中小学教育资源及组卷应用平台
编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。www-2-1-cnjy-com
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答 ( http: / / www.21cnjy.com )三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
进阶03：组合与组合数压轴题专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．将20名学生任意分成甲、乙两组，每组10人，其中2名学生干部恰好被分在不同组内的概率为
A． B． C． D．
【答案】A
由题意知本题是一个古典概型，先求出事件发生的总个数，再求出满足要求的事件个数，再根据古典概型的概率公式即可得出结果.
【详解】
由题意知本题是一个古典概型，
试验发生的所有事件是20名学生平均分成两组共有种结果，
而满足条件的事件是2名学生干部恰好被分在不同组内共有中结果，
根据古典概型的概率公式得.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查古典概型和组合问题，属于基础题.
2．（2021·上海市大同中学高二期末）人分乘两辆不同的车，每辆车最多坐人，则不同的乘车方法数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先分配两辆汽车的人数：42，33，再选排，根据加法原理求结果即可.
【详解】
若两辆汽车人数分别为4人与2人，先分组有种，再排序有种，故总共有种；
若两辆汽车人数分别为3人与3人，先分组有种，再排序有种，故总共有种.
因此不同的乘车方法数为种.
故选：C.
3．（2021·上海市七宝中学高三月考）设集合，设集合A是集合S的非空子集，A中的最大元素和最小元素之差称为集合A的直径．那么集合S所有直径为71的子集的元素个数之和为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
设集合A中最大元素为，最小元素为，可得直径为71的子集有个，则集合A中包含所有子集元素之和个数为，利用倒序相加可得和，再乘以可得答案.
【详解】
设集合A中最大元素为，最小元素为，所以满足的组合有个，
集合A中元素最多为72个，而集合A中包含所有子集元素之和个数为
设，
则，
所以，
即，
所以集合S所有直径为71的子集的元素个数之和为.
故选：C.
4．（2021·上海师大附 ( http: / / www.21cnjy.com )中高二期中）从8名女生和4名男生中选出6名学生组成课外活动小组，则按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为（ ）2-1-c-n-j-y
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据分层抽样求出抽取的男女生人数，然后由分步计数原理得出抽取的方法数，再求出总抽取方法数后计算概率．
【详解】
总体中男女生人数比为，因此抽取的6人中男生数为，女生数为2，
所以所求概率为．
故选：A．
5．在元数集中，设，若的非空子集满足，则称是集合的一个“平均子集”，并记数集的元“平均子集”的个数为．已知集合，，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据新定义求出元平均子集的个数，逐一判断，由此得出正确选项．
【详解】
，将中的元素分成5组，，，，．
则，,,；
同理：，将中的元素分成5组，，，，．
则，．
∴，，，．
故选：C．
【点睛】
本小题主要考查新定义集合的概念理解和运用，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题.
6．（2021·上海民办南模中学三模）已知递增正整数数列满足，则下列结论中正确的有（ ）
（1） 可能成等差数列；
（2） 可能成等比数列；
（3）中任意三项不可能成等比数列；
（4）当时，恒成立.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】
首先根据题意得到数列间的关系，不放假设，可判断（1）；假设 是等比数列退出矛盾可判断（2）,进而可判断（3）；同（2）一样证明中任意三项不可能成等比数列；当时，可判断（4）；
【详解】
因为，
因为是递增正整数数列，所以，
当时，，不满足题意；
所以，若，则，不满足题意；
所以，，
不妨取，，此时 成等差数列，故（1）正确；
若 成等比数列，则，
所以，
所以即与矛盾，故（2）错误；
同理假设成等比数列则，
所以，
与矛盾故（3）正确；
当时，且
，
故（4）正确；
故选：D
【点睛】
本题主要考查数列与组合数相结合的综合题，组合数公式，这是正确计算的关键，其次也要注意式子的化简与放缩等.21*cnjy*com
7．（2021·上海市金山中学高二期末）用五种不同颜色给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】D
【分析】
对所选颜色的种数进行分类讨论，先涂、、三点，再确定、、三点颜色的选择方法种数，结合分步乘法和分类加法计数原理可得结果.【出处：21教育名师】
【详解】
分以下几种情况讨论：
( http: / / www.21cnjy.com / )
①若种颜色全用上，先涂、、三点，有种，
然后在、、三点中选择两点涂另外两种颜色，有种，最后一个点有种选择，
此时共有种；
②若用种颜色染色，由种选择方法，先涂、、三点，有种，
然后在、、三点中需选择一点涂最后一种颜色，有种，不妨设涂最后一种颜色的为点，
若点与点同色，则点只有一种颜色可选，
若点与点同色，则点有两种颜色可选，
此时共有种；
③若用种颜色染色，则有种选择方法，先涂、、三点，有种，
点有种颜色可选，则、的颜色只有一种选择，
此时共有.
