2021-2022学年北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明 单元综合测试（word版含解析）

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》单元综合测试（附答案）
一．选择题（共12小题，满分48分）
1．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（　　）
A．50° B．70° C．75° D．80°
2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（　　）
A．BC＝EC B．EC＝BE C．BC＝BE D．AE＝EC
3．下列判断正确的是（　　）
A．两边和一角对应相等的两个三角形全等
B．一边及一锐角相等的两个直角三角形全等
C．顶角和底边分别相等的两个等腰三角形全等
D．三个内角对应相等的两个三角形全等
4．如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（　　）
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三个角的角平分线的交点
C．三角形三条高的交点
D．三角形三条中线的交点
5．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝6，DE＝3，则△BCE的面积等于（　　）
A．10 B．9 C．8 D．6
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．2
7．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，且E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是（　　）
A．20° B．35° C．40° D．70°
9．要判定两个直角三角形全等，下列说法正确的有（　　）
①有两条直角边对应相等；
②有两个锐角对应相等；
③有斜边和一条直角边对应相等；
④有一条直角边和一个锐角相等；
⑤有斜边和一个锐角对应相等；
⑥有两条边相等．
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
10．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BD平分∠ABC，则∠ABD的度数为（　　）
A．30° B．40° C．20° D．25°
11．若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（　　）
A．75°或30° B．75° C．15° D．75°或15°
12．如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，点D在AC上，BC＝BD，DE∥BC交AB于点E，则图中等腰三角形共有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
二．填空题（共10小题，满分40分）
13．若直角三角形的一个锐角为36°，则另一个锐角的度数为　 　．
14．已知等腰三角形的周长为13cm，腰长为5cm，则这个等腰三角形的底边长为　 　cm．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若DB＝10cm，则AC＝　 　cm．
16．如图，D在△ABC的边BC上，且BC＝BD+AD，则点D在　 　的垂直平分线上．
17．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠CDA＝80°，则∠A＝　 　．
18．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝　 　度．
19．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AD，E，F分别是AC，BD的中点，EF＝2，则AC的长是　 　．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D，点E分别在边AC，AB上，且DE垂直平分AB．若AD＝2，则CD的长为　 　．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为点D．若∠BAC＝30°，则∠DBC的度数为　 　°．
22．如图，AD是△ABC的边BC上的高，现给出下列条件：①∠BAD＝∠ACD；②∠BAD＝∠CAD；③BD＝CD；④AB+BD＝AC+CD，若添加这些条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形，这个条件可以是　 　（把所有正确答案的序号都填写在横线上，多写或少写都不得分）
三．解答题（共5小题，满分32分）
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，延长CB至点E，延长BC至点F，使BE＝CF，连接AE、AF．
求证：AD平分∠EAF．
24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的延长线上一点，EH是BD的垂直平分线，DE交AC于F，求证：E在AF的垂直平分线上．
25．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACB交AB于E，EF⊥AB交CB于F．
（1）求证：CD∥EF；
（2）若∠A＝70°，求∠FEC的度数．
26．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；
（3）若AE＝6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．
27．如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，E为AB的中点，
（1）如图1，求证：△ECD是等腰三角形；
（2）如图2，CD与AB交点为F，若AD＝BD，EF＝3，DE＝4，求CD的长．
参考答案
一．选择题（共12小题，满分48分）
1．解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝25°，
∵∠B＝60°，∠C＝25°，
∴∠BAC＝95°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝70°，
故选：B．
2．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠ACD+∠A＝90°，
∴∠BCD＝∠A．
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE．
又∵∠BEC＝∠A+∠ACE，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE．
故选：C．
3．解：∵两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，
∴选项A不符合题意；
∵斜边与一锐角相等的两个直角三角形全等或一直角边与一锐角相等的两个直角三角形全等，
∴选项B不符合题意；
∵顶角和底边分别相等的两个等腰三角形全等，利用ASA证两个等腰三角形全等，
∴选项C符合题意；
∵三个内角对应相等的两个三角形不一定全等，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
4．解：猎狗到△ABC三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在△ABC的三条（边垂直平分线）的交点．
故选：A．
5．解：作EH⊥BC于H，
∵BE平分∠ABC，CD是AB边上的高线，EH⊥BC，
∴EH＝DE＝3，
∴△BCE的面积＝×BC×EH＝9，
故选：B．
6．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝5，
∴AE＝CE＝5，
∵AD＝2，
∴DE＝3，
∵CD为AB边上的高，
∴在Rt△CDE中，CD＝，
故选：C．
7．解：∵△ABC中，CD⊥AB于D，
∴∠ADC＝90°．
∵E是AC的中点，DE＝5，
∴AC＝2DE＝10．
∵AD＝6，
∴CD＝＝＝8．
故选：D．
8．解：∵AD是△ABC的中线，AB＝AC，∠CAD＝20°，
