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编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。21世纪教育网版权所有
思路设计：重在培优训练，分 ( http: / / www.21cnjy.com )选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21教育网
第5章：导数及其应用单元综合提优专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．已知是定义在上的奇函数，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，，（）是函数（且）的3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列满足（，为自然对数的底数），且对任意的都存在，使得成立，则数列的首项须满足（ ）www.21-cn-jy.com
A． B． C． D．
4．已知定义在[，]上的函数满足，且当x[，1]时，，若方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）2·1·c·n·j·y
A．(，] B．(，]
C．(，] D．(，]
5．已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数满足，且当时，成立，若，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．设，若存在正实数，使得不等式成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．设k>0，若不等式≤0在x>0时恒成立，则k的最大值为（ ）
A．e B．eln3 C．log3e D．3
9．若不等式恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．若存在，使得当时，恒有，则称函数具有性质P.下列函数中具有性质的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．已知函数，对任意的，使得，则___________.
12．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______．
13．若，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________.
14．若函数有两个不同零点，()，且存在唯一的整数，则实数的取值范围为___________.21·cn·jy·com
15．关于的方程在区间上有三个不相等的实根，则实数的取值范围是______.
16．函数，关于x的方程0恰有四个不同实数根，则实数m的取值范围为__________．
17．已知定义在上的函数满足且，其中的解集为A.函数，，若，使得，则实数a的取值范围是___________.21cnjy.com
18．已知实数满足，则对任意的正实数，的最小值为_______.
19．已知函数满足恒成立，则实数的取值范围是____．
20．已知，是以为圆心，为半径的圆周上的任意两点，且满足，设平面向量与的夹角为()，则平面向量在方向上的投影的取值范围是_____.
三、解答题
21．已知函数(为非零常数）．
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若恒成立，求的值；
（3）对于增区间内的三个实数，，（其中，证明：．
22．已知函数
（1）当时，求函数的单调区间
（2）若有两个零点，求的取值范围
23．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个不同的零点，求的取值范围．
24．已知函数．
（1）当时，求函数的最小值；
（2）设，讨论函数的单调性；
（3）若函数有两个不同的零点，求正实数的取值范围．
25．已知函数，．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若，求的零点个数；
（3）若有两个零点，，证明：．
26．已知函数，，，是两个任意实数且．
（1）求函数的图象在处的切线方程；
（2）若函数在上是增函数，求的取值范围；
（3）求证：．
27．已知函数．
（1）判断函数的单调性；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）若，求证：．
28．已知函数有两个不同的零点，．
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：．
29．已知函数，是常数．
（1）求曲线在点，（2）处的切线方程，并证明对任意，切线经过定点；
（2）证明：时，设、是的两个零点，且．
30．已知函数，．
（1）若，求函数在为自然对数的底数）上的零点个数；
（2）若方程恰有一个实根，求的取值集合；
（3）若方程有两个不同的实根，，求证：．
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本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。21教育名师原创作品
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、 ( http: / / www.21cnjy.com )解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
第5章：导数及其应用单元综合提优专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．已知是定义在上的奇函数，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
根据题意，构造出函数，则，进而结合题意求得答案.
【详解详析】
设，则，，若x>0，由，则，即在上单调递增.
因为是R上的奇函数，，容易判断，在R上是奇函数，且，则函数在上单调递增，且，所以的解集为：.
于是的解集为：.
故选：A.
2．已知，，（）是函数（且）的3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
显然，即，设，则，所以，构造函数，利用导数即可求解.
【详解详析】
解：显然，即，
设，则
所以，
所以，
因为恒成立，
所以在上单调递增，
所以，
故选：A.
3．已知数列满足（，为自然对数的底数），且对任意的都存在，使得成立，则数列的首项须满足（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
先判断数列的单调性，再根据选项作取舍.
【详解详析】
设，令，得到.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
故，即（当且仅当时取等号）.
故（当且仅当时取等号）.
即.要使对任意的都存在，使得成立，
显然时，，一定能满足题意；
当时，，如图此时不满足题意；
当时，，如图此时满足题意；
综上，.
故选：C
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4．已知定义在[，]上的函数满足，且当x[，1]时，，若方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）21·cn·jy·com
A．(，] B．(，]
C．(，] D．(，]
【标准答案】B
【思路指引】
由题设，求分段函数的解析式并画出图像，将方程有三个不同实根转化为和有三个不同的交点问题，由数形结合思想结合导数研究函数的交点情况，进而求参数的范围.
