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进阶6：利用导数研究函数的极值与最值重难点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．已知函数若函数有三个零点，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
4．在中，内角边分别为，若函数无极值点，则角的最大值是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数在时有极值为，则（ ）
A． B．或 C． D．
6．设函数f（x）＝ex－co ( http: / / www.21cnjy.com )sx－2a，g（x）＝x，若存在x1，x2∈[0，π]使得f（x1）＝g（x2）成立，则x2－x1的最小值为1时，实数a＝（ ）21世纪教育网版权所有
A．－1 B．－
C． D．1
7．声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正 ( http: / / www.21cnjy.com )弦函数模型.纯音的数学模型是函数，通常我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则下列有关函数的结论正确的是（ ）21cnjy.com
A．不是的一个周期
B．在上单调递增
C．的最大值为
D．在上有2个零点
8．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数恒有零点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
10．已知函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．若存在正数，使得，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为______.
12．已知函数，则f（x）的最小值是___________.
13．若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是_________．
14．已知函数，当时，恒有成立，则实数的取值范围为__________.
15．若函数在上存在极小值点，则实数的取值范围为______________.
16．已知函数有且只有一个极值点，则实数a构成的集合是___________.
17．已知函数，分别是的极大值点与极小值点，若且，则______．
18．设函数，若，则函数的所有极大值之和为_____.
19．已知函数，对于任意，恒成立，则整数a的最大值为___________.
20．定义在上的函数满足，，则下列说法正确的是________.
（1）在处取得极小值，极小值为
（2）只有一个零点
（3）若在上恒成立，则
（4）
三、解答题
21．已知函数，．
(1)当为自然对数的底数）时，求的极小值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若，证明：对于任意，．
22．已知函数，是的极值点．
(1)求的值；
(2)设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线为直线．求证：曲线上的点都不在直线的上方；21教育网
(3)若关于的方程有两个不等实根，，求证：．
23．已知函数，．
(1)求的最小值；
(2)求证：；
(3)若，求的最小值．
24．已知函数，为的导函数．
(1)讨论在区间内极值点的个数；
(2)若，时，恒成立，求整数的最小值．
25．已知函数．
(1)若，讨论的单调性．
(2)若有三个极值点，，．
①求的取值范围；
②求证：．
26．已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若在区间上恒成立，求实数a的取值范围．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．已知函数若函数有三个零点，则（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
将问题转化为与图象有三个交点，分析分段函数的性质并画出图象，即可确定k的范围.
【详解详析】
由题意，与图象有三个交点，
当时，，则，
∴在上，递增，在上，递减，
∴时，有最大值，且在上，在上.
当时，单调递增，
∴图象如下
∴由图知：要使函数有三个零点，则.
故选：C.
2．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
求出函数在时值的集合， 函数在时值的集合，再由已知并借助集合包含关系即可作答.
【详解详析】
当时，在上单调递增，，，则在上值的集合是，
当时，，，
当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，
，，则在上值的集合为，
因函数的值域为，于是得，则，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D
3．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
利用导函数的图象，判断导函数的符号，得到函数的单调性以及函数的极值点，然后判断选项即可．
【详解详析】
解：由题意可知：和时，，函数是增函数，
时，，函数是减函数；
是函数的极大值点，是函数的极小值点；
所以函数的图象只能是．
故选：C．
4．在中，内角的对边分别为，若函数无极值点，则角的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
由题知无解或有两个相等的解，
即，再由余弦定理得角的范围．
【详解详析】
解：因为无极值点，
所以无解或有两个相等的解，
所以，
所以，
因为，所以．
故选：D．
5．已知函数在时有极值为，则（ ）
A． B．或 C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
求导，由题意列方程组及不等式，从而解出，的值．
【详解详析】
解：，
由题意，解得，.
此时，，
当时，，当时，，
故函数在时取得极小值，合乎题意.
因此，.
故选：A．
6．设函数f（x）＝ex－cosx－2a，g（x）＝x，若存在x1，x2∈[0，π]使得f（x1）＝g（x2）成立，则x2－x1的最小值为1时，实数a＝（ ）
A．－1 B．－
C． D．1
【标准答案】B
【思路指引】
由f（x1）＝g（x2）得出x2－x1＝ex1－cosx1－x1－2a，利用导数得出函数F（x）＝ex－cosx－x－2a在[0，π]的最小值，从而得出实数a.
