c·n·j·y
【标准答案】
【思路指引】
联立圆与抛物线方程，化为关于的一元二次方程，利用判别式等于0求得，可得抛物线的方程，求得抛物线焦点坐标，设圆的半径为，则，设，则有，设圆与抛物线相切于点，利用导数可得抛物线在切点处的切线方程，求出切线与轴的交点坐标，由列式求得点坐标，分类求出，的坐标，则可求.
【详解详析】
解：由题意，圆与抛物线均关于轴对称，
则 关于轴对称，即，
联立，得.
则关于的方程有两相等实数解，
则，解得或，
当时，方程化为，解得；
当时，方程化为，解得(舍去).
∴，：，把代入，
可得，，
，设圆的半径为，则，
设，则有，
由题意，圆与抛物线相切于点，设点处抛物线的切线的斜率为，
对两边求导得，，∴，则，
∴切线方程为，
设切线与轴的交点为，令，得，可得，
又与圆切于点，与圆切于点，∴，
∴，整理得，
解得或(舍去).
∴或，
若，则，，
；
若，则，，
.
综上所述，.
故答案为：.
( http: / / www.21cnjy.com / )
14．（2021·上海市复兴高级中学高二期中）过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于点（在轴的上方），为抛物线的准线，点在上且，则到直线的距离为________
【标准答案】
【思路指引】
由直线的斜率为和抛物线定义可得为边长等于4的等边三角形可得答案.
【详解详析】
因为直线的斜率为，所以与轴正方向的夹角为，
因为，所以，又，所以为等边三角形，
所以，由抛物线方程知，在中，，
所以等边三角形边长为4，
到直线的距离为.
故答案为：.
( http: / / www.21cnjy.com / )
15．（2021·上海·曹杨二中高二月考）如图，已知抛物线的焦点为，直线过点且依次交抛物线及圆于、、、四点，则的最小值为_____．21教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【思路指引】
利用抛物线的定义表示出，，对直线的斜率是否存在进行讨论：当直线的斜率不存在时，，，
当直线的斜率存在时，设：，用设而不求法表示出，利用基本不等式求最值.
【详解详析】
解：抛物线的准线为，所以，
因为，由圆的半径为，所以.
同理，
当直线的斜率不存在时，，，
当直线的斜率存在时，设：，
由得，所以，
所以，（取等号的条件为，即）
综上，的最小值为．
故答案为：11
【名师指路】
解析几何中的最值问题一般的求解思路：
①几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值；
②代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数或基本不等式求最值.
16．（2021·上海市建平中学高三期中）过抛物线的焦点且斜率为的直线交抛物线于点（在轴上方），为抛物线的准线，点在上且，则到直线的距离为___________
【标准答案】
【思路指引】
由抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，将直线方程与抛物线方程联立可求得坐标，进而得到，确定直线方程，利用点到直线距离公式可得结果.
【详解详析】
由抛物线方程知：，，直线方程为：，
( http: / / www.21cnjy.com / )
由得：或，又在轴上方，，
，，
直线方程为：，即，
点到直线的距离.
故答案为：.
17．（2021·上海崇明·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，以为顶点为焦点作抛物线.若双曲线与抛物线交于点，且，则抛物线的准线方程是_____.
【标准答案】
【思路指引】
直线的方程与抛物线方程联立，求得点的坐标，判断出，结合双曲线定定义求得，由此求得抛物线的准线方程.
【详解详析】
设，则抛物线方程为，
直线的方程为，
，所以，
，
根据双曲线的定义得，
所以抛物线的直线方程为.
故答案为：
18．（2021·上海长宁·一模）已知点在抛物线上，点在的准线上，线段的中点均在抛物线上，设直线与轴交于点，则的最小值为____________．
【标准答案】
【思路指引】
设，进而根据题意得是方程的两个实数根，故，进而得，再根据直线与轴交于点得，最后结合对勾函数求解即可.
【详解详析】
解：设
所以的中点坐标为，
由于，所以，即；
同理得，
所以，即是方程的两个实数根，
所以，
所以，故
由于直线与轴交于点
所以，即，
因为对勾函数的取值范围是，
所以，
故答案为：
19．（2021·上海长宁·一模）设曲线与函数的图像关于直线对称，若曲线仍然为某函数的图像，则实数的取值范围为____________
【标准答案】
【思路指引】
设是在点处的切线，进而根据题意得直线关于对称后的直线方程必为，曲线才能是某函数的图像，进而得的方程为，再联立方程即可得，进而得答案.