【详解详析】
∵当时，，
∴当时，，
综上，，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
∵有三个不同的实数根，
∴的图像和直线有三个不同的交点，
作的大致图像如图所示，
当直线和的图像相切时，设切点为，
∴，可得，，代入，
可得，
当过点时，，
由图知，实数的取值范围为.
故选：B.
( http: / / www.21cnjy.com / )【名师指路】
关键点点睛：将方程有三个不同的实数根转化为函数图象有三个不同交点问题，应用数形结合思想及导数研究函数图象的交点情况，求参数.www.21-cn-jy.com
5．已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
根据题意，将问题转化为直线与函数的图象在上有两个不同的交点，根据导函数研究的单调性，从而作出函数的图象，数形结合即可得解.21*cnjy*com
【详解详析】
令，原问题可转化为直线与函数的图象有两个不同的交点..令，则，所以在上单调递增，又，，所以存在，使得，即，从而，所以当时，，即，单调递减；当时，，即，单调递增.所以，作出函数的大致图象，如图所示，易知当时，函数与的图象有两个不同的交点，即在上有两个不同的零点.
故选：D
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6．已知函数满足，且当时，成立，若，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
构造函数，利用奇函数的定义得函数是偶函数，再利用导数研究函数的单调性，结合，再利用单调性比较大小得结论.
【详解详析】
解：因为函数满足，即，且在上是连续函数，所以函数是奇函数，
不妨令，则，所以是偶函数，
则，因为当时，成立，
所以在上单调递减，
又因为在上是连续函数，且是偶函数，所以在上单调递增，
则，，，
因为，，，
所以，所以，
故选：D.
7．设，若存在正实数，使得不等式成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
由题意可得，可令，则成立，由和互为反函数，可得图象关于直线对称，可得有解，通过取对数和构造函数法，求得导数，单调性和最值，即可得到的最大值．
【详解详析】
不等式，
即为，
即有，
可令，
则成立，
由和互为反函数，可得图象关于直线对称，
可得有解，
则，即，
可得，导数为，
可得时，函数递减，时，函数递增，
则时，取得最大值，
可得即有，
可得，
即的最大值为．
故选：A．
8．设k>0，若不等式≤0在x>0时恒成立，则k的最大值为（ ）
A．e B．eln3 C．log3e D．3
【标准答案】B
【思路指引】
根据题意，将不等式转化为，进而通过反函数的定义发现互为反函数，而它们的图象关于直线对称，则必须满足对恒成立，然后分离参数求出答案即可.
【详解详析】
由题意，对恒成立.容易判断，函数互为反函数，且均在上单调递增.因为与的图象关于直线对称，所以问题等价于对恒成立，即.
记，，则时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，所以.
于是，，即k的最大值为.
故选：B.
9．若不等式恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
把不等式转化为对x>0恒成立，设，故对任意的恒成立，利用导数可求a的取值范围.
【详解详析】
由不等式恒成立，可知对x>0恒成立.
设，则该函数为上的增函数，故，
故对任意的恒成立，
设，则，
当时，，故为上的增函数，
而当时，有，不合题意；
当时，对任意的恒成立，
当时，
若，则，当时，，
故在为减函数，在为增函数，
故，
故
综上：的取值范围是.
故选：A
【名师指路】
方法点睛：恒成立问题：
①参变分离，转化为不含参数的最值问题；
②不能参变分离，直接对参数讨论，研究的单调性及最值；
③可利用代数变形方法将不等式转化为简单不等式来处理.
10．若存在，使得当时，恒有，则称函数具有性质P.下列函数中具有性质的是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
对于选项ABC，求出函数的值域，结合性质P的定义即可判断；对于D，结合双曲线的方程及双曲线的渐近线即可判断.2-1-c-n-j-y
【详解详析】
对于A，的值域是，所以不存在，使得当时，恒有，故A错误；
对于B，，又函数为和上的增函数，由翻折变换知的值域是，所以不存在，使得当时，恒有，故B错误；
对于C，，令，求导，令，解得，即，记为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故函数取得最小值，记为，故的值域是，所以不存在，使得当时，恒有，故C错误；
对于D，表示双曲线在x轴上方的部分，包括与x轴的交点，其渐近线为，故存在，使得当时，恒有，故D正确；
故选：D
二、填空题
11．已知函数，对任意的，使得，则___________.
