2021-2022学年人教版九年级数学上册《第21章一元二次方程》寒假提升测评试卷 （word版含解析）

2021-2022学年人教版九年级数学上册《第21章一元二次方程》
寒假自主提升测评（附答案）
一、单选题（满分40分）
1．已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个根，则代数式m2﹣m+3的值等于（　　）
A．5 B．2 C．3 D．0
2．用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．某机械厂七月份生产零件100万个，第三季度生产零件392万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　）
A．100（1+x）2＝392
B．100+100（1+x）2＝392
C．100+100（1+x）+100（1+2x）＝392
D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝392
4．若关于x的方程x2﹣cx+4＝0有两个不相等的实数根，则c的值不可能是（　　）
A．4 B．5 C．﹣5 D．10
5．若有关x方程没有实根，那么，必有实根的方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一根的一半，则称这样的方程为“半根方程”．以下关于半根方程的说法，正确的是（ ）
A．若方程（x﹣2）（mx＋n）＝0是半根方程，则4m2＋5mn＋n2＝0
B．方程x2﹣x﹣2＝0是半根方程
C．方程x2﹣4＝0是半根方程
D．若点A（m，n）在函数y＝2x的图象上，则关于x的方程mx2﹣n＝0是半根方程
7．如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ）
A． B．且
C．且 D．且
8．已知实数x满足，则的值为（ ）
A．6 B． C．或6 D．1或
9．若关于x的不等式组的解集为x≤﹣2，关于x的一元二次方程ax2﹣3x＋1＝0有两个不相等的实数根，则符合条件的整数a有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图1，有一张长20cm，宽10cm的长方形硬纸片（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒，纸盒盖面积为，则该有盖纸盒的高为（ ）cm
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（满分40分）
11．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x＋a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a＝___．
12．已知a是的根，则代数式的值为______．
13．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_________．
14．把方程x2+2（x-1）=3x化成一般形式，其一次项系数为_________
15．若一个三角形的三边长均满足方程x2﹣6x+8=0，则此三角形的周长为____．
16．关于x的方程的解是，（a、m、b均为常数，），则方程的解是_____．
17．已知，则＝_______．
18．已知一元二次方程x2﹣11x+28＝0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为 ___．
19．已知，是方程的两个实数根，则________
20．商场某种商品进价为120元/件，售价130元/件时，每天可销售70件；售价单价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，据此，若销售单价为　 __________元时，商场每天盈利达1500元．
三、解答题（满分40分）
21．用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）4x2+4x﹣1＝0；
（2）
22．阅读下面材料：并解答问题．
为解方程，我们可以将x2－1视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，解此方程，得．
当时，，，∴．
当时，，∴．
∴原方程的解为．
以上解题方法就叫换元法，请利用换元法解方程．．
23．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根．
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足＝7，求m的值．
24．已知关于的方程．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为，求．
25．某超市以每千克22元的价格购进一种水果，计划以每千克30元的价格销售，为了让顾客得到更多实惠，现决定降价销售．已知这种水果的销售量y（千克）与每千克降价x（元）之间满足一次函数关系，其图像如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若此超市要获利3000元，则这种水果每千克应降价多少元？
26．节能减排是国家“十四五”规划中的一个重要目标，规划提出要在2030年前实现“碳达峰”，到2060年实现“碳中和”发展．为响应国家号召，某省政府计划对一批工业园区的碳排放工厂进行改建和重建，该计划拟定2021年，工厂改建和重建数量共100座，且改建座数不低于重建座数的4倍．
（1）按拟定计划，2021年至少要改建多少座工厂？
（2）经财政实际预算，2021年改建与重建工厂的平均费用之比为1：2，且改建工厂按照拟定计划中最少的数量计算，将花费资金156亿元，为加快实现“碳达峰”的目标，该省政府计划加大投入，计划指出2022年用于工厂改建和重建的费用将在2021年实际预算的基础上增加10a%，另外2022年改建与重建工厂的平均费用将比2021年分别增加a%和5a%，改建与重建立厂的座数将比2021年分别增加5a%和8a%，求a的值．
试卷第1页，共3页
参考答案
1．A
解：把x＝m代入方程x2﹣x﹣2=0可得：m2-m=2，
∴m2﹣m+3=2+3=5，
