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编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。www.21-cn-jy.com
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三 ( http: / / www.21cnjy.com )种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。2·1·c·n·j·y
专题07 抛物线的标准方程高频考点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·上海市第五十四中学高二月考）已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线的准线距离之和的最小值是21·世纪*教育网
A．5 B．8 C． D．
2．（2021·上海青浦·二模）点在直线上，若存在过的直线交抛物线于、两点，且，则称点为“友善点”，那么下列结论中正确的是（ ）21教育网
A．直线上的所有点都是“友善点”
B．直线上仅有有限个点是“友善点”
C．直线上的所有点都不是“友善点”
D．直线上有无穷多个点（不是所有的点）是“友善点”
3．已知椭圆，抛物线焦点均在x轴上，的中心和顶点均在原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则的左焦点到的准线之间的距离为21世纪教育网版权所有
3 -2 4
0 -4
A． B． C．1 D．2
4．点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离之和的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
5．（2021·上海·华师大二附中高三月考）设抛物线C：()，若对于任意实数y，总有(等号可以取到)，则该抛物线的焦点坐标为（ ）21·cn·jy·com
A． B． C． D．
6．（2021·上海·格致中学三模）已知抛物线、的焦点都为，的准线方程为，的准线方程为，与相交于M、N两点，则直线MN的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·上海·高三专题练习）在圆锥中，已知高，底面圆的半径为4，为母线的中点；根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为www-2-1-cnjy-com
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①圆的面积为；
②椭圆的长轴为；
③双曲线两渐近线的夹角正切值为
④抛物线中焦点到准线的距离为.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．是抛物线上一点，是圆关于直线的对称曲线上一点，则的最小值是
A．2 B． C． D．
二、填空题
9．（2021·上海虹口·一模）已知抛物线的焦点为，，为此抛物线上的异于坐标原点的两个不同的点，满足，且，则______.
10．（2021·上海松江·一模）若抛物线上一点到轴的距离是4，则点到该抛物线焦点的距离是___________.【来源：21·世纪·教育·网】
11．（2021·上海嘉定·一模）已知抛物线上一点到其焦点的距离为，双曲线：的左顶点为，若双曲线C的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的焦距为____________.2-1-c-n-j-y
12．（2021·上海金山·一模）已知 … 是抛物线上不同的点，点，若，则___________21*cnjy*com
13．已知抛物线的准线与圆相切，则的值为__________．
14．（2021·上海·高三专题练习）已知实数、满足方程，当时，由此方程可以确定一个偶函数，则抛物线的焦点到点的轨迹上点的距离最大值为________.【来源：21cnj*y.co*m】
15．已知点是抛物线的焦点，，是该抛物线上的两点，若，则线段中点的纵坐标为__________．【出处：21教育名师】
16．我们知道：用平行于圆锥母线的平面(不过顶点)截圆锥，则平面与圆锥侧面的交线是抛物线一部分，如图，在底面半径和高均为2的圆锥中， 是底面圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点，已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线的焦点到其准线的距离等于__________.【版权所有：21教育】
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17．已知点P在抛物线上，则点P到点的距离与点P到抛物线焦点的距离之和的最小值为__________21教育名师原创作品
18．某河上有抛物线型拱桥，当水面距拱 ( http: / / www.21cnjy.com )顶5米时，水面宽度为8米，一平板船宽4米，载货后平板船露在水面上部分的高均为1米，为了保证平板船能顺利通航，问水面最多上涨__________米．
19．（2021·上海市建平中学高三月考）若点是抛物线的焦点，点在抛物线上，且，则__________.
20．（2021·上海徐汇·高二期末）抛物线上一点到抛物线焦点的距离为5，则实数________________．
三、解答题
21．（2021·上海·高一期末）如图,在直角坐标平面内已知定点,动点在轴上运动,过点作交轴于点,使得,延长到点,使得
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（1）当时,求；
（2）求点的轨迹方程.
