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编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。21教育网
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答 ( http: / / www.21cnjy.com )三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21·cn·jy·com
进阶4：简单复合函数的导数重点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．已知的导函数的图像如右图所示，则的解析式可能是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
对各选项求导后分析其特殊情况结合题中图像判断,利用排除法求解即可.
【详解详析】
对于A，，则，，所以在处取得极值，而点在直线上方，与图不符，排除A；
对于B，，因为，与图不符，排除B；
对于C，，当时，，与图不符，排除C；
故选:D
2．下列导数运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
，故错误；，故B错误；，故C正确；，故D错误．
【详解详析】
，故错误；
，故B错误；
令，，因为，，所以，故C正确；
，故D错误．
故选：C
3．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
函数两边同时求导得，即可求，再由解析式求.
【详解详析】
，则，可得
∴，故.
故选：C
4．已知函数，其导函数记为，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
【标准答案】A
【思路指引】
函数，分析其性质可求的值 ，再求并讨论其性质即可作答.
【详解详析】
由已知得，
则，显然为偶函数.
令，显然为奇函数.
又为偶函数，所以，，
所以.
故选：A.
5．设，，，…，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
分别计算，，，，得出规律，进而可得结果.
【详解详析】
∵，
∴，
，
，
，
通过以上过程可以看出满足以下规律：对任意，，
故，
故选：A.
6．已知函数，则（ ）
A．0 B．2 C．2021 D．2022
【标准答案】B
【思路指引】
求可得为偶函数，可得，计算可得定值，即可求解.
【详解详析】
因为，
，
即，所以是偶函数，所以，
又因为
，
所以，
故选：B.
7．若函数，，则a=( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【标准答案】D
【思路指引】
利用求导法则求出，然后结合已知条件即可求解.
【详解详析】
由，得，
又，所以，则．
故选：D.
8．已知是函数的导数，且对任意的实数都有，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
构造新函数，求出后由导函数确定，注意可得，从而得出的解析式，然后解不等式即可．
【详解详析】
设，，
因为，所以，
所以．
因此，，所以，
，
不等式即为 ，，解得或．
故选：D．
9．已知函数，为的导函数，则（ ）
A．0 B．2021 C．2022 D．6
【标准答案】D
【思路指引】
令，判断、的奇偶性，借助奇偶性计算即可作答.
【详解详析】
依题意，的定义域为R，令，则，
即是奇函数，有，则，
又，且有，即是偶函数，，
所以.
故选：D
10．已知函数是定义在上的偶函数，且为奇函数.若，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
由题可得函数的周期为4，可求，利用可得，可求，即得切线方程.
【详解详析】
∵函数是定义在上的偶函数，且为奇函数，
∴，
∴，
∴，
∴函数的周期为4，
令可得即
∴，
由得，
∴，又
∴，
∴曲线在点处的切线方程为即.
故选：D.
二、填空题
11．若点是曲线上一点，直线l为点P处的切线，则直线l的方程为_____．
【标准答案】
【思路指引】
首先求出点，然后根据导数的几何意义即可求出切线方程.
【详解详析】
因为点是曲线上一点，
所以
所以点
因为
所以斜率
所以线l的方程为，即：.
故答案为：
12．关于函数头有如下四个命题：
①函数的图象是轴对称图象；
②当时，函数有两个零点；
③函数的图象关于点中心对称；
④过点且与曲线相切的直线有两条．
其中所有真命题的序号是______（填上所有正确的序号）．
【标准答案】①③④．
【思路指引】
对①求出导函数是二次函数，可直接判断；对②利用导数研究函数图象与性质即可判断与轴的交点个数；对③根据对称中心的概念即可判断；对④根据题意转化为有两个解，即可求解.www.21-cn-jy.com
【详解详析】
因为，所以对称轴是，故①正确；
因为时，所以在上单调递减；时或，所以在上单调递增，
所以的极大值为，极小值为，因为，
则函数有1个零点，故②错误；
，，
所以函数函数的图象关于点中心对称，故③正确；
设切点为，所以，
所以切线方程为，
因为经过点，所以，
即，解得或，此时方程有两个解，
过点且与曲线相切的直线有两条，故④正确；
故答案为：①③④．
13．定义在上的函数满足，的导函数，则___________.
【标准答案】
【思路指引】
对两边同时求导得,进而得答案.
【详解详析】
因为，
两边同时求导可得：，
故.
故答案为：
【名师指路】
本题考查复合函数导数问题，解题的关键在于根据已知对函数求导，考查运算求解能力，是中档题.
14．函数在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到，然后两边同时求导得，于是，用此法探求的导数_________.2·1·c·n·j·y
【标准答案】
【思路指引】
根据所给运算法则，直接进行求导即可.
【详解详析】
两边取对数可得：，
两边求导可得：，
所以.
故答案为：.
15．若曲线在处的切线方程为，则_______.
