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编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。21世纪教育网版权所有
思路设计：重在培优训练，分选 ( http: / / www.21cnjy.com )择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
第6章计数原理单元综合提优专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据组合数公式及二项式系数和的性质解答即可；
【详解】
解：
故选：C
【点睛】
本题考查组合数公式及二项式系数的性质的应用，属于基础题.
2．（2021·上海交大附中高二期末）9名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口3人，则不同的分派方案共有（ ）种.21·世纪*教育网
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
依次分析3个路口的分配方法数，再由分步计数乘法原理列式即得.
【详解】
从9个人中任取3人去第一个路口，有种方法，
再从余下的6人中任取3人去第二个路口，有种方法，
最后3人去第三个路口，有种方法，
由分步计数乘法原理得不同的分派方案共有种.
故选：A
3．（2021·上海市实验 ( http: / / www.21cnjy.com )学校高二期末）某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（ ）种不同的选法【出处：21教育名师】
A．225 B．185 C．145 D．110
【答案】B
【分析】
根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况进行讨论，由加法原理计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类．
①“2人既会英语又会法语”不参加，这时有种；
②“2人既会英语又会法语”中有一人入选，
这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能，
因此有种；
③“2人既会英语又会法语”中两个均入选，
这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种，
因此有种．
综上分析，共可开出种．
故选：B．
4．（2021·上海市第三女子中学高二期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）两个班级的排球队进行排球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各队输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ）2-1-c-n-j-y
A．6种 B．12种 C．20种 D．30种
【答案】C
【分析】
由题意知比赛的场次可能有场，分别讨论其中一个班在不同场次下赢得比赛的可能情况再乘以2，将它们加总即为所有可能出现的情形数.【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
两个班级比赛先赢三局者获胜，决出胜负为止，则比赛的场次可能有场，
1、若共比3场，则其中一个班连赢3场，共有2种情况，
2、若共比4场，则其中一个班赢了前3场中2场及最后一场，共有种情况，
3、若共比5场，则其中一个班赢了前4场中2场及最后一场，共有种情况，
∴共有可能出现的情形.
故选：C
5．（2021·上海市复兴高级中学高二期中）下列四个组合数公式：对，约定，有
（1）（）；
（2）（）；
（3）（）；
（4）（）；
其中正确公式的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
则题意利用组合数公式逐个分析判断即可
【详解】
解：由于对，约定，由排列的定义有，
所以（），所以（1）正确，
因为
所以（），所以（2）正确，
因为，
所以所以（）所以（3）正确，
因为，，
所以（），所以（4）正确，
故选：D
6．（2021·上海外国语大学附属大境中学高三月考）在的展开式中，有理项共有（ ）项
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】
先写出展开式的通项并进行整理，然后分析的指数部分为整数的项数即可.
【详解】
因为展开式的通项为，
因为为整数且，
所以可取，
所以有理项一共有项，
故选：C.
7．二项式的展开式中，其中是有理项的项数共有（ ）
A．4项 B．7项 C．5项 D．6项
【答案】D
【分析】
根据二项展开式的通项公式，由的指数值为整数即可解出．
【详解】
二项式的展开式中，通项公式为，
，时满足题意，共6项．
故选：D.
8．（2021·上海市延安中学高二期末）设的展开式的各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则展开式中含项的系数为
A．40 B．30 C．20 D．15
【答案】D
【详解】
由，得．
，令，得．
故展开式中含项的系数为,选D.
点睛：二项展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者是指组合数，而后者是字母外的部分.前者只与和有关，恒为正，后者还与有关，可正可负.通项是第项，不是第项.21教育网
9．（2021·上海市建平中学高二期中）组合数恒等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由.