【详解详析】
解：设是在点处的切线，
因为曲线与函数的图像关于直线 对称，
所以直线关于对称后的直线方程必为，曲线才能是某函数的图像，
如图所示直线与的角为，所以的倾斜角为，
( http: / / www.21cnjy.com / )
所以的方程为
故联立方程得，即，
所以，解得
所以的取值范围为
故答案为：.
20．（2021·上海交大附中模拟预测）焦点为的抛物线与圆交于、两点，其中点横坐标为，方程的曲线记为，是圆与轴的交点，是坐标原点.有下面的四个命题，请选出所有正确的命题：_________.①对于给定的角，存在，使得圆弧所对的圆心角；②对于给定的角，存在，使得圆弧所对的圆心角；③对于任意，该曲线有且仅有一个内接正△；④当时，存在面积大于2021的内接正△.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】①②③
【思路指引】
由题设抛物线与圆的方程可得交点横坐标与圆半径的关系为，结合各项条件，应用特殊值法判断①②的正误，由于随着圆半径的增大，直线与的交点从圆上会变化，直到时交点刚好为抛物线与圆的交点上，此后R再增大位置不变，即可判断③④的正误.
【详解详析】
联立抛物线与圆的方程，消去y得，即，而且，
∴，即A、B横坐标与半径R的关系，
∵抛物线与圆有两个交点，即，
∴当时，，①正确；
∵由题意知：关于x轴对称，则对于给定的角，存在使得圆弧所对的圆心角，即只需存在R使即可.
∴令，则，解得或，
1、当，在如下图阴影部分变化，有，
( http: / / www.21cnjy.com / )
2、当，若时，故在如下图阴影部分变化，有，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴或时，有即，所以对于给定的角，存在，使得圆弧所对的圆心角，故②正确；
由，于是轴，直线：，同理，
∴与分别都只有一个交点，即对于任意，该曲线有且仅有一个内接正△，③正确；
当时，如下图示，抛物线与圆只有一个交点且交点为原点，不符合题意，但此时，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴当时，与的交点在圆上，会一直增大，如下图示，直到，即与、重合分别为、，此时，
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴.
当时，与的交点在抛物线上，的变化对没有影响，如下图示，，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴④错误.
【名师指路】
关键点点睛：确定A、B横坐标与半径R的关系，应用特殊值法判断前两项的正误，由题设确定，，且在圆的半径增大过程中首先在圆上变化，直到时一直为与抛物线的交点.
三、解答题
21．（2021·上海青浦·一模）已知抛物线.
(1)过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，求的值（其中为坐标原点）；
(2)过抛物线上一点，分别作两条直线交抛物线于另外两点 ，交直线于两点，求证：为常数
(3)已知点，在抛物线上是否存在异于点的两个不同点，使得若存在，求点纵坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.
【标准答案】(1)
(2)
(3)存在；
【思路指引】
（1）设直线方程为，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理和向量数量积可求；
（2）由题设出直线方程，联立抛物线表示出，化简即可求解；
（3）设，将转化为数量积为0，得出关于关系式，利用基本不等式即可求解的取值范围.
(1)
由题知，直线斜率不为0，故可设过焦点的直线为，联立得
，，设，
则；
(2)
由题可设过点的一条直线交抛物线于，交直线于，另一条直线交抛物线于，交直线于，则，，直线方程可表示为：，直线方程可表示为：，联立直线与抛物线方程可得【版权所有：21教育】
，故，即，同理联立直线和抛物线方程化简可得，故，，即
( http: / / www.21cnjy.com / )
(3)
假设存在点满足，
设，，
则，易知，
化简得，即，
当时，，当且仅当时取到等号，故；
当时，，当且仅当时取到等号，因为，故，令，则，但能取到，此时，故；
故，
22．（2021·上海浦东新·一模）已知斜率为的直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于不同的两点、.
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)若点和到抛物线准线的距离分别为和，求；
(2)若，求的值；
(3)点，，对任意确定的实数，若是以为斜边的直角三角形，判断符合条件的点有几个，并说明理由.