【标准答案】
【思路指引】
对函数求导后，代入，其结果等于切线的斜率，即可求出的值.
【详解详析】
因为，所以，
令，得切线的斜率为，
又因为曲线在处的切线方程为，
所以，解得.
故答案为:
16．已知函数是定在R上的奇函数，当时，，则=____________.
【标准答案】
【思路指引】
由题知导函数为偶函数，进而根据函数奇偶性求解即可.
【详解详析】
因为函数是定在R上的奇函数，,
所以,所以,即，
所以导函数为偶函数，
当时，，，所以，
所以
故答案为：
17．已知直线与曲线相切，则实数的值为__________．
【标准答案】
【思路指引】
根据给定条件设出切点坐标，借助切点位置及导数的几何意义列出方程组求解即得.
【详解详析】
依题意，设切点坐标为，由求导得：，
于是得，即，解得：，
所以实数的值为.
故答案为：
18．已知函数，若是奇函数，则______．
【标准答案】
【思路指引】
首先利用复合函数求导法则求出，然后利用辅助角公式化简，根据奇函数性质可得到，最后结合的范围即可求解.【来源：21·世纪·教育·网】
【详解详析】
因为，
所以，
若为奇函数，则，即，
所以，
又因为，所以．
故答案为：.
19．写出一个同时具有下列性质①②的函数___________.①；② 是偶函数.
【标准答案】 （答案不唯一）
【思路指引】
求出的周期为，再写出一个符合题意的函数即可求解.
【详解详析】
由可得，，
所以周期为，
如函数满足周期为，且是偶函数，
所以，符合题意，
故答案为：（答案不唯一）.
20．若函数同时满足：（i）为奇函数；（ii）定义域为，值域为；（iii）对任意且，总有，则称函数具有性质.写出一个具有性质的函数___________.21世纪教育网版权所有
【标准答案】（答案不唯一）.
【思路指引】
根据（i）可知是偶函数，根据（iii）结合函数单调性的定义可知在上单调递增，写出一个符合性质（i）（ii）（iii）的函数即可.21cnjy.com
【详解详析】
由可得，
不妨设，则，可得，
所以在上单调递增，
因为为奇函数，所以是偶函数，且定义域为，值域为，
作函数的图象如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
图象关于轴对称，是偶函数，满足（i）为奇函数；
满足（ii）定义域为，值域为；在上单调递增，满足（iii），
所以具有性质，写出一个具有性质的函数可以是，
故答案为：（答案不唯一）.
三、解答题
21．求下列函数的导数：
（1）y＝xsin2x；
（2）y＝；
（3）y＝；
（4）y＝cos x·sin 3x.
【标准答案】（1）sin2x＋xsin 2x；（2）；（3）；（4）－sin xsin 3x＋3cos xcos 3x.21·世纪*教育网
【思路指引】
（1）利用积的导数的运算法则计算；
（2）利用商的导数的运算法则计算；
（3）利用商的导数的运算法则计算；
（4）利用积的导数的运算法则计算.
【详解详析】
(1)y′＝(x)′sin2x＋x(sin2x)′＝sin2x＋x·2sin x·(sin x)′＝sin2x＋xsin 2x.www-2-1-cnjy-com
(2)y′＝＝.
(3)y′＝
＝
＝.
(4)y′＝(cos x·sin 3x) ( http: / / www.21cnjy.com )′＝(cos x)′sin 3x＋cos x(sin 3x)′＝－sin xsin 3x＋3cos xcos 3x.2-1-c-n-j-y
22．写出下列各函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则，求出函数的导数．
（1）y＝；（2）；（3）；（4）．
【标准答案】（1）中间变量： 函数的导数：
（2）中间变量： 函数的导数：
（3）中间变量： 函数的导数：
（4）中间变量： 函数的导数：
【思路指引】
根据基本初等函数来寻找中间变量，再结合基本初等函数和符合函数的求导法则进行运算即可.
【详解详析】
解：（1）引入中间变量．
则函数是由函数与复合而成的．
查导数公式表可得，．
根据复合函数求导法则可得．
（2）引入中间变量，
则函数是由函数与复合而成的，查导数公式表可得，．
根据复合函数求导法则可得
（3）引入中间变量，
则函数是由函数与复合而成的，
查导数公式表得，，
根据复合函数求导法则可得
（4）引入中间变量，
则函数是由函数与复合而成的.
查导数公式表可得，．
根据复合函数求导法则可得
．
23．求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）.
【标准答案】
（1）；
（2）；
（3）.
【思路指引】
（1）利用复合函数的求导法则，根据乘法公式的求导法则及基本函数的导数公式求导函数.
（2）利用复合函数的求导法则，根据乘法公式的求导法则及基本函数的导数公式求导函数.
（3）利用复合函数的求导法则及基本初等函数的导数公式求导函数.
（1）
.
（2）
.
