编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
进阶7：导数的综合应用压轴题专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．已知函数若函数在上有6个零点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知偶函数，若方程有且只有6个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数，若恒成立，则实数的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
4．若函数f（x）=ex（x22x +1a）x恒有2个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．（，1）
C． D．
5．若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知为R上的可导函数，且 x∈R，均有，则以下判断正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．与的大小关系无法确定
7．设，则（ ）
A． B． C． D．
8．函数的零点最多有（ ）个.
A．4 B．3 C．2 D．1
9．已知，，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数有三个不同的零点，且，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．9 D．16
二、填空题
11．已知，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是_______________________.
12．已知都是定义域为的连续函数．已知满足：①当时，恒成立；②都有；满足：①都有；②当时，．若关于的不等式对恒成立，则的取值范围是______．
13．已知函数，，若对其定义域内任意，恒成立，则的取值范围为_____________________．
14．已知函数，对任意且，都有，则实数的取值范围是_______.
15．为了创建全国文明城市，吕梁市政府决定对市属辖区内老旧小区进行美化改造，如图，某小区内有一个近似半圆形人造湖面，O为圆心，半径为一个单位，现规划在区域种花，在区域养殖观赏鱼，若，且使四边形OCDB面积最大，则____________.
16．已知是定义域为的单调函数，若对任意的，都有，且关于的方程在区间 上有两解，则实数的取值范围是___________
17．已知函数，若对，，则的最小值为___________.
18．已知函数；若存在相异的实数，使得成立，则实数的取值范围是__________.
19．函数的图象与函数图象的所有交点的横坐标之和为___________.
20．已知函数的导函数满足：，且，当时，恒成立，则实数a的取值范围是______________．
三、解答题
21．已知．
(1)求的单调区间；
(2)设，，为函数的两个零点，求证：．
22．（1）已知，证明不等式；；
（2）已知函数，且，证明：．
23．已知函数有两个相异零点 ，且，求证：.
24．已知函数，既存在极大值，又存在极小值.
(1)求实数的取值范围；
(2)当时，、分别为的极大值点和极小值点，且，求实数的取值范围.
25．已知函数，其中为常数．
(1)若恰有一个解，求的值；
(2)若函数，其中为常数，试判断函数的单调性；
若恰有两个零点，，求证：．
26．已知函数，在其定义域内有两个不同的极值点.
(1)求的取值范围；
(2)记两个极值点为，，且，当时，求证：不等式恒成立.编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
进阶7：导数的综合应用压轴题专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．已知函数若函数在上有6个零点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
画出函数的图象，问题转化为方程在区间上有2个不同的根.
【详解详析】
当时，，故当时，；
当时，，且；当时，，
故当时，，当时，，且.
作出函数的大致图象如图所示，若在上有6个零点，则方程有2个不同的根，且与的图象有3个不同的交点，则这2个根都在区间上，
故解得，
故选:B.
2．已知偶函数，若方程有且只有6个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
根据题意，先研究时，函数的单调性，进而得函数在轴右侧的大致图像，在根据偶函数的图像关于轴对称得函数的大致图像，最后根据函数，图像有且仅有6个不同的交点，数形结合求解即可.
【详解详析】
解：当时，，
，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
因为，
因为函数为偶函数，
所以其函数图像大致如图，
因为方程有且只有6个不相等的实数根，
所以函数，图像有且仅有6个不同的交点，
所以根据图像，实数m的取值范围是
故选：A
3．已知函数，若恒成立，则实数的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
先证明是R上的增函数，等价于，则.求出，即得解.
【详解详析】
解：由题得，
所以是R上的奇函数，且，
当且仅当，即时，等号成立，所以是R上的增函数.
等价于，
所以，即.
令，则.
因为且定义域为R，所以是R上的偶函数.
所以只需求在上的最大值即可.
当时，，，
则当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以当时，.
所以在定义域R上，，即.
故选：C.
4．若函数f（x）=ex（x22x +1a）x恒有2个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．（，1）
C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
先由导数得出单调性并画出其简图，再结合的图象，根据函数恒有两个零点等价于函数及的图象有两个交点，得出a的取值范围.
