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本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。21世纪教育网版权所有
思路设计：重在培优训练，分选择 ( http: / / www.21cnjy.com )、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。【版权所有：21教育】
进阶3：导数的四则运算法则综合重点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．数列为等比数列，其中，，，为函数的导函数，则（ ）
A．0 B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
由题意结合等比数列的性质可知，再对函数求导，代值即可求解
【详解详析】
为等比数列，，，
则．
由
得，
则．
故选：D
2．设函数，其中，则导数的取值范围是（ ）
A．[－2，2] B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
对函数求导得，进而得到，求三角函数的值域，即可得到答案；
【详解详析】
，
，
故选：D
3．已知函数的导函数为，，则（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
先求出，然后令求出，然后即可求出．
【详解详析】
因为
所以
令时有，所以
所以
所以
故选：C
4．设f(x)＝x(x＋1)(x＋2)…(x＋n)，则f′(0)＝（ ）
A．n！ B．1 C．(n-1)！ D．0
【标准答案】A
【思路指引】
令g(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋n)，则f′(x)＝g(x)＋xg′(x)，令即得解.
【详解详析】
令g(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋n)，
则f(x)＝xg(x)，
求导得f′(x)＝x′g(x)＋xg′(x)＝g(x)＋xg′(x)，
所以f′(0)＝g(0)＋0×g′(0)＝g(0)＝1×2×3×…×n
故选：A
5．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则a=（ ）
A．4 B．8 C．2 D．1
【标准答案】B
【思路指引】
求出的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据得到的值.2·1·c·n·j·y
【详解详析】
解：的导数为，
曲线在处的切线斜率为，
则曲线在处的切线方程为，即.
由于切线与曲线相切，
可联立，
得，
又，两线相切有一切点，
所以有，
解得.
故选：B.
6．已知，其中为函数的导数.则（ ）
A．0 B．2 C．2021 D．2022
【标准答案】B
【思路指引】
求导计算得到，，代入数据得到答案.
【详解详析】
，
；
则，
，
.
故选：B.
7．已知，为的导函数，则的大致图象是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】A
【思路指引】
先求出的导函数，再由奇偶性以及特殊值即可得出答案.
【详解详析】
∵，
∴
易知是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B和D，
由，排除C，所以A正确.
故选：A.
8．曲线在处的切线的倾斜角为，则（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
先求出的导函数，进而求出时，，由导函数的几何意义和倾斜角与斜率的关系，求出，利用万能公式求出结果.www.21-cn-jy.com
【详解详析】
，当时，，所以，由万能公式得：
所以
故选：B
9．设函数在区间D上的导函数为，在区间D上的导函数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”.已知实数m为常数，，若对满足的任何一个实数m，函数在区间上都为“凸函数”，则的最大值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【标准答案】A
【思路指引】
由题设知对任意，在上有恒成立，转化为一次函数在上恒成立求x的范围，进而确定的最大值.
【详解详析】
由题设，，则，
∴对任意，在上有恒成立，
令在上恒成立，
∴，可得，
∴，故的最大值为4.
故选：A
10．已知，，，其中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
先令函数，求导判断函数的单调性，并作出函数的图像，由函数的单调性判断，再由对称性可得.
【详解详析】
由，则，同理，，
令，则，当；当，∴在上单调递减，单调递增，所以，即可得，又，，
由图的对称性可知，.
( http: / / www.21cnjy.com / )
故选：C
二、填空题
11．设，则________．
【标准答案】
【思路指引】
构造函数，则，两边求导将代入，即可得到答案；
【详解详析】
令，则，
求导得
所以
故答案为：
12．已知函数的图象关于直线对称，为的导函数，则________．
【标准答案】
【思路指引】
根据和是的两个零点和关于直线对称，可确定和是的两个实根，利用韦达定理可求得，得到和，由此可求得结果.21·世纪*教育网
【详解详析】
由题意知：和是的两个零点，
的图象关于直线对称，和也是的零点，
和是的两个实根，，
，，
，，．
故答案为：.
13．已知函数的图象关于对称，且，则______.
【标准答案】-1
【思路指引】
首先根据的中心对称性质和已知条件求出，然后再根据求出，进而求解.
【详解详析】
因为关于对称，所以，
故，即，解得，，
所以，
又因为，
所以，解得，，
所以.
故答案为：.
14．已知（，），其导函数为，设，则_____________.
【标准答案】
【思路指引】
利用导数的运算法则求，即可得f′(-2)，进而写出an的通项公式，即可求.
【详解详析】
由题设，f′(x)= (x+2)(x+3)…(x+n)+(x+1)(x+3)…(x+n)+…+(x+1)(x+2)…(x+n-1)，21cnjy.com
∴f′(-2)=0+(-1)×1×…×(n-2)+0+…+0=-(n-2)!，f(0)=n!；
∴an=，则a10．
故答案为:．
15．已知函数的图象上有一动点P，且在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是______.
【标准答案】
【思路指引】
对给定函数求导，再借助均值不等式求出导函数的最小值即可求解作答.