【标准答案】-3
【思路指引】
由题设易知为奇函数且，当由导数研究单调性并确定最值，可得，结合已知判断是否符合题设；当由导数确定的零点，讨论、判断是否符合题设，若符合结合恒成立，列不等式组求参数m、n即可.
【详解详析】
由题意，令，易知是奇函数，，
1、当时，，即单调递增，，，
∴，任意的，使得，
当时，，不合题意；
当时，，不合题意；
2、当时，有，
∴当，则上，即单调递减，故，同1可知不合题意；
当，则、上，即单调递增，上，即单调递减，
∴①得，或②得，
∴，代入①得，故.
故答案为：
【名师指路】
关键点点睛：构造奇函数并利用导数研究单调性，进而确定的范围，结合分类讨论及不等式恒成立，列不等式组求参数.
12．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______．
【标准答案】
【思路指引】
可化为，设，可知当时，，由此得到，设，求出函数的最大值，即可求得实数的取值范围．
【详解详析】
解：即，即，
设，则，故函数在定义域上递增，
又，故当时，，
，即，
设，则，
当时，，递增，
当时，，递减，
（1），
，即．
故答案为：．
【名师指路】
本题考查不等式的恒成立问题，考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想以及运算求解能力，属于难题．
13．若，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________.
【标准答案】
【思路指引】
首先设函数，转化为，利用单调性得，参变分离后，转化为求函数的最小值，从而求得的取值范围.
【详解详析】
设，则，所以在上单调递增，
由已知得，
因为，，，
所以，
，，所以在上单调递增，，
由在单调递增，得到，
所以，因为，
所以，令，
则，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
所以.
故答案为：
【名师指路】
本题考查利用导数研究不等式恒成立，参数问题，本题的关键是利用指对变形，通过构造函数，不等式转化为，利用函数的单调性，解抽象不等式后，后面的问题迎刃而解.
14．若函数有两个不同零点，()，且存在唯一的整数，则实数的取值范围为___________.
【标准答案】
【思路指引】
把函数的零点转化为直线y=k与函数的图象的交点的横坐标，再由给定条件借助二交点横坐标的分布即可作答.
【详解详析】
由得，令，，
当时，，当时，，
于是得在上递增，在上递减，当时，
而，，
从而得有两个不同零点，当且仅当直线y=k与函数的图象有两个不同交点，即有，
直线y=k与函数的图象有两个交点的横坐标为，()，此时，，
因存在唯一的整数，于是得，当时，，即，则有，
综上得：实数的取值范围为.
故答案为：
【名师指路】
方法点睛：函数零点个数判断方法：(1) ( http: / / www.21cnjy.com )直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.
15．关于的方程在区间上有三个不相等的实根，则实数的取值范围是______.
【标准答案】
【思路指引】
由题意知：函数的图象在区间上的图象与直线有三个不同的交点，求出直线与相切时的值，以及过点时的值，数形结合即可求解.
【详解详析】
令，
则关于的方程在区间上有三个不相等的实根，
等价于函数的图象在区间上的部分与直线有三个不同的交点，
( http: / / www.21cnjy.com / )
是过原点斜率为的直线，
设过原点且与的图象相切的直线与的图象相切于点，
所以，，所以，
所以切线方程为，整理可得：，
因为切线过原点，所以，即，所以，
所以设过原点且与的图象相切的直线方程为，
记，则直线的斜率为，
由图知：要使函数的图象在区间上的部分与直线有三个不同的交点，
则令直线的斜率在过原点的与的图象相切的直线的斜率和直线的斜率之间，所以，
所以实数的取值范是
故答案为：.