【详解详析】
令，得．令，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减． 的最大值是，作出函数及的图象，如图所示，函数恒有两个零点等价于函数及的图象有两个交点，所以，解得．
故选：A．
5．若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
等价于，设函数，利用导数求出函数的最大值即得解.
【详解详析】
解：依题意，，
设函数，则，
令，故，
所以函数在上单调递减，而，
故当时，，当时，，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
故，则.
故选：B．
6．已知为R上的可导函数，且 x∈R，均有，则以下判断正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．与的大小关系无法确定
【标准答案】B
【思路指引】
设，求得，利用在R上单调递减，进而得到，经过化简可得结论.
【详解详析】
设函数，
∵，均有，
则，
∴在R上单调递减，
∴，即，
即，
故选：B．
7．设，则（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
令，比较的大小即可得答案.
【详解详析】
解：令，现比较的大小，
设，则，
当时，，所以在上单调递减，
于是当时，，
故当时，，从而，即.
设，
当时，，
故当时，，从而，即.
综上，.
故选：A.
8．函数的零点最多有（ ）个.
A．4 B．3 C．2 D．1
【标准答案】B
【思路指引】
求出函数，令，分、、讨论的正负，得到单调性，再结合特殊函数值可得答案.
【详解详析】
函数，令，
当时，因为，所以，，所以在上单调递增，
又， 所以在上只有一个零点；
当时，因为，所以，，
又， 所以在上只有一个零点；
当时，有两个正根，得
，由于，所以，
当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
因为，，所以在上有一个零点，
且，
由得，，且，
，
所以在，上各有一个零点，
综上所述，时只有1个零点； 时有3个零点.
故选：B.
9．已知，，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
由，根据，得，再构造函数求最值即可求出的取值范围．
【详解详析】
由，得，
记，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
（1），
，
记，
，
，，，
时，，单调递减；
时，，单调递增．
（1），
，
故实数的取值范围为，．
故选：C．
10．已知函数有三个不同的零点，且，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．9 D．16
【标准答案】C
【思路指引】
利用换元法转换，结合导数以及一元二次方程根与系数的关系来求得正确答案.
【详解详析】
，
，有三个不同的零点.
令，在递增，在上递减，
.时，.
令，
必有两个根，
，且，
有一解，有两解，且，
故
.
故选：C
二、填空题
11．已知，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是_______________________.
【标准答案】
【思路指引】
先判断为偶函数，利用导数判断出的单调性，由此化简不等式，分离常数后结合导数求得的取值范围.
【详解详析】
，
所以为偶函数.
由得
，
，，
，，
所以在上递增，而，所以当时，，在上递增.
所以，
所以，
所以对任意，恒成立，
，，所以在区间，递增，在区间，递减.所以.
，，所以在区间上递减.所以.
综上所述，的取值范围是.
故答案为：
【名师指路】
当一阶导数无法判断函数的单调性时，可考虑利用二阶导数来进行求解.
12．已知都是定义域为的连续函数．已知满足：①当时，恒成立；②都有；满足：①都有；②当时，．若关于的不等式对恒成立，则的取值范围是______．
【标准答案】
【思路指引】
根据函数满足的条件得到是偶函数且在上单调递增；根据函数满足的条件得到的周期且在，上单调递增，在上单调递减，从而可求函数在上的最大值，然后把不等式恒成立问题转化为函数求最值法的问题即可求出结论.
【详解详析】
因为满足当时，恒成立，且都有，
所以是偶函数且在上单调递增，且，
所以由对恒成立，且
得对恒成立，
所以只需时，，
因为都有，所以，
因为时，，所以，
由得或；由得，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
又，，
所以时，.
因为，所以时，
所以，即，所以或.
