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本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。21世纪教育网版权所有
思路设计：重在培优训练，分选 ( http: / / www.21cnjy.com )择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21cnjy.com
进阶1：导数的概念与几何意义重难点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．已知函数在定义域上单调递增，且关于x的方程恰有一个实数根，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．(0，1)
2．若曲线且在点处的切线与直线垂直，则函数在区间上的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．若直线与曲线相切，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．若曲线存在到直线距离相等的点，则称相对直线“互关”.已知曲线相对直线“互关”，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．若直线与曲线满足下列两个条件：（1）直线在点处与曲线相切；（2）曲线在点附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线.给出下列四个命题：21·cn·jy·com
①直线：在点处“切过”曲线：；
②直线：在点处“切过”曲线：；
③直线：在点处“切过”曲线：；
④直线：在点处“切过”曲线：.
其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知，若过一点可以作出该函数的两条切线，则下列选项一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．若定义在上的函数满足，其导函数满足，则与大小关系一定是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数,若不等式恒成立,则实数的取值范围为( )
A． B．
C． D．
9．设，复数在复平面内对应的点位于实轴上，又函数，若曲线与直线：有且只有一个公共点，则实数的取值范围为www.21-cn-jy.com
A． B．
C． D．
10．已知A，B是函数，图象上不同的两点，若函数在点A、B处的切线重合，则实数a的取值范围是（ ）2·1·c·n·j·y
A． B． C． D．
二、填空题
11．数列中，若，（且）则__________．
12．已知函数的图象为曲线，若曲线存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是______．
13．曲线在点处的切线方程为______．
14．已知函数的解析式唯一，且满足.则函数的图象在点处的切线方程为___________.
15．直线是曲线（）的一条切线，则实数的值为______．
16．过点P(1，1)且与曲线y＝x3相切的直线的条数为____________
17．已知直线 （其中为实数）过定点P，点Q在函数的图像上，则PQ连线的斜率的取值范围是___________．21教育网
18．已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________．
19．已知函数当时，，当时，，若关于的方程在区间上恰有三个不同的实数解，则实数的取值范围是___________.
20．如果函数的定义域为R，且满足以下两条性质：（i）对任意，只要，都有；（ii）任意，都有，则称函数为函数.给出下列结论：
①存在为函数满足
②函数是奇函数
③函数在上是增函数
④如果为函数，那么对任意在上的平均变化率小于在上的平均变化率
其中，所有正确结论的序号是___________
三、解答题
21．已知函数，为自然对数的底数．
（1）当时，
①求函数在处的切线方程；
②求函数的单调区间；
（2）若有且只有唯一整数，满足，求实数的取值范围．
22．设函数．
（1）若曲线在点，（2）处的切线斜率为0，求；
（2）若在处取得极小值，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，求证：没有最小值．
23．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）当函数与函数图象的公切线经过坐标原点时，求实数的取值集合；
（3）证明：当时，函数有两个零点，，且满足．
24．已知函数，其中．
（1）求曲线在点,处的切线方程
（2）如果过点可作曲线的三条切线
（i）当时，证明：；
（ii）当时，写出的取值范围（不需要书写推证过程）．
25．已知函数．
（1）求曲线在点，处的切线方程；
（2）当时，求的单调区间；
（3）当时，在区间有一个零点，求的取值范围．
26．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求证：函数存在单调递减区间，，并求出单调递减区间的长度的取值范围.
27．函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数在上的最小值；
（3）直接写出的一个值，使恒成立，并证明.
28．设函数.
（1）当时，求函数在点，处的切线方程；
（2）若函数的图象与轴交于，，，两点，且，求的取值范围；
（3）证明：为函数的导函数）.
29．已知函数．
（1）若在上单调递减，求的取值范围；
（2）若在处的切线斜率是，证明有两个极值点，且．
30．已知函数.