22．（2021·上海奉贤区致远高级中学高二期末）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分，降落点为．观测点实时跟踪航天器．
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（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程（只需求出曲线方程即可，不必求范围）；
（2）试问：当航天器在轴上方时，观测点测得离航天器的距离为多少时，应向航天器发出变轨指令？
23．（2021·上海·高三专 ( http: / / www.21cnjy.com )题练习）已知直线L过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A(-1，0)和点B(0，8)关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程.
24．（2021·上海静安·二模）已知椭圆的左焦点为，为坐标原点．
（1）求过点、，并且与抛物线的准线相切的圆的方程；
（2）设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点的横坐标的取值范围．21cnjy.com
25．（2021·上海杨浦·二模）焦点为的抛物线与圆交于两点，其中点横坐标为，方程的曲线记为，是曲线上一动点.
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（1）若在抛物线上且满足，求直线的斜率；
（2）是轴上一定点. 若动点在上满足的范围内运动时，恒成立，求的取值范围； 21*cnjy*com
（3）是曲线上另一动点，且满足，若的面积为4 ，求线段的长.
26．（2021·上海徐汇·高二期末）年月，在美丽的崇明岛举办第十届中国花卉博览会，主办方准备举行花车巡游活动，巡游花车必须通过一个抛物线型的拱门，已知拱圈最高点距地面米，拱圈两最低点的距离为米，花车的设计宽度和高度分别为米和米，现主办方准备在花车上搭建一个和花车同宽度的舞台供演员表演，求所搭建舞台的最大高度.
27．（2021·上海闵行· ( http: / / www.21cnjy.com )一模）如图，某飞行器研究基地E在指挥中心F的正北方向4千米处，小镇A在E的正西方向8千米处，小镇B在F的正南方向8千米处.已知一新型飞行器在试飞过程中到点F和到直线AE的距离始终相等，该飞行器产生一定的噪音污染，距离该飞行器1千米以内（含边界）为10级噪音，每远离飞行器1千米，噪音污染就会减弱1级，直至0级为无噪音污染（飞行器的大小及高度均忽略不计）.
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(1)判断该飞行器是否经过线段EF的中点O，并判断小镇A是否会受到该飞行器的噪音污染？
(2)小镇B受该飞行器噪音污染的最强等级为多少级？
28．（2021·上海·复旦附中模拟预测）已知过点的直线与抛物线交于、两点，且，其中为坐标原点.
（1）求的值；
（2）当最小时，求直线的方程.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。【来源：21·世纪·教育·网】
思路设计：重在培优训练，分选择、填 ( http: / / www.21cnjy.com )空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21·世纪*教育网
专题07 抛物线的标准方程高频考点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·上海市第五十四中学高二月考）已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线的准线距离之和的最小值是
A．5 B．8 C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
根据抛物线的定义可知到准线的距离等于点到焦点的距离，进而问题转化为求点到点的距离与点到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当，，三点共线时到点的距离与点到抛物线的焦点距离之和的最小,进一步求的最小值，为圆心到焦点的距离减去圆的半径．
【详解详析】
设圆心为，则，半径，设抛物线的焦点，据抛物线的定义知，
( http: / / www.21cnjy.com / )
点到点的距离与点到抛物线准线距离之和为
.
故选D.
【名师指路】
本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想．
2．（2021·上海青浦·二模）点在直线上，若存在过的直线交抛物线于、两点，且，则称点为“友善点”，那么下列结论中正确的是（ ）
A．直线上的所有点都是“友善点”
B．直线上仅有有限个点是“友善点”
C．直线上的所有点都不是“友善点”
D．直线上有无穷多个点（不是所有的点）是“友善点”
【标准答案】A
【思路指引】
设，由，表示点B的坐标，再由A，B都在抛物线上，转化为关于x的方程，利用判别式法判断.
【详解详析】
设，
因为，
所以 ，
因为A，B都在抛物线上，
所以 ，
消去n得 ，
因为，
所以方程恒有实数解，
故选：A
3．已知椭圆，抛物线焦点均在x轴上，的中心和顶点均在原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则的左焦点到的准线之间的距离为
3 -2 4
0 -4
A． B． C．1 D．2
【标准答案】B
【思路指引】
由题意可知,椭圆和抛物线的方程都是标准方程,由表格中的数据验证可知点和点在抛物线上, 两个点在椭圆上,由此可求得抛物线和椭圆的方程,再求得抛物线的准线和椭圆的左焦点坐标,从而可得答案.
