北师大版九年级上册2.4 用因式分解法求解一元二次方程 同步练习(Word版含答案)

2.4 用因式分解法求解一元二次方程
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 解方程 较为合适的方法是
A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法
2. 一元二次方程 的解是
A. B. C. ， D. ，
3. 一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团 人准备同时租用这三种客房共 间，如果每个房间都住满，租房方案有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4. 若关于 的方程 的根是整数，则满足条件的整数 的个数为
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5. 已知 ，则一元二次方程 的根是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6. 把面值为 元的纸币兑换成面值为 角或 角的硬币，则换法只有 种．
A. B. C. D.
7. 一元二次方程 的解为
A. ， B. ，
C. ， D. ，
8. 小辉只带了 元和 元两种面额的人民币，他买了一件物品只需付 元，如果不麻烦售货员找零钱，他有 种不同的付款方法．
A. 一种 B. 两种 C. 三种 D. 四种
9. 解下列方程：① ；② ；③ ；④ ．较简便的方法是
A. 依次为直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法
B. 依次为因式分解法，公式法，配方法，直接开平方法
C. ①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法
D. ①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法
10. 满足联立方程 的正整数 的组数是
A. B. C. D.
E.
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 方程 的根是 ．
12. 关于 的方程 中有整数解， 为非负整数，写出 个符合条件的 的取值可以是 ．
13. 如果关于 的方程 有一个小于 的正数根，那么实数 的取值范围是 ．
14. 已知 为实数，且满足 ，则 的值是 ．
15. 已知关于 的方程 的解都是整数，那么符合条件的整数 的所有值为 ．
三、解答题（共4小题；共52分）
16. 已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程有一个根大于 且小于 ， 为整数，求 的值．
17. 解方程：．
18. 关于 的一元二次方程 ．
（）求证：方程总有两个实数根；
（）若方程的两个实数根都是正整数，求 的最小值．
19. 小李用换元的数学思想求方程 的解，他将 看作一个整体，设 ，那么原方程可化为 ，解得 ，（不合题意，舍去）．当 时，，即 ，解得 ，故原方程的解为 ．
请利用上述数学思想解答下面的问题：
在 中，，两条直角边的长分别为 ，，斜边的长为 ，且 ，求斜边的长 ．
答案
第一部分
1. D
2. C 【解析】，
或 ，
所以 ，．
3. C 【解析】设准备租二人间 个，三人间 个，四人间 个，根据题意，得
因为 ，， 都是正整数，解得
4. C
5. B
【解析】由题意知方程 可化为 ，
则 或 ，
解得 ，．
6. B
7. D 【解析】因式分解得 ，
所以 或 ，
所以 ，．
8. C
9. D 【解析】① 移项后符合 （， 同号且 ）的特点，所以用直接开平方法；
② 等号左边有 项，方程的左边利用学过的方法不能分解，所以需要用公式法；
③ ，把 看成一个整体，移项后利用因式分解法来解；
④ ，可以把 看成一个整体，移项后利用因式分解法来解．
10. C
【解析】由方程 得
∵ 为正整数，
∴ 且
将 和 代入方程 得 ．
故满足联立方程的正整数组 有两个．
第二部分
11. ，
12. 或
13.
【解析】根据方程的求根公式可得：
则方程的两根为 或 ，
或 ，
解得 ，，
，
小于 的正数根只能为 ，
即 ，
解得 ．
14.
【解析】设 ，则 ，原方程等价于 ．
解得 或 （不合题意，舍去），
．
15. ，
【解析】①当 时，则 ；
②当 时，原式可以整理为：，
，
是方程的一个整数根，
再由 ，且 是整数，知 ，
；
由①，②得符合条件的整数 有 ， 个．
第三部分
16. （1） 依题意得 ，
，
此方程总有两个实数根．
（2） 解方程得 ．
方程的两个根为 ，．
由题意可知，，即 ．
为整数，
．
17. 移项，得
因式分解，得
于是得
解得
18. （）依题意，得
，
，
方程总有两个实数根．
（）解方程，得 ，，
方程的两个实数根都是正整数，
，
，
的最小值为 ．
19. 设 ，则原方程可化为 ，即 ，
解得 ，（不合题意，舍去）．
．
在 中，，由勾股定理，得 ，
，
，（舍去），
斜边的长 为 ．
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