（1）若函数在处的切线与轴平行，求的值；
（2）若存在，，使不等式对于，恒成立，求的取值范围；
（3）若方程有两个不等的实数根、，试证明.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答 ( http: / / www.21cnjy.com )三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
进阶1：导数的概念与几何意义重难点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．已知函数上单调递增，且关于x的方程恰有一个实数根，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．(0，1)
【标准答案】C
【思路指引】
由递增，先求出的范围，再根据恰有一个实数根，通过数形结合进一步缩小范围.
【详解详析】
( http: / / www.21cnjy.com / )
在定义域上单调增，∴，∴，
∵在处切线为，即，
又故与没有公共点
∴与有且仅有一个公共点且为
∴在处的切线的斜率必须大于等于1，
，，∴，∴，
综上：
故选：C.
【名师指路】
本题需要通过求导，数形结合，利用切线斜率的不等关系解决问题.
2．若曲线且在点处的切线与直线垂直，则函数在区间上的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
先求出横坐标代入，即可求出切线斜率，利用直线垂直，可知切线斜率为0，求出a的值，利用导数可判断函数的单调性，即可求最值.2·1·c·n·j·y
【详解详析】
由题设，，故切线斜率为，
由切线与直线垂直，故，可得，
∴，由，有，
∴，即在单调递增，故.
故选：A.
3．若直线与曲线相切，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
根据题意，设切点为，进而求出的导数，可得切线的斜率，从而得出，再由切点也在切线方程上，并化简得出，从而得出，通过构造函数并利用导数研究函数的单调性和最值，从而可求出的最大值.21*cnjy*com
【详解详析】
解：设直线与曲线相切于点，
，，
可得切线的斜率为，则，所以，
又切点也在直线上，则，
，
，
设，，
，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
可得的最大值为，
即的最大值为.
故选：D.
4．若曲线距离相等的点，则称相对直线“互关”.已知曲线相对直线“互关”，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，进而得出圆上点到直线的最大距离，当时满足题意；当时，利用导数的几何意义求出曲线的切点坐标，根据点到直线的距离公式求出切点到直线的距离，结合计算即可.
【详解详析】
由题意知，
圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为，
所以圆上的点到直线的最大距离为；
当时，为开口向上的抛物线，、存在到直线l距离相等的点，符合题意；
当时，由，得，设点为曲线上的一点，
则曲线上过点P的切线方程的斜率为，
又过点P且与直线平行的切线方程的斜率为1，所以=1，，所以切点，
此时切点到直线的距离为，
由，得，即，
解得，所以
综上所述，
故选：B
5．若直线足下列两个条件：（1）直线在点处与曲线相切；（2）曲线在点附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线.给出下列四个命题：
①直线：在点处“切过”曲线：；
②直线：在点处“切过”曲线：；
③直线：在点处“切过”曲线：；
④直线：在点处“切过”曲线：.
其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【标准答案】B
【思路指引】
根据“切过”的定义以及导数的几何意义逐个选项判定即可.
【详解详析】
①∵，，
∴，
∴曲线在点处切线为，
当时，，
当时，，
即曲线在点附近位于直线的两侧，①正确；
②设，
，
当时，，在是减函数，
当时，，在是增函数，
∴，
即在上恒成立，
∴曲线总在直线下方，不合要求，②不正确；
③∵，，
∴，
∴曲线在点处切线为，
设，，
∴是减函数，
又∵，
∴当时，，即，
曲线在切线的下方，
当，，即，
曲线在切线的上方，③正确；
④∵， ∴ ，
∴，
∴ 曲线在点处的切线为，不合要求
④不正确．综上，正确命题有①③，
故选：B.
6．已知，若过一点可以作出该函数的两条切线，则下列选项一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
设切点为线方程为，可得出，令，分、两种情况讨论，利用导数分析函数的单调性，根据方程有两根可得出结果.www.21-cn-jy.com
【详解详析】
设切点为，对函数求导得，则切线斜率为，
所以，切线方程为，即，
所以，，可得，
令，其中，由题意可知，方程有两个不等的实根.
.
①当时，对任意的，，此时函数在上单调递增，
则方程至多只有一个根，不合乎题意；
②当时，当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增.
由题意可得，可得.
故选：A.