10．（2021·上海中学高二月考）设集合，那么集合中满足条件
“”的元素个数为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
试题分析：分以下三种情况讨论，
（1），则上述五个数中有一个为或，其余四个数为零，此时集合有
个元素；
（2），则上述五个数中有两个数为或，其余三个数为零，其中这两个数的所有可能搭配有中，此时集合有个；
（3），则上述五个数中有三个数为或，其余两个数为零，其中这两个数的所有可能搭配有中，此时集合有个；
综上所述，集合共有个元素.故选D.
【考点定位】
本题考查分类计数原理，属于较难题.
二、填空题
11．（2021·上海师大附中高二期中）的展开式中，的系数是___________.
【答案】45
【分析】
利用展开式的通项公求解.
【详解】
展开式的通项公式为：，
令，得，
所以的系数是45，
故答案为：45
12．（2021·上海师大附中高二期中）___________.
【答案】256
【分析】
根据二项式系数的性质计算．
【详解】
由二项式系数性质知，
所以
．
故答案为：256．
13．（2021·上海市进才中学高三月考）的展开式中项的系数为____________．
【答案】
【分析】
先求得二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于9，求得的值，即可求得含的项的系数．
【详解】
的展开式的通项公式为，
令，求得，
故展开式中的系数为.
故答案为：．
14．（2021·上海市控江中学高二月考）某 ( http: / / www.21cnjy.com )校从高二年级期中考试的学生中抽取60名学生，其成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示，现从成绩70分以上（包括70分）的学生中任选两人，则他们的分数在同一分数段的概率为__________
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【分析】
利用频率分布图，分别求得分数在，，，上的人数，利用古典概型的概率求解.
【详解】
由频率分布表得：分数在上的有人，
分数在上的有人，
分数在上的有人，
分数在上的有人，
所以从成绩70分以上（包括70分）的学生中任选两人，
分数在同一分数段的概率为,
故答案为：
15．（2021·上海闵行·一模）某学校为落 ( http: / / www.21cnjy.com )实“双减”政策，在每天放学后开设拓展课程供学生自愿选择，开学第一周的安排见如表.小明同学要在这一周内选择编程 书法 足球三门课，不同的选课方案共___________种.21cnjy.com
周一 周二 周三 周四 周五
演讲 绘画 舞蹈 足球 编程 绘画 舞蹈 足球 编程 书法 舞蹈 足球 书法 演讲 舞蹈 足球 书法 演讲 舞蹈 足球
注：每位同学每天最多选一门课，每一门课一周内最多选一次
【答案】15
【分析】
应用分类分步计算方法，首先考虑编程选在周二或周三，再确定书法的时间，最后确定足球的时间，即可得到总的选课方案.2·1·c·n·j·y
【详解】
1、周二选编程，则选课方案有种；
2、周三选编程，则选课方案有种；
综上，不同的选课方案共15种.
故答案为：15.
16．（2021·上海嘉定·一模）的二项展开式中的系数为____________
【答案】
【分析】
根据二项式定理计算即可.
【详解】
解：展开式的通项公式为，
故当时，的二项展开式中的项为，其系数为.
故答案为：
17．（2021·上海普陀·一模）若，则___________.
【答案】
【分析】
利用二项式定理求出、的值，即可得解.
【详解】
的展开式通项为，
展开式中的指数只可能为偶数，则，
令，可得，则.
因此，.
故答案为：.
18．（2021·上海松江· ( http: / / www.21cnjy.com )一模）第24届冬奥会将于2022年2月4日20日在北京-张家口举行，某大学从7名志愿者中选出4人分别从事对外联络 场馆运行 文化展示 赛会综合这四项服务中的某一项工作，则不同的选派方案共有___________种.
【答案】840
【分析】
根据题意可知不同安排方法为种，即可求解.