【详解详析】
由表格中的数据可知,抛物线的焦点在轴正半轴上,
设抛物线,
当点在抛物线上时,可得,解得,
当点在抛物线上时,可得,解得,
当点在抛物线上时,可得,解得,
因为这三个点中,有两个点在抛物线上,所以只能是点和点在抛物线上,所以,所以抛物线的方程为,其准线方程为,
所以另外两个点在椭圆上,
依题意设椭圆的方程为,将代入可得,
,,解得,
所以椭圆的方程为,其左焦点为,
所以的左焦点到的准线之间的距离为,
故选:B.
【名师指路】
本题考查了求抛物线和椭圆的标准方程,根据标准方程求抛物线的准线和椭圆的焦点坐标,属于中档题.
4．点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离之和的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值即可．
【详解详析】
依题设P在抛物线准线的投影为P'，抛物线的焦点为F，A（0，-1）．
则F（1，0），
依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP'|=|PF|，
则点P到点A（0，-1）的距离与P到该抛物线准线的距离之和，
d=|PF|+|PA|≥|AF|=．
故答案为：
【名师指路】
本题考查抛物线的定义，考查求距离和 ( http: / / www.21cnjy.com )，解题的关键是点P到点（0，-1）的距离与P到该抛物线准线的距离之和转化为点P到点（0，-1）的距离与P到焦点F的距离之和.【出处：21教育名师】
5．（2021·上海·华师大二附中高三月考）设抛物线C：()，若对于任意实数y，总有(等号可以取到)，则该抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
把抛物线C的方程配方，根据条件确定b值，经平移得抛物线标准方程，由此即可作答.
【详解详析】
由得，
因，总有(等号可以取到)，则有，抛物线C的方程为，
抛物线C可视为抛物线，即右移两个单位而得，而抛物线的焦点为，
所以抛物线C的焦点坐标为.
故选：A
6．（2021·上海·格致中学三模）已知抛物线、的焦点都为，的准线方程为，的准线方程为，与相交于M、N两点，则直线MN的方程为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
根据抛物线的定义可以判定M,N到直线的距离和到y轴的距离相等，结合图形可知，直线MN的倾斜角为60°且经过原点.
【详解详析】
如图所示，根据抛物线的定义，可得M，N到直线的距离和到y轴的距离都等于到焦点的距离，故M,N到直线的距离和到y轴的距离相等，结合图形可知，直线MN是直线与y轴的角平分线上的点，由于直线是过原点且倾斜角为30°的直线，由图可知，直线MN的倾斜角为60°，且经过坐标原点，故直线MN的方程为,21cnjy.com
故选：B.
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【名师指路】
本题考查抛物线的定义，关键是利用抛物线的定义得到M,N直线的距离和到y轴的距离相等.
7．（2021·上海·高三专题练习）在圆锥中，已知高，底面圆的半径为4，为母线的中点；根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为2-1-c-n-j-y
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①圆的面积为；
②椭圆的长轴为；
③双曲线两渐近线的夹角正切值为
④抛物线中焦点到准线的距离为.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】B
【思路指引】
根据点是母线的中点，求出截面圆的半径即可判断①；由勾股定理求出椭圆长轴可判断②；建立坐标系，求出的关系可判断③；建立坐标系，求出抛物线方程，可判断④.
【详解详析】
①点是母线的中点， 截面的半径，因此面积，故①正确；
②由勾股定理可得椭圆的长轴为，故②正确；
③在与底面、平面的垂直且过点的平面内建立直角坐标系，不妨设双曲线的标准方程为，则，即，把点代入可得，解得，设双曲线两渐近线的夹角为，，③不正确；
④建立直角坐标系，不彷设抛物线的标准方程为,把点代入可得，解得，抛物线中焦点到准线的距离为，④不正确，
故选B .
