2021-2022学年人教版九年级数学下册《第27章相似》寒假提升测评试卷 （word版含解析）

2021-2022学年人教版九年级数学下册《第27章相似》寒假自主提升测评（附答案）
一、单选题（满分40分）
1．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，已知，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，一块矩形ABCD绸布的长AB=a，宽AD=1，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形ABCD绸布相似，则a的值等于（ ）
A． B． C． D．
4．将三角形纸片△ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=6，BC=8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是（ ）
A． B．4 C．或2 D．4或
5．如图，在△ABC中两条中线BE、CD相交于点O，记△DOE的面积为S1，△COB的面积为S2，则S1：S2＝（　　）
A．1：4 B．2：3 C．1：3 D．1：2
6．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，已知，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD的中点，连接AE、AF、EF．若菱形ABCD的面积为16，则△AEF的面积为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，在平面真角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以原点O为位似中心，把△EFO扩大到原来的2倍，则点E的对应点E的坐标为（　　）
A．（8，4） B．（8，﹣4）
C．（8，4）或（﹣8，﹣4） D．（﹣8，4）或（8，﹣4）
二、填空题（满分40分）
9．如图，四边形四边形，若，，，则的度数为___．
10．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝，那么BC＝_______．
11．已知，分别是线段上的两个黄金分割点，且，则________．
12．在Rt△ABC中，以如图所示方式内置两个正方形，使得顶点D、E、M、N均在三角形的边上，若AC＝3，BC＝4，则小正方形的边长为_____．
13．如图，点A，B在反比例函数（）的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，OA⊥AB，则k的值为_________．
14．如图，⊙O的直径AB＝5，弦AC＝3，点D是劣弧BC上的动点，CE⊥DC交AD于点E，则OE的最小值是_____．
15．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，则y关于x的函数关系式为________
16．如图，在正方形中，是边的中点，是边上异于，的一点．
（1）若∽，则______；
（2）当与满足数量关系______时，∽．
三、解答题（满分40分）
17．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝∠CDB＝90°．
（1）求证：△ABD△DCB．
（2）若AD＝2，BC＝6.5，求AB的长．
18．已知：中，为上的中线，点在上，且，射线交于点．求的值．
19．如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上．
（1）设矩形的一边AD=xm，那么AB边的长度如何表示？
（2）设矩形的面积为ym2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
20．某校社会实践小组为了测量古塔的高度，在地面上处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，古塔的塔尖点正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点处，这时地面上的点，标杆的顶端点，古塔的塔尖点正好在同一直线上（点，点，点，点与古塔底处的点在同一直线上），这时测得米，米，请你根据以上数据，估算古塔的高度．
21．如图，在正方形ABCD中，点G是对角线上一点，CG的延长线交AB于点E，交DA的延长线于点F，连接AG．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求CG的长．
22．如图，是的直径，是的弦，交于点E，连接，，过点E作，垂足为F，．
（1）求证：；
（2）点G在的延长线上，连接，．
①求证：与相切：
②当时，求的长．