【详解】
根据题意，由7人选4人从事不同工作，是排列问题，
故不同的选派方案共有，
故答案为：840
19．（2021·上海嘉定·一模 ( http: / / www.21cnjy.com )）四名志愿者参加某博览会三天的活动，若每人参加一天，每天至少有一人参加，其中志愿者甲第一天不能参加，则不同的安排方法一共有____________种（结果用数值表示）【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】
【分析】
由题意，先分组再分配，先将四名志愿者分为三组，然后按照特殊元素优先考虑再进行分配，从而求解出不同安排方法种数.21*cnjy*com
【详解】
由题意，将四名志愿者先分为三组，有种，因为志愿者甲第一天不能参加，所以有种分配方式，所以不同的安排方法一共有种.
故答案为：
20．（2021·上海·格致中学高二月考）方程的解集为___________.
【答案】
【分析】
利用排列数和组合数公式可得出关于的等式，即可得解.
【详解】
因为，则，，且，即，解得.
故原方程的解集为.
故答案为：.
三、解答题
21．（2021·上海市金山中学高二月考）已知在的展开式中，第9项为常数项.求：
（1）展开式中的系数；
（2）含x的整数次幂的项的个数.
【答案】（1） ；（2）6
【分析】
（1）根据（x2﹣）n的展开式中，第9项为常数项，而第9项的通项公式为 T9＝28﹣n x2n﹣20，故有 2n﹣20＝0，由此解得 n＝10．则展开式的通项公式为 Tr+1＝（﹣1）r 2r﹣10 ．令x的幂指数等于5，求得r的值，可得展开式中x5的系数．
（3）由20﹣ 为整数，可得r＝0，2，4，6，8，10，从而得到含x的整数次幂的项的个数．
【详解】
解：（1）在（x2﹣）n的展开式中，第9项为常数项，
而第9项的通项公式为 T9＝ 28﹣n x2n﹣16 x﹣4＝28﹣n x2n﹣20，
故有 2n﹣20＝0，解得 n＝10．
则展开式的通项公式为 Tr+1＝ 2r﹣10 x20﹣2r （﹣1）r ＝（﹣1）r 2r﹣10 ．
令20﹣＝5，求得r＝6，故展开式中x5的系数为 ＝．
（3）由20﹣ 为整数，可得r＝0，2，4，6，8，10，故含x的整数次幂的项的个数为6．
22．（2021·上海市实验学校高二期末）有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方法？www.21-cn-jy.com
（1）分成1本、2本、3本三组；
（2）分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
（3）分成每组都是2本的三组；
（4）分给甲、乙、丙三人，每个人2本．
【答案】（1）60(种)．（2）360(种)．（3）15(种)．（4）90(种).
【分析】
（1）根据分步计算原理，结合组合的定义进行求解即可；
（2）根据（1）的分析，结合排列定义重新分配进行求解即可；
（3）根据分步计算原理，再根据重复情况进行求解即可；
（4）根据（3）的分析，结合排列定义重新分配进行求解即可.
【详解】
（1）根据分步计算原理可知，，
所以分成1本、2本、3本三组共有60种方法；
（2）由（1）可知：分成1本、2本、3本三组，共有60种方法，
再分给甲、乙、丙三人，所以有种方法；
（3）先分三步，则应是种方法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则种分法中还有(AB，EF，CD)、(CD、AB、EF)、(CD、EF，AB)、(EF，CD，AB)、(EF，AB，CD)，共种情况，而且这种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此，只能作为一种分法，故分配方法有＝15(种)．
（4）在问题（3）的基础上再分配即可，共有分配方法＝90(种)．
23．（2021·上海市实验学校高二期末）已知的二项展开式中的系数是.
（1）求；
（2）求二项展开式中系数最小的项.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先求出二项式展开式的通项公式，由展开式中的系数是，列方程组可求出；
（2）由题意利用二项式的通项公式求出展开式中系数最小的项
【详解】
解：（1）展开式的通项公式为，
因为二项展开式中的系数是，
所以且，
由可知为奇数
解得，
所以，
（2）由（1）可知展开式中的系数为，
要使该项系数最小，应为奇数，且接近，
所以，
所以二项展开式中系数最小的项为
24．（2021·上海市第三女子中学高二期末）已知，二项式的展开式为，其中，满足．
（1）求n；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）－1．
【分析】
（1）由二项式定理可知，，结合已知条件即可求n；
（2）应用赋值法，令即可求的值．
【详解】
（1）由题意，，而、分别是、，
∴，，故，，
∵，
∴，解得；
（2）由（1）知：当时，有，
∴.