【详解详析】
令F（x）＝f（x）－g（x）＝ex－cos x－x－2a，
由f（x1）＝g（x2）得x2＝ex1－cos x1－2a，
则x2－x1＝ex1－cos x1－x1－2a，
则x2－x1的最小值即F（x）在[0，π]上的最小值.
∵F′（x）＝ex＋sin x－1≥0恒成立，x∈[0，π]，
∴F（x）在[0，π]上单调递增，
∴F（x）min＝F（0）＝－2a＝（x2－x1）min＝1，
.
故选：B
7．声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数模型.纯音的数学模型是函数，通常我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则下列有关函数的结论正确的是（ ）
A．不是的一个周期
B．在上单调递增
C．的最大值为
D．在上有2个零点
【标准答案】C
【思路指引】
根据题意，结合周期函数的定义判断A；求导，根据导数研究函数的单调性判断B；结合导数与函数最值得关系判断C；结合正弦的二倍角公式直接解判断D.
【详解详析】
解:由于，
所以是函数的一个周期，故A不正确.
对于B选项，当时，，
由，得，所以或；
由，得，所以，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减，故B错误.
对于C选项，由B选项讨论得为函数的极大值点，为函数的极小值点，
且，，所以，故C正确.
对于D选项，由得，得或，当时，或或，则在上有3个零点，故D错误.
故选：C
8．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
首先求出函数的导函数，依题意可得有两个不等的正实根，参变分类可得有两个不等的正实根，设，利用导数说明函数的单调性与最值，即可求出参数的取值范围；
【详解详析】
解：因为，，所以，所以有两个不等的正实根，
即有两个不等的正实根，
设，
则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
时，为极大值也是最大值，时，，且，
当时，，所以当，即时，直线与的图象有两个交点，即有两个不等实根．
故选：B
9．已知函数恒有零点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
函数有零点转化为方程恒有解，换元后化为方程恒有解，令，利用导数求出函数的最大值，即可求解.
【详解详析】
令
得：，
令，则，
，
即，
，
令，
则，
由恒成立知，
当时，， 单调递增，
当时，， 单调递减，
时，，
时方程恒有根，
即，
故选：D
10．已知函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
先研究时，的单调性和极值，画出分段函数的图象，换元后数形结合转化为二次函数根的分布情况，列出不等式组，求出实数的取值范围.
【详解详析】
当时，，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
则时，.当时，.
作出大致图象，函数恰有5个不同零点，
即方程恰有5个根.令，则需方程.
（l）在区间和上各有一个实数根，令函数，
则解得.
（2）方程（*）在和各有一根时，则
即无解.
（3）方程（*）的一个根为6时，可得，验证得另一根为，不满足.
（4）方程（*）的一个根为1时，可得，可知不满足.
综上，.
故选：A
【名师指路】
复合函数与分段函数结合问题，要利用数形结合思想和转化思想，这道题目中要先研究出分段函数的图象，再令，换元后转化为二次函数根的分布问题，接下来就迎刃而解了.
二、填空题
11．若存在正数，使得，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为______.
【标准答案】
【思路指引】
条件化为，令，，构造函数，利用导数求得函数最大值，从而将问题转化为即可.
【详解详析】
条件等式两边同除以y得，，
令，，函数，
则，易知单减，且，
则函数在上，，函数单增；在上，，函数单减；
且，，
因此若存在正数，使得，即.
故答案为：
12．已知函数，则f（x）的最小值是___________.
【标准答案】
【思路指引】
先将表示成分段函数的形式，再分别求出各段的最小值，最后取最小的一个即可.
【详解详析】
因为函数，，所以=
当时，，由解得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以；
当时，，，单调递增，此时无最小值.
所以，f（x）的最小值是
故答案为：
13．若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是_________．
【标准答案】
【思路指引】
由导函数求得极大值，利用极大值点在区间上，且的极大值可得参数范围．
【详解详析】
，
或时，，时，，
所以在和上都递增，在上递减，
，
在区间上有最大值，则，解得．
故答案为：．
14．已知函数，当时，恒有成立，则实数的取值范围为__________.
