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进阶2：基本初等函数的导数公式必考点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．设，已知的图像上有且只有三个点到直线的距离为，则（ ）
A．1 B． C． D．
2．f0(x)＝sin x，f1( ( http: / / www.21cnjy.com )x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 017(x)＝（ ）
A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x
3．已知函数为的导函数，则
A．0 B．2014 C．2015 D．8
4．设函数的导函数，则数列的前n项和是（ ）
A． B． C． D．
5．若函数满足，则的值为（ ）．
A．1 B．2 C．0 D．
6．已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相同，则（ ）
A．-1 B．-2 C．1 D．2
7．记分别为函数的导函数.若存在x0∈R，满足f(x0)=g(x0)且，则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“真实点”，若函数与有且只有一个真实点"，则实数a的值为（ ）21世纪教育网版权所有
A． B． C． D．
8．定义在区间上的函数，其图象是连续不断的，若，使得，则称为函数在区间以上的“中值点”．则下列函数：①；②；③；④中，在区间上至少有两个“中值点”的函数是（ ）
A．①④ B．①③ C．②④ D．②③
9．若函数的导函数为偶函数，则函数的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数，则 21·cn·jy·com
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
二、填空题
11．则______．
12．定义在实数集上的可导函数满足：，，其中是的导数，写出满足上述条件的一个函数________．www.21-cn-jy.com
13．酒杯的形状为倒立的圆锥(如图)，杯深，上口宽，水以的流量倒入杯中，当水深为时，水升高的瞬时变化率为___________.2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
14．已知，则______.
15．设函数f (x)在(0,＋∞)内可导，且f (ex)＝x＋ex，则＝__________．
17．已知直线与曲线相切，则的最大值为___________.
18．不与轴重合的直线与曲线与均相切，则的斜率为___________.
19．设函数，则＝______
20．对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。给定函数；，请你根据上面探究结果，计算__________．【来源：21·世纪·教育·网】
三、解答题
21．已知函数
求曲线在点处的切线方程
若函数，恰有2个零点，求实数a的取值范围
22．(1)对正整数n，设曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，求数列的前n项和；21教育网
(2)设函数y＝f(x)满足以下条件：
①；②f(1)＝2.
求函数y＝f(x)的表达式．
23．已知点A（，﹣1），B（2，1），函数f（x）＝log2x．
（1）过原点O作曲线y＝f（x）的切线，求切线的方程；
（2）曲线y＝f（x）（≤x≤2）上是否存在点P，使得过P的切线与直线AB平行？若存在，则求出点P的横坐标，若不存在，则请说明理由．21cnjy.com
24．记、分别为函数、的导函数.把同时满足和的叫做与的“Q点”.
（1）求与的“Q点”；
（2）若与存在“Q点”，求实数a的值.
25．已知函数.
（1）求；
（2）求曲线在点处的切线方程.
26．已知函数f(x)＝x3．
（1）求曲线f(x)在点(1，f（1）)处的切线方程；
（2）求经过点A(1，f（1）)的曲线f(x)的切线方程．
27．求下列函数的导函数．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
28．讨论关于的方程的解的个数．
29．求下列函数的导数：
（1）；
（2）.
30．求曲线的与直线平行的切线方程.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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进阶2：基本初等函数的导数公式必考点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．设，已知的图像上有且只有三个点到直线的距离为，则（ ）
A．1 B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
根据题设条件确定直线与的图像相交，求出平行于直线且与的图像相切的切线即可.
【详解详析】
依题意，直线与的图像相交，
设平行于直线的直线与的图像相切的切点为，
由求导得，，则有，解得，即，切线方程为，
由，解得或，
当时，直线在切线的左侧，与的图像无公共点，当时，直线与的图像相交，
所以.
故选：B
2．f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′ ( http: / / www.21cnjy.com )0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 017(x)＝（ ）
A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x
【标准答案】C
【思路指引】
对函数求导，可以发现循环周期为4，从而得到.
【详解详析】
因为，
，，
，
所以循环周期为4，因此.
故选：C.
3．已知函数为的导函数，则
A．0 B．2014 C．2015 D．8
【标准答案】D
【思路指引】
先求出函数的导数，判定出导函数为偶函数；得到 ；进一步求出式子的值．
【详解详析】
因为，所以，
则为奇函数，且为偶函数，即，所以
；故选D．
【名师指路】
本题考查函数的导数基本运算以及奇偶性的应用，属于基础题．
4．设函数的导函数，则数列的前n项和是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
由题意，根据导数，求解的值，得到数列，即可求解数列的和.