23．如图，开口向上的抛物线与x轴交于A（，0）、B（，0）两点，与y轴交于点C，且AC⊥BC，其中，是方程x2+3x﹣4＝0的两个根．
（1）求点C的坐标，并求出抛物线的表达式；
（2）垂直于线段BC的直线l交x轴于点D，交线段BC于点E，连接CD，求△CDE的面积的最大值及此时点D的坐标；
（3）在（2）的结论下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PDE是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
参考答案
1．D
解：由可设，，
则
故答案为：
2．A
解：A.，
∴，故A正确；
B.，
∴，故B不正确；
C、D.，
∴，故C、D不正确；
故选：A．
3．B
解：使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，
，
解得或舍去，
，
故选B．
4．D
解：∵△ABC沿EF折叠B和B′重合，
∴BF=B′F，
设BF=x，则CF=8﹣x，
∵当△B′FC∽△ABC，
∴，
∵AB=6，BC=8，
∴，
解得：x=，
即：BF=，
当△FB′C∽△ABC，
，
，
解得：x=4，
当△ABC∽△CBF′时，同法可求BF=4，
故BF=4或．
故选：D．
5．A
解：∵BE和CD是△ABC的中线，
∴DE= BC，，
∴△DOE∽△COB，
∴，
故选：A．
6．C
解：∵△ABC与△DEF是位似图形，OA：OD＝1：2，
∴△ABC与△DEF的位似比是1：2．
∴△ABC与△DEF的相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，
故选：C．
7．D
解：连接AC、BD，交于点O，AC交EF于点G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=OC，菱形ABCD的面积为：AC BD，
∵点E、F分别是边BC、CD的中点，
∴EF∥BD，EF=BD，
∴AC⊥EF，，
∴OG=CG，
∴AG=3CG，
设AC=a，BD=b，
∴ab=16，即ab=32，
S△AEF=EF AG=×b×a=ab=6．
故选：D．
8．D
解：∵以原点O为位似中心，把△EFO扩大到原来的2倍，点E（ 4，2），
∴点E的对应点E'的坐标为（ 4×2，2×2）或（4×2， 2×2），即（ 8，4）或（8， 4），
故选D．
9．103
解：∵，四边形四边形
∴∠A=∠A′=110°，
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，，，
∴∠D=360°-∠A-∠B-∠C，
=360°-110°-65°-82°，
=103°．
10．
解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACB＝∠CDB＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴＝，即＝，
∴,
∵
∴BC＝，
故答案为：．
11．
解：，分别是线段上的两个黄金分割点
∴
∴
故答案为：
12．
解：过C作CH⊥AB于H，交DE于P，如图：
∵AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝5，
∵CH⊥AB，
∴2S△ABC＝AC BC＝AB CH，
∴CH＝＝，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
又∵CP、CH是△CDE和△CAB的对应高，
∴＝，
设小正方形的边长为x，则DE＝x，CP＝﹣2x，
∴＝，
解得x＝，
故答案为：．
13．8
解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥AM于N，
∵∠OAB=90°，
∴∠OAM+∠BAN=90°，
∵∠AOM+∠OAM=90°，
∴∠BAN=∠AOM，
∴△AOM∽△BAN，
∴，
∵点A，B在反比例函数（k＞0）的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，
∴A（2，），B（k，1），
∴OM=2，AM=，AN=-1，BN=k-2，
∴，
解得k1=2（舍去），k2=8，
∴k的值为8，
故答案为：8．
14．
解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，AB=5，AC=3，
∴BC=
∴△ABC的大小和形状是唯一的，
设∠B= ，
∠D与∠B都是弧AC所对的圆周角，
∴∠D=∠B=，CE⊥DC，
∴∠DCE=90°，
∴∠AEC=∠DCE+∠D=90°+，
.∴AEC的度数为定值90°+，
∴如图，点E在△ACE的外接圆（以P为圆心，AP为半径）上，
如图，连接OP，OC，当点E在OP与⊙P的交点处时，OE取得最小值，
如图，在优弧AC上取一点Q，连接OC、AQ、CQ，
∵∠AEC=90°+，