由分类加法计数原理可知，共有种涂色方法.
故选：D.
二、填空题
8．（2021·上海市向明中学高三期中）从下图11个点中任取三个点，则所取的三个点能构成三角形的概率为________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【分析】
先求得从11个点中任取三个点，有种取法的事件总数，再求得三个点在一条直线上的情况，根据古典概型的概率公式可求得答案.
【详解】
解：从11个点中任取三个点，有种取法，
由图示得三个点在一条直线上的情况有，
所以所取的三个点能构成三角形的概率为，
故答案为：.
9．在报名的8名男生和5名女生中，选取6人参 ( http: / / www.21cnjy.com )加志愿者活动，若男生甲和女生乙不同时参加，则事件发生的概率为__________(结果用数值表示)．
【答案】
【分析】
根据组合知识计算总的取法，再由间接法求出男生甲和女生乙不同时参加的取法，根据古典概型求解即可.
【详解】
13人中任选6人参加有种，再除去甲乙2人同时参加的情况有种，
由古典概型可知.
故答案为：
10．（2021·上海市建平中学高三 ( http: / / www.21cnjy.com )月考）把5个不同的球随机地放入编号分别为1、2、3的盒子内，则1号盒内恰有2个球的概率为__________.【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】
【分析】
根据题意知共有种放法，满足条件的放法共有种，计算得到概率.
【详解】
5个不同的球随机地放入编号分别为1、2、3的盒子内，共有种放法.
1号盒内恰有2个球的放法共有种，故.
故答案为：.
11．（2021·上海市控江中学高二月考）从正方体的八个顶点中随机选取3个点，这3个点可以构成直角三角形的概率为___________
【答案】
【分析】
求出基本事件的总数，考虑表面和对角面求出可以构成三角形的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解.
【详解】
从正方体的八个顶点中随机选取3个点，共有，
正方体有个面和个对角面都是正方形或矩形，每个图形中都有个直角三角形，
所以有个直角三角形，
所以所求的概率为，
故答案为：.
12．（2021·上海市控江中学高二月考）将 ( http: / / www.21cnjy.com )写有1、2、…、9这9个数的卡片（6不可视作9）随机分给甲、乙、丙三人，每人三张，则“每人手中卡片上的三个数都能满足：其中一个数为其他两个数的平均数”的概率为____________21·cn·jy·com
【答案】
【分析】
确定三个数中一个数是其他两个数的平均数的数组 ( http: / / www.21cnjy.com )，然后得出事件“每人手中卡片上的三个数都能满足：其中一个数为其他两个数的平均数”的个数后可得概率．用列举法写出．
【详解】
9张卡片随机分给3个人，每人三张，总方法数是
9个数分成三组，每组3个数中都有一个是其他两个数的平均数，我们从最小的平均数开始计数（第二组也从较小平均数开始）：
（123）（345）（678），（123）（357）（468），（135）（246）（789），（234）（159）（678），（147）（258）（369），分给三人，方法数为，
所以所求概率为．
故答案为：．
13．（2021·上海浦东新·一模）某学校 ( http: / / www.21cnjy.com )要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者，则所选3人中男女生都有的概率为___________.（用数字作答）
【答案】或0.8
【分析】
由排列组合知识求得所选3人中男女生都有的方法数及总的选取方法数后可计算概率．
【详解】
从6名男生和4名女生中选出3人的方法数是，
所选3人中男女生都有的方法数为，
所以概率为．
故答案为：．
14．（2021·上海杨浦·一模 ( http: / / www.21cnjy.com )）某市高考新政规定每位学生在物理 化学 生物 历史 政治 地理中选择三门作为等级考试科目，则甲 乙两位学生等级考试科目恰有一门相同的不同选择共有___________种.（用数字作答）21*cnjy*com
【答案】180
【分析】
用分步乘法原理完成这件事：先选一门科目为两相同科目，然后让其中一人从剩下的5科中选2门，另一人再在剩下的3门中选2门即可得．
【详解】
由分步乘法原理知不同选择方法为．
故答案为：180．
15．（2021·上海·格致中学 ( http: / / www.21cnjy.com )高二月考）设计师为新年音乐会设计了5款不同风格的节目单给3名导演审核，若每位导演至少审核1款，每款节目单有且仅有1人审核，则不同的审核分配方案有___________.种.（用数字表示）
【答案】150
【分析】
由题可知先分组再排列，分为1,1,3和2,2,1两种情况即得.