7．若定义在满足，其导函数满足，则与大小关系一定是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
根据导数的定义，结合题意得出，令，整理化简即可得到正确答案.
【详解详析】
∵且，
∴，即.
令，得：，
∴，所以.
故选：C
8．已知函数式恒成立,则实数的取值范围为( )
A． B．
C． D．
【标准答案】D
因为函数,要保证不等式恒成立,只需保证函数的图像恒不在函数 图像的下方画出函数的图像,数形结合,即可求得答案.【来源：21cnj*y.co*m】
【详解详析】
函数
要保证不等式恒成立
只需保证函数的图像恒不在函数图像的下方
画出函数的图像,如图所示,
( http: / / www.21cnjy.com / )
函数表示过定点的直线,
结合图像可知:
当时,不满足题意,
当时,满足题意,
当时,考查如图所示的临界条件,即直线与二次函数相切,
,设切点坐标为 ,切线的斜率为,
则切线方程过点 ,
即:,
数形结合可知,故,此时切线的斜率,
故实数的取值范围为,
故选:D.
【名师指路】
本题考查了含参数一元二次不 ( http: / / www.21cnjy.com )等式恒成立问题,解题关键是掌握由导数求切线方程的解法和数形结合,注意分类讨论思想的应用,考查了转化能力和计算能力.【出处：21教育名师】
9．设，复数在复平面内对应的点位于实轴上，又函数，若曲线与直线：有且只有一个公共点，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
由已知求得，得到，利用导数研究单调性及过的切线的斜率，再画出图形，数形结合，即可求得实数的取值范围．
【详解详析】
由题意，复数在复平面内对应的点位于实轴上，
所以，即，所以，则，所以函数单调递增，且当时，，
作出函数的图象，如图所示：
又由直线过点，
设切点为，则在切点处的切线方程为，
把代入，可得，即，即，
即切线的坐标为，代入，可得，即，
又由图象可知，当，即时，
曲线与直线有且只有一个公共点，
综上所述，当时，曲线与直线有且只有一个公共点，
故选A．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题主要考查了复数的基本 ( http: / / www.21cnjy.com )概念，考查函数零点的判定，以及导数的几何意义和利用导数研究函数的单调性的应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
10．已知A，B是函数，图象上不同的两点，若函数在点A、B处的切线重合，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
先根据导数的几何意义写出函数在点A、B处的切线方程，再利用两直线斜率相等且纵截距相等，列出关系式，从而得出，令函数，利用导数求其范围，可得实数a的取值范围.
【详解详析】
当时，的导数为；
当时，的导数为，
设，为函数图象上的两点，且，
当时，，故，
当时，函数在处的切线方程为：；
当时，函数在处的切线方程为
两直线重合的充要条件是①，②，
由①②得：，，
令，则，
令，则，
由，得，即时有最大值，
在上单调递减，则.
a的取值范围是.
故选：B.
二、填空题
11．数列，（且）则__________．
【标准答案】
【思路指引】
根据已知条件利用分组求和，求出，然后结合求极限的运算即可求出结果.
【详解详析】
因为，
所以
所以．
故答案为：.
12．已知函数的图象为曲线，若曲线存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是______．
【标准答案】
【思路指引】
利用即可求得，从而解出的范围．
【详解详析】
解：，
，
曲线存在与直线垂直的切线，
成立，
，
故实数的取值范围是．
故答案为：．
13．曲线在点处的切线方程为______．
【标准答案】
【思路指引】
求出函数的导数，再借助导数的几何意义及直线的点斜式方程即可计算作答.
【详解详析】
函数定义域为，，则，
于是得，即，
所以曲线在点处的切线方程为.
故答案为：
14．已知函数唯一，且满足.则函数的图象在点处的切线方程为___________.
【标准答案】
【思路指引】
先求得的解析式，然后利用切点和斜率求得切线方程.
【详解详析】
由，可得，设，
又由，有，得，
可得，
故所求切线方程为，整理为.
故答案为：
15．直线是曲线（）的一条切线，则实数的值为______．
【标准答案】
【思路指引】
根据导数的几何意义，已知切线斜率可以求出切点即可求解.
