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进阶5：利用导数研究函数的单调性重难点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．若，则一定有（ ）
A．
B．
C．
D．
2．函数的图象大致为（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．若函数在上为单调增函数，则m的取值范围（ ）
A． B． C． D．
4．已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有．且为奇函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．设函数f(x)=若函数g(x)=f(x)–b有两个零点，则实数b的取值范围是（ ）
A．(–，0) B．(–，0]
C．(–，0]∪(1，+∞) D．(–，1)
6．如图，函数的部分图像大致为（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / )B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
7．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
8．设函数的导函数是，且恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数（且为常数），的图象与的图象关于对称，且为奇函数，则不等式的解集为（ ）21世纪教育网版权所有
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知函数是定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为___________.
12．函数是R上的单调递增函数，则a的取值范围是______．
13．若对任意的，，且当时，都有，则的最小值是________.
14．已知函数的定义域为，，若对于任意的都有，则当时，不等式的解集为_________．21教育网
15．已知函数，则函数的零点个数为__________.
16．已知函数，若，则实数的取值范围是_____
17．已知函数是定义在上的偶函数，当时，(是自然对数的底数)，则的解集为__________21cnjy.com
18．若函数在上有两个零点，则实数的取值范围为___________．
19．已知且且且，则的大小关系为_______________.
20．已知函数，若函数恰有4个不同的零点，则a的取值范围为____________．
三、解答题
21．已知函数；
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；
22．（1）已知函数，试判断函数在区间上的单调性，并说明理由；
（2）已知函数，对于常数，试讨论函数的单调性（无需证明）；
（3）已知函数，若对于函数满足恒成立，求实数a的取值范围．
23．已知常数，，函数，.
（1）当，时，判断函数在区间的单调性；
（2）当时，若关于x的方程恰有两个相异实根，求实数a的取值范围.
24．已知函数；
（1）解方程；
（2）设，，证明：，且；
（3）设数列中，，求的取值范围，使得对任意成立．
25．定义域为D的函数，如果对于区间I内的任意三个数，当时，都有，则称此函数为区间上的“T函数”．21·cn·jy·com
（1）请你写出一个在R上的“T函数”（不需要证明）．
（2）判断幂函数在上是否为“T函数”，并证明你的结论．
（3）若函数在区间上是“T函数”，求实数a的取值范围．
26．如图所示，某校把一块边长为的等边△的边角地辟为生物园，图中把生物园分成面积相等的两部分，在线段上，在线段上(均含端点).www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）设()，，求用表示的函数关系式；
（2）如果是灌溉水管的位置，为了省钱，希望它最短，此时 分别长多少？如果是参观路线，即希望它最长，此时 又分别长多少？2·1·c·n·j·y
27．（1）判断在上的单调性，并证明.
（2）研究函数=+(常数>0)在定义域内的单调性，并说明理由；
28．设是函数的一个极值点.
(1）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；
(2）设，在区间[0，4]上是增函数.若存在使得成立，求的取值范围.
29．已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若，且曲线在点，（1）处的切线与直线垂直．
当时，试比较与的大小；
若对任意，，且，证明：．
30．已知函数的导函数为.
（1）判断的单调性；
（2）若关于的方程有两个实数根，，求证：.
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进阶5：利用导数研究函数的单调性重难点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．若，则一定有（ ）
A．
B．
C．
D．
【标准答案】C
【思路指引】
令，求导判断单调性可判断AB；令，求导判断单调性可判断CD.
【详解详析】
令，则，
当时，，，所以存在，使得，
则在先递减后递增，故无法判断AB.
令，则.
当时，，故在上单调递减，
因为，所以，即，所以.
故选：C.
2．函数的图象大致为（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】A
【思路指引】
结合导函数研究函数的单调性，通过单调性排除不满足的图像，选出答案.
【详解详析】
因为，所以， 因为，所以，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，由此可排除选项，
故选：A.
3．若函数在上为单调增函数，则m的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
求出函数的导函数，进而在上恒成立，然后求出m的范围.
【详解详析】
由函数在上为单调增函数，可得在上恒成立，即在上恒成立，即，令，．所以当时，，所以．
故选：C．
4．已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有．且为奇函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
根据题意构造，结合已知条件，讨论其单调性，再将不等式转化为的不等式，即可利用单调性求解.
【详解详析】
根据题意，构造，则，
且，故在上单调递减；
又为上的奇函数，故可得，
即，则.
则不等式等价于，
又因为是上的单调减函数，故解得.