【标准答案】(1)
(2)
(3)一个，理由见解析
【思路指引】
（1）根据抛物线的定义求得焦点弦长；
（2）直线的方程为，代入抛物线方程后应用韦达定理得，利用焦半径公式及已知，得出的关系，与韦达定理结合可求得；
（3）把用坐标表示出来，代入韦达定理的结论，得出关于的方程，由一元二次方程根的分布可得的正数解的个数．
(1)
根据抛物线定义，，∴.
(2)
直线的方程为，
由 ，，，
，
，
，
，
代入（5）得：，
（舎）或，∴ .
(3)
∵ 是以为斜边的直角三角形，
∴ ，，
, ，
即，
，
（或者），
∴ ，，
， ，方程仅有一个正实数解，
存在一个满足条件的点.
23．（2021·上海徐汇·一模）在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线，是曲线上一点.2-1-c-n-j-y
(1)求曲线的方程；
(2)过点且斜率为的直线与曲线交于两点，若且直线与直线交于点，求 的值；
(3)若点在轴上，的内切圆的方程为，求面积的最小值.
【标准答案】(1)
(2)
(3)
【思路指引】
（1）根据抛物线的定义直接判断出轨迹写出方程即可；
（2）联立直线与抛物线方程求出，再求出点的坐标，计算，即可求解；
（3）求出DE的长，再利用点到直线的距离求出三角形的高，代入面积公式，由均值不等式求最值即可.
(1)
由题意，动圆圆心到与到直线距离相等，
所以曲线K为抛物线，焦点为.
所以抛物线方程为；
(2)
设直线l：，
则，
由根与系数关系可得，
，
由 ，
又，
.
(3)
设，且切线斜率为，
则切线方程为，
，
所以，
则，
则，
所以
当且仅当，即时，等号成立，
24．（2021·上海宝山·高二期末）已知椭圆的右焦点为，短轴长为.
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求椭圆的方程；
（2）设S为椭圆的右顶点，过点F的直线与交于M、N两点（均异于S），直线、分别交直线于U、V两点，证明：U、V两点的纵坐标之积为定值，并求出该定值；21*cnjy*com
（3）记以坐标原点为顶点、为焦点的抛物线为，如图，过点F的直线与交于A、B两点，点C在上，并使得的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在F的右侧，设、的面积分别为、，是否存在锐角，使得成立？请说明理由.
【标准答案】（1）；（2）证明见解析；-9；（3）不存在，理由见解析.
【思路指引】
（1）由右焦点为，短轴长为，得，且，解得，即可得出答案．
（2）若直线的斜率不存在，则直线，进而求出，点的坐标，写出直线、的方程，与联立，解得，的坐标，再计算、两点的纵坐标之积．若直线的斜率存在，则可设，，，，直线，联立椭圆的方程，结合韦达定理可得，，写出直线的方程，进而可得点的纵坐标，同理可得点的纵坐标，再计算、两点的纵坐标之积，即可得出答案．
（3）设，，写出直线方程，联立抛物线的方程，结合韦达定理可得，进而可得点坐标，由于重心在轴上，推出，即，进而可得点，点坐标，写出直线方程，进而可得点坐标，计算，结合基本不等式，即可得出答案．
【详解详析】
解：（1）依题意，得，且，
∵，∴，
∴椭圆的方程为.
（2）由椭圆的方程可知.
若直线的斜率不存在，则直线，∴，，
直线、的方程分别为、，易得，，
∴、两点的纵坐标之积为.
若直线的斜率存在，则可设直线，由得.
设，，则，，
∵直线的方程为，∴点的纵坐标.
同理，点的纵坐标.
所以
.
综上，U、V两点的纵坐标之积为定值-9.
（3）不存在.
理由如下：显然，抛物线的方程为.
设，，
则直线方程可为，
由可得
故，
∴，∴.
∵重心在轴上，∴，即，∴，
进而，.
进一步可得直线，∴，
又在焦点的右侧，∴，即.
因此
.
当（注意到），即时，取等号，即有（※）.
若存在锐角，使得成立，则，即，
这与（※）矛盾.
因此，不存在锐角，使得成立.