【标准答案】
【思路指引】
先求出的奇偶性和单调性，再利用奇偶性和单调性解不等式，参变分离后转化为在恒成立，换元后求出取值范围.
【详解详析】
定义域为R，且，故为奇函数，且
恒成立，故单调递减，因为，故，根据函数单调递减，可得：，整理得：，所以题干条件等价于在恒成立，令，则，设，，则，因为，所以，故，所以在上单调递减，所以，所以，解得：
故答案为：
15．若函数在上存在极小值点，则实数的取值范围为______________.
【标准答案】
【思路指引】
求出函数的导函数，根据题意可得或，解之即可得解.
【详解详析】
解：，
因为在上存在极小值点，
所以或，解得或无解，
故实数的取值范围为.
故答案为：.
16．已知函数有且只有一个极值点，则实数a构成的集合是___________.
【标准答案】
【思路指引】
求出函数的导数，利用函数的极值与导函数关系将问题转化为直线与函数的图象有一个交点，构造新函数，求导分析新函数，数形结合得到的范围．
【详解详析】
当时，函数，因为，所以函数没有极值点；
当时，，令，
得，．
设，．
当时，得；当时，得或，
所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增．
又当时，，时，，，
所以的大致图像为：
因为函数有且只有一个极值点，
所以直线与函数的图象有一个交点，所以或．
又当时，
令所以当时，，单增，当时，，单减，所以的最大值为，所以，即
所以无极值，所以．
故答案为：．
17．已知函数，分别是的极大值点与极小值点，若且，则______．
【标准答案】2
【思路指引】
求导得函数在和上单调递增，在上单调递减，故，在根据且得，故，进而得答案.
【详解详析】
解：，所以，
令得，
所以当时，，当时，，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
所以，
因为，
所以，即，
所以，
因为，
所以，所以
故答案为：.
18．设函数，若，则函数的所有极大值之和为_____.
【标准答案】
【思路指引】
对函数求导得到函数的单调性，进而得到函数的极大值点和极大值，再由等比数列求和公式得到结果.
【详解详析】
∵.
∴当时，递增；时，递减，
当时，取极大值，其极大值为，
极值点的定义：当点的左右两侧的导函数值为异号，即在点两侧的单调性相反，此时称这个点的横坐标为极值点， 和所对应的点均不符合这一定义，故对应的点不是极值点，又，故，
∴的各极大值之和.
故答案为：.
【名师指路】
关键点点睛：极值点即导函数的零点，但必须为变号的零点，即零点两侧正负相反；极值即将极值点代入原函数取得的函数值．
19．已知函数，对于任意，恒成立，则整数a的最大值为___________.
【标准答案】0
【思路指引】
根据题意，知，令，则原问题转化为，恒成立，结合导数，判断单调性求出最值，即可求解.
【详解详析】
由题意得，，
令，易知，则，恒成立.
令，由，得，
因此在上单调递减，在上单调递增，
故，因此，
因为且，故，
因为，所以.
下证：.
即证，易证：，
所以，
由，
得在上递减，在上递增，因此，故，
故.
故答案为：0
【名师指路】
导数求参数常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
20．定义在上的函数满足，，则下列说法正确的是________.
（1）在处取得极小值，极小值为
（2）只有一个零点
（3）若在上恒成立，则
（4）
【标准答案】（2）（3）（4）
【思路指引】
对于（1），根据，，求，求出，根据极值定义进行判断；对于（2），根据单调性和零点定义，结合图像判断；对于（3），若在上恒成立，即，通过构造函数求最值，进行判断；对于（4），根据单调性，和对数比较大小，进行判断.
【详解详析】
对于（1），，且，可得，可得，故为常数.，可得，求得：.故：，整理可得：，，，
当，即，解得：，，即单调递增，
当，即，解得，
当，即，解得：，，即单调递减，取得极大值，，故（1）错误.
对于（2），，画出草图：如图
根据图象可知：中有一个零点，故（2）说法正确；
对于（3），要保证在上恒成立，即：保证在上恒成立，，可得在上恒成立，故只需，令，当时，，当时，，当，. ，故（3）说法正确.
对于（4），根据，单调递增，
，单调递减，，可得，又，，
根据，，故 ，故（4）说法正确.