故选：A.
【名师指路】
关键点点睛：本题考查构造函数法，涉及利用导数研究函数的单调性以及利用函数单调性求解不等式；本题中，根据以及题意，构造是解决问题的关键，属中等偏上题.
5．设函数f(x)=若函数g(x)=f(x)–b有两个零点，则实数b的取值范围是（ ）
A．(–，0) B．(–，0]
C．(–，0]∪(1，+∞) D．(–，1)
【标准答案】C
【思路指引】
根据导数判断函数的单调性，画出函数图象，数形结合即可求出.
【详解详析】
当时，，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，且，
画出的函数图象如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
函数有两个零点，等价于与的函数图象有两个交点，
由图可知或.
故选：C.
6．如图，函数的部分图像大致为（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】D
【思路指引】
根据函数的奇偶性排除AB，再由函数的导数判断出函数在上的单调性即可判断CD.
【详解详析】
，
是奇函数，
图象关于原点成中心对称，
故排除AB,
，
当时，，，
在上单调递减，故排除C.
故选：D
7．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
利用导数研究函数的单调性，f(x)在内存在单调增区间，等价于在上有有解，然后参变分离即可求解﹒【来源：21·世纪·教育·网】
【详解详析】
∵函数在区间内存在单调递增区间，
∴在区间上有解(成立)，
即在区间上成立，
又函数在上单调递增，
∴函数在上单调递增，
故当时，取最小值，即，
即，得．
故选：D﹒
8．设函数的导函数是，且恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
构造函数，利用导函数研究其单调性，求出结果.
【详解详析】
设，则恒成立，所以单调递增，故，即，解得：，即.
故选：D
9．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
对，，取对数，探求它们的结构特征，构造函数()，借助导数判断单调性即可作答.
【详解详析】
对，，取对数得：，，，
令()，，
令，，即在上单调递增，
由得，，于是得，又，
因此，，即在上单调递增，从而得，
即，，所以.
故选：B
【名师指路】
思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，
构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.
10．已知函数（且为常数），的图象与的图象关于对称，且为奇函数，则不等式的解集为（ ）21世纪教育网版权所有
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
根据的图象与的图象关于对称，可求出的表达式，再根据为奇函数求出，从而可知的单调性，即可解出不等式．21·世纪*教育网
【详解详析】
设是函数的图象上任意一点，其关于直线的对称点为在的图象上，
所以，其定义域为，且为奇函数，
所以，即，即，
令，求导
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以当且仅当时，，所以，即，
故，易知函数在上递减，
所以，不等式的的解集为．
故选：C．
二、填空题
11．已知函数是定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为___________.
【标准答案】
【思路指引】
构造函数，分析的奇偶性、单调性，由此化简不等式并求得不等式的解集.
【详解详析】
函数是定义在的奇函数，
构造函数，，
所以为偶函数，
当时，，递减，
当时，递增.
，，
当，即时，，，
.
当，即时，，
.
综上所述，不等式的解集为.
故答案为：
12．函数是R上的单调递增函数，则a的取值范围是______．
【标准答案】
【思路指引】
对求导，由题设有恒成立，再利用导数求的最小值，即可求a的范围.
【详解详析】
由题设，，又在 R上的单调递增函数，
∴恒成立，令，则，
∴当时，则递减；当时，则递增.
∴，故.
故答案为：.
13．若对任意的，，且当时，都有，则的最小值是________.
【标准答案】2
【思路指引】
将变形为，令，利用在上是递增函数求解.
【详解详析】
由题意得：，
所以，
则等价于，
即，
令，则，
又，
所以在上是递增函数，
所以成立，解得
所以，
故的最小值是2，
故答案为：2
14．已知函数的定义域为，，若对于任意的都有，则当时，不等式的解集为_________．21*cnjy*com
【标准答案】
【思路指引】
构造函数，利用导数求出单调性，不等式可化为，即可求解.
【详解详析】
设，则，所以函数在上为增函数.
，
，
即，得，又，，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
15．已知函数，则函数的零点个数为__________.
【标准答案】
【思路指引】
分类讨论，分和，化简函数式后，利用导数研究函数的单调性，根据零点存在定理得零点个数．
【详解详析】
时，是增函数，又，
因此在也即在上存在唯一零点，
时，，，
令，，
时，，递减，时，，递增，
所以，所以时，恒成立，
所以恒成立，即是减函数，
又，，
所以在也即上存在唯一零点
综上，有两个零点，
故答案为：2．
16．已知函数，若，则实数的取值范围是_____
【标准答案】
【思路指引】
先证明为奇函数，在上单调递增，解不等式即得解.