25．（2021·上海市第三女子中学高二期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）从1、3、5、7中任取2个数字，从0、2、4、6、8中任取2个数字，用这四个数字组成无重复数字的四位数，所有这些四位数构成集合M．www-2-1-cnjy-com
（1）求集合M中不含有数字0的元素的个数；
（2）求集合M中含有数字0的元素的个数；
（3）从集合M中随机选择一个元素，求这个元素能被5整除的概率．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）（2）利用分类分步的方法，结合排列组合的计算公式求出M中不含有数字0或含有数字0的元素的个数即可；21教育名师原创作品
（3）应用古典概型的概率求法求随机选择一个元素能被5整除的概率.
【详解】
（1）M中不含有数字0的元素：
1、从1、3、5、7中任取2个数字有种取法，
2、从2、4、6、8中任取2个数字有种取法，
3、将前两步所得的四个数字全排列：个四位数，
∴M中共有不含有数字0的元素个.
（2）M中含有数字0的元素：
1、从1、3、5、7中任取2个数字有种取法，
2、从2、4、6、8中任取1个数字有种取法，
3、将前两步所得的四个数字全排列，排除0在第一位的元素：个四位数，
∴M中共有含有数字0的元素个.
（3）由（1）（2）知：M中共有个元素，
M中能被5整除的元素，即个位为0或5的元素，
1、个位为0的元素有个，
2、个位为5的元素有个，
∴M中能被5整除的元素个，则随机选择一个元素能被5整除的概率.
26．在二项式的展开式中．
（1）求该二项展开式中所有项的系数和的值；
（2）求该二项展开式中含项的系数；
（3）求该二项展开式中系数最大的项．
【答案】（1）（2）（3）
【分析】
（1）令，即可得该二项展开式中所有项的系数和的值；
（2）在通项公式中，令的幂指数等于4，求得的值，可得含项的系数；
（3）根据，求得的值，可得结论；
【详解】
（1）令，可得该二项展开式中所有项的系数和的值为；
（2）二项展开式中，通项公式为，令，求得，
故含项的系数为．
（3）第项的系数为，由，求得，
故该二项展开式中系数最大的项为 ．
【点睛】
本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．
27．（2021·上海市进才中学高二期末）已知二项式（）的二项展开式中所有项的二项式系数之和为4096．21*cnjy*com
（1）求（）的展开式中的常数项的值；
（2）在的展开式中，求项的系数的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）先根据二项式展开式二项式系数的性质，求出的值，再写出展开式的通项，令的指数为0，即可求出常数项；
（2）利用通项的特点，依次写出对应的的系数（即二项式系数），然后借助于二项式系数的性质计算．
【详解】
（1）因为二项式（）的二项展开式中所有项的二项式系数之和为4096，
所以，可得，
即的展开式的通项是：
（），
令得：，
∴常数项是；
（2）由（1）知，
即，
展开式中项的系数分别为：
所以的展开式中项的系数为：
．
【点睛】
方法点睛：二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和以及各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
28．（2021·上海中学高二月考）若
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）赋值法令即计算的值即可；
（2）赋值法分别令或即或，得到关系式，然后计算；由（1）求得即可；
（3）由（2）求得，最后根据对数运算得出结果即可；
【详解】
（1）令，得；
（2）令，得(*)，
令，得(**)，
(*)(**)，并除以2，得，
因为，所以；
（3）(*)(**)，并除以2，得，所以.
