北师大版 八年级下册1.3线段的垂直平分线（二）教案

第一章 三角形的证明
3．线段的垂直平分线(二)
教材分析
本节课是北师大版义务教育教科书八年级下册第一章《三角形的证明》第三节《线段的垂直平分线》第二课时的内容。在知识结构上，本节课是以全等三角形和等腰三角形的有关性质为基础展开的，新课程标准将本课安排在这里，首先是用证明的方式将八年级上册《证明一》得到的三角形的有关结论加以验证，同时也为九年级上《证明三》学习特殊的平行四边形的相关性质提供教学依据；在能力培养上，无论是逻辑思维能力、推理论证能力，还是分析问题和解决问题的能力，都可在本课得到进一步提高。因此教材安排符合新课程标准螺旋上升的要求，也符合知识体系的要求。
学情分析
通过前面相关内容的学习，学生对如何证明一个命题的正确性已经积累了一些经验并掌握了必要的方法，但是要证明三角形三边垂直平分线交于一点对学生来说还是比较抽象的；为培养学生动手实践操作能力，尺规作图在近几年也逐渐被列为中考考察范围的知识点，故在此基础上展开本节课的学习。
教学目标
在上一节课，学生已经掌握了线段垂直平分线的性质定理和判定定理，本节课的主要内容是性质定理和判定定理的应用，因此确立本节课的三维教学目标为：
知识与技能目标
1.体会归纳推理是数学发现与证明的重要方法，发展合情推理能力.
2.体验观察、归纳、猜想、验证的思维过程, 培养数学创新意识.
过程与方法目标
1.能够证明三角形三边垂直平分线交于一点.
2.经历猜想、探索，能够作出符合条件的三角形.
情感态度与价值观目标
1.积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲；
2.体验解决问题的过程，感受成功的快乐，建立学数学的信心.
教学重点
1.证明三角形三边的垂直平分线性质定理.
2.已知底边和底边上的高，用尺规作出等腰三角形．
教学难点
1.证明三线共点；
2.过直线上一点和直线外一点作已知直线的垂线.证明三线共点.
教学环境与准备
基于TRACEBoard4.6软件的白板课堂教学，课前准备三角形纸片、圆规、直尺以及线段垂直平分线的作法微课视频。
教学过程
本节课设计了五个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：例题解析；第三环节：引申拓展； 第四环节：动手操作；第五环节：随堂练习；第六环节：课时小结；第五环节：课后作业。
1：情景引入
请同学们剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你发现什么结论 与同伴交流．
【活动内容】尺规作图作三角形三条边的垂直平分线。
【活动目的】让学生自己的动手操作体会三类三角形三条边的垂直平分线交于一点的正确性。
【活动过程】教师提问：“[利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，你发现了什么 (教师用多媒体演示作图过程)”
“三角形三边的垂直平分线交于一点．”、“这一点到三角形三个顶点的距离相等．”等都是学生可以发现的直观性质。
教师质疑：“折纸和作图的过程只是我们通过实验、观察、归纳进行的，这样得出的结论一定是真的吗？能够作为判断一个数学命题正确性的依据吗？我们还需要运用公理和已经学习过的定理进行推理证明，这样的发现才更有意义．”
这节课我们来探索和线段垂直平分线有关的结论．
上述活动中，教师要注意多画几种特殊的三角形让学生亲自体验和观察结论的正确性。
2：例题解析
（1）教师引导学生分析，寻找证明方法。
我们要从理论上证明这个结论，也就是证明“三线共点”，但这是我们之前没有遇到过的．不妨我们再来看一下演示过程，或许你能从中受到启示．
通过演示和启发，引导学生认同：“两直线必交于一点，要想证明‘三线共点’，只要证明第三条直线过这个交点或者说这个交点在第三条直线上即可．”
我们已找到证明“三线共点”的突破口，询问学生如何知道这个交点在第三边的垂直平分线上呢
师生共析，完成证明
（2）讨论结束后，学生书写证明过程。教师点评，注意几何符号语言的规范性。
已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点O，连接OA，OB，OC．
求证：点O在AC的垂直平分线上且OA=OB=OC．
证明：∵点O在线段AB的垂直平分线上，
∴OA=OB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)．
同理OB=OC．
∴OA=OC．
∴点O在AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点.在 这条线段的垂直平分线上)．
∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点O．
进一步设问：“从证明三角形三边的垂直平分线交于一点，你还能得出什么结论 ” （交点O到三角形三个顶点的距离相等．）
（3）多媒体演示我们得出的结论：
定理　三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等
3.引申拓展
(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出符合条件的三角形吗 如果能，能作几个 所作出的三角形都全等吗
(2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗 如果能，能作几个 所作出的三角形都全等吗
(3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗 如果能，能作几个
学生通过小组讨论，并尝试作出草图，验证自己的结论。
已知三角形的一条边及这条边上的高，能作出三角形，并且能作出无数多个，如下图：
已知：三角形的一条边a和这边上的高h
求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h
从上图我们会发现，先作已知线段BC=a；然后再作BC边上的高h，但垂足不确定,我们可将垂足取在线段BC上或其所在直线上的任意一点D，过此点作BC边的垂线，最后以D为端点在垂线上截取AD(或A1D)，使AD=A1D=h，连接AB，AC(或A1B，AlC)，所得的△ABC(或△A1BC)都满足条件，所以这样的三角形有无数多个．观察还可以发现这些三角形不都全等（见白板课件）．
如果已知等腰三角形的底边，用尺规作出等腰三角形，这样的等腰三角形也有无数多个．根据线段垂直平分线的性质定理可知，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因此只要作已知等腰三角形底边的垂直平分线，取它上面的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形．
另外有学生补充：“不是底边垂直平分线上的任意一点都满足条件，如底边的中点在底边上，不能构成三角形，应将这一点从底边的垂直平分线上挖去．”
如果底边和底边上的高都一定，这样的等腰三角形应该只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．
(4)例题学习
已知底边及底边上的高，求作等腰三角形．
已知：线段a、h
求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h
作法：1．作线段BC=a；
2．作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点；
3．以点D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；
4．连接AB、AC
∴△ABC就是所求作的三角形(如图所示)．
(5)做一做：课本第25页：教师引导学生分析作出草图，注意对学生作法叙述的准确性加以更正。
4.动手操作
（1）例题：已知直线l和l上一点P，用尺规作l的垂线，使它经过点P
学生先独立思考完成，然后交流，说出做法并解释作图的理由。
（2）拓展：如果点P是直线l外一点，那么怎样用尺规作l的垂线，使它经过点P呢？说说你的作法，并与同伴交流.
5.随堂练习 习题1.8第1、2题
6.课时小结
本节课通过推理证明了“到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三条边的垂直平分线的交点，及三角形三条边的垂直平分线交于一点”的结论，并能根据已知等腰三角形的底和底边上的高，用尺规作出等腰三角形．
7.课后作业
习题1.8第3、4题
教学反思
本节课通过学生自主合作交流、体验式学习、归纳猜想等过程，逻辑推理多层次地理解并证明了“三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等”的结论；利用尺规作图，根据已知等腰三角形的底边和底边上的高作出符合条件的等腰三角形，训练学生作图规范性，培养学生动手实践操作能力。