【详解详析】
由，得．
令，得，
故切点为，
代入直线方程，得，
所以．
故答案为：
16．过点P(1，1)且与曲线y＝x3相切的直线的条数为____________
【标准答案】2
【思路指引】
根据是否为切点进行分类讨论，结合导数求得切线的条数.
【详解详析】
当点P为切点时，∵y′＝3x2，∴y′|x＝1＝3，则曲线y＝x3在点P处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.21世纪教育网版权所有
当点P不是切点时，设直线与曲线切于点(x0，y0)(x0≠1)，
则＝＋x0＋1，
∵y′＝3x2，∴，
∴2－x0－1＝0，∴x0＝1(舍)或x0＝－，
则，
∴过点P(1,1)与曲线y＝x3相切的直线方程为，即3x－4y＋1＝0.
综上，过点P的切线有2条.
故答案为：2
17．已知直线 （其中为实数）过定点P，点Q在函数的图像上，则PQ连线的斜率的取值范围是___________．21·世纪*教育网
【标准答案】
【思路指引】
把直线方程整理成的多项式，根据恒等式的知识求出定点的坐标，
【详解详析】
由得
∴，解得，∴。
作出函数的图象，如图，直线和轴是它的两条渐近线，因此当点在第三象限时，，
当在第一象限时，直线可能与函数图象相切，设切点为，
，解得，此时，
由图象可知，
综上。
故答案为：。
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【名师指路】
本题考查直线过定点问题，考查直线与函数图象有公共点问题。
（1）直线过定点时，可把直线方程变形为关于所含参数的多项式，然后由恒等式知识求得定点；
（2）直线与函数图象有公共点问题，可作出函数图象及直线，利用图象观察各种可能出现的情况，直观形象，有助于解题。www-2-1-cnjy-com
18．已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________．
【标准答案】
【思路指引】
关于的不等式在上恒成立的两个临界状态是：直线与相切和与相切时，故求两种状态下a的值，即可求得的取值范围.21*cnjy*com
【详解详析】
画出函数的图像，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
关于的不等式在上恒成立，等价于函数的图像恒在直线的图像的下方，
又直线恒过定点
当直线与相切时，设切点，
求导，可得，
解得：，则直线斜率为，即
当直线与相切时，此时由
整理得：，
令，解得或（舍去）
所以由图像可知，实数的取值范围是
故答案为：
19．已知函数时，，当时，，若关于的方程在区间上恰有三个不同的实数解，则实数的取值范围是___________.
【标准答案】
【思路指引】
根据当时，，可得当时，函数为偶函数，再根据当时，，可得当时，函数可由当时的图像横坐标不变，纵坐标变为2倍即可，作出函数在时的函数图像，分和两种情况讨论，当是，结合图像根据临界点即可得出答案.【版权所有：21教育】
【详解详析】
解： 因为当时，，
所以当时，函数为偶函数，
又当时，，
则当时，，
则当时，函数可由当时的图像横坐标不变，纵坐标变为2倍即可，
作出函数在时的函数图像，如图所示，
当时，在区间上恰有三个不同的实数解，符合题意；
当时，当时，在上为增函数，
所以，
当函数过点时，，
当函数过点时，，
当函数过点时，，
当函数过点时，，
结合图像，若关于的方程在区间上恰有三个不同的实数解，
则或，
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题考查了函数的对称性及周期性，还考查了方程的根的问题，考查了数据分析能力和数形结合思想，有一定的难度.21cnjy.com
20．如果函数的定义域为R， ( http: / / www.21cnjy.com )且满足以下两条性质：（i）对任意，只要，都有；（ii）任意，都有，则称函数为函数.给出下列结论：
①存在为函数满足
②函数是奇函数
③函数在上是增函数
④如果为函数，那么对任意在上的平均变化率小于在上的平均变化率
其中，所有正确结论的序号是___________
【标准答案】②③④
【思路指引】
根据新定义求得，判断①，由新定义结合奇函数、增函数和平均变化率的定义判断②③④．
【详解详析】
①若为函数，则令，有，，①错；
②若为函数，则，令，则，
，，是奇函数，②正确；
③为函数，则是奇函数，设，则，
由是奇函数得，
由，设，，，
则，所以，
所以，．在上是增函数，由是奇函数可得在上是增函数，③正确；
④对任意，，
又，所以，所以，
所以，所以，④正确．
故答案为：②③④.