【详解详析】
依题意，当时，，当且仅当，即时取“=”，
则有原函数图象在点P处的切线斜率不小于，即，又，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：
16．若函数满足（其中为自然对数的底数），且，则___________.
【标准答案】0
【思路指引】
构造函数，可得，即，结合，可得，即，，代入即得解
【详解详析】
令，
则，
∴.又，∴，
∴，
∴，
于是，
.
故答案为：0
17．曲线在处的切线方程为______________．
【标准答案】
【思路指引】
根据导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而可求出切线方程.
【详解详析】
因为，所以，，
所以切线的斜率，
所以切线方程为.
故答案为：.
18．已知曲线在点处的切线过点，则______．
【标准答案】
【思路指引】
根据导数的几何意义求出切线方程，代入点的坐标得到，解方程即可求出结果.
【详解详析】
，则，所以曲线在点处的切线为．又曲线在点处的切线过点，则，解得．
故答案为：.
19．函数恒过定点，则在点处的切线方程为___________.
【标准答案】
【思路指引】
由题可得，进而可得，再利用导函数的几何意义即得.
【详解详析】
∵函数，
令，得，即定点，
又，
∴，，
∴，，
∴在点处的切线方程为，即.
故答案为：.
20．已知直线与函数的图象相切于，则直线的方程是___________.
【标准答案】
【思路指引】
求出函数的导数，借助导数的几何意义即可求出直线的方程.
【详解详析】
函数的定义域为，求导得：，则，直线的斜率为1，
所以直线的方程是：.
故答案为：
三、解答题
21．求下列函数的导数：
（1）y＝(2x＋1)5；
（2）y＝；
（3）y＝；
（4）y＝x·；
（5）y＝lg(2x2＋3x＋1)；
（6）y＝.
【标准答案】（1）10(2x＋1)4；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.
【思路指引】
利用基本初等函数的导数公式及复合函数的求导法则，结合换元法对各函数进行求导即可.
【详解详析】
（1）设u＝2x＋1，则y＝u5，
∴y′x＝y′u·u′x＝(u5)′·(2x＋1)′＝5u4·2＝10u4＝10(2x＋1)4；
（2）设u＝1－3x，则y＝u－4，
∴y′x＝y′u·u′x＝(u－4)′·(1－3x)′＝－4u－5·(－3)＝12u－5＝12(1－3x)－5＝；21教育网
（3）设u＝1－3x，则y＝，
∴y′x＝y′u·u′x＝··(1－3x)′＝··(－3)＝；
（4）y′＝x′·＋x·()′.
设t＝，u＝2x－1，则t＝，
t′x＝t′u·u′x＝··(2x－1)′＝××2＝.
∴y′＝＋＝.
（5）设u＝2x2＋3x＋1，则y＝lg u，
∴y′x＝y′u·u′x＝×(2x2＋3x＋1)′＝；
（6）设u＝，v＝2x＋，则y＝u2，u＝，
∴y′x＝y′u·u′v·v′x＝2u·cos v·′＝2·cos·2＝4cos＝.
22．已知都是定义在R上的函数，，，且，且，．若数列的前n项和大于62，求n的最小值.【来源：21·世纪·教育·网】
【标准答案】6
【思路指引】
由题设易得且，求出a的值，进而写出的通项公式，利用等比数列前n项和公式列不等式求n的范围即知最小值.www-2-1-cnjy-com
【详解详析】
由题设可得：，又，
∴，
∴，
∵，即，可得，
∴，故，
∴数列为等比数列，
∴，故，即，，
∴n的最小值为6.
23．在①是三次函数，且，，，，②是二次函数，且这两个条件中任选一个作为已知条件，并回答下列问题.【来源：21cnj*y.co*m】
（1）求函数的解析式；
（2）求的图象在处的切线l与两坐标轴围成的三角形的面积.
【标准答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【思路指引】
(1)根据所选条件，设出函数解析式，借助待定系数法求解即得；
(2)利用(1)中函数，借助导数的几何意义求出切线l的方程即可计算作答.
【详解详析】
选①，
（1）依题意，设，则，
由已知得，解得，，，，
所以函数的解析式是；
（2）由(1)知，，，则有切线l的方程为，
当时，，当时，，
所以切线l与两坐标轴围成的三角形的面积.
选②，
（1）依题意，设，则，
于是得：，化简得，
因为上式对任意x都成立，所以，解得，，，
所以函数的解析式为；
（2）由(1)知，，则，又，则有切线l的方程为，
当时，，当时，，
所以切线l与两坐标轴围成的三角形的面积.
24．已知函数.
（1）求导函数；
（2）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值.
【标准答案】（1）；（2），.
【思路指引】
(1)利用基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则直接求导；
(2)利用切点与切线及曲线的关系，再借助导数的几何意义即可计算得解.
【详解详析】
（1）由，
得；
（2）因为切点既在曲线上，又在切线上，
于是将代入切线方程，得，又，则，解得，
而切线的斜率为，即，又，则，解得，
所以，.
25．已知函数．
（1）求f(x)的解析式；
（2）求f(x)在处的切线方程．
【标准答案】
（1）；
（2）.
【思路指引】
(1)对函数求导，利用给定条件列式计算即可得解.