【详解】
由题可把节目单先分组再分配给3名导演审核，
当分组为1,1,3时，不同的审核分配方案为种，
当分组为2,2,1时，不同的审核分配方案为种，
所以不同的审核分配方案有+种.
故答案为：150.
16．设整数数列，，…，满足，，且，，则这样的数列的个数为___________.
【答案】80
【分析】
由条件可知，，则或，由此构造新数列进而求得答案.
【详解】
设，则有…①，
…②，
用t表示中值为2的项数，
由②知，t也是中值为2的项数，其中，
所以的取法数为，
取定后，任意指定的值，有种方式.
由①知，应取使得为偶数，
而这样的的取法是唯一的，并且确定了整数的值，
进而数列唯一对应一个满足条件的数列，
综上可知，满足条件的数列的个数为20×4=80.
故答案为：80.
【点睛】
本题比较综合，难度大，对或的理解一定要注意的是不要理解成等差数列，而是差值有两种可能性，构造新数列，从组合的角度去理解.
三、解答题
17．设集合，是非空集合的两个不同子集.
（1）若，且是的子集，求所有有序集合对的个数；
（2）若，且是的子集，求所有有序集合对的个数.
【答案】（1）5（2）
（1）由于，是非空集合的两个不同子集，且是的子集，所以至少有一个元素，且为的真子集，然后分集合中有2个元素和1个元素求解；21教育网
（2）类比（1）的求解方法, 分集合中分别有个元素求解.
【详解】
由题意，至少有一个元素，且为的真子集.
（1）时，
①含有2个元素，且为的真子集：个；
②含有1个元素，且为的真子集：个；
此时有序集合对的个数为5；
（2）时，记所有有序集合对的个数为，
①含有个元素，且为的真子集：个；
②含有个元素，且为的真子集：个；
③含有个元素，且为的真子集：个；
……
则
.
【点睛】
此题考查满足条件的有序集合对的求法，考查排列组合、集合性质等知识，考查运算求解能力，属于中档题.
18．（2021·上海市七宝中学高二期中）如图，从左到右有5个空格.
（1）若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法？
（2）若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有多少不同的涂法？
（3）若向这5个格子放入7个不同的小球，要求每个格子里都有球，问有多少种不同的放法？
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）直接利用排除法计算得到答案.
（2）根据乘法原理计算得到答案.
（3）将情况分为的组和的组，计算得到答案.
【详解】
（1）利用排除法：种.
（2）根据乘法原理得到：共有种涂法.
（3）若分成的组，则共有种分法；
若分成的组，则共有种分法，
故共有种放法.
【点睛】
本题考查了排列组合的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.
19．为了促进消费回补和潜力释放，上海市政府举办“2020五五购物节”活动，某商家提供台吸尘器参加此项活动，其中豪华型吸尘器台，普通型吸尘器台.
（1）豪华型吸尘器前天的销量分别为：、、、、、（单位：台），把这个数据看作一个总体，其均值为，方差为，求的值；
（2）若用分层抽样的方法在这批吸尘器中抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中任取台吸尘器，求至少有台豪华型吸尘器的概率（用最简分数表示）.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用平均数的计算公式求解即可；
（2）先计算出样本中，豪华型吸尘器与普通型吸尘器的台数，先计算其对立事件的概率，利用求解.