【名师指路】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
16．函数，关于x的方程0恰有四个不同实数根，则实数m的取值范围为__________．
【标准答案】
【思路指引】
先利用导数求出函数的单调区间和极值，令，由题意可知，方程有两个不同的实数根，，根据数形结合求得实数根，的分布情况，再令，数形结合分类讨论，由此即可求出的取值范围．
【详解详析】
，
令得，或1，
当时，，函数在上单调递增，且，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以极大值为，极小值为，
令，
因为关于的方程恰有四个不同的实数解，
所以方程有两个不同的实数根，，
且一个根在内，一个根在内，
或者两个根都在内，或者一根为，另一根在内；
当实数根，，一个根在内，一个根在内，
令，因为，
所以只需，即，得，
即的取值范围为：；
当实数根，，都在内，
令，因为，
所以只需，解得，
即的取值范围为：；
当实数根，，一根为，另一根在内，
令，因为，且开口向上，故此种情况不可能成立；
综上可知：实数m的取值范围为
故答案为：
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17．已知定义在上的函数满足且，其中的解集为A.函数，，若，使得，则实数a的取值范围是___________.21*cnjy*com
【标准答案】
【思路指引】
构造函数，利用导数结合已知条件可得的单调性，由，不等式等价于，由的单调性即可求得解集A，再分别求得，的值域，由已知可得函数的值域是函数的值域的子集，从而可求得实数a的取值范围.
【详解详析】
解：构造函数，
所以，
因为定义在上的函数满足，
所以，所以在上单调递增，且，
所以不等式可化为，即，
所以，
所以的解集，
函数，当且仅当，或时等号成立，在A上仅当时等号成立，
所以在A上的值域为，
为增函数，
所以在A上的值域为，
若，使得，
则，
所以，又因为
即实数a的取值范围是.
故答案为：.
18．已知实数满足，则对任意的正实数，的最小值为_______.
【标准答案】8
【思路指引】
求出圆心到曲线上的点的距离最值后可求的最小值.
【详解详析】
因为实数满足，故在圆：上.
而，设，
则表示到曲线上的点的距离的平方.
又，
因为在为增函数，且，
故当时，即；当时，即；
故在上为减函数，在为增函数，故的最小值为.
故到曲线上的点的距离最小值为，
而圆的半径为，故圆上的点到曲线上的点的距离最小值为，
故的最小值 为.
故答案为：.
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【名师指路】
思路点睛：与圆有关的最值问题，往往需要转化到圆心到几何对象的最值问题来处理，另外注意代数式对应的几何意义.21·世纪*教育网
19．已知函数满足恒成立，则实数的取值范围是____．
【标准答案】
【思路指引】
化简不等式，并分离变量可得，根据函数与不等式的关系转化已知条件得，利用换元法及导数求的最小值，由此可得a的范围.
【详解详析】
∵ 恒成立，
∴ 恒成立.
∴
又
设，则
∴ 时，，函数为增函数
时，，函数为减函数，
又时，
∴
设
则恒成立，
所以在区间内单调递增，
所以，
故
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
【名师指路】
对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
(1)a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max；
(2)a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min.
20．已知，是以为圆心，为半径的圆周上的任意两点，且满足，设平面向量与的夹角为()，则平面向量在方向上的投影的取值范围是_____.
【标准答案】
【思路指引】
作出示意图，首先利用BA⊥BC将问题转化为求在上的投影，先考虑为钝角（或直角）的情况，由投影概念可知即求，然后通过余弦定理求出AB，进而求出和，最后通过函数求值域的角度，接下来考虑为锐角（或直角）的情况，最后得到答案.
【详解详析】
如图，由BA⊥BC知A在BC上的投影点为B，所以在上的投影即为在上的投影，即为.
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在中，由余弦定理知，所以，
所以，
令，则， ，
设，，则函数在上单调递减，于是在上单调递增.
时，时，所以，
同理，当C位于C1处时，投影为.
所以在上的投影的取值范围为.
故答案为：.
【名师指路】
本题非常复杂，用的方法较多，注意两个问题：①如果没有思路，那么就按照定义和定理方向走，需要什么就求出什么；②“”这一步接下来的处理方式，“设”，分式型函数的换元法一般情况下换掉次数较低的，自己注意归纳总结，接下来用导数或者对勾函数处理即可.
三、解答题
21．已知函数(为非零常数）．
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若恒成立，求的值；
（3）对于增区间内的三个实数，，（其中，证明：．
【标准答案】
（1）；
（2）；
（3）证明见解析.
【思路指引】
（1）时，，利用导数判断单调性，由单调性可得最小值；
（2）求出，讨论时，在上单调递减不满足恒成立，当时利用导数求出单调性，进而可得，构造函数，可得，由可得即可求解；
（3）由已知可得，则，先证明，整理等价证明，构造函数，利用导数判断单调性可得即成立，同理可证即可求证.
