北师大版九年级上册4.4 探究三角形相似的条件 同步练习(word版含答案)

4.4 探究三角形相似的条件
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 如图，以 ，， 为顶点的三角形与以 ，， 为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为
A. B. C. D.
2. 生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下部分与全身的高度比值接近 ，可以增加视觉美感．若图中 为 米，则 约为
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
3. 如图，在 中，， 于点 ，则图中的相似三角形共有
A. 对 B. 对 C. 对 D. 对
4. 已知 的三边长分别是 ，，， 的三边长如以下四个选项所列，若要使 ，则 的三边长分别是
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
5. 要做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，已有三角形框架甲，它的三边长分别为 ，，，三角形框架乙的一边长为 ，那么符合条件的三角形框架乙共有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6. 如图，在 中，，，，将 沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是
A. B.
C. D.
7. 在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段 为边作正方形 ，取 的中点 ，连接 ，延长 至 ，使得 ，以 为边作正方形 ，则点 即是线段 的黄金分割点．若记正方形 的面积为 ，矩形 的面积为 ，则 与 的大小关系是
A. B. C. D. 不能确定的
8. 如图，在 中，，， 为 边上的一点，且 ．若 的面积为 ，则 的面积为
A. B. C. D.
9. 如图，小正方形的边长均为 ，则下列图中的三角形（阴影部分）与 相似的是
A. B.
C. D.
10. 宽与长的比是 （约为 ）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形 ，分别取 ， 的中点 ，，连接 ；以点 为圆心，以 为半径画弧，交 的延长线于点 ；作 ，交 的延长线于点 ，则图中下列矩形是黄金矩形的是
A. 矩形 B. 矩形 C. 矩形 D. 矩形
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 如图，在 中， 是边 上一点，连接 ，请你添加一个条件，使得 ，这个条件可以是 ．（写出一个即可）
12. 如图， 平分 ，，，则当 时，．
13. 在 中，，在 中，，则 与 ．（填“相似”或“不相似”）
14. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图， 为 的黄金分割点（），如果 的长度为 ，那么 的长度约为 ．（结果保留两位小数）
15. 如图，点 ， 分别是 的边 ， 上的动点，则下面条件中能使 与 相似的有 ．
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．
三、解答题（共4小题；共52分）
16. 如图，在 中， 平分 ，交 于点 ， 是 上一点，连接 ，．求证：．
17. 如图，在四边形 中，，对角线 平分 ，．
（1）求证：；
（2）若点 是 的中点，连接 ，，求 的度数．
18. 如图，在边长为 的小正方形组成的网格中， 与 的顶点都在格点（小正方形的顶点）上，判断 与 是否相似，并证明你的结论．
19. 如图，点 是正方形 的 边上的黄金分割点，且 ， 表示以 为边长的正方形面积， 表示以 为长， 为宽的矩形面积，，求 的值．
答案
第一部分
1. A
2. A 【解析】 雕像的腰部以下部分与全身的高度比值接近 ，
，
为 米，
（米）
3. C
4. B
5. C
6. B 【解析】选项A，因为 ，，所以阴影三角形与原三角形相似，故A不合题意；
选项B，因为 且 ，所以阴影三角形与原三角形不相似，故B符合题意；
选项C，因为 ，，，所以阴影三角形与原三角形相似，故C不合题意；
选项D，因为 ，，所以阴影三角形与原三角形相似，故D不合题意．
故选B．
7. C 【解析】 点 是线段 的黄金分割点，
，
，
，
．
8. C 【解析】在 和 中， 是公共角，，
，
，
又 的面积为 ，
的面积为 ，
的面积为 ．
9. B
10. D
第二部分
11. （答案不唯一）
12.
13. 相似
14.
【解析】 为 的黄金分割点（），，
．
15. ①②④⑤
【解析】①当 时，
，
；
②当 时，
，
；
③当 时，无法证明 与 相似；
④当 时，；
⑤当 时，
，
，
又 ，
；
⑥当 时，无法证明 与 相似．
第三部分
16. 平分 ，
．
，
，
．
17. （1） ，
，
平分 ，
，
，
，
．
（2） ，点 为 的中点，
，
，
，
，
，
，
．
18. 与 相似．
证明：由图可得 ，，，
，，．
，
．
19. 如图，设 ，
点 是正方形 的边 上的黄金分割点，且 ，
，
，
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