【名师指路】
本题通过对多个命题真假的判断，综合考查圆锥的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质、椭圆的性质、双曲线的性质，抛物线的方程与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
8．是抛物线上一点，是圆关于直线的对称曲线上一点，则的最小值是
A．2 B． C． D．
【标准答案】D
利用点关于直线对称得到曲线方程，设，计算，根据二次函数性质得到答案.
【详解详析】
设圆心关于直线对称的点为，则，解得，
曲线为，设，
故，
当时，有最小值为，故的最小值为.
故选：D.
【名师指路】
本题考查了圆关于直线对称，抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，应用能力.
二、填空题
9．（2021·上海虹口·一模）已知抛物线的焦点为，，为此抛物线上的异于坐标原点的两个不同的点，满足，且，则______.
【标准答案】
【思路指引】
根据抛物线的定义和题设条件化简得到，再根据向量的坐标运算，得到，联立方程组，即可求解.
【详解详析】
由题意，抛物线的焦点为，
设，
因为，
根据抛物线的定义，可得，
又因为，
可得，即，
所以，解得.
故答案为：.
10．（2021·上海松江·一模）若抛物线上一点到轴的距离是4，则点到该抛物线焦点的距离是___________.2·1·c·n·j·y
【标准答案】5
【思路指引】
根据抛物线的定义知点P到焦点距离等于到准线的距离即可求解.
【详解详析】
因为抛物线方程为，
所以准线方程为，
所以点到准线的距离为，
故点到该抛物线焦点的距离.
故答案为：
11．（2021·上海嘉定·一模）已知抛物线上一点到其焦点的距离为，双曲线：的左顶点为，若双曲线C的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的焦距为____________.21*cnjy*com
【标准答案】
【思路指引】
利用抛物线焦点弦公式求得，从而得的坐标，由题意得的坐标，再计算直线的斜率，又因为双曲线渐近线方程，由两直线垂直列式求解，从而得双曲线的焦距.
【详解详析】
由抛物线定义可知，，得，所以抛物线方程为，则或，设，由题意得，则，又因为双曲线渐近线方程为，因为双曲线C的一条渐近线与直线垂直，所以，得，则，所以双曲线的焦距为.
故答案为：
12．（2021·上海金山·一模）已知 … 是抛物线上不同的点，点，若，则___________
【标准答案】40
【思路指引】
设，分别过，作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，利用抛物线的定义可得，从而可求得结果.
【详解详析】
设，分别过，作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，
… 是抛物线上不同的点，点,准线为，
.
,
,
.
故答案为：40.
13．已知抛物线的准线与圆相切，则的值为__________．
【标准答案】2
【详解详析】
抛物线的准线为，与圆相切，则，．
14．（2021·上海·高三专题练习）已知实数、满足方程，当时，由此方程可以确定一个偶函数，则抛物线的焦点到点的轨迹上点的距离最大值为________.
【标准答案】
【思路指引】
由题意可知，圆关于轴对称，则，再由题意得出，求出抛物线的焦点的坐标，然后利用两点间的距离公式可求出点到点的轨迹上点的距离最大值.
【详解详析】
圆的圆心坐标为，半径长为.
当时，方程可以确定一个偶函数，
则该圆圆心到轴上，，得.
如下图所示：
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则，抛物线的焦点的坐标为，
所以，点到点的距离为.
因此，抛物线的焦点到点的轨迹上点的距离最大值为.
故答案为.
【名师指路】
本题考查圆的方程，以及两点间距离最值的计算，解题时要充分利用圆的对称性求解，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.
15．已知点是抛物线的焦点，，是该抛物线上的两点，若，则线段中点的纵坐标为__________．
【标准答案】2
【思路指引】
运用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，然后求解结果.
【详解详析】
抛物线的标准方程为：，则抛物线的准线方程为，设，，则，所以，则线段中点的纵坐标为.
故答案为：
【名师指路】
本题考查了抛物线的定义，由抛物线定义将点到焦点距离转化为点到准线距离，需要熟练掌握定义，并能灵活运用，本题较为基础.
16．我们知道：用平行于圆锥母线的平面(不过顶点)截圆锥，则平面与圆锥侧面的交线是抛物线一部分，如图，在底面半径和高均为2的圆锥中， 是底面圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点，已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线的焦点到其准线的距离等于__________.