∴∠CAB＝2∠CAD＝40°，∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠CAB）＝70°．
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝35°．
故选：B．
9．解：①有两条直角边对应相等，可以利用SAS证明全等，正确；
②有两个锐角对应相等，不能利用AAA证明全等，错误；
③有斜边和一条直角边对应相等，可以利用HL证明全等，正确；
④有一条直角边和一个锐角相等，没有表明是对应边相等，不一定可以利用AAS证明全等，错误；
⑤有斜边和一个锐角对应相等，可以利用AAS证明全等，正确；
⑥有两条边相等，没有表明是对应边相等，不一定可以利用HL或SAS证明全等，错误；
故选：D．
10．解：∵AB＝AC，∠A＝100°，
∴∠ABC＝∠C＝40°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝20°．
故选：C．
11．解：当等腰三角形是锐角三角形时，如图1所示
∵CD⊥AB，CD＝AC，
∴sin∠A＝＝，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝∠C＝75°；
当等腰三角形是钝角三角形时，如图2所示，
∵CD⊥AB，即在直角三角形ACD中，CD＝AC，
∴∠CAD＝30°，
∴∠CAB＝150°，
∴∠B＝∠C＝15°．
故选：D．
12．解：在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，
∴∠ABC＝∠C＝＝72°，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠DBC＝36°，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∴BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC＝36°，
∴∠ABD＝∠EDB＝∠A，
∴AD＝BD，EB＝ED，
即△ABD和△EBD是等腰三角形，
∵∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
即△BCD是等腰三角形，
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ABC，∠ADE＝∠C，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AE＝AD，
即△AED是等腰三角形．
∴图中共有5个等腰三角形．
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分40分）
13．解：90°﹣36°＝54°．
故答案为：54°．
14．解：∵等腰三角形的周长为13cm，腰长为5cm，
∴该等腰三角形的底边长＝13﹣（5×2）＝3（cm）．
故答案为3．
15．解：连接AD，
∵AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E
∴AD＝BD＝10，∠DBA＝∠BAD＝15°，∠DAC＝60°，
∠ADC＝30°，
∴AC＝AD＝5cm．
16．解：∵BC＝BD+AD，BC＝BD+CD，
∴AD＝DC，
∴D在AC的垂直平分线上，
故答案为：AC．
17．解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝＝AD＝BD，
∴∠A＝∠ACD，
∵∠CDA＝80°，
∴∠A＝∠ACD＝50°，
故答案为：50°．
18．解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∴∠FAC＝∠EAC+19°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠FAB＝∠EAC+19°，
∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，
∴70°+2（∠C+19°）+∠C＝180°，
解得，∠C＝24°，
故答案为：24．
19．解：如图，连接AF．
∵AB＝AD，F是BD的中点，
∴AF⊥BD．
∵在Rt△ACF中，∠AFC＝90°，E是AC的中点，EF＝2，
∴AC＝2EF＝4．
故答案为：4．
20．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AD＝2，DE垂直平分AB．
∴DE＝1，∠DBE＝∠A＝30°，∠CBA＝60°，
∴BD平分∠CBE，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝1，
故答案为：1
21．解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣30°）÷2＝75°；
又∵BD⊥AC垂足为D，
∴∠DBC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣75°＝15°．
故答案为：15．
22．解：①无法判定；
②当∠BAD＝∠CAD时，
∵AD是∠BAC的平分线，且AD是BC边上的高；
则△ABD≌△ACD，
∴△BAC是等腰三角形；
③∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴△ABC是等腰三角形；
④延长DB至E，使BE＝AB；延长DC至F，使CF＝AC；连接AE、AF；
∵AB+BD＝CD+AC，
∴DE＝DF，
又∵AD⊥BC；
∴△AEF是等腰三角形；
∴∠E＝∠F；
∵AB＝BE，
∴∠ABC＝2∠E；
同理，得∠ACB＝2∠F；
∴∠ABC＝∠ACB，即AB＝AC，△ABC是等腰三角形．
故答案为：②③④．
三．解答题（共5小题，满分32分）
23．证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴BD＝DC，AD⊥BC，AD平分∠BAC，∠ABD＝∠ACD，
∴∠ABE＝∠ACF，
在△ABE与△ACF中，
∴△ABE≌△ACF，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴∠BAE+∠BAD＝∠CAF+∠CAD，
即∠EAD＝∠FAD，
即AD平分∠EAF．
24．证明：∵EH垂直平分BD，
∴BE＝DE，
∴∠BEH＝∠DEH，
∵∠ACB＝90°，
∴EH∥AC，
∴∠BEH＝∠BAC，∠DEH＝∠AFE，
∴∠EAF＝∠AFE，
∴AE＝EF，
∴点E在AF的垂直平分线上．
25．（1）证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF；
（2）解：∵CD⊥AB，
∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，
∵∠ACB＝90°，CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝45°，
∴∠DCE＝45°﹣20°＝25°，
∵CD∥EF，
∴∠FEC＝∠DCE＝25°．
26．解：（1）证明：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴DB＝DA，
∴△ABD是等腰三角形；
（2）∵△ABD是等腰三角形，∠A＝40°，
∴∠ABD＝∠A＝40°，∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）÷2＝70°
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°；
（3）∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，AE＝6，
∴AB＝2AE＝12，
∵△CBD的周长为20，
∴AC+BC＝20，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝12+20＝32．
27．（1）证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，又∵E为AB的中点，
∴CE＝AB，DE＝AB
∴CE＝DE，即△ECD是等腰三角形；
（2）∵AD＝BD，E为AB的中点，
∴DE⊥AB，
已知DE＝4，EF＝3，
∴DF＝5，
过点E作EH⊥CD，
∵∠FED＝90°，EH⊥DF，
∴EH＝＝，
∴DH＝＝，
∵△ECD是等腰三角形，
∴CD＝2DH＝．