【详解详析】
由题意，函数，则，
又由，所以，即，所以，
所以，
所以的前n项和为，故选A.
【名师指路】
本题主要考查了导数的运算及数列的裂项求 ( http: / / www.21cnjy.com )和问题，其中解答中根据函数的导数，求解数列的通项公式，再由裂项法求解数列的和是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.www.21-cn-jy.com
5．若函数满足，则的值为（ ）．
A．1 B．2 C．0 D．
【标准答案】C
【思路指引】
求导得到，取带入计算得到答案.
【详解详析】
，则，
则，故.
故选：C.
【名师指路】
本题考查了求导数值，意在考查学生的计算能力和应用能力.
6．已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相同，则（ ）
A．-1 B．-2 C．1 D．2
【标准答案】B
【思路指引】
分别表示出两条切线方程，然后比较系数，再进行代换即可.
【详解详析】
已知曲线在点处的切线方程为，即，
曲线在点处的切线方程为，即，
由题意得，得，，则.又，所以，所以，所以.
故选：B.
【名师指路】
关键点点睛：本题需要表示出两条切线方程，然后比较系数，再进行代换，在代换过程中要尽量去消去指数和对数，朝目标化简.21cnjy.com
7．记分别为函数的导函数.若存在x0∈R，满足f(x0)=g(x0)且，则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“真实点”，若函数与有且只有一个真实点"，则实数a的值为（ ）2·1·c·n·j·y
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
与有且只有一个真实点"，则f(x0)=g(x0)且的方程只有一个解，即，结合即可求解．
【详解详析】
由函数，，得，，
设x0为f(x)与g(x)的“真实点”，由f(x0)=g(x0)且，得，
即，得，
由于函数与有且只有一个“真实点”，
从而只有一解，故，解得b=0，此时，．
故选：A
【名师指路】
关键点点睛：本题的关键在于由与有且只有一个真实点"，转化为方程有唯一解问题．
8．定义在区间上的函数，其图象是连续不断的，若，使得，则称为函数在区间以上的“中值点”．则下列函数：①；②；③；④中，在区间上至少有两个“中值点”的函数是（ ）
A．①④ B．①③ C．②④ D．②③
【标准答案】A
【思路指引】
由题意函数在区间上存在一点，使得函数在此处的切线的斜率等于，两点所在直线的斜率，判断各项是否符合要求即可．21·世纪*教育网
【详解详析】
①，而显然成立，故有无数个“中值点”，符合题设；
②，而，故有且只有一个“中值点”，不合题设；
③，而，故有且只有一个“中值点”，不合题设；
④，而，故有两个“中值点”，符合题设；
故选:A．
9．若函数的导函数为偶函数，则函数的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
依次计算函数的导函数，再判断奇偶性得到答案.
【详解详析】
，则，为奇函数，A排除；
，则，为非奇非偶函数，B排除；
，则，为偶函数，C满足；
，则，为非奇非偶函数，D排除.
故选：C.
10．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数，则 www-2-1-cnjy-com
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
【标准答案】C
【详解详析】
分析：对已知函数求两次导数可得图象关于点对称，即，利用倒序相加法即可得到结论.
详解：函数，
函数的导数，，
由得，
解得，而，
故函数关于点对称，
，
故设，
则，
两式相加得，则，故选C.
点睛：本题主要考查初等函 ( http: / / www.21cnjy.com )数的求导公式，正确理解“拐点”并利用“拐点”求出函数的对称中心是解决本题的关键，求和的过程中使用了倒序相加法，属于难题.21世纪教育网版权所有
二、填空题
11．则______．
【标准答案】
【思路指引】
求出函数导数，代入直接计算即可.
【详解详析】
,
又
，
解得，
故答案为：
【名师指路】
本题主要考查了函数的导数的运算法则，求导公式，属于中档题.
12．定义在实数集上的可导函数满足：，，其中是的导数，写出满足上述条件的一个函数________．21*cnjy*com
【标准答案】（答案不唯一）
【思路指引】
可取满足题意的，求出其原函数，令解出，从而得到符合题意的
【详解详析】
可令，满足
则
故
故
故答案为：（本题答案不唯一）
13．酒杯的形状为倒立的圆锥(如图)，杯深，上口宽，水以的流量倒入杯中，当水深为时，水升高的瞬时变化率为___________.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【思路指引】
利用体积公式计算得到，再求出水深为，对应的时间为的大小，最后利用导数可求瞬时变化率.