故答案为：（2）（3）（4）.
【名师指路】
本题主要考查了根据导数求函数的单调性和极值，及其最值问题，解题关键是掌握导数求极值的方法和构造函数解决不等式恒成立的步骤，考察了分析能力和计算能力，属于难题.
三、解答题
21．已知函数，．
(1)当为自然对数的底数）时，求的极小值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若，证明：对于任意，．
【标准答案】(1)极小值；
(2)答案见解析；
(3)证明见解析
【思路指引】
（1）利用导数研究函数的单调性，进而求得极值；
（2）求导，分类讨论参数和研究函数的单调性；
（3）由（2）知，当时，函数在上单调递减，结合单调性的定义知，即可证得结论.
(1)
当时，，的定义域为，
求导，令，得
当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；
所以，当时，取得极小值．
(2)
由已知，
求导，
（1）当时，，函数在上单调递减；
（2）当时，令，得
当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
综上可知，当时，函数在上单调递减；
当时，函数在和上单调递减；在上单调递增；
(3)
证明：由（2）知，当时，函数在上单调递减，
所以，当时，对任意，，即
即对任意，．
22．已知函数，是的极值点．
(1)求的值；
(2)设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线为直线．求证：曲线上的点都不在直线的上方；
(3)若关于的方程有两个不等实根，，求证：．
【标准答案】(1)3
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【思路指引】
（1）利用导数的几何意义即可求解；
（2）由（1）可得曲线在点处的切线：. 令，，则，由的单调性可得，从而可得结论成立；
（3）设方程的解为，构造新函数，，利用导数研究函数的单调性，进而可得，结合与交点的横坐标，求出即可.
(1)
；由题意知，，；
(2)
证明：设曲线在，处切线为直线；
令；
；
；
在上单调递增，在，上单调递减；
；
，即，即上的点都不在直线的上方；
(3)
由（2）设方程的解为；
则有，解得；
由题意知，；
令，；
；
在上单调递增；
；
的图象不在的下方；
与交点的横坐标为；
则有，即；
；
关于的函数在上单调递增；
．
【名师指路】
利用导数解决函数综合问题的过程中，难度较大，解决问题的基础是函数的单调性，通过函数的单调性得到函数的极值、最值，然后再结合所求问题逐步求解．
证明两函数图象间的位置关系时，可通过构造函数，通过判断出函数的单调性，进而转化为函数最值的问题处理．
23．已知函数，．
(1)求的最小值；
(2)求证：；
(3)若，求的最小值．
【标准答案】(1)1
(2)证明见解析
(3)
【思路指引】
（1）求出原函数的定义域，再求出原函数的导函数，由导函数大于0求得原函数的增区间，由导函数小于0求得原函数的减区间，从而得到函数的最小值；
（2）由（1）求得函数的最小值，再由导数求得函数的最大值，则结论得证；
（3）由分离变量，利用导数可得，则．设．求导求其最小值，则的最小值可求．
(1)
解：的定义域是，
，
令，解得：，
令，解得：，
在上单调递减，在上单调递增，
的最小值是；
(2)
证明：，，
令，解得：，令，解得：，
故在上单调递增，在上单调递减，
故，
由（1），
故；
(3)
解：，即．
，
令，，
若，则，为增函数，无最大值；
若，由，得，由，得，
在上为增函数，在上为减函数，
．
，
．
设．
则，
由，得；由，得．
．
的最小值为.
【名师指路】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
24．已知函数，为的导函数．
(1)讨论在区间内极值点的个数；
(2)若，时，恒成立，求整数的最小值．
【标准答案】(1)答案见解析；
(2)1.
【思路指引】
（1）对函数进行求导得出，令，求导得，对进行分类讨论，利用导数研究函数的单调性和极值，从而求得在区间内极值点的个数；
（2）由，时，恒成立，求得，进而证明时，在，恒成立，利用放缩法得到，设，，，从而得出，利用导数研究函数的单调性和最值，从而证得，即恒成立，由此确定整数的最小值.