∴∠Q=180°-∠AEC=90°-，
∴∠APC=2∠Q=180°-2，
∵PA=PC，
∴，
∵∠ACB=90°，∠B=，
∴∠BAC=90°-∠B=90°-，
∴∠OAP=∠BAC+∠PAC=90°，
∵PA=PC，OA=OC，
∴OP垂直平分AC，
∴OP⊥AC，
又∵BC⊥AC
∴OP//BC，
∵∠AOP=∠B，
∵∠OAP=∠ACB，
∴△OAP∽△BCA，
∴
∵直径AB=5
∴OA=
∴，解得：AP=,OP=
∴PE=AP=
∴OE=OP-PE=-=
∴OE的最小值为．
故填．
15．
解：∠A=∠D=120°，∠BEF=120°，
AB=6、AD=4，AE=x、DF=y，
即
故答案为：
16． ，
解：（1）∽，
，
，
，
，
．
故答案为：；
（2）当时，∽．
，
，
，
，
又，
∽．
故答案为：．
17．（1）；（2）3
解：（1）∵∠A＝∠ABC＝∠CDB＝90°，
∴∠ABD+∠DBC=∠DBC+∠C=90°，
∴∠ABD=∠C，
∴△ABD△DCB；
（2）∵△ABD△DCB，
∴，
∴，解得：BD=（负数舍去），
∴．
18．
解：如图，过作 交于
为的中点，
19．（1）；（2）当时，有最大值，最大值为．
解：（1）∵，，
∴
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴△MDC∽△MAN，
∴，即，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为．
20．68.7米
解：根据题意得：AB⊥AF，CD⊥AF，HG⊥AF，GH=CD
∴HGAB，CDAB
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∵米，米，米，
∴ ，解得： 米，
∴ ，解得： 米，
答：古塔的高度约为68.7米．
21．（1）；（2）；（3）CG的长为3
（1）证明：∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB＝∠CDB＝45°，
又AD＝CD，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS）；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥CB，
∴∠FCB＝∠F，
由（1）可知△ADG≌△CDG，
∴∠DAG＝∠DCG，
∴∠DAB ∠DAG＝∠DCB ∠DCG，即∠BCF＝∠BAG，
∴∠EAG＝∠F，
又∠EGA＝∠AGF，
∴△AEG∽△FAG；
（3）∵△AEG∽△FAG，
∴，即GA2＝GE GF，
∴GA＝3或GA＝ 3（舍去），
由（1）得△ADG≌△CDG
所以，AG＝CG，
∴CG＝3．
22．（1）证明；（2）①证明；②．
证明：（1）由圆周角定理得：，
，
，
，
，
，即，
；
（2）①如图，连接，
由圆周角定理得：，
，
，
由（1）已证：，
，
，即，
，
又是的半径，
与相切；
②如图，连接，
是的直径，
，即，
，
，
，即，
解得，
，
在和中，，
，
，即，
解得，
．
23．（1）C（0，﹣2）；yx2x﹣2；（2）S△CDE最大为，D（，0）；（3）存在，P的坐标为（，）或（，）或（，﹣2）或（，）．
解：（1）由x2+3x﹣4＝0得＝﹣4，＝1，
∴A（﹣4，0），B（1，0），
∴OA＝4，OB＝1，
∵AC⊥BC，
∴∠ACO＝90°﹣∠BCO＝∠OBC，
∵∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴△AOC∽△COB，
∴，即，
∴OC＝2，
∴C（0，﹣2），
设抛物线解析式为y＝a（x+4）（x﹣1），
将C（0，﹣2）代入得﹣2＝﹣4a，
∴a，
∴抛物线解析式为y（x+4）（x﹣1）x2x﹣2；
（2）如图：
由A（﹣4，0），B（1，0），C（0，﹣2）得：AB＝5，BC，AC＝2，
∵DE⊥BC，AC⊥BC，
∴DE∥AC，
∴△ABC∽△DBE，
∴，
设D（t，0），则BD＝1﹣t，
∴，
∴DE（1﹣t），BE（1﹣t），
∴S△BDEDE BE（1﹣t）2，
而S△BDCBD OC（1﹣t）×2＝1﹣t，
∴S△CDE＝S△BDC﹣S△BDE＝1﹣t（1﹣t）2t2t（t）2，
∵0，
∴t时，S△CDE最大为，
此时D（，0）；
（3）存在，由yx2x﹣2知抛物线对称轴为直线x，
而D（，0），
∴D在对称轴上，
由（2）得DE[1﹣（）]，
当DE＝DP时，如图：
∴DP，
∴P（，）或（，），
当DE＝PE时，过E作EH⊥x轴于H，如图：
∵∠HDE＝∠EDB，∠DHE＝∠BED＝90°，
∴△DHE∽△DEB，
∴，即，
∴HE＝1，DH＝2，
∴E（，﹣1），
∵E在DP的垂直平分线上，
∴P（，﹣2），
当PD＝PE时，如图：
设P（，m），则m2＝（）2+（m+1）2，
解得m，
∴P（，），
综上所述，P的坐标为（，）或（，）或（，﹣2）或（，）．