故选：A．
2．C
解：∵，
∴，
∴，
故选C．
3．D
解：设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，
根据题意可列方程：100+100（1+x）+100（1+x）2＝392，
故选：D．
4．A
解：∵关于x的方程x2﹣cx+4＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝﹣4×1×4＞0，
解得：c＞4或c＜﹣4，
∴数5、﹣5、10都在取值范围内，不符合题意，只有数4符合题意，
故选：A．
5．A
解：∵方程x2+2ax+7a-10=0无实根，
∴判别式△=4a2-4×1×（7a-10）＜0，即a2-7a+10＜0，（a-2）（a-5）＜0，
∴2＜a＜5，
四个选项中的方程的△分别为：
A、△=4（a-1）（a-2），当2＜a＜5，△A＞0，故本选项正确；
B、△=4（a-2）（a-3），当a=2.5，△B＜0，故本选项错误；
C、△=4（a-3）（a-7），当a=4，△C＜0，故本选项错误；
D、△=4（a+1）（a-3），当a=2.5，△D=＜0，故本选项错误．故选：A．
6．A
解：A．∵方程（x﹣2）（mx＋n）＝0是半根方程，且x1＝2，x2＝，
∴＝1或＝4，
∴m＋n＝0，4m＋n＝0，
∵4m2＋5mn＋n2＝（4m＋n）（m＋n）＝0，此结论正确．
B．方程x2﹣x﹣2＝0的解为x1＝﹣1、x2＝2，此方程不是半根方程，此结论错误；
C．方程x2﹣4＝0的解为x1＝2、x2＝﹣2，此方程不是半根方程，此结论错误；
D．∵点A（m，n）在函数y＝2x的图象上，
∴n＝2m，
解方程mx2﹣2m＝0得：x1＝，x2＝﹣，
∴此方程不是半根方程，此结论错误．
故选：A
7．D
解：由题意知：2k＋1≥0，k≠0，Δ＝2k＋1 4k＞0，
∴ ≤k＜，且k≠0．
故选：D．
8．A
解：设x2+x＝t，
原方程化为t2﹣5t﹣6＝0，
∴(t﹣6)(t+1)＝0，
解得t1＝6，t2＝﹣1，
即x2+x＝6或x2+x＝﹣1，
∵x2+x＝x2+x+－
＝(x+)2－≥－，
∴x2+x＝﹣1不符合题意，舍去，
∴x2+x＝6，
故选：A．
9．B
解:解不等式组得，
而此不等式组的解集是x≤﹣2，
∴a+1＞﹣2，
∴a＞﹣3，
∵关于x的一元二次方程ax2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝9﹣4a＞0且a≠0，
∴且a≠0，
∴且a≠0，
∴符合条件的整数a为﹣2、﹣1、1、2共4个．
故选：B．
10．D
解:设该有盖纸盒的高为
根据题意，得纸盒盖面积为：
∵纸盒盖面积为
∴
∴
∴
∴或（舍去）
∴该有盖纸盒的高为1cm
故选：D．
11． 1
解：把x＝0代入（a 1）x2 2x＋a2 1＝0得a2 1＝0，
解得a＝±1，
∵a 1≠0，
∴a＝ 1．
故答案为： 1．
12．4
解：∵a是的根，
∴，
当a=0时，-2≠0，
∴ a≠0，方程两边都除以a得，即，
∴，
∴．
故答案为：4．
13．且
解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴ 且 ，
即且 ，
∴且．
故答案为：且
14．-1
解：x2+2（x-1）=3x，
x2+2x-3x-2=0，
x2-x-2=0，
所以一次项系数是-1，
故选：-1．
15．10
解:∵x2﹣6x+8=0
解得x1=2，x2=4
∴ 三角形三边长可能为：2，2，4或2，4，4
∵ 2+2=4，即2，2，4不能构成三角形，舍去
∴ 此三角形三边长为2，4，4
∴ 此三角形的周长为2+4+4=10
故答案为：10．
16．，
解：把方程看作关于的一元二次方程，
而关于的方程的解是=，=1，
所以或，
所以．
故答案为：．
17．5
解：设，则原方程换元为，
，
解得：，，
即或（不合题意，舍去），
，
故答案为：5．
18．18或15或18
解：∵x2﹣11x+28＝0，
∴（x﹣4）（x﹣7）＝0，
解得：x＝4或x＝7，
若4为底边，7为腰，此时△ABC周长为4+7+7＝18；
若4为腰，7为底边，此时△ABC周长为4+4+7＝15，
∴△ABC周长为18或15，
故答案为：18或15．
19．
解： ，是方程的两个实数根，
故答案为：
20．150或170或150
解：设涨价x元，根据题意得：（130+x－120）（70－x）=1500，
整理得：x2－60x+800=0，
解得：x1=20，x2=40，
所以销售单价为130+20=150元或130+40=170元，
故答案为：150或170．
21．（1）；（2）
解:（1）4x2+4x﹣1＝0；
（2）
22．
解：
设，则原方程化为：
解得：
当时，则
整理得：
解得：
当时，则
整理得：
由
所以方程无解，
所以原方程的解为：
23．（1）证明；（2）或
证明：（1）由题意得：
所以不论m为何值时，方程总有实数根．
（2） 方程的两个实数根x1，x2
整理得：
解得：
经检验：或符合题意.
24．（1） ；（2）
解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴ ，即 ，
解得： ；
（2）根据题意得： ，
∴ ，
∵方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为，
∴ ，
即 ，
整理得： ，
解得： 或-6，
当 时， ，不合题意，舍去
∴．
25．（1）；（2）这种水果每千克应降价4元
解：（1）设y与x之间的函数关系式为，
把，分别代入关系式，得
解得
∴y与x之间的函数关系式为
（2）由题意可知
解得，，
∵要让顾客得到更多实惠，
∴
答：这种水果每千克应降价4元
26．（1）至少改建80座工厂；（2）
解：（1）设2021年改建x座工厂，则重建工厂为（100﹣x）座，
根据题意得：x≥4（100﹣x），
解得：x≥80，
∴至少改建80座工厂；
（2）由（1）得：2021年改建工厂80座，则此时重建工厂20座，
设改建一座工厂花费y亿元，重建一座为2y亿元，
根据题意得：80y+20×2y＝156，
解得y＝1.3，
∴2y＝2.6，
由题意得：1.3（1+a%）×80（1+5a%）+2.6（1+5a%）×20（1+8a%）＝156（1+10a%），
设
则
整理得：
解得：
经检验：不合题意舍去，取
解得：a＝10．