【名师指路】
本题考查函数新定义，考查函数的奇 ( http: / / www.21cnjy.com )偶性、单调性、平均变化率的定义．解题关键是利用新定义运算对函数式进行变化，结合函数的性质证明．在证明单调性时，利用两角和与差的正切公式进行变形是难点．本题属于难题．
三、解答题
21．已知函数，为自然对数的底数．
(1)当时，
①求函数在处的切线方程；
②求函数的单调区间；
(2)若有且只有唯一整数，满足，求实数的取值范围．
【标准答案】(1)①；②在上单调递减，在上单调递增
(2)．
【思路指引】
（1）①，当时，结合导数的几何意义求出，结合点斜式可求切线方程；②由导数的正负可求的单调区间；
（2）可令得，分离参数，分与1的关系进行分类讨论，令，结合正负判断单调性，求出最值，再由与最值得关系进一步讨论可求的取值范围．
(1)
当时，，，
①，又，
函数在切线方程为：，即：；
②，
由于时，，，；当时，，，，
函数在上单调递减，在上单调递增；
(2)
由得，
当时，不等式显然不成立；当时，；当时，，
设，，
函数在和，上为增函数，在和上为减函数，
当时，，当时，，
①当时，，由得，，又在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，
，即，，
②当，由得，，又在区间上单调递减，在区间，上单调递增，且，
，解得：，
综上所述，的取值范围为．
22．设函数．
(1)若曲线在点，（2）处的切线斜率为0，求；
(2)若在处取得极小值，求的取值范围；
(3)在（2）的条件下，求证：没有最小值．
【标准答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【思路指引】
（1）根据导数几何意义列方程即可解决；
（2）按照参数a分类讨论函数的单调性，进而找到合适的参数a，使得函数在处取得极小值；
（3）证明函数在实数集R上没有最小值，可以通过证明函数在单调递增区间上有比极小值小的函数值来实现.
(1)
，
，
曲线在点处的切线斜率为0，
可得，
解得；
(2)
，
若，
则时，，递增；时，，递减．
故在处取得极大值，不符题意；
若，则，递增，无极值，不符题意；
若，则，
当或时，；当时，，
故在，递减；在，递增，
可得在处取得极小值，符合题意；
若，则，同理可得在递减；在，，递增，
可得在处取得极大值，不符题意；
若，则，在，递增；在，递减，
可得在处取得极大值，不符题意；
综上可得，的范围是．
(3)
证明：由（2）得：时，，
在递增、在，递减、在递增，
极小值，
由，可知时,
即在增区间上，有函数值比函数极小值小，
故没有最小值.
23．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当函数与函数图象的公切线经过坐标原点时，求实数的取值集合；
(3)证明：当时，函数有两个零点，，且满足．
【标准答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【思路指引】
（1）利用导数求解单调性；
（2）利用是的切线求出其切线方程，再利用切线方程与只有一个公共点，即可求出实数的取值集合；
（3）证明有两个零点， ( http: / / www.21cnjy.com )即证明函数，其中一个零点通过观察即可求得，另一个零点通过切线放缩即可证明，将代入中，即证明成立，通过构造函数，判断其单调性即可证明.