【详解详析】
因为函数的定义域为，
，
所以为奇函数；
又因为，所以函数在上单调递增；
又因为，
所以，所以，即.
故答案为：
17．已知函数是定义在上的偶函数，当时，(是自然对数的底数)，则的解集为__________21cnjy.com
【标准答案】
【思路指引】
证明在上单调递增，在上单调递减，解不等式即得解.
【详解详析】
当时，，此时，
则在上单调递增，又由是偶函数，
所以在上单调递减.
由，得，则，
两边平方整理得，
解得.
故答案为：
18．若函数在上有两个零点，则实数的取值范围为___________．
【标准答案】
【思路指引】
参变分离法得，再令，对函数求导并研究单调性，根据最小值和单调区间，作出函数的图象，利用数形结合，即可求出结果．www.21-cn-jy.com
【详解详析】
令，则，
令，则，
∴在上，递减，在上，递增，且，，．
由，即，
作出函数的图像，如下图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴在上有两个零点，则实数的取值范围为．
故答案为：．
19．已知且且且，则的大小关系为_______________.
【标准答案】
【思路指引】
分析可得，设，利用导数求得的单调性，根据题意可得，，，根据的单调性，即可得答案.
【详解详析】
因为，故，同理，
令，则，
当时，，当时，，
故在为减函数，在为增函数，
因为，故，即，
而，故，同理，，，，
因为，故，
所以.
故答案为：.
20．已知函数，若函数恰有4个不同的零点，则a的取值范围为____________．
【标准答案】
【思路指引】
由分段函数结合导数求出值域，令，结合图象特征采用数形结合法可求a的取值范围.
【详解详析】
，
当时，，函数为减函数；
当时，，，和时，单增，时，单减，，，
故的图象大致为：
( http: / / www.21cnjy.com / )
令，则，
，
当时，，，无零点；
当时，，，无零点；
当时，，，，则，
要使恰有4个不同的零点，则，
( http: / / www.21cnjy.com / )
即.
故答案为：
三、解答题
21．已知函数；
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；
【标准答案】（1）当a＝0时，偶函数；当a≠0时，既不是奇函数也不是偶函数；（2）
【思路指引】
（1）为偶函数，欲判函数的奇偶性，只需判定的奇偶性，讨论a就可判定；
（2）将上是增函数的问题转化为导函数在上大于等于零恒成立即可.
【详解详析】
解：（1）当a＝0时，，
对，有，
∴为偶函数．
当a≠0时，，
取，得，，
．
∴函数既不是奇函数也不是偶函数．
（2），21·cn·jy·com
若函数在上是增函数，
则在上恒成立，
又由恒成立可得恒成立，
因为，
所以.
22．（1）已知函数，试判断函数在区间上的单调性，并说明理由；
（2）已知函数，对于常数，试讨论函数的单调性（无需证明）；
（3）已知函数，若对于函数满足恒成立，求实数a的取值范围．
【标准答案】（1）单调递减；（2）当时，函数在和上递增，在上递减，当时，在上递增；（3）.2-1-c-n-j-y
【思路指引】
（1）由导函数的正负确定函数的单调性；
（2）化简函数，结合（1）中函数的单调性与的单调性可得的单调性；
（3）作出函数的图象，问题转化为不等式恒成立，由二次函数性质可得．
【详解详析】
（1），
当或时，，时，，
所以在和上单调递增，在上单调递增，
所以函数在区间上是减函数．
（2），
由（1）知在和上单调递增，在上单调递增，
而的导函数为，函数在上是增函数，
因此当时，函数在和上递增，在上递减，当时，在上递增；
（3）由（2）知在和上递增，在上递减，
，
作出的图象，如图，恒成立，由图可知，否则把图象向右平移不可能满足题意，只要把的图象向左平移到函数的图象上方即满足题意，
所以恒成立，
整理得恒成立，
，因为，故解得．
( http: / / www.21cnjy.com / )
23．已知常数，，函数，.
（1）当，时，判断函数在区间的单调性；
（2）当时，若关于x的方程恰有两个相异实根，求实数a的取值范围.
【标准答案】（1）增函数；（2）.