29．（2021·上海市延安中学高二期末）（1）已知二项式，；
①写出该二项展开式中二项式系数最大的值；
②若当时，该二项展开式中系数最大的只有，求的值．
（2）在的展开式中，把、、、…、叫做三项式系数，根据二项式定理，将等式的两边分别展开可得，左右两边的系数相等，如，利用上述思想方法计算：的值．
【答案】（1）①当为偶数，；当为奇数，或；②12或13；（2）0.
【分析】
（1）①二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值，然后分类讨论为奇数或为偶数即可；21·cn·jy·com
②先写出展开式的通项公式为，结合题意得，解不等式组即可求出结果；
（2）根据，由于展开式中不含项，借助已知条件即可求出结果.
【详解】
（1）①二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值，所以
当为偶数，二项式系数最大的是中间一项，即；当为奇数，二项式系数最大的是中间两项，则或；
②因为时，，则展开式的通项公式为，
二项展开式中系数最大的只有，则需满足，所以，又因为为整数，所以12或13；
（2）因为，所以，而是的系数，但是因为展开式的通项公式为，而因为428不是3的倍数，所以展开式不含项，【版权所有：21教育】
故.
30．（2021·上海交大附中高二期末）已知.
（1）证明是整数，并求的整数部分的个位数；
（2）将按照的升幂展开，求展开式中系数最大和最小的项的项数.
【答案】（1）证明见解析，9；（2）最大项是第578项，最小项是第2022项.
【分析】
(1)把和按二项式定理展开，分析它们的同次幂的奇次项和偶次项，再讨论的范围即可作答；
(2)分析按的升幂展开的第r+1项和第r+2项系数的比与1的关系即可作答.
【详解】
(1)按的升幂展开的第r+1项是：
，
为偶数，和展开式中该项值都为正且相等，为奇数，和展开式中该项值互为相反数，
于是，
而，对于每一个n值，都是正整数，即是整数，
显然对于每一个n值，都有因数5，即个位数字为0，
而，则，从而得的整数部分的个位数是9，
所以是整数，且的整数部分的个位数是9；
(2)令按的升幂展开的第r+1项的系数为，，显然恒成立，
从而得，
由得，即时，，
时，，而，
所以展开式中系数最大是第578项，最小的项的项数是第2022项.
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本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。21cnjy.com
思路设计：重在培优训练， ( http: / / www.21cnjy.com )分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
第6章计数原理单元综合提优专练（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．等于（ ）．A． B． C． D．
2．（2021·上海交大附中高二期末） ( http: / / www.21cnjy.com )9名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口3人，则不同的分派方案共有（ ）种.21·cn·jy·com
A． B． C． D．
3．（2021·上海市实验学校高二期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（ ）种不同的选法www.21-cn-jy.com
A．225 B．185 C．145 D．110
4．（2021·上海市第三女子中学 ( http: / / www.21cnjy.com )高二期末）两个班级的排球队进行排球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各队输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．6种 B．12种 C．20种 D．30种
5．（2021·上海市复兴高级中学高二期中）下列四个组合数公式：对，约定，有
（1）（）；
（2）（）；
（3）（）；
（4）（）；
其中正确公式的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2021·上海外国语大学附属大境中学高三月考）在的展开式中，有理项共有（ ）项
A．3 B．4 C．5 D．6
7．二项式的展开式中，其中是有理项的项数共有（ ）
A．4项 B．7项 C．5项 D．6项
8．（2021·上海市延安中学高二期末）设的展开式的各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则展开式中含项的系数为21·世纪*教育网
A．40 B．30 C．20 D．15
9．（2021·上海市建平中学高二期中）组合数恒等于（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·上海中学高二月考）设集合，那么集合中满足条件
“”的元素个数为
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021·上海师大附中高二期中）的展开式中，的系数是___________.
12．（2021·上海师大附中高二期中）___________.