25．（2021·上海浦东新·高二期中）在平面直角坐标系中，原点为，抛物线的方程为，线段是抛物线的一条动弦．21·cn·jy·com
（1）求抛物线的准线方程；
（2）求，求证：直线恒过定点；
（3）过抛物线的焦点作互相垂直的两条直线、，与抛物线交于、两点，与抛物线交于、两点，、分别是线段、的中点，求面积的最小值．
【标准答案】（1）准线方程：；（2）直线恒过定点，证明见解析；（3）．
【思路指引】
（1）由焦点在轴正半轴上，且，即可得准线方程；
（2）设直线方程为，与抛物线方程联立由韦达定理和向量数量积的坐标运算，解方程可得的值，即可得所过的定点；
（3）设的方程为，，，与抛物线方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式求、两点坐标，由两点间距离公式求、的长，再计算，由基本不等式求最值即可求解.
【详解详析】
（1）由可得：，焦点为，所以准线方程：，
（2）设直线方程为，，
由得，
所以，，
，
即，解得：
所以直线过定点
（3），由题意知直线、的斜率都存在且不为，
设直线的方程为，，，
则直线的方程为，
由得，
所以，，
所以，，所以
用替换可得，，所以，
所以
，当且仅当即时，等号成立，
所以的面积取最小值．
【名师指路】
方法点睛：解决圆锥曲线中的范围或最值问题时， ( http: / / www.21cnjy.com )若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：
①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；
③利用基本不等式求出参数的取值范围；
④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．
26．（2021·上海·曹杨二中高二月考）直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，直线、的斜率之积为，以线段的中点为圆心，为半径的圆与直线交于、两点．
（1）求证：直线过定点；
（2）求中点的轨迹方程；
（3）设，求的最小值．
【标准答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．
【思路指引】
（1）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，分析可知，利用平面向量的数量积的坐标运算并结合韦达定理求出的值，即可证得结论成立；
（2）设线段的中点为，可得出，消去可得出线段的中点的轨迹方程；
（3）利用平面向量的数量积推导出，结合两点间的距离公式以及二次函数的基本性质可求得的最小值.
【详解详析】
（1）设直线的方程为，设点、，
由得，
所以，所以，，
所以，，
因为直线、的斜率之积为，所以，
所以，所以，
所以直线的方程为，过定点；
（2），直线中点为圆心，
设线段的中点为，可得，消去得，
因此，线段的中点的轨迹方程为；
（3）如下图所示，易知圆心为线段的中点，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
所以，，
所以，，
即
，
所以，
所以当时，的最小值为．
【名师指路】
方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．【来源：21·世纪·教育·网】
27．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）过抛物线上一定点作两条直线分别交抛物线于，，
（1）若横坐标为的点到焦点的距离为1，求抛物线方程；
（2）若为抛物线的顶点，，试证明：过、两点的直线必过定点；
（3）当与的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线的斜率是非零常数.
【标准答案】（1）；（2）证明见解析；（3），证明见解析.
【思路指引】
（1）根据抛物线的定义，结合题中条件，列出关于的方程，求解，即可得出结果；
（2）先由题意得，直线斜率不为零；设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理，得到，，再由，得，求出，即可证明结论成立；
（3）根据题中条件，先得到，；由作差整理，可得；同理可得；再由两倾斜角互补，即可求出；由作差整理，可表示出，进而可判断其为非零常数.
【详解详析】
（1）因为抛物线的焦点坐标为，准线方程为；
又横坐标为的点到焦点的距离为1，
所以，即，
故抛物线方程为；
（2）若为抛物线的顶点，则；
因为，为抛物线上的点，所以直线斜率不为零；
可设直线的方程为，
由得，
则，，
所以，
又，则；
所以，即，所以，
即直线的方程为，
因此，过、两点的直线必过定点；
（3）因为，，都是抛物线上的点，且与的斜率存在，则，；
由可得，所以；
由可得，所以；
又因为与的倾斜角互补，所以，即，
整理得，
要求的值，显然；所以，
要证明直线的斜率是非零常数，显然直线的斜率存在；
由可得，
所以，
因为，，所以是非零常数，
即直线的斜率是非零常数.
【名师指路】
思路点睛：
求解圆锥曲线中直线过定点问题，一般需 ( http: / / www.21cnjy.com )要先设直线方程，联立直线与曲线方程，结合韦达定理，以及题中所给条件，确定直线方程中两系数之间关系（或直接求出某一系数的值），即可得解.
28．（2021·上海市实验学校高三月考）已知直线与抛物线交于，两点，且，过椭圆的右顶点的直线l交于抛物线于，两点.