【详解】
（1）依题意得，
，
，
.
（2）设所抽样本中有P台豪华型吸尘器，
则，
抽取台豪华型吸尘器，台普通型吸尘器，
因为任意抽取台吸尘器，都是普通型的概率为，
所以，至少有台豪华型吸尘器的概率是.
【点睛】
本题考查样本平均数的计算，古典概型概率的计算，较简单.解答时注意灵活转化,“正难则反”.
20．（2021·上海师范大学第二附属中学高二期末）2017年开始上海高考实行“”制度，即语文、数学、外语三门为必考科目，选考科目从政治、历史、地理、物理、化学、生命科学六门中选出三门参加等级考．21世纪教育网版权所有
（1）小张的物理“说多了都是泪”， ( http: / / www.21cnjy.com )他只求合格考能够顺利通过，故坚决不选择物理作为等级考学科，那么他一共有多少种选科方式（先列式，结果用数值表示）？
（2）地理和生命科学两门等级考在高二完成 ( http: / / www.21cnjy.com )，为了减轻高三的学习压力，某校要求每位学生必须从这两门中选择一门且只能选择一门，问该校学生共有多少种选科方式（先列式，结果用数值表示）？
（3）求小李和小刘选择的等级考科目恰好有一门相同的概率（先列式，结果用最简分数表示）．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）根据题意小张不选择物理作为等级考学科，则他将从剩下5科中选3科，从而可得答案；
（2）从地理和生命科学两门选择一门且只能选择一门有种选法，再从剩下四科中选两门共有种选法，然后相乘即可得解；
（3）先计算出小李和小刘选择的等级考科目的总选法，然后计算出小李和小刘选择的等级考科目恰好有一门相同的选法，从而可得答案.
【详解】
解：（1）根据题意，语文、数学、外语三门为必考科目，故这三门学科只有一种选法，又小张不选择物理作为等级考学科，
则他一共有种选法；
（2）根据题意，语文、数学、外语三门为必考科目，故这三门学科只有一种选法，
从地理和生命科学两门选择一门且只能选择一门有种选法，
再从剩下四科中选两门共有种选法，
所以该校学生共有种选科方式；
（3）小李和小刘从六门学科中选出三门参加等级考共有种选科方式，
小李和小刘选择的等级考科目恰好有一门相同有，
所以小李和小刘选择的等级考科目恰好有一门相同的概率为.
21．已知等式.
（1）求的展开式中项的系数，并化简：；
（2）证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）.
【答案】（1） ；（2）（ⅰ）详见解析；（ⅱ）详见解析.
【分析】
（1） 的展开式中含的项的系数为，二项式定理展开，展开得到含项的系数，利用，即可证明；（2）（ⅰ）用组合数的阶乘公式证明；（ⅱ）利用（ⅰ）的结论和组合数的性质得到，最后结合（1）的结论证明.
【详解】
（1） 的展开式中含的项的系数为
由
可知的展开式中含的项的系数为 ，
，
；
（2）（ⅰ）
当 时， ；
（ⅱ）
由（1）知，
，
.
【点睛】
本题考查二项式定理和二项式系数和组合数的关系，以及组合数公式的证明，意在考查变形，转化，推理，证明的能力，属于难题，本题的（ⅱ）的关键步骤是这一步用到了（ⅰ）的结论和组合数的性质.21cnjy.com
22．数列，定义为数列的一阶差分数列，其中．
（1）若，试判断是否是等差数列，并说明理由；
（2）若，，求数列的通项公式；
（3）对（2）中的数列，是否存在等差数列，使得对一切都成立，若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）是等差数列，理由见解析 （2） （3）存在，
【分析】
（1）求出的通项公式，即可得出结论；
（2）代入，可得出数列的递推公式，求出，猜测，用数学归纳法证明；
（3）先求出，求出的通项公式，然后证明是否满足条件.
【详解】
解：（1）
.
所以是等差数列.
（2）∵，
∴，
∵，∴，，，
猜测：.
证明：（数学归纳法）
Ⅰ 时成立，
Ⅱ 假设成立，即，
那么时，
∴，
∴时也成立，
综合ⅠⅡ对任意，都成立.