（1）
当时，，所以，
由可得，由，可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为；
（2）
由可得，
①若时，恒成立，则在上单调递减；
当时，，不满足恒成立，所以不成立，
②若时，令可得；令可得，
所以可知在单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，
若恒成立，即，
构造函数，则有，
因为，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，当且仅当时取得最大值，
若，所以，所以．
（3）
由已知可得，则，
先证明，
因为，，只需证，
即证，
只要证，即证，
设，
因为，所以在内是减函数，
所以，
因为，所以，所以，
即，
同理可证，所以.
【名师指路】
方法点睛：由不等式恒成立（或能成立）求参数，
一、可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；
二、也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.
22．已知函数
（1）当时，求函数的单调区间
（2）若有两个零点，求的取值范围
【标准答案】
（1）在上单调递减；在上单调递增．
（2）
【思路指引】
小问1：先对函数求导，令，解得，即可求解单调性；
小问2：当时，，函数在上单调递减，此时函数最多有一个零点；当时，由（1）可知：时，函数取得极小值，故，进而可求出实数的取值范围．
（1）
时，．
令，，解得．
时，，函数在上单调递减；
时，，函数在上单调递增．
（2）
．
时，，函数在上单调递减，此时函数最多有一个零点，不满足题意，舍去．
时，由（1）可知：时，函数取得极小值，
有两个零点，，
令，（1）．
，函数在上单调递增，
．
又； ．
满足函数有两个零点．
的取值范围为．
23．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个不同的零点，求的取值范围．
【标准答案】
（1）答案见解析；
（2），.
【思路指引】
（1）对进行求导，对进行分类讨论，利用导数研究函数的单调性，即可得出函数的单调性；
（2）由题得，所以有一个零点，由于有两个零点，则只有一个不是1的零点，令，求导后对进行分类讨论，利用导数研究函数的单调性和最值，结合零点的情况即可求出的取值范围．21世纪教育网版权所有
（1）
解：，
①当时，恒成立，
令，则，所以的单调增区间为，
令，则，所以的单调减区间为；
②当时，令，则或，
（ⅰ）当，即时，
令，则或，令，则，
所以的单调增区间为和，单调减区间为；
（ⅱ）当，即时，
当时，，，所以，同理时，，
故的单调增区间为；
（ⅲ）当，即时，
令，则或，令，则，
所以的单调增区间为和，单调减区间为；
综上所述，当时，的单调增区间为和，单调减区间为；
当时，的单调增区间为；
当时，的单调增区间为和，单调减区间为；
当时，的单调增区间为，单调减区间为.
（2）
解：因为，所以有一个零点，
由于有两个零点，所以只有一个不是1的零点，
令，，
当时，恒成立，所以在上单调递增，
对任意，，，
由零点存在定理在上存在零点，
因为在上单调递增，所以只有一个不是1的零点，
所以当时，满足题意；
当时，无零点，舍去；
当时，令，解得：，
令，解得：，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在取得极小值，也是最小值，
所以函数，
依题意只有一个不是1的零点，
由于当时，，且在上单调递减，在上单调递增，
则或，
解得：或，
综上所得，的取值范围为，.
【名师指路】
思路点睛：解决含参数的单调区间问题及零点问题的一般思路：
（1）利用导数解决含有参数的单调性问题，要注意分类讨论和化归思想的应用；
（2）将零点的个数问题转化为函数的单调性和最值问题进行处理，一般需要通过构造新函数解决导数问题．
24．已知函数．
（1）当时，求函数的最小值；
（2）设，讨论函数的单调性；
（3）若函数有两个不同的零点，求正实数的取值范围．
【标准答案】
（1）0；
（2）答案见解析；
（3）.