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【标准答案】
【思路指引】
如图所示，过点作，垂足为．由于是母线的中点，圆锥的底面半径和高均为2，可得．．在平面内建立直角坐标系．设抛物线的方程为，为抛物线的焦点．可得，代入解出即可．
【详解详析】
解：如图所示，过点作，垂足为．
是母线的中点，圆锥的底面半径和高均为2，
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．
．
在平面内建立直角坐标系．
设抛物线的方程为，为抛物线的焦点．
因为，
，解得．．即点为的中点，
该抛物线的焦点到其准线的距离为，
故答案为：．
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【名师指路】
本题考查了圆锥的性质、抛物线的标准方程，考查了转变角度解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【来源：21cnj*y.co*m】
17．已知点P在抛物线上，则点P到点的距离与点P到抛物线焦点的距离之和的最小值为__________
【标准答案】
【思路指引】
过点P作，垂足为M，利用抛物线定义，把点P到点的距离与点P到抛物线焦点的距离之和转化为，三点共线时，取得最小值.
【详解详析】
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由题意知：准线，焦点
如图所示：过点P作，垂足为M，由抛物线定义，则
故当PQ∥x轴，取得最小值.
故答案为：
【名师指路】
方法点睛：
距离的计算方法有两类：
（1）几何法：利用几何图形求最值；
（2）代数法：把距离表示为函数，利用函数求最值.
18．某河上有抛物线型拱桥，当水面 ( http: / / www.21cnjy.com )距拱顶5米时，水面宽度为8米，一平板船宽4米，载货后平板船露在水面上部分的高均为1米，为了保证平板船能顺利通航，问水面最多上涨__________米．
【标准答案】2.75
【思路指引】
建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，为了保证平板船能顺利通航，求出水面的高度即可.
【详解详析】
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如图示建立平面直角坐标系，
由题意知：,故,
设抛物线型拱桥对应的方程为：,
把代入解得：，所以.
当船两侧与抛物线接触时不能通过，
设,代入，解得：，
因为平板船露在水面上部分的高均为1米，
所以米，
所以水面可以上涨5-2.25=2.75米.
故答案为：2.75
【名师指路】
坐标法是解析几何的基本方法，对实际应用题，可以建立直角坐标系，用坐标法计算.
19．（2021·上海市建平中学高三月考）若点是抛物线的焦点，点在抛物线上，且，则__________.
【标准答案】8
【思路指引】
计算，设，根据向量运算得到，再利用抛物线定义得到答案.
【详解详析】
是抛物线的焦点，则，设，
则，
故，
.
故答案为：8
20．（2021·上海徐汇·高二期末）抛物线上一点到抛物线焦点的距离为5，则实数________________．21·cn·jy·com
【标准答案】
【思路指引】
根据焦半径公式，可求出，从而得到抛物线方程，把点代入抛物线方程即可求出的值.
【详解详析】
由题意可知抛物线的焦点在轴上，且，
因为抛物线上一点到抛物线焦点的距离为5，
所以根据焦半径公式，得，所以，即，
因为点到抛物线上，所以，所以.
故答案为：.
三、解答题
21．（2021·上海·高一期末）如图,在直角坐标平面内已知定点,动点在轴上运动,过点作交轴于点,使得,延长到点,使得www.21-cn-jy.com
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（1）当时,求；
（2）求点的轨迹方程.
【标准答案】（1）（2）（）
【思路指引】
（1）由题意,,,利用数量积公式求；
（2）设出动点,则的坐标可表示出,根据,利用数量积公式求得和的关系式,即的轨迹方程.
【详解详析】
解：（1）由题意,，，
，
（2）设动点，则，（）.
，
,
,
（）即为所求.
【名师指路】
本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，两个向量的数量的运算，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力，属于基础题.
22．（2021·上海奉贤区致远高级中学高二期末）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分，降落点为．观测点实时跟踪航天器．
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（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程（只需求出曲线方程即可，不必求范围）；
（2）试问：当航天器在轴上方时，观测点测得离航天器的距离为多少时，应向航天器发出变轨指令？
【标准答案】（1）；（2）10
【思路指引】
（1）先设出抛物线的方程，结合所经过的点列出方程，然后解方程得到参数的值；
（2）先求解变轨时点的坐标，然后利用两点间的距离公式求出即可.