（3）
由，
∴.
24．求曲线在点处的切线与x轴、直线所围成的三角形的面积.
【标准答案】.
【思路指引】
利用复合函数的求导法则可得，结合题设写出曲线在处的切线方程，进而确定与x轴、直线的交点，即可求三角形的面积.21*cnjy*com
【详解详析】
设，则，
∴，
∴曲线在点处的切线方程为，即，
∴切线与x轴的交点是，与直线的交点是，
∴所围成的三角形的面积为.
25．已知函数，，的导函数是，，，求的值.
【标准答案】8.
【思路指引】
由题设对求导得，问题转化为，交点横坐标的和，应用数形结合的方法并结合图象的对称性求即可.
【详解详析】
当时，有；
令，则，设，，
则，的图象均关于点对称，作出函数，的大致图象如图所示.
( http: / / www.21cnjy.com / )
由图可知，函数，在上的图象共有8个交点，
综上，.
26．求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
【标准答案】
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【思路指引】
（1）根据多项式求导法则计算；
（2）根据导数运算法则计算；
（3）根据导数运算法则计算；
（4）根据导数运算法则计算；
（5）根据导数运算法则计算；
（1）
；
（2）
（3）
．
（4）
（5）
．
27．求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【标准答案】
（1）
（2）
（3）
（4）
【思路指引】
（1）根据导数的运算法则计算．
（2）根据导数的运算法则计算．
（3）根据导数的运算法则计算．
（4）根据导数的运算法则计算．
（1）
（2）
（3）
（4）
．
28．求下列函数的导数：
（1）；
（2）.
【标准答案】
（1）
（2）
【思路指引】
（1）先化简，再由导数的运算法则求解即可；
（2）由导数的运算法则和复合函数的运算法则求解即可
（1）
因为，
所以
（2）
因为，
所以
29．求下列函数的导数．
（1）
（2）
（3）；
（4）
（5）
（6）．
【标准答案】
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【思路指引】
直接利用导数的运算法则、基本初等函数的导数公式以及简单复合函数的导数计算法则求解．
（1）
解：，；
（2）
解：因为，所以
（3）
解：因为，所以
（4）
解：因为，所以
（5）
解：因为，所以
（6）
解：因为，所以
30．求下列函数的导数：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【标准答案】
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【思路指引】
根据基本初等函数的导数公式及复合函数的导数运算法则计算可得；
（1）
解：因为，所以
（2）
解：因为，所以
（3）
解：因为，所以
（4）
解：因为，所以
（5）
解：因为，所以
（6）
解：因为，所以
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本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。21世纪教育网版权所有
思路设计：重在培优训练， ( http: / / www.21cnjy.com )分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21cnjy.com
进阶4：简单复合函数的导数重点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．已知的导函数的图像如右图所示，则的解析式可能是（ ）
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A． B．
C． D．
2．下列导数运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，其导函数记为，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
5．设，，，…，，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数，则（ ）
A．0 B．2 C．2021 D．2022
7．若函数，，则a=( )
A．0 B．1 C．2 D．3
8．已知是函数的导数，且对任意的实数都有，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知函数，为的导函数，则（ ）
A．0 B．2021 C．2022 D．6
10．已知函数是定义在上的偶函数，且为奇函数.若，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．若点是曲线上一点，直线l为点P处的切线，则直线l的方程为_____．
12．关于函数头有如下四个命题：
①函数的图象是轴对称图象；
②当时，函数有两个零点；
③函数的图象关于点中心对称；
④过点且与曲线相切的直线有两条．
其中所有真命题的序号是______（填上所有正确的序号）．
13．定义在上的函数满足，的导函数，则___________.
14．函数在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到，然后两边同时求导得，于是，用此法探求的导数_________.21教育网
15．若曲线在处的切线方程为，则_______.
16．已知函数是定在R上的奇函数，当时，，则=____________.
17．已知直线与曲线相切，则实数的值为__________．
18．已知函数，若是奇函数，则______．
19．写出一个同时具有下列性质①②的函数___________.①；② 是偶函数.
20．若函数同时满足：（i）为奇函数；（ii）定义域为，值域为；（iii）对任意且，总有，则称函数具有性质.写出一个具有性质的函数___________.21·cn·jy·com
三、解答题
21．求下列函数的导数：
（1）y＝xsin2x；
（2）y＝；
（3）y＝；
（4）y＝cos x·sin 3x.
22．写出下列各函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则，求出函数的导数．
（1）y＝；（2）；（3）；（4）．
23．求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）.
24．求曲线在点处的切线与x轴、直线所围成的三角形的面积.
25．已知函数，，的导函数是，，，求的值.
26．求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
27．求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
28．求下列函数的导数：
（1）；
（2）.
29．求下列函数的导数．
（1）
（2）
（3）；
（4）
（5）
（6）．
30．求下列函数的导数：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
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