【思路指引】
（1）由题可知的定义域为，当时，，求导后，利用导数研究函数的单调性和最值，即可求出函数的最小值；21教育网
（2）由题得函数，，求导得，分类讨论和两种情况，利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的单调性；【来源：21cnj*y.co*m】
（3）对函数进行求导，得，，构造新函数，由，，可知方程有两个不等实数根，设为，，，利用导数研究函数的单调性和最值，得出函数最小值为，再令，利用导数研究函数的单调性，对参数进行分类讨论，结合函数的零点个数即可求出正实数的取值范围．
（1）
解：因为函数的定义域为，
当时，，
则，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在单调递增，
所以函数在时取得最小值，且最小值为．
（2）
解：由题意知，函数，，
所以，
令，得或，
若，则当时，；当时，，
故在上单调递增，在上单调递减；
若，在上恒成立，所以在单调递增；
综上，当时，在单调递增，在单调递减；
当时，函数在单调递增．
（3）
解：由题可知，函数有两个不同的零点，
因为，，令，
因为，所以，
所以方程有两个不等实数根，设为，，，
又因为，所以，
所以在上，，在，上，，
即在上，，在，上，，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
所以函数最小值为，
因为，所以，所以，
令，所以，
从而函数在上单调递减，且，
所以对，，时，，
所以当时，因为，所以，所以，
所以，此时函数无零点，不合题意；
当时，函数有一个零点；
当时，，则，结合，
则需证明存在时，使得即可，
设函数，则，
所以时，，时，，
所以函数在单调递增，在单调递减，
则，所以，即，
所以，
则时，，即存在使得，
故当时函数有两个零点，
综上，正实数的取值范围为．
【名师指路】
思路点睛：解决含参数的单调区间问题、不等式问题的一般思路：
（1）利用导数解决含有参数的单调性问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用；
（2）将不等式的证明、零点的个数的判定转化为函数的单调性和最值问题处理，一般需要通过构造新函数解决导数问题．【版权所有：21教育】
25．已知函数，．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若，求的零点个数；
（3）若有两个零点，，证明：．
【标准答案】
（1）
（2）答案见解析
（3）证明见解析
【思路指引】
（1）求导，根据几何意义求解即可；
（2）根据题意得，单调递减，，单调递增，故，再根据和讨论函数值的分布求解即可；
（3）结合（2）得，，，使得，进而将问题转化为证明，再根据在上单调递减只需转化为证，再结合证明，再构造函数，再研究函数的单调性得在上恒成立，进而证明.
（1）
解：求导得，
所以，，
故切线方程是：；
（2）
解：由已知，，
所以当，，单调递减，
，，单调递增，
，
当时，趋近于时，函数趋近于，且，趋近于时，函数趋近于，此时函数只有一个零点，
当时，当趋近于时，函数趋近于，趋近于时，函数趋近于，此时函数有2个零点；
（3）
解：由（2）知，，，使得，
，要证，即证，
，，
又且在上单调递减，
需证，即证，
，
即证，
故令，即，
∴，
∵时，，所以，即，
∴函数在上单调递增，
∵，∴在上恒成立，
，得证，
．
【名师指路】
本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的零点，极值点偏移问题，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是难题.本题第三问解题的关键在于结合极值点偏移问题，将问题转化为证明，，进而构造函数，研究函数的单调性证明.
26．已知函数，，，是两个任意实数且．
（1）求函数的图象在处的切线方程；
（2）若函数在上是增函数，求的取值范围；
（3）求证：．
【标准答案】
（1）
（2）
（3）证明见解析
【详解详析】
解：（1）因为，
则切线的斜率为，切点为，
所以函数的图象在处切线方程为；
（2）由得，
因为函数在实数集上是增函数，
所以恒成立，
则恒成立，
令，
由得，
当时，，函数递减；
当时，，函数递增；
所以当时，函数，
故实数的取值范围是；
（3）要证明，即证明，
只需证明，不妨设，，
只需证明，
只需证明对恒成立，
设，
则，
设，当时恒成立，
则递增，，即，
则，故函数递增，有恒成立，
即对恒成立，
所以，即．
27．已知函数．
（1）判断函数的单调性；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）若，求证：．
【标准答案】
（1）答案见解析
（2）
（3）证明见解析
【思路指引】
（1）求得，对进行分类讨论，由此判断出的单调性.
（2）将不等式恒成立转化为，利用构造函数法，结合导数求得的取值范围.
（3）将要证明的不等式转化为，利用换元法、构造函数法，结合导数证得不等式成立.
（1）
，，
故，
因为，所以当时，，函数在上单调递增；
当时，当，函数单调递增，
当，函数单调递减.
（2）
对任意，不等式对任意的，不等式恒成立，
在上恒成立，进一步转化为，
设，当时，；
当时，，当时，．
设，当时，，
当时，，所以时，，
即，所以实数的取值范围为；
（3）
当时，等价于．
令，设，则，
当时，，，，
在上单调递增，（1），
．
【名师指路】
求解不等式恒成立问题，可利用分离常数法，通过构造函数，结合导数求得所构造函数的最值，由此求得参数的取值范围.21cnjy.com
28．已知函数有两个不同的零点，．
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：．
【标准答案】
（1）
（2）证明见解析
【思路指引】
（1）利用导数研究函数的单调性，求出函数的最小值，结合已知条件可得到关于a的不等式求解即可；
（2）构造函数，利用导数研究函数的单调性及最值可知，再结合的单调性可证得结论.