(1)
函数的定义域为，
对求导，得，
令，解得，
当时，，单调递增．
当时，，单调递减；
故的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)
设公切线与函数的切点为，，则公切线的斜率，
公切线的方程为：，将原点坐标代入，得，
解得．
公切线的方程为：，将它与联立，整理得．
令，对之求导得：，令，解得．
当，单调递减,当时，，单调递增，则有最小值，
由于直线与函数相切，即只有一个公共点，
故实数的取值集合为；
(3)
证明：由得，要证有两个零点，
只要证有两个零点即可．
观察得，即时函数的一个零点．
对求导得：，令，解得．
当，单调递增；当时，，单调递减；即时，取最小值，且，
由得：必定存在使得二次函数，
即．因此在区间上必定存在的一个零点．
综上所述，有两个零点，一个是，另一个在区间上．
下面证明．
由上面步骤知有两个零点，一个是，另一个在区间上．
不妨设，下面证明即可．
令，对之求导得，
故（a）在定义域内单调递减，，即．
证明完毕．
24．已知函数，其中．
(1)求曲线在点,处的切线方程
(2)如果过点可作曲线的三条切线
（i）当时，证明：；
（ii）当时，写出的取值范围（不需要书写推证过程）．
【标准答案】(1)；
(2)（i）证明见解析；（ii）.
【思路指引】
（1）应用导数的几何意义求在,处的切线方程.
（2）（i）由（1）知： ( http: / / www.21cnjy.com )存在使，令则有三个相异的实数根，利用导数研究极值，结合零点存在性定理得即可证结论；
（ii）同（i），研究极值，结合零点存在性定理得求的取值范围即可.
(1)
，则，
在,处的切线的斜率，
由点斜式写出切线方程为，即．
(2)
（i）如果切线过，则存在使．
若过可作曲线的三条切线，则有三个相异的实数根．
记，则，
令，解得：或
当，时，当时，
当时取极大值，当时取极小值，
如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，
∴，可得，即；
（ii）令，解得：或，
当时，当时，
当时，取极大值，当时，取极小值，
如果过线三条切线，即有三个相异的实数根，则，即．
25．已知函数．
(1)求曲线在点，处的切线方程；
(2)当时，求的单调区间；
(3)当时，在区间有一个零点，求的取值范围．
【标准答案】(1)
(2)单调递增区间为，，单调递减区间为，，，．
(3)
【思路指引】
（1）求出函数在处的导数值，即切线斜率，求出，即可求出切线方程；
（2）求出函数导数并判断正负即可得出单调区间；
（3）转化为，构造函数，利用导数判断函数单调性即可求出.
(1)
，所以，
又，
所以在，处的切线方程：，即．
(2)
当时，，
，
所以在，上，，单调递增，
在，，，上，，单调递减，
所以单调递增区间为，，单调递减区间为，，，．
(3)
当时，令，得，
所以，
令，，，
当，时，，，即，
所以在，上单调递增，
又，，
若在区间有一个零点，则，
故的取值范围，．
26．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求证：函数存在单调递减区间，，并求出单调递减区间的长度的取值范围.
【标准答案】(1)
(2)证明见解析，，
【思路指引】
（1）利用切点和斜率求得切线方程.
（2）求得由此构造函数，结合判别式、根与系数关系证得存在减区间，并求得减区间的长度的取值范围.21教育网
(1)
点在函数上，由；
得：，，
故切线方程为：；
(2)
由；
得：，
令，
，，，
在上一定存在两个不同的实数根，
在上必有两个不等实数根，，
即的解集为，
由根与系数的关系知：，，
，
由可得：，，
函数存在单调减区间，，且递减区间长度的取值范围是，.
27．函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求函数在上的最小值；
(3)直接写出的一个值，使恒成立，并证明.
【标准答案】(1)
(2)
(3)，证明见解析
【思路指引】
（1）利用导数的几何意义直接求解；
（2）利用导数研究函数的单调性，进而求得最小值；
（3）取，构造函数，即证恒成立，利用导数研究函数的单调性及最值即可证得结论.
(1)
由，知，切点为
求导，则切线斜率
所以切线方程为：，即
(2)
求导，
，，，所以函数在上单调递增，
，即函数在上的最小值为.
(3)
取，下面证明恒成立，即证恒成立，
令，即证恒成立
求导，
（i）当时，，，此时
所以函数在上单调递减，，即成立
（ii）当时，令，，
因为，，所以，所以函数在上单调递增，
，所以函数在上单调递增，，
综上可知，恒成立，即恒成立
28．设函数.