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求抛物线的方程；
（2）若射线，分别与椭圆交于点，，点为原点，，的面积分别为，，问是否存在直线使？若存在求出直线的方程，若不存在，请说明理由；21*cnjy*com
（3）若为上一点，，与轴相交于，两点，问，两点的横坐标的乘积是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由.
【标准答案】（1）（2）不存在，理由见解析；（3）是定值，且定值为，理由见解析.
【思路指引】
（1）联立直线与抛物线方程求出，两点坐标，由两点间距离公式列方程即可求解；
（2）设直线，，，联立直线与抛物线方程联立可得，，设，，射线：与椭圆方程联立可得，同理可得，，计算即可求解；
（3）设，，令可得：，同理可得，两式相乘整理，再讨论点在不在直线上，即可得定值.
【详解详析】
（1）设，，由可得，
所以，，所以，，
所以，因为，所以，
所以抛物线的方程为；
（2）椭圆的右顶点为，设直线，，，
将代入可得：，
所以，，
假设存在，设，，
射线： ，
由 可得：，同理可得，
，，
所以 ，
所以
，
所以，所以不存在直线，使；
（3）设，则，
令可得：①，
同理可得：②，
两式相乘可得
即，
所以，
即，
当点不在直线上时，，所以，
当点在直线上时，，所以，
综上所述：是定值，且定值为.
【名师指路】
解决圆锥曲线中的定值与定点问题的方法有两种：
一种是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得 ( http: / / www.21cnjy.com )到定点或定值，难度较大，运算量大，且思路不好寻找，另一种方法是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子时就有了明确的方向.
29．（2021·上海·闵行中学高三开学考试）如图，直线与抛物线相交于不同的两点、，且（为定值），线段的中点为，与直线平行的抛物线的切线的切点为．21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）用、表示出点、点的坐标，并证明垂直于轴；，
（2）求的面积（只与有关，与、无关）；
（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连、，再作与、平行的切线，切点分别为、，小张马上写出了、的面积，由此小张求出了直线与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．
【标准答案】（1），，证明见解析；（2）；（3）能，面积为.
【思路指引】
（1）直线代入抛物线，求出的坐标，设切线方程为，代入抛物线方程，求出的坐标，即可证明结论；
（2）利用韦达定理，表示出三角形面积，即可得出结论；
（3）分别求出，，按上面构造三角形的方法，无限的进行下去，即可得出结论．
【详解详析】
解：（1）由直线与抛物线，
得，
，，
点
设切线方程为，
代入抛物线方程可得，
得，所以，切点的横坐标为，切线为，所以
由于、的横坐标相同，垂直于轴．
（2），．
．
的面积与、无关，只与有关．
（3）由（1）知垂直于轴，，
由（2）可得、的面积只与有关，将中的换成，
可得．
记，，按上面构造三角形的方法，无限的进行下去，可以将抛物线与线段所围成的封闭图形的面积，看成无穷多个三角形的面积的和，即数列的无穷项和，此数列公比为，www.21-cn-jy.com
封闭图形的面积
( http: / / www.21cnjy.com / )
30．（2021·上海市吴淞中学高三期中）已知点在抛物线上，过点的直线与抛物线C有两个不同的交点A、B，且直线PA交轴于M，直线PB交轴于N.
(1)求抛物线C的方程；
(2)求直线的斜率的取值范围；
(3)设O为原点，，求证：为定值.
【标准答案】(1)
(2)
(3)定值为2
【思路指引】
(1)将点P的坐标代入即可求出抛物线C的方程.
(2)设出直线l方程，联立直线l与抛物线C的方程，借助判别式即可计算得解.
(3)利用给定的向量关系，用点M，N的纵坐标表示和，结合(2)的信息并借助韦达定理即可计算作答.
(1)
因点在抛物线上，则，解得，
所以抛物线C的方程为.
(2)
令直线的斜率为k，则直线方程为：，
由消去y并整理得：，
因直线与抛物线C有两个不同的交点A、B，则，解得且，
又直线PA，PB与轴相交，而点(1，-2)在抛物线C上，则直线不能过点(1，-2)，
否则PA或PB之一平行于y轴，矛盾，因此，
综上得：，且，
所以直线的斜率的取值范围.
(3)
设点，，，而，则，同理，
设，由(2)知，
直线方程：，即，则，
令，得，同理，
于是得
，
所以为定值2.
【名师指路】
方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