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
13．已知函数，，若对其定义域内任意，恒成立，则的取值范围为_____________________．
【标准答案】，．
【思路指引】
问题转化为在上恒成立，设，根据函数的单调性求出的最大值，求出的范围即可．
【详解详析】
解：原式恒成立，即在上恒成立，
即在上恒成立，
设，则，
设，则，
在递增且，，
故有唯一零点且，，
即，两边取对数得，
易知是增函数，
，即，由知，
在递增，在，递减，
，
，，
故的取值范围是，．
故答案为：，．
14．已知函数，对任意且，都有，则实数的取值范围是_______.
【标准答案】
【思路指引】
由解析式及题设条件可得在上单调递增，即在上恒成立，进而构造利用导数研究最值，即可求的取值范围.
【详解详析】
∵由解析式知：，即为偶函数，
又对且，都有，知在上单调递减，
∴在上单调递增，又时，，
∴在上恒成立，即在上恒成立，
令，，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
∴当时，取得极小值也是最小值，
∴，即.
故答案为：.
15．为了创建全国文明城市，吕梁市政府决定对市属辖区内老旧小区进行美化改造，如图，某小区内有一个近似半圆形人造湖面，O为圆心，半径为一个单位，现规划在区域种花，在区域养殖观赏鱼，若，且使四边形OCDB面积最大，则____________.
【标准答案】
【思路指引】
根据题干中的几何关系写出四边形OCDB的面积公式，然后求导判断的单调性求最值求解，此处涉及到含的二次式的最值，复合函数的单调性，计算量较大.
【详解详析】
设，则，根据题意易知
∵，为等腰三角形，则
又∵，
∴
∴
∴四边形OCDB为梯形，则四边形OCDB面积，
则，
令，
则，解得（舍）或
设为所对应的角，
∵在上单调递减，
∴时，
单调递减.
∴时，
单调递增.
∴当时，面积最大，即.
故答案为：.
16．已知是定义域为的单调函数，若对任意的，都有，且关于的方程在区间 上有两解，则实数的取值范围是___________
【标准答案】
【思路指引】
令，将可得，解得，即可得，设，利用导数判断单调性作出的图象以及的图象，结合图象可得即可求解.
【详解详析】
因为定义在的单调函数满足，
所以必存在唯一的正实数，满足， ①，
令，可得 ②，由①②得：即，
因为单调递增，单调递减，所以方程有唯一解，
所以，解得：．故，
由方程在区间上有两解，
即在区间上有两解，
由，可得，
当时，，递减，
当时，，递增，
所以在处取得最大值，，，
分别作出，和的图象，可得两图象只有一个交点，
若的图象以及的图象有个交点，
则，解得，所以当时，两图象有两个交点，即方程两解．
故答案为：．
【名师指路】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
17．已知函数，若对，，则的最小值为___________.
【标准答案】
【思路指引】
原式可化为，构造函数，得，由的单调性可得，则，即.
【详解详析】
令，则，
当时，，所以在单调递增，
由可得，即，
当时，，若时，，
所以，即在恒成立，
令，，则，所以在单调递增，
则，所以，又，则；
若，则当时，，，
此时恒成立，满足题意.
综上，，即的最小值为.
故答案为：.
18．已知函数；若存在相异的实数，使得成立，则实数的取值范围是__________.
【标准答案】
【思路指引】
去掉绝对值得到分段函数，分别讨论、，结合函数的导数研究单调性，再通过存在性进行求解.
【详解详析】
①当，时，，，
则在单调递减，不满足题意（舍）；
②当，时，，
当时，，在单调递减，
且,；
当时，由，得，
当，即时，，则恒成立，
则，不满足题意（舍）；
当，即时，，则在单调递增，
在单调递减，且对于任意，，
则满足存在相异的实数，使得成立，
所以.
故答案为：.
19．函数的图象与函数图象的所有交点的横坐标之和为___________.
【标准答案】-7
【思路指引】
由函数解析式可得两函数图象均关于点（﹣1，0）对称，进而探讨函数的单调性，然后画出图象的大致形状，即可求得两图象所有交点的横坐标之和.
【详解详析】
易知函数的图象关于点（﹣1，0）对称，
设函数图象上任意一点为，则它关于（-1,0）的对称点为，将其代入的解析式得：，
即，于是函数关于点（-1,0）对称.