(1)
解：由，得，
令，则，
，，，
当时，，单调递增，即在区间内无极值点，
当时，，，故，
故在单调递增，又，，
故存在，使得，且时，，递减，
，时，，单调递增，故为的极小值点，
此时在区间内存在1个极小值点，无极大值点；
综上：当时，在区间内无极值点，
当时，在区间内存在1个极小值点，无极大值点．
(2)
解：若，时，恒成立，则，故，
下面证明时，在，恒成立，
，时，，故时，，
令，，，故，
令，则，在区间，单调递增，
因为，，
所以在上存在零点，
且时，；时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
又，，，
故存在，，使得，且，时，，递增，
，时，，单调递减，故时，取得最大值，且，
，，，故单调递减，
故，时，即成立，
综上，若，时，恒成立，则整数的最小值1．
【名师指路】
思路点睛：本题考查导数与函数极值的关系，利用导数研究函数的单调性和最值，以及利用导数解决不等式恒成立的综合问题：
（1）利用导数解决含有参数的单调性或极值问题，要注意分类讨论和化归思想的应用；
（2）利用导数解决不等式的综合问题的一般步骤是：构造新函数，利用导数研究的单调性和最值，再进行相应证明.
25．已知函数．
(1)若，讨论的单调性．
(2)若有三个极值点，，．
①求的取值范围；
②求证：．
【标准答案】(1)在和上单调递减，在上单调递增
(2)① ；②证明见解析
【思路指引】
（1）求导，根据的导函数与0的关系求出单调区间，
（2）①先求导，，令，再求导，判断根的范围
②利用分析法进行求证，要证：，只要证：，只要证，转化为只要证，求导，判断增减性，问题得以证明．
(1)
解：当时，，，
，
当时，在和上，单调递减，
当时，在上，单调递增，
(2)
①解：，
，
首先，令，则应有两个既不等于0也不等于的根，
求导可得，，
若，则，在，上均为增函数，
且时，；时，，
故在上至多有一个零点，不合题意，舍去，
故，有唯一的根，
当时，，当时，，
所以是的极小值点且为最小值，
要使有两根，只要即可，
由，得，此时，
又由，得，
若时，，
设，则，
故在上为增函数，故即，
取，则时，，
故此时有两个既不等于0也不等于的根，
而，故的两根中，一个大于，另一个小于，
于是在定义域中，连同，共有三个相异实根，并且在这三个根的左右，的正负变号，它们就是的三个极值点，
综上，的取值范围是；
②证明：由①可知有三个极值点，，中，两个是的两根（不妨设为，，其中，另一个为，
要证：．
只要证：，
即只要证明，
因为在上单调递减，其中，
故只要证，其中，
只要证，
而，
只要证，
由，得，由此代入上述不等式，只要证明，
只要证，
令，
当时，，单调递增，而，
所以当时，，
于是证，
即：．
【名师指路】
本题主要考查了导数与函数的单调性和极值的关系，以及利用分析法证明，同时考查了运算能力，分析问题的能力，计算量比较大，属于难题．
26．已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若在区间上恒成立，求实数a的取值范围．
【标准答案】(1)见解析
(2)
【思路指引】
（1）先求定义域，求导后分类讨论，得到函数的单调性；（2）构造，观察到，先用必要性探究得到，即，再充分性证明.
(1)
函数，定义域为
则；
①时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减；
又时，，（）；
②当时，，时，，时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减；
③当时，，时，，时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增；
④当时，，
当和时，，
当时，，
所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增；
⑤当时，，当和时，，
当时，，
所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增；
⑥当，即时，，所以在定义域上单调递增；
综上：①当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减；
②当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；
③当时，在区间上单调递减，
在区间和上单调递增；
④当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；
⑤当时，在定义域上单调递增；
(2)
令，
原问题等价于在区间上恒成立，
可见，
要想在区间上恒成立，首先必须要，
而，
，解得：；
另一方面当时，，
由于，可见，
所以在区间上单调递增，故，
所以在区间上单调递减，
∴成立，故原不等式成立．
当时，，根据函数的连续性，可知存在，使得，不合题意，舍去；
综上，若在区间上恒成立，则实数的取值范围为．
【名师指路】
比较复杂一些的求参数的取值范围题目，通常情况下要构造函数，进行求解，而必要性探究和充分性证明的方法是非常重要的方法，要对函数的特殊值足够敏感.