【详解详析】
由题意，设时刻水面高为，水面圆半径为, 则可得
此时水的体积为
又由题设条件知，此时的水量为20t
故有 故有
当水深为，对应的时间为，则
所以当水深为3 cm时，水升高的瞬时变化率为
故答案为：
【名师指路】
关键点点睛：首先根据题意得出杯中水的高度h与时间t的函数关系是解题的关键，其次利用导数求在水深为3 cm时对应t的导数，属于中档题.21·cn·jy·com
14．已知，则______.
【标准答案】
【思路指引】
求出导函数，分别将代入原函数、导函数，得到关于的方程组，求得即可得答案.
【详解详析】
，解得，
故答案为： .
【名师指路】
本题主要考查导数的运算法则以及基本初等函数的求导公式，属于基础题,
15．设函数f (x)在(0,＋∞)内可导，且f (ex)＝x＋ex，则＝__________．
【标准答案】
【详解详析】
试题分析：令，，所以，，，所以答案应填：．
考点：导数的运算．
16．已知函数满足，则______．
【标准答案】2
【思路指引】
令，利用方程组思想求得函数的解析式，在求出函数的导函数，即可得出答案.
【详解详析】
解：将中的替换为，则有，消去，得，所以，故．
故答案为：2.
17．已知直线与曲线相切，则的最大值为___________.
【标准答案】1
【思路指引】
设出切点坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义结合已知条件建立关系求出a+b即可得解.
【详解详析】
设切点为，由求导得，
因直线与曲线相切，则，解得，则，
而切点在直线上，即，于是得，
因此，，当且仅当时取“=”，
所以当时，取最大值1.
故答案为：1
18．不与轴重合的直线与曲线与均相切，则的斜率为___________.
【标准答案】
【思路指引】
设直线与曲线相切的切点坐标为，根据导数的几何意义可得的斜率，从而求得l的方程，再根据不与轴重合的直线与曲线与均相切，联立，得，，求得，即可得出答案.21*cnjy*com
【详解详析】
解：设直线与曲线相切的切点坐标为，
，则，
则切线方程为，
因为不与轴重合的直线与曲线与均相切，
则，得，
，
得（舍去），或，
的斜率为.
故答案为：.
19．设函数，则＝______
【标准答案】
【思路指引】
应用辅助角公式可得并求，对求导即可.
【详解详析】
由题设，，
∴
∴.
故答案为：
20．对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。给定函数；，请你根据上面探究结果，计算__________．21教育名师原创作品
【标准答案】
【思路指引】
对已知函数两次求导数，由题意可得函数关于点，对称，即，从而即可得答案．
【详解详析】
解：由题意，，，
由，得，解得，而，
所以函数关于点，对称，
所以，
.
故答案为：.
三、解答题
21．已知函数
求曲线在点处的切线方程
若函数，恰有2个零点，求实数a的取值范围
【标准答案】(1) x+y-1=0.
(2) .
【思路指引】
(1)求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线方程；
(2) 函数恰有2个零点转化为两个图象的交点个数问题，数形结合解题即可.
【详解详析】
（1）因为，所以.
所以
又
所以曲线在点处的切线方程为
即.（5分）
（2）由题意得，，
所以.
由，解得，
故当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
所以.
又，，
若函数恰有两个零点，
则解得.
所以实数的取值范围为.
【名师指路】
本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.【来源：21·世纪·教育·网】
22．(1)对正整数n，设曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，求数列的前n项和；【来源：21cnj*y.co*m】
(2)设函数y＝f(x)满足以下条件：
①；②f(1)＝2.
求函数y＝f(x)的表达式．
【标准答案】（1）；（2）
【思路指引】
（1）对求导得到其在处的切线方程即可求得，进而可得的通项公式，再利用求和公式求解.
（2）先由导函数设原函数，再带值求解.
【详解详析】
(1)由得.
.又切点为，
切线方程为,
令，得,.
则数列的通项公式为，
则其前项和为.
(2)由,则可设,(为常数)
由得,故.