又，
所以时，，单调递减，时，，单调递增，时，，单调递减.
于是x=-2时，的极小值为，
而，
x=0时，的极大值为，
而.
现作出两个函数的大致图象，如图：
于是得到图象交点横坐标之和为：﹣1+（﹣2）×3=﹣7.
故答案为：-7.
【名师指路】
本题在函数的对称性的应用类题型中非常典型，首先要对函数的大致图象要有所把握（在草稿纸上分析），进而找出函数的对称点或对称轴（大题需说明理由），然后讨论函数的单调性；需要注意的是在本题中在[-2,0]这个区间上（即函数两个极值点之间），两个函数都是单调递增，这里有一个函数增加快慢的问题，如果把函数的图象画得太靠近x轴，最后会影响两个函数图象交点的个数，这个时候往往代特值比较两个函数的函数值大小进行解决.
20．已知函数的导函数满足：，且，当时，恒成立，则实数a的取值范围是______________．
【标准答案】
【思路指引】
先构造函数，利用，最终求得，即时，恒成立，参变分离后使用切线放缩，最后求得的取值范围.
【详解详析】
设，则，故，则，又因为，即，所以，，，因为，所以在上恒成立，其中，理由如下：构造，则，令得：，当得：，当得：，故在处取的极小值，也是最小值，，从而得证.
故，故，实数a的取值范围为
故答案为：
【名师指路】
切线放缩是一种很重要的方法，再使用导函数证明不等式或者求参数的取值范围时，经常使用，常见的切线放缩有以下几个：，，，等，在做题中做到灵活运用，可以有很好的效果.
三、解答题
21．已知．
(1)求的单调区间；
(2)设，，为函数的两个零点，求证：．
【标准答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【思路指引】
（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）构造函数，与y＝m图象两交点的横坐标为，，问题转化为证明，，根据函数的单调性证明即可．
(1)
，，
，当时，，
即的单调递增区间为，无减区间；
当时，，
由，得，
时，，时，，
时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
综上所述：当时，的单调递增区间为，无减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)
证明：由（1）知的单调递增区间为，单调递减区间为．
不妨设，由条件知，即，
构造函数，与图象两交点的横坐标为，，
由可得：，
由的图像明显可得在上，的图像在图像的上方，
即，即，
，
知在区间上单调递减，在区间上单调递增．
可知，
欲证，只需证，
即证，
考虑到在上递增，
只需证
由知，只需证
令，
则，
即在定义域上为单调递增函数，，
结合知，
即成立，
即成立．
【名师指路】
关键点点睛：对于双变量问题，要通过变形和换元转化为单变量问题，然后构造函数，利用导数来解决问题.
22．（1）已知，证明不等式；；
（2）已知函数，且，证明：．
【标准答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【思路指引】
（1）根据题意，将不等式转化为证明和，进而构造函数，，利用导数证明不等式即可；
（2）根据题意，结合导数研究函数值域分布得，进而构造函数，研究函数性质得在上恒成立，进而结合函数单调性即可证明.
【详解详析】
证明：（1）先证，即证，
设，设，则，
在上单调递减，
又，
当时，恒成立，即成立；
再证，即证，
设，令，则，
在上单调递增，
又，
当时，恒成立，即成立，
综上，原命题得证；
（2），
所以，当时，，当时，
所以函数在单调递增，在单调递减，且当时，，当时，，趋近于时，趋近于，
因为
所以不妨设，
令，，即
则，
因为，所以，所以，
所以在上恒成立，
所以函数在上单调递增，
所以，即在上恒成立，
又，所以，
又，所以，
又，所以，
又函数在单调递增，所以，
所以，即得证．
【名师指路】
本题考查利用导数证明不等式，研究极值点偏移问题，考查运算求解能力，回归转化能力，逻辑推理能力，是难题.本题第二问解题的关键在于结合题意，构造函数，进而借助函数的单调性证明.
23．已知函数有两个相异零点 ，且，求证：.
【标准答案】证明见解析.