【详解详析】
（1）设曲线方程为，由题意可知，，
∴，
∴曲线方程为；
（2）设变轨点为，根据题意可知，得，解得或（不合题意，舍去），
∴，得或（不合题意，舍去），
∴点的坐标为，，
答：当观测点测得离航天器的距离为10时，应向航天器发出变轨指令．
【名师指路】
本题主要考查圆锥曲线在实际生活中的应用，理解模型，求解模型是求解的关键，侧重考查数学建模的核心素养，属中档题.
23．（2021·上海·高三专题练习 ( http: / / www.21cnjy.com )）已知直线L过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A(-1，0)和点B(0，8)关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程.
【标准答案】直线l方程为y=x，抛物线方程为y2=x.
分别设直线和抛物线方程为和，再利用求点关于直线的对称点的方法，求对称点，再代入抛物线方程，求直线和抛物线方程.21世纪教育网版权所有
【详解详析】
如图所示，由题意设抛物线C的 ( http: / / www.21cnjy.com )方程为y2=2px(p>0)，且x轴和y轴不是所求直线，又L过原点，因而可设L的方程为y=kx(k≠0)，设A′B′分别是A B关于L的对称点.21教育网
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A′(x′，y′)关于y=kx对称于A(-1，0)
则
同理B′[]
又A′ B′在抛物线C上，所以()2=2p·
由此知k≠1，即p=
[]2=2p·，
由此得p=
从而，整理得k2-k-1=0
所以
所以直线l方程为y=x，抛物线方程为y2=x.
【名师指路】
关键点点睛：本题考查点关于直线的对称问题，本题的关键是求点关于直线的对称点的问题，以及计算能力.
24．（2021·上海静安·二模）已知椭圆的左焦点为，为坐标原点．
（1）求过点、，并且与抛物线的准线相切的圆的方程；
（2）设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点的横坐标的取值范围．www-2-1-cnjy-com
【标准答案】（1）或；（2）
【思路指引】
（1）求得点，可知圆心在直线上，设点，根据已知条件得出关于实数的等式，求出的值，即可得出所求圆的方程；
（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出线段的垂直平分线方程，可求得点的横坐标，利用不等式的基本性质可求得点的横坐标的取值范围.
【详解详析】
（1）抛物线的准线为，椭圆的左焦点为，
圆过点、，圆心在直线上．
设，则圆的半径为.
由，得，解得
于是，所求圆的方程为或；
（2）设直线的方程为，
联立，整理可得，
因为直线过椭圆的左焦点，所以方程有两个不相等的实根．
设点、，设的中点为，
则，，．
直线的垂直平分线的方程为，
令，则.
因为，所以
故点的横坐标的取值范围.
【名师指路】
方法点睛：圆锥曲线中的取值范围问题的求解方法
（1）函数法：用其他变量作为参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．
（2）不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数的取值范围．
（3）判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用根的判别式求参数的取值范围．
（4）数形结合法：研究参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．
25．（2021·上海杨浦·二模）焦点为的抛物线与圆交于两点，其中点横坐标为，方程的曲线记为，是曲线上一动点.21教育名师原创作品
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（1）若在抛物线上且满足，求直线的斜率；
（2）是轴上一定点. 若动点在上满足的范围内运动时，恒成立，求的取值范围； 21*cnjy*com
（3）是曲线上另一动点，且满足，若的面积为4 ，求线段的长.
【标准答案】（1）；（2）；（3）.
【思路指引】
（1）根据抛物线的定义求出点的坐标，然后就可以求斜率；
（2）根据两点间的距离公式表达出，再根据满足最值的条件就可以求出的范围；
（3）讨论所在的位置，再结合面积建立等式就可以求出.
【详解详析】
（1），，∴
∴ ，
所以 .
（2）由得 ，∴
设，则 ，
由题意最大，所以对称轴，
∴.