（3）时，，，
时，，，
若存在等差数列，使得对一切都成立，
只能.
下证符合要求
.
得证.
【点睛】
本题考查求数列的通项公式以及等差数列的判断，考查由特殊到一般结合数学归纳法证明，考查组合数的性质，属于综合题.2·1·c·n·j·y
23．规定，其中，是正整数，且，这是组合数（、是正整数，且）的一种推广.
（1）求的值；
（2）设，当为何值时，取得最小值？
（3）组合数的两个性质：①.②.是否都能推广到（，是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.
【答案】（1）；（2）当时，取得最小值（3）性质①不能推广，详见解析；性质②能推广，它的推广形式为（，是正整数），证明见解析；21教育名师原创作品
【分析】
（1）由题意可得，运算求得结果．
（2）根据，再利用二次函数的性质求得式子的最小值．
（3）性质①不能推广，通过举反例可知．性质②能推广，它的推广形式是，，是正整数．根据题中的规定化简运算可以证得．
【详解】
（1）由题意可得．
（2），
，故当，即时，取得最小值。
（3）性质①不能推广，例如当时，有定义，但无意义；
性质②能推广，它的推广形式是，，是正整数，
事实上，当时，有．
当时
．
【点睛】
本题主要考查组合数的性质、二项式系数的性质，这是一道综合性较强的题目，对学生的逻辑思维能力、推理论证能力以及计算能力，均有较好的考查．
24．是否存在等差数列，使对任意都成立？若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由.
【答案】存在，.
【分析】
假设存在等差数列，满足题意，通过对整理，找出，，即可说明存在数列，求出数列的通项公式即可．
【详解】
证明：假设存在等差数列
满足要求
依题意，对恒成立，
，，
所求的等差数列存在，其通项公式为．
【点睛】
本题考查数列的存在性问题，数列求和，数列的应用，以及二项式定理的应用，是难度较大题目．
25．我们称元有序实数组为n维向量，为该向量的范数，已知n维向量，其中，，记范数为奇数的n维向量的个数为，这个向量的范数之和为.【版权所有：21教育】
（1）求和的值；
（2）求的值；
（3）当n为奇数时，证明：.
【答案】（1），；（2）；（3）证明见解析.
【分析】
（1）据题意写出范数为奇数的二元有序实数对，即可求解对应和的值；
（2）要使范数为奇数，需满足0的个数一定是奇数，按照含0个数为进行讨论，再将所有的个数相加求和即可；
（3）方法同（2），当n为奇数时，要使得范数为奇数，则0的个数一定是偶数，可按照含0个数为进行讨论，再结合组合公式化简即可求证.
【详解】
（1）范数为奇数的二元有序实数对有：
，，，，
它们的范数依次为1，1，1，1，
，.
（2）当n为偶数时，在向量的n个坐标中，
要使得范数为奇数，则0的个数一定是奇数，
可按照含0个数为进行讨论：
的n个坐标中含1个0，其余坐标为1或-1，
共有个，每个的范数为；
的n个坐标中含3个0，其余坐标为1或-1，
共有个，每个的范数为；
的n个坐标中含个0，其余坐标为1或-1，
共有个，每个的范数为1；
，
①
②
得：，
.
（3）当n为奇数时，在向量的n个坐标中，
要使得范数为奇数，则0的个数一定是偶数，
可按照含0个数为进行讨论：
的n个坐标中含0个0，其余坐标为1或-1，
共有个，每个的范数为n；
的n个坐标中含2个0，其余坐标为1或-1，
共有个，每个的范数为；
的n个坐标中含个0，其余坐标为1或-1，
共有个，每个的范数为1；
，
，
，
两式相加除以2得：，
而，
，
.