【名师指路】
第一小题考查导数与数列相结合的问题，通 ( http: / / www.21cnjy.com )过求导进而求出曲线的切线方程式本题解题的关键；第二小题考查了求导运算的逆运算，对学生运用运算法则的能力要求比较高.2-1-c-n-j-y
23．已知点A（，﹣1），B（2，1），函数f（x）＝log2x．
（1）过原点O作曲线y＝f（x）的切线，求切线的方程；
（2）曲线y＝f（x）（≤x≤2）上是否存在点P，使得过P的切线与直线AB平行？若存在，则求出点P的横坐标，若不存在，则请说明理由．【出处：21教育名师】
【标准答案】（1）；（2）
【思路指引】
(1 )设切点为，求得的导数，可得切线的斜率，再由两点的斜率公式列方程求得，从而可得结果；(2)设,求得导数可得切线的斜率,由两点的斜率公式，以及两直线平行的条件：斜率相等，可得的横坐标.【版权所有：21教育】
【详解详析】
（1）设切点为，
函数导数为
由题意可得，
解得，
则切线方程为；
（2）的斜率为，
设，
假设存在点P，使得过P的切线与直线AB平行，
可得.可得
则曲线上存在点P，使得过P的切线与直线AB平行，
且P的横坐标为.
【名师指路】
本题主要考查导数的几何意义的应用，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.
24．记、分别为函数、的导函数.把同时满足和的叫做与的“Q点”.
（1）求与的“Q点”；
（2）若与存在“Q点”，求实数a的值.
【标准答案】（1）2；（2）.
【思路指引】
（1）对与进行求导，由和，结合新定义，即可求出与的“”点；
（2）对与分别求导，根据新定义列式，求出a的值.
【详解详析】
（1）因为，
设为函数与的一个“”点.
由且得，
解得.
所以函数与的“”点是2.
（2）因为，
设为函数与的一个“”点.
由且得，
由②得代入①得，所以.
所以.
【名师指路】
本题考查导数运算以及函数与方程问题，结合新定义，同时考查推理论证能力以及方程思想和数学运算素养.
25．已知函数.
（1）求；
（2）求曲线在点处的切线方程.
【标准答案】（1）（2）
【思路指引】
（1）根据求导公式及求导法则计算即可；
（2）求出函数在处的导数，得到切线的斜率，即可点斜式写出切线方程.
【详解详析】
（1）
.
（2），
又切线过点，
所以切线方程为，
即切线方程为.
【名师指路】
本题主要考查了求导公式及法则，导数的几何意义，求在曲线上一点的切线方程，属于中档题.
26．已知函数f(x)＝x3．
（1）求曲线f(x)在点(1，f（1）)处的切线方程；
（2）求经过点A(1，f（1）)的曲线f(x)的切线方程．
【标准答案】(1) ；(2) 或.
【思路指引】
(1)根据导数的几何意义直接求解即可；
(2)分别讨论点是否为切点，再结合导数的几何意义直接求解即可.
【详解详析】
(1)由，得，
故切线斜率，
又因，所以切线方程为，即.
(2)当为切点时，由(1)知，切线方程为；
当不为切点时，设切点，则切线斜率，
故切线方程为，
又因切线过点，所以，解得(舍)或，
因此切线方程为.
综上，过点的切线方程为或.
27．求下列函数的导函数．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【标准答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【思路指引】
（1）（2）中先写成幂函数的形式，利用幂函数的求导法则，即可求解；（3）（4）先化简，利用导数的减法运算和基本初等函数求导法则，即可求解21教育网
【详解详析】
（1）．
（2）．
（3）∵，
∴．
（4）∵，
∴．
28．讨论关于的方程的解的个数．
【标准答案】答案见解析
【思路指引】
利用函数与方程之间的关系，作出函数与的图像，求出曲线的切线方程，利用数形结合思想求解即可.
【详解详析】
解：关于的方程的解的个数就是直线与曲线的交点的个数．
如图，设直线与曲线切于点，则．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵，∴，∴，
∴，．
结合图像，知当或时，方程有一个解；
当时，方程有两个解；
当时，方程无解．
29．求下列函数的导数：
（1）；
（2）.
【标准答案】
（1）
（2）
【思路指引】
（1）先化简，再求导；
（2）先化简，再结合的导数公式即可求解，
（1）
（1）因为，
所以，所以函数的导数是；
（2）
， ，
所以函数的导数是.
30．求曲线的与直线平行的切线方程.
【标准答案】
【思路指引】
求导数，利用曲线与直线平行，求出切点坐标，即可求解
【详解详析】
设切点为，
因为，
所以，
因为曲线的切线与直线平行，
所以，
解得，
又点在曲线上，则，
所以切点坐标为，
所以曲线的与直线平行的切线方程为：
，
即
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