【思路指引】
对函数求导并研究的单调性，结合函数有两个相异零点 得极大值，即有，进而有，应用作差法可得，而、即可证明结论.
【详解详析】
由题设，，
由，得，由，得，
在上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，且为最大值.
由有两个相异零点 ，可得，即.
，
，
，即，则，
，，
.
24．已知函数，既存在极大值，又存在极小值.
(1)求实数的取值范围；
(2)当时，、分别为的极大值点和极小值点，且，求实数的取值范围.
【标准答案】(1)；
(2).
【思路指引】
（1）由已知可得，分析可知方程有两个不等的实根，解方程，可得出关于的不等式，即可得解；
（2）求得，，可得出，，由已知可得，构造函数，其中，分、两种情况讨论，利用导数分析函数的单调性，验证不等式对任意的是否恒成立，综合可得出实数的取值范围.
(1)
解：由可得
，
因为函数既存在极大值，又存在极小值，则必有两个不等的实根，则，
由可得，，所以，，解得且.
因此，实数的取值范围是.
(2)
解：，则.
由可得，此时函数单调递减，
由可得或，则函数的增区间为和，
所以，，，则，，
由题意可得对任意的恒成立，
由于此时，则，
所以，，则，
构造函数，其中，
则，
令，则.
①当时，，所以，在上单调递增，
所以，即，符合题意；
②当时，，设方程的两根分别为、，
则，，设，
则当时，，则在上单调递减，
所以当时，，即，不合题意.
综上所述，的取值范围是.
【名师指路】
关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，在求解时注意根据函数值符号判断出参数的符号，进而对参数进行分类讨论求解.
25．已知函数，其中为常数．
(1)若恰有一个解，求的值；
(2)若函数，其中为常数，试判断函数的单调性；
若恰有两个零点，，求证：．
【标准答案】(1)
(2)单调递增；证明见解析
【思路指引】
（1）通过导数求得函数的单调性求得函数的最大值（1），讨论三种情况下函数的零点个数，进而得出结果.
（2）由已知可得，求导可判断恒成立，即可得出结论；恰有两个零点，等价于，有两解，.由，可得（记．进而可得，由单调递增．
可得，则有，化简可得，同理．化简计算可证得结果.
(1)
，令，解得：，
当时，，在递增，
当时，，在递减，
（1），
①当，解得：，此时最大值点唯一，符合题意，
②当，即时，恒成立，不符合题意，
③当，即时，，，，
，（易证，
有2个零点，不符合题意，
综上：；
(2)
由，
得：，
函数的定义域是，且，
，
在单调递增；
，故，也是的两个零点．
由，得（记．
可知，是的唯一最大值点，故有，
由可知，单调递增．
当时，；当时，．
于是，．
整理，得，
即．
同理．
故，
即，
于是．
【名师指路】
思路点睛：本小题主要考查利用导数证明函数的单调性问题，利用导数研究函数零点问题及证明不等式问题.要注意分类讨论和数形结合思想的应用．将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．
26．已知函数，在其定义域内有两个不同的极值点.
(1)求的取值范围；
(2)记两个极值点为，，且，当时，求证：不等式恒成立.
【标准答案】(1)
(2)证明见解析
【思路指引】
（1）将在有两个不同根转化为方程在有两个不同根，再构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，进而求出的取值范围；
（2）两边取对数，将证明转化为证明，再利用（1）合理转化，将问题转化为证明恒成立，再通过求其最值进行证明.
(1)
解：由题意知，函数的定义域为，
方程在有两个不同根，
即方程在有两个不同根，
即方程在有两个不同根；
令，则，
则当时，，时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又因为，当时，，当时，，
所以的取值范围为；
(2)
证明：欲证 两边取对数等价于要证，
由（1）可知，分别是方程的两个根，
即，
所以原式等价于，因为，，
所以原式等价于要证明.
又由，作差得，，即.
所以原式等价于，令，，
则不等式在上恒成立.
令，
又，
当时，可见时，，
所以在上单调增，
又，,
所以在恒成立，所以原不等式恒成立.
【名师指路】
利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：
（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.
（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.