13．（2021·上海市进才中学高三月考）的展开式中项的系数为____________．
14．（2021·上海市控江中学高二月考 ( http: / / www.21cnjy.com )）某校从高二年级期中考试的学生中抽取60名学生，其成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示，现从成绩70分以上（包括70分）的学生中任选两人，则他们的分数在同一分数段的概率为__________21世纪教育网版权所有
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15．（2021·上海闵行·一模）某 ( http: / / www.21cnjy.com )学校为落实“双减”政策，在每天放学后开设拓展课程供学生自愿选择，开学第一周的安排见如表.小明同学要在这一周内选择编程 书法 足球三门课，不同的选课方案共___________种.21教育网
周一 周二 周三 周四 周五
演讲 绘画 舞蹈 足球 编程 绘画 舞蹈 足球 编程 书法 舞蹈 足球 书法 演讲 舞蹈 足球 书法 演讲 舞蹈 足球
注：每位同学每天最多选一门课，每一门课一周内最多选一次
16．（2021·上海嘉定·一模）的二项展开式中的系数为____________
17．（2021·上海普陀·一模）若，则___________.
18．（2021·上海松江·一模）第2 ( http: / / www.21cnjy.com )4届冬奥会将于2022年2月4日20日在北京-张家口举行，某大学从7名志愿者中选出4人分别从事对外联络 场馆运行 文化展示 赛会综合这四项服务中的某一项工作，则不同的选派方案共有___________种.2·1·c·n·j·y
19．（2021·上海嘉定·一 ( http: / / www.21cnjy.com )模）四名志愿者参加某博览会三天的活动，若每人参加一天，每天至少有一人参加，其中志愿者甲第一天不能参加，则不同的安排方法一共有____________种（结果用数值表示）www-2-1-cnjy-com
20．（2021·上海·格致中学高二月考）方程的解集为___________.
三、解答题
21．（2021·上海市金山中学高二月考）已知在的展开式中，第9项为常数项.求：
（1）展开式中的系数；
（2）含x的整数次幂的项的个数.
22．（2021·上海市实验学校高二期末）有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方法？2-1-c-n-j-y
（1）分成1本、2本、3本三组；
（2）分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
（3）分成每组都是2本的三组；
（4）分给甲、乙、丙三人，每个人2本．
23．（2021·上海市实验学校高二期末）已知的二项展开式中的系数是.
（1）求；
（2）求二项展开式中系数最小的项.
24．（2021·上海市第三女子中学高二期末）已知，二项式的展开式为，其中，满足．
（1）求n；
（2）求的值．
25．（2021·上海市第三女子中学高 ( http: / / www.21cnjy.com )二期末）从1、3、5、7中任取2个数字，从0、2、4、6、8中任取2个数字，用这四个数字组成无重复数字的四位数，所有这些四位数构成集合M．21*cnjy*com
（1）求集合M中不含有数字0的元素的个数；
（2）求集合M中含有数字0的元素的个数；
（3）从集合M中随机选择一个元素，求这个元素能被5整除的概率．
26．在二项式的展开式中．
（1）求该二项展开式中所有项的系数和的值；
（2）求该二项展开式中含项的系数；
（3）求该二项展开式中系数最大的项．
27．（2021·上海市进才中学高二期末）已知二项式（）的二项展开式中所有项的二项式系数之和为4096．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）求（）的展开式中的常数项的值；
（2）在的展开式中，求项的系数的值．
28．（2021·上海中学高二月考）若
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
29．（2021·上海市延安中学高二期末）（1）已知二项式，；
①写出该二项展开式中二项式系数最大的值；
②若当时，该二项展开式中系数最大的只有，求的值．
（2）在的展开式中，把、、、…、叫做三项式系数，根据二项式定理，将等式的两边分别展开可得，左右两边的系数相等，如，利用上述思想方法计算：的值．
30．（2021·上海交大附中高二期末）已知.
（1）证明是整数，并求的整数部分的个位数；
（2）将按照的升幂展开，求展开式中系数最大和最小的项的项数.
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