【思路指引】
（1）求导数，确定导数的正负可得单调性；
（2）问题转化为在上有两个解，再转化为直线与函数图象在上有两个交点，通过研究函数的性质可得．
【详解详析】
（1）由题意，，当时，，
所以在上是增函数；
（2）由对数运算法则得在上有两个解，即，
直线与的图象在上有两个交点．
设，则，，
，，，，所以．
【名师指路】
易错点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，考查方程根的个数问题，解题方法是把方程的根转化为直线与函数图象交点个数问题，解题关键是注意自变量的取值范围．否则会出错．【出处：21教育名师】
24．已知函数；
（1）解方程；
（2）设，，证明：，且；
（3）设数列中，，求的取值范围，使得对任意成立．
【标准答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.
【思路指引】
（1）根据对数的运算性质得，解出x可得答案；
（2）令，判断的单调性得出的值域，根据对数的运算性质化简即可证明；
（3）利用（2）中的结论得出与的关系，判断出的周期，分别用表示，，，根据的单调性得出，从而求出的范围，进而解出.
【详解详析】
（1）由得，即，
所以，解得，所以方程的解为.
（2）令，则，
因为，所以，所以在上是单调递增函数，
又，，
所以，即，
，
，
所以，即.
（3）因为的定义域为，，
所以为奇函数，因为，
所以，由
当为奇数时，，
所以，
当为偶数时，，
所以，
所以，
，
，
，
，
，
所以，
设，则，
所以在上是增函数，所以在上是增函数，
因为对任意成立，
所以恒成立，
所以，即，
解得，即，，解得.
【名师指路】
本题考查了对数的运算性质，复合函数的单调性，不等式的解法，第3问解题的关键点是利用第2问结论得出与的关系，判断出的周期，分别用表示，，，对问题进行转化，考查了学生的运算求解能力.www-2-1-cnjy-com
25．定义域为D的函数，如果对于区间I内的任意三个数，当时，都有，则称此函数为区间上的“T函数”．21教育名师原创作品
（1）请你写出一个在R上的“T函数”（不需要证明）．
（2）判断幂函数在上是否为“T函数”，并证明你的结论．
（3）若函数在区间上是“T函数”，求实数a的取值范围．
【标准答案】（1）；（2）证明见详解；（3）
【思路指引】
（1）结合所学函数找出符合T函数的定义的函数即可.
（2）根据T函数定义判断条件是否满足即可得出结论.
（3）根据T函数定义，建立条件关系，转化为参数恒成立即可得出结论.
【详解详析】
（1）
（2）幂函数在上是“T函数”，证明如下：
证明：设，，，
若时，都有，
则，即斜率存在且不断增大，而在上单调递增的函数，
且随着的增大，增加的越来越快，即是下凸函数，斜率增加的越来越快，
故幂函数在上是“T函数”.
（3）因为函数在区间上是“T函数”，
所以的单调递增区间，
所以的解集为，
当时，得恒成立，故，
当时，得恒成立，故，
所以实数a的取值范围.
【名师指路】
关键点点睛：本题考查了函数的性质，利用T函数的定义是解决本题的关键，考查了学生的计算能力以及分类讨论的数学思想.2·1·c·n·j·y
26．如图所示，某校把一块边长为的等边△的边角地辟为生物园，图中把生物园分成面积相等的两部分，在线段上，在线段上(均含端点).【版权所有：21教育】
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）设()，，求用表示的函数关系式；
（2）如果是灌溉水管的位置，为了省钱，希望它最短，此时 分别长多少？如果是参观路线，即希望它最长，此时 又分别长多少？21*cnjy*com
【标准答案】（1），；（2）最短，；最长，，.
【思路指引】
（1）根据题意得，进而得，故，.
（2）结合（1），根据余弦定理得，，令，则，设，，利用导数研究函数的单调性得函数在上单调递减，在上单调递增，即可求解
【详解详析】
解：（1）由于正△的面积为，
所以，
所以，
由于，，
所以，
故，.
（2）由余弦定理得：
，.
令，则，
设，，
所以，令得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
又因为，，，
所以当，即时，取最小值，即取最小值，此时；
当或时，即或时，取最大值，即取最大值，此时或.
【名师指路】
本题考查利用导数研究实际问题，余弦定理解三角形，考查运算能力，是中档题.
27．（1）判断在上的单调性，并证明.
（2）研究函数=+(常数>0)在定义域内的单调性，并说明理由；
【标准答案】（1）递减，证明见解析；（2）单调递增区间和，单调递减区间为和，理由见解析.