【点睛】
本题考查数列求和与组合公式在新定义中的具体应用，分类讨论思想，属于难题
26．（2021·上海交大附中高二期中）（1）如图1所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮电员从该地东北角的邮局出发，送信到西南角的地，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法？www.21-cn-jy.com
（2）如图2所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮电员从该地东北角的邮局出发，送信到西南角的地，已知地（十字路口）在修路，无法通行，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法？21·世纪*教育网
（3）如图3所示，某地有南北街道5条，东西街道6条（注意有一段不通），一邮电员从该地东北角的邮局出发，送信到西南角的地，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法？
（4）如图4所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，已知地（十字路口）在修路，无法通行，且有一段路程无法通行，一邮递员该地东北角的邮局出发，送信到西南角的地，要求所走的路程最短，有多少种不同的走法？
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）126；（2）66；（3）；（4）54．
【分析】
（1）由A到B所走路程最短需要向下走5次，向左走4次，转化为组合问题，9次运动中哪4次向左即可求解；
（2）先分析由A经C到B的走法，再由间接法即可求出不经过C的走法；
（3）先分析经过ED的走法，再由间接法求解；
（4）先计算经过DE且经过C的走法，再结合（1）（2）（3）利用间接法求解.
【详解】
（1）由题意，由A到B的最短距离需要9步完成，其中向下走5步，向左走4步，
由组合知识可知，不同的走法共有种.
(2)若先经过C再到B，需向下走3步，向左走2步，有种走法，由C到B需向下运动2步，向左运动2步，有种走法，故先经过C再到B共有，
所以不经过C共有种走法.
(3) 经过ED,需要3步由A到D，再需要5步由E到B，由A到D共有种走法，由E到B共有种走法，所以经过ED的走法共有种，
故不经过ED的走法共有种.
(4)由A经过DE到C的走法共有，再由C到B需要向下、向左各2步共有种走法，
故经过DE到C再到B的走法共有种走法，
所以不经过DE也不经过C的走法共有种.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。21*cnjy*com
思路设计：重在培优训练，分选择、填 ( http: / / www.21cnjy.com )空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
进阶03：组合与组合数压轴题专练（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．将20名学生任意分成甲、乙两组，每组10人，其中2名学生干部恰好被分在不同组内的概率为
A． B． C． D．
2．（2021·上海市大同中学高二期末）人分乘两辆不同的车，每辆车最多坐人，则不同的乘车方法数为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A． B． C． D．
3．（2021·上海市七宝中学高三月考）设集合，设集合A是集合S的非空子集，A中的最大元素和最小元素之差称为集合A的直径．那么集合S所有直径为71的子集的元素个数之和为（ ）【出处：21教育名师】
A． B．
C． D．
4．（2021·上海师大附中高二期中） ( http: / / www.21cnjy.com )从8名女生和4名男生中选出6名学生组成课外活动小组，则按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A． B． C． D．
5．在元数集中，设，若的非空子集满足，则称是集合的一个“平均子集”，并记数集的元“平均子集”的个数为．已知集合，，则下列说法错误的是（ ）www-2-1-cnjy-com
A． B．
C． D．
6．（2021·上海民办南模中学三模）已知递增正整数数列满足，则下列结论中正确的有（ ）【版权所有：21教育】
（1） 可能成等差数列；
（2） 可能成等比数列；
（3）中任意三项不可能成等比数列；
（4）当时，恒成立.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．（2021·上海市金山中学高二期末）用五种不同颜色给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（ ）21教育网
A．种 B．种 C．种 D．种
二、填空题
8．（2021·上海市向明中学高三期中）从下图11个点中任取三个点，则所取的三个点能构成三角形的概率为________．21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
9．在报名的8名男生和5名女生中，选 ( http: / / www.21cnjy.com )取6人参加志愿者活动，若男生甲和女生乙不同时参加，则事件发生的概率为__________(结果用数值表示)．21教育名师原创作品
10．（2021·上海市建平中 ( http: / / www.21cnjy.com )学高三月考）把5个不同的球随机地放入编号分别为1、2、3的盒子内，则1号盒内恰有2个球的概率为__________.