(1)当时，求函数在点，处的切线方程；
(2)若函数的图象与轴交于，，，两点，且，求的取值范围；
(3)证明：为函数的导函数）.
【标准答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【思路指引】
（1）求得的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线方程；
（2）求得的导数，讨论 ( http: / / www.21cnjy.com )当时，当时，判断函数的单调性，求得极值，由题意可得极小值小于0，结合函数零点存在定理，可得所求范围；
（3）求得设，求得，设，求得的导数，判断单调性，结合基本不等式，可得证明．
(1)
的导数为，
可得在处的切线斜率为0，切点为，
可得切线方程为；
(2)
的导数为，
当时，恒成立，在上递增，与题意不符；
当时，由，可得，
当时，，递增；当时，，递减，
可得处取得极小值，
函数的图象与轴交于，，，两点，且，
可得，即，存在，（1），
设，则，
所以为上的增函数，故，
故，而，
又在，的单调性和的图象在上不间断，
可得为所求取值范围；
(3)
证明：，，
两式相减可得，
设，则，
设，，可得在递减，
即有，而，可得，
由为递增函数，，
可得，
即原不等式成立.
【名师指路】
关键点点睛：函数不等式的证明，关键在于 ( http: / / www.21cnjy.com )转化与构造函数，本题根据题意转化后构造函数，利用导数求出单调性，利用单调性建立所需不等式是解题的关键.
29．已知函数．
(1)若在上单调递减，求的取值范围；
(2)若在率是，证明有两个极值点，且．
【标准答案】(1)
(2)证明见解析
【思路指引】
（1）由题意可知在上恒成立，分离参数，设，根据导数求得的最大值，进而可得的取值范围；
（2）二次求导可得在和有个极值点，，再根据导数值的正负情况可得，，再利用不等性质即可得证.21·cn·jy·com
(1)
，
在递减，
在上恒成立，
在上恒成立，
令，，
时，，递增，
时，，递减，
，
；
(2)
由题意得，，
，，
，令，解得：，
令，解得：，
故在递增，在递减，
又，，，
故分别在和有零点，，（不妨设，
时，，递减，
时，，递增，
时，，递减，
故在和有个极值点，，
而，，，
，，，
，，
，
故原命题成立．
【名师指路】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利 ( http: / / www.21cnjy.com )用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．【来源：21·世纪·教育·网】
30．已知函数.
(1)若函数在处的切线与轴平行，求的值；
(2)若存在，，使不等式对于，恒成立，求的取值范围；
(3)若方程有两个不等的实数根、，试证明.
【标准答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【思路指引】
（1）求出函数的导函数，根据函数在处的切线与轴平行，得，从而可得出答案；
（2）不等式化为：，存在，，使不等式对于，恒成立，即恒成立，，利用导数求出函数的最大值即可得出答案；2-1-c-n-j-y
（3）方程，，令，求出函数的单调区间，从而可得方程两零点的分布，不妨设，则，要证明：，只要证明：即可，只要证明：，设函数，判断函数的单调性即可得证.21教育名师原创作品
(1)
解：，
函数在处的切线与轴平行，
（1），解得；
(2)
解：，，不等式化为：，
存在，，使不等式对于，恒成立，
，化为：，
令则，
令，，
函数在，上单调递增，
（1），
，因此函数在，上单调递增，
，
的取值范围是；
(3)证明：方程，即，，
令，，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
时，函数取得极大值即最大值，
，
方程有两个不等的实数根、，
，要证明：，只要证明：即可，
不妨设，则，由于函数在上单调递增，
因此只要证明：，即可得出，
设函数，
，
可得在上，所以函数在上递减，
又，所以，即，
即，
，
.
【名师指路】
本题考查了导数的几何意义和利 ( http: / / www.21cnjy.com )用导数求函数的单调区间及最值，考查了不等式恒成立问题，还考查了利用导数解决方程的根的问题和证明不等式成立问题，考查了学生的数据分析能力和逻辑推理能力，属于难题.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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