（1）
函数，函数的定义域为，求导
当时，，为减函数；当时，，为增函数，
故当时，函数取最小值且，
若函数有两个不同的零点，则，即
所以实数的取值范围为
（2）
证明：若函数有两个不同的零点，．不妨设，
则，且，
若证，即证，
令，，
求导，，
令，则，所以单调递增，则，
所以，函数单调递减，所以，
即，，
又，所以
因为在区间上单调递增，所以，
故原不等式得证．
【名师指路】
思路点睛：本题第一问主要考查利用导数解决函数的零点问题，第二问考查转化思想，将证，转化为证，构造函数，利用导数研究函数的单调性及最值可知，再结合的单调性可证得结论，考查学生的转化思想及运算求解能力，属于难题．
29．已知函数，是常数．
（1）求曲线在点，（2）处的切线方程，并证明对任意，切线经过定点；
（2）证明：时，设、是的两个零点，且．
【标准答案】
（1），证明见解析
（2）证明见解析
【思路指引】
（1）对函数求导,代入求得斜率,利用点斜式写出切线方程并化简,由此求得直线过定点.
（2）当时,利用二分法可判断函数在区间内有零点.利用导数可判断函数在区间内, 有唯一零点,再根据函数的单调性可证得.2·1·c·n·j·y
（1）
根据题意，函数，
当，则，则，
（2），（2），
则切线的方程为，
变形可得：，
联立，得．
切线经过定点；
（2）
证明：函数的定义域为且，
曲线在各定义域区间内是连续不断的曲线，
当时，在区间上，
（2），，在区间，上有零点，
在区间上，，，函数单调递减，
又，
若，且，则，
在区间，内有零点，
由单调递减知，在区间内有唯一零点．
，，
则，
由单调递减知，，即．
【名师指路】
思路点睛：本小题主要考查导数与切线 ( http: / / www.21cnjy.com )方程,考查含有参数的直线过定点的问题,考查利用导数证明不等式. 利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．【来源：21·世纪·教育·网】
30．已知函数，．
（1）若，求函数在为自然对数的底数）上的零点个数；
（2）若方程恰有一个实根，求的取值集合；
（3）若方程有两个不同的实根，，求证：．
【标准答案】
（1）无零点
（2）
（3）证明见解析
【思路指引】
（1）利用导数研究函数的单调性与极值，进而判断函数的零点个数；
（2）利用导数研究函数的单调性与极值，分类讨论参数，和时，函数的根的个数；
（3）依题设，于是，令，双变量变成单变量，可得，再利用导数研究函数的单调性可知，再证，构造函数，并研究函数的单调性及最值，通过转化可证得.www-2-1-cnjy-com
（1）
当时，，，
求导，令得，，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，
当时，函数取得极大值且，
函数在上恒小于0，所以函数在上无零点；
（2）
方程恰有一个实根，即方程恰有一个实数根，
令，求导，
令，得．
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
故当时，函数取得极大值，
①当，即时，因最大值点唯一，故符合题设；
②当，即时，恒成立，不符合题设；
③当，即时，一方面，，；
令，则，令，得
当时，，，函数单调递增，当时，，函数单调递减；
故当时，函数取得极小值0，故恒成立，即
一方面，，，于是，有两零点，不符合题设．
综上所述，的取值集合为；
（3）
证明：由（2）知方程有两个不同的实根，，
即有两个不同的实根，，可知
先证，
依题设，有，于是，
记，，则，故，
于是，故，
记函数，，
因，故在上单调递增，故，
，又，所以，
再证，
，故，也是的两个零点，
求导，令，得（记，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
故当时，函数取得极大值，也是的最大值，故有，
作函数，则，故单调递增，
当时，；当时，，
于是，
整理得，即，
同理，故，
即，于是
综上，．
【名师指路】
思路点睛：本题考查利用导数研究函数的单调 ( http: / / www.21cnjy.com )性，极值和最值，研究函数的零点，以及利用导数证明不等式，解题的关键是转化题目条件，构造合理的函数，考查学生的转化与化归能力，运算求解能力，属于困难题.【出处：21教育名师】
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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