北师大版九年级上册：1.3 正方形的性质与判定 同步练习(Word，含答案)

1.3 正方形的性质与判定
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 正方形的一条对角线长为 ，则这个正方形的面积是
A. B. C. D.
2. 下列命题中正确的是
A. 四角相等且两边相等的四边形是正方形
B. 对角线相等的平行四边形是正方形
C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D. 对角线和一边的夹角是 的菱形是正方形
3. 正方形具有而菱形不具有的性质是
A. 对角线平分一组对角 B. 对角互补
C. 四边相等 D. 对边平行
4. 下列说法中不正确的是
A. 一组邻边相等的矩形是正方形
B. 对角线相等的菱形是正方形
C. 对角线互相垂直的矩形是正方形
D. 有一个角是直角的平行四边形是正方形
5. 如图，四边形 中，， 交于点 ，则根据下列条件能判定它是正方形的是
A. 且
B. 且
C. 且
D. 且
6. 如图，在正方形 中， 与 交于点 ，，下列判断错误的是
A.
B. 正方形 的周长为
C. 正方形 的面积为
D. 图中有 个 角，有 个直角
7. 在四边形 中，对角线 ， 交于点 下列条件中，能判定四边形 为正方形的是
A. ， B. ，，
C. ， D. ，，
8. 如图，正方形 的对角线 ， 相交于点 ，，则此正方形的面积为
A. B. C. D.
9. 如果要证明平行四边形 为正方形，那么我们需要在四边形 是平行四边形的基础上，进一步证明
A. 与 互相垂直平分 B. 且
C. 且 D. 且
10. 如图，在正方形 ABCD 中， 为 上的中点， 为 上的一个动点，若 ，则 的最小值为
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 正方形的判定定理．
（）对角线相等的 是正方形．
（）对角线垂直的 是正方形．
（）有一个角是直角的 是正方形．
（）有一组邻边相等，并且有一个角是直角的 是正方形．
12. 如图，已知点 是正方形 的对角线 上一点， 于点 ， 于点 ，连接 ，给出下列五个结论：① ；② ；③ 一定是等腰三角形；④ ；⑤ ．其中正确结论的序号是 ．
13. 如图，请给矩形 添加一个条件，使它成为正方形，则此条件可以为 ．
14. 在四边形 中，，，试补充一个条件： ，使四边形 是正方形．
15. 如图所示，正方形 的四个顶点分别在正方形 的四条边上，若正方形 与正方形 的相似比为 ，则 的值为 ．
三、解答题（共4小题；共52分）
16. 如图，在 中，， 与 的平分线交于点 ，过点 作 于点 ， 于点 ．
求证：四边形 是正方形．
17. 如图， 中，，以 为边在 上方作正方形 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接 ．
（1）求证：；
（2）， 分别为 ， 上的动点，连接 ，，若 ，，求 的最小值．
18. 已知：如图，在 中，，，点 ， 分别是边 ， 的中点，点 ， 是边 的三等分点，， 的延长线相交于点 ，连接 ，．求证：
（1）四边形 是菱形；
（2）四边形 是正方形．
19. 如图，在正方形 中， 是边 上的一动点（不与点 ， 重合），连接 ，点 关于直线 的对称点为 ，连接 并延长交直线 于点 ， 是 的中点，连接 ．
（1）求 的度数；
（2）连接 ，请用等式表示 ，， 三条线段之间的数量关系，并证明；
（3）连接 ，若正方形的边长为 ，请直接写出 的面积最大值．
答案
第一部分
1. A
2. D
3. B
4. D
5. D
【解析】根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，再加上对角线互相垂直能判定四边形 是正方形．
6. D
7. C
8. C
9. C
10. D
【解析】作点 关于 的对称点 ，连接 ，交 于点 ，作 ，交 于点 ，
点 ，点 关于 对称，点 在 上，
，
，
的最小值为 的长，
四边形 为正方形，点 是 中点，
，，
，
．
第二部分
11. 菱形，矩形，菱形，平行四边形
12. ①②④⑤
13.
【解析】添加的条件是：．
理由如下：
四边形 是矩形，，
四边形 是正方形．
14. （答案不唯一）
【解析】由 ，，可知四边形 有一个角是直角且一组邻边相等，如果四边形 是平行四边形，即可判定四边形 是正方形，
所以补充一个条件使四边形 是平行四边形即可．
15.
【解析】 正方形 与正方形 的相似比为 ，
不妨假设 ，．
，
，，
．
，
，
．
设 ，则 ，
在 中，
，
，整理得 ，解得 或 （舍），
，，
．
第三部分
16. ，，，
四边形 是矩形，
过点 作 于点 ，
平分 ，，
，
平分 ，，
，
，
四边形 是正方形．
17. （1） 中，，，
．
四边形 是正方形，
，，
，，
，
．
（2） ，
，，
．
如图，连接 ，
是正方形顶点 与顶点 的对称轴，
．
如使得 最小，只需 ，， 在一条直线上，
由于点 ， 分别是 和 上的动点，
作 ，交 于点 ，垂足为 ，
的最小值等于 ．
18. （1） 因为点 ， 是边 的三等分点，
所以 ， 分别是 ， 的中点，
因为点 是 的中点，
所以 ，即 ，
同理：，
所以四边形 是平行四边形，
因为 ，
所以 ，
因为点 ， 是边 的三等分点，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以平行四边形 是菱形．
（2） 连接 ，交 于点 ，
因为四边形 是平行四边形，
所以 ，，
因为 ，
所以 ，
所以四边形 是平行四边形，
因为 ，
所以平行四边形 是矩形，
因为 ，
所以矩形 是正方形．
19. （1） 由对称得：，，
在正方形 中，，，
，
是 的中点，
，，
．
（2） 结论：．
理由是：
如图，作 交 的延长线于 ．
，
在正方形 中，，，
，
由（）可知 ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
．
（3） ．
【解析】如图，过 作 于 ，则 ．
中，，
，即 为定值，
当 最大值， 的面积最大，
连接 ，交 于 ，当 在 上时， 最大，此时 与 重合，
，，
，
．
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