11．（2021·上海市控江中学高二月考）从正方体的八个顶点中随机选取3个点，这3个点可以构成直角三角形的概率为___________
12．（2021·上海市控江 ( http: / / www.21cnjy.com )中学高二月考）将写有1、2、…、9这9个数的卡片（6不可视作9）随机分给甲、乙、丙三人，每人三张，则“每人手中卡片上的三个数都能满足：其中一个数为其他两个数的平均数”的概率为____________
13．（2021·上海浦东新·一模）某学校 ( http: / / www.21cnjy.com )要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者，则所选3人中男女生都有的概率为___________.（用数字作答）
14．（2021·上海杨浦·一模）某市高考 ( http: / / www.21cnjy.com )新政规定每位学生在物理 化学 生物 历史 政治 地理中选择三门作为等级考试科目，则甲 乙两位学生等级考试科目恰有一门相同的不同选择共有___________种.（用数字作答）
15．（2021·上海·格致中学高二月考 ( http: / / www.21cnjy.com )）设计师为新年音乐会设计了5款不同风格的节目单给3名导演审核，若每位导演至少审核1款，每款节目单有且仅有1人审核，则不同的审核分配方案有___________.种.（用数字表示）
16．设整数数列，，…，满足，，且，，则这样的数列的个数为___________.
三、解答题
17．设集合，是非空集合的两个不同子集.
（1）若，且是的子集，求所有有序集合对的个数；
（2）若，且是的子集，求所有有序集合对的个数.
18．（2021·上海市七宝中学高二期中）如图，从左到右有5个空格.
（1）若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法？21·cn·jy·com
（2）若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有多少不同的涂法？
（3）若向这5个格子放入7个不同的小球，要求每个格子里都有球，问有多少种不同的放法？
19．为了促进消费回补和潜力释放，上海市政府举办“2020五五购物节”活动，某商家提供台吸尘器参加此项活动，其中豪华型吸尘器台，普通型吸尘器台.
（1）豪华型吸尘器前天的销量分别为：、、、、、（单位：台），把这个数据看作一个总体，其均值为，方差为，求的值；21*cnjy*com
（2）若用分层抽样的方法在这批吸尘器中抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中任取台吸尘器，求至少有台豪华型吸尘器的概率（用最简分数表示）.
20．（2021·上海师范大学第二附属中学高二期末）2017年开始上海高考实行“”制度，即语文、数学、外语三门为必考科目，选考科目从政治、历史、地理、物理、化学、生命科学六门中选出三门参加等级考．
（1）小张的物理“说多了都是 ( http: / / www.21cnjy.com )泪”，他只求合格考能够顺利通过，故坚决不选择物理作为等级考学科，那么他一共有多少种选科方式（先列式，结果用数值表示）？
（2）地理和生命科学两门 ( http: / / www.21cnjy.com )等级考在高二完成，为了减轻高三的学习压力，某校要求每位学生必须从这两门中选择一门且只能选择一门，问该校学生共有多少种选科方式（先列式，结果用数值表示）？
（3）求小李和小刘选择的等级考科目恰好有一门相同的概率（先列式，结果用最简分数表示）．
21．已知等式.
（1）求的展开式中项的系数，并化简：；
（2）证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）.
22．数列，定义为数列的一阶差分数列，其中．
（1）若，试判断是否是等差数列，并说明理由；
（2）若，，求数列的通项公式；
（3）对（2）中的数列，是否存在等差数列，使得对一切都成立，若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．
23．规定，其中，是正整数，且，这是组合数（、是正整数，且）的一种推广.
（1）求的值；
（2）设，当为何值时，取得最小值？
（3）组合数的两个性质：①.②.是否都能推广到（，是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.
24．是否存在等差数列，使对任意都成立？若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由.
25．我们称元有序实数组为n维向量，为该向量的范数，已知n维向量，其中，，记范数为奇数的n维向量的个数为，这个向量的范数之和为.21世纪教育网版权所有
（1）求和的值；
（2）求的值；
（3）当n为奇数时，证明：.
26．（2021·上海交大附中高二期中）（1）如图1所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮电员从该地东北角的邮局出发，送信到西南角的地，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法？www.21-cn-jy.com
（2）如图2所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮电员从该地东北角的邮局出发，送信到西南角的地，已知地（十字路口）在修路，无法通行，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法？2·1·c·n·j·y
（3）如图3所示，某地有南北街道5条，东西街道6条（注意有一段不通），一邮电员从该地东北角的邮局出发，送信到西南角的地，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法？2-1-c-n-j-y
（4）如图4所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，已知地（十字路口）在修路，无法通行，且有一段路程无法通行，一邮递员该地东北角的邮局出发，送信到西南角的地，要求所走的路程最短，有多少种不同的走法？21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