（3）是的圆心 .设
（i）若都位于上，则，(舍)
（ii）若都位于上，则
①
②
将①式代入②式，得： 或
代入①得：或 （舍）
（iii）若分别位于与上，
则，得
∴，∴
综上：.
【名师指路】
关键点睛：解决本题的关键一是抛物线定义的使用，二是恒成立时，取最值的条件，三是要分类讨论，并要做正确的取舍.
26．（2021·上海徐汇·高二期末）年月，在美丽的崇明岛举办第十届中国花卉博览会，主办方准备举行花车巡游活动，巡游花车必须通过一个抛物线型的拱门，已知拱圈最高点距地面米，拱圈两最低点的距离为米，花车的设计宽度和高度分别为米和米，现主办方准备在花车上搭建一个和花车同宽度的舞台供演员表演，求所搭建舞台的最大高度.
【标准答案】米
【思路指引】
以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线在顶点处的切线为轴建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，将代入抛物线方程，求出的值，即可得解.
【详解详析】
以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线在顶点处的切线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
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设抛物线的方程为，由题意可知，点在该抛物线上，
所以，，解得，故抛物线的方程为，
将代入该抛物线的方程得，
因此，所搭建舞台的最大高度为.
故所搭建舞台的最大高度为米.
27．（2021·上海闵 ( http: / / www.21cnjy.com )行·一模）如图，某飞行器研究基地E在指挥中心F的正北方向4千米处，小镇A在E的正西方向8千米处，小镇B在F的正南方向8千米处.已知一新型飞行器在试飞过程中到点F和到直线AE的距离始终相等，该飞行器产生一定的噪音污染，距离该飞行器1千米以内（含边界）为10级噪音，每远离飞行器1千米，噪音污染就会减弱1级，直至0级为无噪音污染（飞行器的大小及高度均忽略不计）.
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(1)判断该飞行器是否经过线段EF的中点O，并判断小镇A是否会受到该飞行器的噪音污染？
(2)小镇B受该飞行器噪音污染的最强等级为多少级？
【标准答案】(1)飞行器经过O，小镇A会受到该飞行器的噪音污染；
(2)3级.
【思路指引】
（1）由题设构建以EF的中点O为原点，过O平行于AE的直线为x轴，BE为y轴的直角坐标系，确定相关点坐标，根据题意知：飞行器轨迹以为准线，为焦点的抛物线，写出抛物线方程，即可判断飞行器是否经过O，在轨迹上找到一点判断与的大小关系即知小镇A是否会受到该飞行器的噪音污染.
（2）设飞行器的坐标为，利用两点距离公式及在抛物线上，结合二次函数的性质求，即知小镇B受该飞行器噪音污染的最强等级.
(1)
由题设，构建以EF的中点O为原点，过O平行于AE的直线为x轴，BE为y轴的直角坐标系，如下图示：
∴，，，，，
要使新型飞行器在试飞过程中到F和到直线AE的距离始终相等，
∴其轨迹为以为准线，为焦点的抛物线，故轨迹方程为，
∴在轨迹上，即该飞行器经过线段EF的中点O，
连接，交抛物线于，而，
∴千米，故小镇A会受到该飞行器的噪音污染.
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(2)
设飞行器的坐标为，
∴，又，
∴当时，千米，故小镇B受该飞行器噪音污染的最强等级为3级.
28．（2021·上海·复旦附中模拟预测）已知过点的直线与抛物线交于、两点，且，其中为坐标原点.
（1）求的值；
（2）当最小时，求直线的方程.
【标准答案】（1）；（2）.
【思路指引】
（1）设直线的方程为和抛物线方程联立利用韦达定理代入即可求得；（2）利用抛物线定义结合基本不等式求得取最小值时的值，代入点B坐标，将点代入，求得直线方程.【版权所有：21教育】
【详解详析】
（1）设直线的方程为
，得
设，，所以，
因为，所以
又，所以，又因为，所以.
（2）根据抛物线定义，得，
所以，当且仅当时等号成立.
将代入，得（负值舍去）.
将代入，得，即点
将点代入，得
所以直线的方程为，即.
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