【思路指引】
（1）先判断在上的单减，再用定义法证明；
（2）利用导数研究=+(常数>0)在定义域内的单调性.
【详解详析】
（1）在上单调递减，下面进行证明：
任取且，则
∵，∴∴
∴
即
∴在上单调递减；
（2）=+的定义域为
当时，令，解得；令，解得；
当时，令，解得；令，解得；
所以=+(常数>0)的单调递增区间和，单调递减区间为和
【名师指路】
证明函数单调性的方法：
（1）定义法；（2）导数法.
28．设是函数的一个极值点.
(1）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；
(2）设，在区间[0，4]上是增函数.若存在使得成立，求的取值范围.
【标准答案】（1）见解析
（2）a的取值范围是．
【详解详析】
试题分析：(1）由是函数的一个极值点,可得 ,从而就可用用表示出 来；这样就可以用a的代数式将表达出来，令其等于零解得两个实根，注意由已知这两个实根应该不等而得到：a≠－4 ，然后通过讨论两根的大小及 的符号就可确定函数的单调区间；(2）由（1）可求得当当a>0时，在区间[0，4]上的最大值和最小值，由已知也可求得在区间[0，4]上的最大值的最小值；而存在使得成立等价于，解此不等式就可求得的取值范围.21教育网
试题解析：(1）f `(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a ]e3－x,
由，得 －[32＋(a－2)3＋b－a ]e3－3＝0，即得b＝－3－2a，
则 f `(x)＝[x2＋(a－ ( http: / / www.21cnjy.com )2)x－3－2a－a ]e3－x＝－[x2＋(a－2)x－3－3a ]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x.
令f `(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是极值点，所以，那么a≠－4.
当a<－4时，x2>3＝x1，则
在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；
在区间（3，―a―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；
在区间（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数.
当a>－4时，x2<3＝x1，则
在区间（－∞，―a―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；
在区间（―a―1，3）上，f (x)>0，f (x)为增函数；
在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数.
(2）由（Ⅰ）知，当a>0时，f ( http: / / www.21cnjy.com ) (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min{f (0)，f (4) }，f (3)]，【来源：21cnj*y.co*m】
而f (0)＝－（2a＋3）e3<0，f (4)＝（2a＋13）e－1>0，f (3)＝a＋6，
那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e3，a＋6].
又在区间[0，4]上是增函数，
且它在区间[0，4]上的值域是[a2＋，（a2＋）e4]，
由于（a2＋）－（a＋6）＝a2－a＋＝（）2≥0，所以只需且仅须
(a2＋）－（a＋6）<1且a>0，解得0
故a的取值范围是（0，）.
考点：1.函数的单调性与极值;2.函数的最值与不等式的存在成立.
29．已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若，且曲线在点，（1）处的切线与直线垂直．
当时，试比较与的大小；
若对任意，，且，证明：．
【标准答案】
（1）的增区间是，减区间是；
（2）；证明见解析.
【思路指引】
（1）由，求得，分，，讨论求解；
（2）根据曲线在点，（1）处的切线与直线垂直，得到，再用导数法求得m，进而得到，令，用导数法证明；根据对任意，，且，由（1）不妨设，得到，再利用单调性证明.
（1）
解：当时，，
若，则，，
若，则，，
所以的增区间是，减区间是；
（2）
曲线在点，（1）处的切线与直线垂直，
且，
（1），
故，
令，
则，
，
，则在 上递增，
（1），
时，方程有唯一解，
所以；
当时，
令，
则，
在时递增，即，
故时，；
若对任意，，且，
由（1）得：，必一正一负，
不妨设，由得：，
而由（1）得：时，函数在递减，
，即．
30．已知函数的导函数为.
（1）判断的单调性；
（2）若关于的方程有两个实数根，，求证：.
【标准答案】
（1）在上单调递增
（2）证明见解析
【思路指引】
（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，利用导函数的符号变化即可求出函数的单调区间；
（2）将证成立，转化为证成立，即证成立，
即证成立，再构造函数，利用函数的单调性进行证明.
（1）
解：，
令，由，
可得在上单调递减，上单调递增，
所以，
所以在上单调递增；
（2）
解：依题意，，相减得，
令，则有，，
欲证成立，
只需证成立，
即证成立，
即证成立，
令，只需证成立，
令，
即证时，成立
，
令，
则，
可得在内递减，在内递增，
所以，所以，
所以在上单调递增，
所以成立，故原不等式成立.
【名师指路】
利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：如证明不等式（或）可转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
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