(2)利用(1)的结论求出切点坐标、切线斜率，再由直线的点斜式方程即可求出切线方程..
（1）
由求导得：，
又，则，解得，
所以的解析式为.
（2）
由(1)得，，则，
在处的切线方程为，即，
所以f(x)在处的切线方程是：.
26．设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．2-1-c-n-j-y
【标准答案】(1)；(2)证明见解析.
【详解详析】
解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，
当x＝2时，y＝．
又f′(x)＝a＋，
于是，解得
故f(x)＝x－．
(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋)·(x－x0)，即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．【出处：21教育名师】
令x＝0得，y＝－，从而得切线与直线x＝0，交点坐标为(0，－)．
令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6．
曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6．
27．求下列函数的导数：
（1）；
（2）y=3x2+xcosx；
（3）；
（4）y=lgx-ex；
（5）.
【标准答案】（1）；（2）；（3） ；（4）；（5）.
【思路指引】
利用基本初等函数的求导公式和导数的运算法则分别对所给函数求导即可作答.
【详解详析】
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5).
28．已知是一次函数，，求的解析式．
【标准答案】
【思路指引】
分析可知，函数为二次函数，可设，根据导数的运算法则结合已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出函数的解析式.
【详解详析】
由为一次函数可知为二次函数．
设，则．
所以，，
即，所以，，解得，
因此，.
29．求下列函数的导数：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）.
【标准答案】（1）；（2）；（3）.（4）；（5）.
【思路指引】
对于（1）（2）直接用导数的求导法则求解即可；对于（3）（4）（5）先化简，再用导数的求导法则求解即可21·cn·jy·com
【详解详析】
（1）因为， 所以；
（2）因为，所以；
（3）因为，所以；
（4）∵，∴.
（5）∵，∴.
30．已知函数.设函数，，过点作函数的图象的所有切线，令各切点的横坐标按从小到大构成数列，求数列的所有项之和的值.
【标准答案】
【思路指引】
把的解析式代入 ，求出函数的导函数，设出切点坐标，求出函数在切点处的导数，由点斜式写出切线方程，把M的坐标代入切线方程，得到关于切点横坐标的三角方程，利用函数图象交点分析得到切点的横坐标关于对称成对出现，最后由给出的自变量的范围得到数列的所有项之和S的值.21*cnjy*com
【详解详析】
∵，
∴
设切点为，则切线斜率为，
∴切线方程为，
∴，可得 ，
令，这两个函数的图象均关于点对称，则它们交点的横坐标也关于对称，
从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列的项也关于成对出现，又在共有1008对，每对和为.
∴.
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错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．数列为等比数列，其中，，，为函数的导函数，则（ ）
A．0 B． C． D．
2．设函数，其中，则导数的取值范围是（ ）
A．[－2，2] B． C． D．
3．已知函数的导函数为，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．设f(x)＝x(x＋1)(x＋2)…(x＋n)，则f′(0)＝（ ）
A．n！ B．1 C．(n-1)！ D．0
5．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则a=（ ）
A．4 B．8 C．2 D．1
6．已知，其中为函数的导数.则（ ）
A．0 B．2 C．2021 D．2022
7．已知，为的导函数，则的大致图象是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
8．曲线在处的切线的倾斜角为，则（ ）
A． B． C． D．
9．设函数在区间D上的导函数为，在区间D上的导函数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”.已知实数m为常数，，若对满足的任何一个实数m，函数在区间上都为“凸函数”，则的最大值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．已知，，，其中，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．设，则________．
12．已知函数的图象关于直线对称，为的导函数，则________．
13．已知函数的图象关于对称，且，则______.
14．已知（，），其导函数为，设，则_____________.
15．已知函数的图象上有一动点P，且在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是______.
16．若函数满足（其中为自然对数的底数），且，则___________.
17．曲线在处的切线方程为______________．
18．已知曲线在点处的切线过点，则______．
19．函数恒过定点，则在点处的切线方程为___________.
20．已知直线与函数的图象相切于，则直线的方程是___________.
三、解答题
21．求下列函数的导数：
（1）y＝(2x＋1)5；
（2）y＝；
（3）y＝；
（4）y＝x·；
（5）y＝lg(2x2＋3x＋1)；
（6）y＝.
22．已知都是定义在R上的函数，，，且，且，．若数列的前n项和大于62，求n的最小值.21世纪教育网版权所有
23．在①是三次函数，且，，，，②是二次函数，且这两个条件中任选一个作为已知条件，并回答下列问题.21cnjy.com
（1）求函数的解析式；
（2）求的图象在处的切线l与两坐标轴围成的三角形的面积.
24．已知函数.
（1）求导函数；
（2）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值.
25．已知函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在处的切线方程．
26．设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．21教育网
27．求下列函数的导数：
（1）；
（2）y=3x2+xcosx；
（3）；
（4）y=lgx-ex；
（5）.
28．已知是一次函数，，求的解析式．
29．求下列函数的导数：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）.
30．已知函数.设函数，，过点作函数的图象的所有切线，令各切点的横坐标按从小到大构成数列，求数列的所有项之和的值.
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